新人教版八年级数学上册全册精品教案（共173页）

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第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 【知识与技能】 (1)结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，并能用符号语言表示三角 形. (2)利用边的相等关系能正确地给三角形分类. (3)掌握三角形的三边关系，并能利用此关系判断已知的三条线段能否组成三角形. 【过程与方法】 在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历测量三角形边长的实践活动，理解三角形 三边间的不等关系. 【情感态度与价值观】 帮助学生树立几何知识源于客观实际的观念，用客观实际的观念激发学生的学习兴趣. (1)对三角形的有关概念的了解，能用符号语言表示三角形. (2)三角形的三边关系. 用三角形的三边关系判断已知三条线段能否组成三角形. 多媒体课件、三角形纸片 om 出示投影(一些含有三角形的实际例子，比如金字塔、自行车等，如图 11-1.1-1)，首 先让学生观察，然后教师进行引入：三角形是一种常见的几何图形，从古埃及的金字塔到现 代的飞机、飞船，从宏大的建筑到微小的分子结构，处处都有三角形的影子.我们所研究的 “三角形”这个课题来源于实际生活.本节我们将从认识三角形开始.(教师板书课题) 教师提问：通过观察刚才的图片，你们能得出三角形完整的概念吗？ 探究 1 三角形的有关概念 教师出示一个三角形纸片，让学生观察，然后由教师直接给出三角形的概念. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 教师继续利用刚才的三角形纸片向学生直接指明相关的概念： 1.相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点. 2.相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 3.组成三角形的线段叫作三角形的边. 接着教师出示投影(△ABC)，并提出问题：这个三角形该怎么用符号语言表示？它的内 角、边又该怎么表示？学生独立思考，师生共同总结：图 11-1.1-2“三角形”可用符号 “△”表示，如图 11-1.1-2，顶点是 A，B，C 的三角形，记作△ABC，读作“三角形 ABC”.∠A， ∠B，∠C 是△ABC 的三个内角；△ABC 的三边分别是 AB，BC，CA，有时也可用小写字母来表 示，顶点 A，B，C 所对的边分别可用 a，b，c 来表示，即边 AB 可用 c 表示，边 BC 可用 a 表示，边 CA 可用 b 表示. 教师安排学生完成教材 P4 练习第 1 题，并举手回答： 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形. 解：5 个.分别是△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE. 教师讲评学生的回答，然后师生共同归纳、总结数三角形个数的方法(列举法)： (1) 按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数) (2)按三角形的大小顺序去数. (3)从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数. (4)先固定一个顶点，变换另两个顶点来数. 探究 2：三角形的分类方法 教师布置学生自学，先让学生学习有关的概念，如等腰三角形、等边三角形等，然后通 过小组进行讨论交流后完成下面的填空. 在这一过程中，教师要注意点拨分类的思想和原则. 探究 3：三角形的三边关系 教师出示教材 P3 的探究，先让学生动手画一画，试一试，教师再引导学生讨论、分析， 得到两条线路： (1)由点 B 直接到点 C，即 BC； (2)先由点 B 到点 A，再由点 A 到点 C，即 BA+AC. 师生得到结论：线路(1)中的 BC 要短一些，即 BC＜BA+AC. 教师进一步提出问题：为什么 BC 要短一些？ 学生举手回答：“两点之间，线段最短.” 然后师生共同归纳得出： BC＜AB+AC，① AC＜AB+BC，② AB＜BC+AC.③ 即三角形两边的和大于第三边.（教师板书） 教师提问：由不等式①②③移项，你能得到怎样的不等式？通过这些不等式，你有什么 发现呢？ 学生回答，师生共同归纳：三角形两边的差小于第三边.（教师板书） 教师出示教材 P3 例题： 用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？ 师生共同分析后，教师板书规范的解答过程： 解：(1)设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm. 由题意，得 x+2x+2x=18，解得 x=3.6. 所以，三边长分别为 3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm. (2)因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. 若 4 cm 长的边为底边，设腰长为 x cm，则 4+2x=18，解得 x=7. 若 4 cm 长的边为腰，设底边长为 x cm，则 2×4+x=18，解得 x=10. 因为 4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰 三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是 4 cm 的等腰三角形. 教师总结三角形三边关系的作用：(1)已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围.(2) 判断三条线段能否组成三角形.(3)利用三角形的三边关系解决含绝对值符号的化简问题. 最后让学生独立完成教材 P4 练习第 2 题，学生举手口答. 1.三角形的相关概念以及表示方法. 2.三角形按边分类. 3.三角形的三边关系. 第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 11.1.3 三角形的稳定性 【知识与技能】 (1)会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，并理解它们的含义. (2)通过画图，了解三角形的三条高所在的直线交于一点；三角形的三条中线交于一点 ——三角形的重心；三角形的三条角平分线交于一点. (3)了解三角形的稳定性. 【过程与方法】 经历折纸、画图等实践活动，认识三角形的高、中线与角平分线. 【情感态度与价值观】 培养学生的动手实践能力. (1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与 角平分线. (2)了解三角形的三条高所在的直线、三条中线与三条角平分线分别交于一点. (3)了解三角形的稳定性. (1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与 角平分线. (2)了解三角形的三条高所在的直线、三条中线与三条角平分线分别交于一点. (3)了解三角形的稳定性. 多媒体课件、直角三角尺、硬纸条、钉子 教师提出：同学们，我们以前学习过“过一点画已知直线的垂线”，谁能说一说是怎样 画的？(教师可让几名同学到黑板上演示一下，其他学生在作业本上画.教师要注意强调画法 的规范性) 教师进一步提出问题：过三角形的一个顶点如何画三角形的高？这节课我们就来研究这 个问题(教师板书） 探究 1：三角形的高 教师让学生动手画出一个锐角三角形的高，然后找学生描述三角形的高的画法与定义. 教师总结三角形的高的定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形 的高.如图 11-1.2-1，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，所以 AD 是△ABC 的一条高. 教师引导学生注意垂直符号的书写. 接着，教师提出问题：想一想，一个三角形有几条高？ 然后教师要求学生动手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 要求学生作出它们的高，最后同学间进行交流. 教师点评学生的作法后出示投影(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形以及它们的高， 如图 11-1.2-2)，并出示结论： 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高. 教师继续让学生观察：每个三角形的三条高有什么位置关系？小组之间进行讨论、交流， 然后归纳结果： 锐角三角形的三条高在三角形的内部，相交于一点；直角三角形有两条高与直角边重合， 另一条高在三角形的内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形的外部， 一条高在三角形的内部，三条高不相交，但三条高所在的直线相交于三角形外一点. 教师进一步让学生练习：教材 P5 练习第 1 题. 探究 2：三角形的中线 教师提问：你能画一条线段将三角形的面积平分吗？ 教师先让学生思考、尝试，再引出这条线段就是三角形的另一条特殊的线段——三角形 的中线.教师紧接着指出三角形的中线的定义： 连接三角形顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部 分，最后教师点评并说明：中线可以把这个三角形分成两个等底等高的三角形，所以这两个 三角形的面积相等.接着让学生任意画出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，然后分 析这三条中线的位置关系，同桌之间互相讨论、交流.(教师多让几位同学发言，分别指出他 们画出的是什么样的三角形，这样三角形的任意性就有了) 师生共同总结：任意三角形的三条中线都交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形 的重心.教师出示几何语言表述： (由中线推线段相等)如图 11-1.2-3，AD 是△ABC 的边 BC 上的中线(已知)，所以 BD=DC=12BC 或 BC=2BD=2DC 或 D 为 BC 的中点. 图 11-1.2-3(由线段相等推中线)如图 11-1.2-3，因为 BD=DC=12BC 或 BC=2BD=2DC 或 D 为 BC 的中点(已知)，所以线段 AD 为边 BC 上的中线(三角形的中线的定义). 最后教师将这部分知识进行归纳： (1)一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，相交于一点. (2)三角形的中线是一条线段. (3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 探究 3：三角形的角平分线 教师指出三角形的角平分线的定义，然后仿照三角形的高或中线的教学过程，安排学生 画一画，并相应地提出类似的问题.学生动手操作，然后交流、探讨，师生共同归纳总结： (1)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点. (2)三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线. 最后教师强调：三角形的高、中线、角平分线都是线段. 教师出示例题： 如图 11-1.2-4，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线. (1)画出△BED 中 BD 边上的高; (2)若△ABC 的面积为 60，BD=5，求点 E 到 BC 边的距离. 教师带领学生进行分析，让学生自主完成第(1)问，教师给出第(2)问的规范解答过程. 分析：(1)△BED 是钝角三角形，BD 边上的高在 BD 边的延长线上.(2)先根据三角形的中 线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED 的面积，再求出点 E 到 BC 边的距离即可. 解：(1)如图 11-1.2-5，EF 即为△BED 中 BD 边上的高. (2)因为 AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线，S△ABC=60, 所以 S△BED=12S△ABD=14S△ABC=15. 因为 BD=5，所以 EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6， 即点 E 到 BC 边的距离为 6. 教师进一步让学生练习：教材 P5 练习第 2 题. 探究 4：三角形的稳定性 教师把学生分成四人一组，发给他们三张硬纸条、三枚钉子，分组合作探究实验. 教师出示实验(投影)：如图 11-1.2-6，把三张硬纸条用钉子钉成一个三角形，然后扭 动它，它的形状会改变吗？这说明什么问题？ (教师巡回检查，并指导，指定个别同学归纳结论) 师生共同总结：三角形具有稳定性. 教师让学生举手发言：在现实生活中，三角形的稳定性有哪些方面的应用呢？举例子说 明. (对于学生的发言，只要符合实际，教师都要给予肯定) 图 11-1.2-7 表示其中的一些例子. 教师接着类比三角形的方法，与学生一起探究四边形、五边形是否具有稳定性，并且寻 找使四边形、五边形具有稳定性的方法，最后师生共同总结：三角形的稳定性是三角形特有 的性质，除三角形以外的多边形都不具有稳定性，要使其稳固，可以引入三角形.三角形在 生产、生活中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形的形状. 教师进一步让学生练习：教材 P7 练习. 1.三角形的高、中线、角平分线的定义及画法. 2.运用三角形的高、中线、角平分线可得到相等的线段和相等的角. 3.三角形具有稳定性，多边形不具有稳定性. 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 课时一 三角形的内角 【知识与技能】 理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题. 【过程与方法】 经历探究活动的过程，得出三角形内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理. 【情感态度与价值观】 通过观察、归纳、推理得出数学猜想，体验数学充满探索性、创造性. 三角形内角和定理. 三角形内角和定理的证明过程. 多媒体课件、三角形硬纸片、剪刀. 教师提问：我们知道，任意一个三角形的内角和等于 180°，怎样证明这个结论的正确 性呢？在小学，我们是通过测量或剪拼的方法进行验证，但我们不可能对所有的三角形都进 行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于 180°的方法呢？ (引发学生思考，教师板书本节课的课题) 教师让学生拿出提前准备好的三角形硬纸片. 在图 11-2.1.1-1（1）中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角， 出现一条过点 A 的直线 l,移动后的∠B 和∠C 各有一条边在直线 l 上.想一想，直线 l 与△ ABC 的边 BC 有什么关系？由这个图你能想出证明“三角形的内角和等于 180°”的方法吗？ 由上述剪拼过程得到启发，过△ABC 的顶点 A 作直线 l 平行于△ABC 的边 BC（图 11-2.1.1-1），那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于 180°” 这个结论. 最后师生共同归纳：三角形的内角和等于 180°. 探究 2：三角形内角和定理的证明 教师出示投影： 已知：△ABC，如图 11-2.1.1-2. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 教师引导学生借助拼接的方法，进行小组讨论，借助辅助线进行解答，学生依据拼接的 方法进行讨论、交流，教师做好引导和指导工作. 思路一： 师生共同完成证明过程(并板书)： 证明：如图 11-2.1.1-3，过点 A 作 DE∥BC. ∴∠B=∠1，∠C=∠2(两直线平行，内错角相等). ∵∠BAC+∠1+∠2=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°， 即三角形的内角和为 180°. 教师强调：添加辅助线是将三角形的三个内角转化为一个平角，再利用平行线的性质进 行证明. 思路二： 教师提问：结合其他的拼接方法，你还能得到怎样的证明方法？还有其他的证明方法 吗？学生根据已有的证明方法和拼接经验，自主思考三角形内角和定理的证明过程，最后小 组讨论，师生交流得到证明方法，学生书写证明过程(可模仿思路一的书写过程).教师可给 出参考，如图 11-2.1.1-4(1)(2)(3). 师生总结并板书：三角形内角和定理，即三角形三个内角的和等于 180°. 教师分别出示教材 P12 例 1、例 2： 例 1 如图 11-2.1.1-5，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是△ABC 的角平分线. 求∠ADB 的度数. 教师引导学生思考：(1)要求∠ADB 的度数，只要求出哪个角的度数就可以？(2)此题的 解答都要利用哪些定理？ 学生独立完成解题过程，并与课本上的过程进行对照. 解：由∠BAC=40°，AD 是△ABC 的角平分线，得 ∠BAD=12∠BAC=20°. 在△ABD 中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 教师点拨：解决求某个角的度数的问题，一般先分析这个角是哪一个三角形的内角，其 他两个角是否已知度数或已知三个角之间的数量关系，再利用三角形内角和定理进行求解. 例 2 图 11-2.1.1-6 是 A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80°方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40°方向.从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多 少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 教师分析：A，B，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角.如果能 求出∠CAB，∠ABC 的度数，就能求出∠ACB 的度数. 教师板书解题过程. 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由 AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°. ∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°， ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC 中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°. 答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°，从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 教师点拨：解答此题的关键是明确方向角的定义，知道题目所给出的角的度数，再运用 平行线的性质和三角形内角和定理解答. 1.三角形内角和定理的证明. 2.会运用三角形内角和定理求三角形中内角的度数. 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 课时二 直角三角形的性质 【知识与技能】 (1)会用符号和字母表示直角三角形. (2)掌握“直角三角形的两个锐角互余”的性质. (3)能用“有两个角互余的三角形是直角三角形”对三角形进行判定. 【过程与方法】 通过三角形内角和定理得出直角三角形的性质，使学生体会从一般到特殊的方法. 【情感态度与价值观】 发展学生的逻辑推理能力，激发学生学习的热情. 探索并掌握直角三角形的性质定理和判定定理.. 有关直角三角形的推理表述及性质定理和判定定理的应用 多媒体课件. 教师提问： (1)三角形的内角和为多少？ (2)在△ABC 中，∠C=90°，∠A 与∠B 有什么数量关系？ (学生口答，教师引入本节课题，并板书) 探究 1：直角三角形的表示方法 教师提问：三角形 ABC 表示成△ABC，直角三角形应该如何表示呢？ 学生先自主思考后，教师直接给出：直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如图 11-2.1.2-1，直角三角形 ABC 的表示方法为 Rt△ABC，直角的两边叫作直角边，直角所对的 边叫作斜边. 教师提问：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∠A 等于多少度？有没有简单的方法 计算这道题呢？下面我们来研究直角三角形的性质. 活动一：根据以上问题，教师指导学生借助三角尺进行分析、计算，学生得出∠A=60°， 教师引导学生总结∠A 和∠B 之间的关系. 活动二：请同学们画一个 Rt△ABC，其中∠C=90°，用量角器分别量出∠A，∠B 的度数， 并且求出∠A+∠B 的值. 教师追问：通过对问题的计算你们发现∠A 和∠B 有什么关系？ 学生讨论后，小结得出：直角三角形的两个锐角互余. 教师继续追问：结合图形，你们能写出已知、求证和证明吗？ 学生回答，教师板书(如下)，师生共同完成证明过程.同时教师指出，经过证明的这个 结论被称为“直角三角形的性质定理”. 已知：Rt△ABC，∠C=90°. 求证：直角三角形的两个锐角互余. 证明：如图 11-2.1.2-2，在 Rt△ABC 中， ∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)， 且∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， 即直角三角形的两个锐角互余. 最后教师强调以后我们在求直角三角形中锐角的度数时，就可以直接利用直角三角形的 这个性质进行解答，而不必再用三角形的内角和定理. 教师出示教材 P14 例 3： 如图 11-2.1.2-3，∠C=∠D=90°，AD，BC 相交于点 E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为 什么？ 分析：要想找出∠CAE 与∠DBE 的关系，它们不在同一个三角形中，通过观察可知它们 是两个不同的直角三角形中的锐角，只要找出另外两个锐角的关系即可. 师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程： 解：在 Rt△ACE 中，∠CAE=90°-∠AEC. 在 Rt△BDE 中，∠DBE=90°-∠BED. ∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE. 探究 3：直角三角形的判定 教师提出问题：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角 互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 学生独立思考，然后小组讨论、交流，形成结论，汇报交流结果，教师做好指导和评价. 教师请一名学生书写推理过程: 如图 11-2.1.2-4，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理). ∵∠A+∠B=90°(已知)， ∴∠C=90°， ∴△ABC 是直角三角形(直角三角形的定义). 教师最后总结：有两个角互余的三角形是直角三角形. 之后安排学生完成教材 P14 练习第 2 题，教师请一名学生进行板演，然后进行点评. 1.直角三角形的表示方法. 2.直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余. 3.直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形. 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.2 三角形的外角 【知识与技能】 (1)理解三角形外角的定义，并能识别三角形的外角. (2)掌握三角形外角的性质. (3)能利用三角形外角的性质解决问题. 【过程与方法】 使学生在操作过程中，探索并了解三角形的外角的性质，并能利用学过的定理证明这个 性质. 【情感态度与价值观】 能面对数学活动中的困难，增强学好数学的自信心. 三角形外角的性质. 三角形外角的性质的证明过程. 多媒体课件. (教师出示投影)如图 11-2.2-1，在足球场上，小罗在 E 处受到阻挡需要传球，请帮助 他作出选择，应传给在 B 处的球员还是在 C 处的球员，其射门才不易射偏？(不考虑其他因 素) 观察图中哪个角不同于其他的角？(教师引入新课，板书课题) 探究 1：三角形外角的定义 教师提出问题：1.观察情境导入中的图形，∠ACB 与∠ACD 在位置上有什么关系？ 2.对于∠ACB 而言，∠ACD 在△ABC 的内部还是外部？ 学生回答教师所提出的问题，继而师生共同总结三角形外角的定义： 像∠ACD 这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 探究 2：三角形外角的性质 教师让学生自学教材 P15 思考的内容，然后让学生分小组进行交流、讨论，从而归纳三 角形的外角有什么性质，并且提出以下问题： 能否用证明的方法说明所归纳的性质？ 让学生先自己去尝试说一说，互相讨论、交流，再安排学生当堂发言.师生共同纠正叙 述过程中的不当之处. 最后教师总结并板书三角形外角的性质： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 教师出示教材 P15 例 4： 如图 11-2.2-2，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 教师先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的 内角，然后师生共同写出规范的解答过程. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF= ∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3). 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. 接着教师布置练习：教材 P15 练习，学生举手回答. 1.三角形外角的定义. 2.三角形外角的性质：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的外角和等于 360°； (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 第十一章 三角形 11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形 【知识与技能】 (1)了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念. (2)区别凸多边形与凹多边形. 【过程与方法】 通过对多边形的概念的探究，使学生体会从特殊到一般的认识问题的方法. 【情感态度与价值观】 接触社会环境中的数学信息，认识到数学既来源于生活，又服务于生活，提高学生学习 数学的积极性. 多边形及有关概念. 区分凹、凸多边形. 多媒体课件. 教师提出问题：(1)什么是三角形？ (2)与三角形有关的线段有哪些？ (3)与三角形有关的角有哪些？ 学生抢答，教师指导、点评. 探究 1：多边形的概念 教师出示问题： 1.观察图 11-3.1-1 中的图片，说说它们是由哪些基本图形组成的. 2.你们能说出生活中的多边形吗？ 学生观察图片并进行讨论、交流，之后学生自由发言.在这一过程中，教师应当关注学 生能否积极地参与到活动中，是否能认真观察、敢于发言，最后教师指明相关的概念： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.多边形按组成它的线 段的条数分为三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形. 教师强调：对于定义应抓住四点：①在平面内；②一些线段；③首尾顺次相接；④封闭 图形. 探究 2：多边形的相关概念 教师引入：在三角形中，我们专门研究了它的内角、外角，类似地，你们能结合图 11-3.1-2 指出这个多边形的内角和外角吗？ 学生观察教师给出的图形，然后思考回答：∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠E，∠F 是六边 形的内角，∠DCM 是六边形的一个外角. 教师进而指出： 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角 叫作多边形的外角. 问题：什么是多边形的对角线？三角形有几条对角线？四边形、五边形、六边形……n 边形呢？ 教师给出多边形对角线的概念，然后提出问题，组织学生进行讨论、探究. 教师可以根据图形适当向学生提示：过四边形的一个顶点可以画几条对角线，四边形一 共有几条对角线？ 过五边形的一个顶点可以画几条角线，五边形一共有几条对角线？六边形呢？这里有什 么规律吗？ 归纳：多边形的对角线的条数是 ，这里的 n 指的是多边形的边数. (教师出示例题) 例 1 若一个多边形自一个顶点引对角线可把它分割为六个三角形，则这个多边形是几边 形？ 教师分析：解答此类问题可以运用对角线条数的计算过程进行分析，也可以画图进行分 析，明确对角线是不相邻的两个顶点之间的线段，所以由 n 边形的一个顶点出发，可作(n-3) 条对角线，即可分(n-2)个三角形. 分析完之后，师生共同解答，教师板书解答过程： 解：设该多边形的边数为 n.因为过 n 边形的一个顶点有(n-3)条对角线，它们把 n 边形 分割成了(n-2)个三角形，所以 n-2=6，解得 n=8， 所以这个多边形是八边形. 探究 3：凸、凹多边形及正多边形的概念 教师引入问题：你们能说出图 11-3.1-3 中的两个四边形的异同点吗？ 教师引导学生分析得出，在图(1)中，画出四边形 ABCD 的任何一条边所在的直线，整个 四边形都在这条直线的同一侧；在图(2)中，画出边 CD 所在的直线，整个四边形不都在这条 直线的同一侧.教师介绍，学生总结，得出凸多边形和凹多边形的定义. 凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一 侧，那么这个多边形就是凸多边形. 凹多边形：画出多边形的某一条边所在的直线，如果整个多边形不都在这条直线的同侧， 那么这个多边形就是凹多边形. 教师在黑板上任意画一个多边形，让学生判断其属于哪一类多边形. 教师引入：我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等，像正方形这样，各个角 都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形.图 11-3.1-4 是正多边形的一些例子： 多媒体展示：正三角形、正方形、正五边形等. (教师出示例题) 例 2 若一个正六边形的周长为 36 cm，请求出它的边长. 师生共同分析：正六边形有六条边，且每条边都相等. 然后让一名学生进行板演，其余学生在草稿本上进行解答，做完之后，教师点评. 解：因为正多边形的边长相等， 所以正六边形的六条边都相等， 所以它的边长为 36÷6=6(cm). 1.多边形的概念. 2.多边形的对角线的条数： (n 指的是多边形的边数). 3.凸、凹多边形及正多边形的概念. 第十一章 三角形 11.3 多边形及其内角和 11.3.2 多边形的内角和 【知识与技能】 掌握多边形的外角和及内角和公式. 【过程与方法】 (1)通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到 一般认识问题的方法. (2) 通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方 法，并有效地解决问题. 【情感态度与价值观】 通过学生间交流，进一步激发学生的学习热情与求知欲望，养成良好的数学思维品质. 探索多边形的内角和公式及外角和. 如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和. 多媒体课件. 出示问题 1：你还记得三角形的内角和是多少吗？ 学生思考并回答问题，教师提出问题并对学生的回答进行总结： 三角形的内角和等于 180°. 出示问题 2：正方形、长方形的内角和是 360°，那么任意一个四边形的内角和是否等 于 360°呢？能证明你的结论吗？ 学生在独立探究的基础上，分组交流、探讨，汇总解决问题的方法.教师深入小组参与 活动，指导、倾听学生交流，可以在测量、拼图的基础上引导学生利用添加辅助线的方法把 四边形转化为三角形 . 探究 1：五、六边形的内角和 教师引入：解决四边形的内角和时，连接了对角线，你们知道连接对角线起到了什么作 用吗？ (学生举手回答)将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题转化为两个三 角形的所有内角和的问题. 接着教师提出问题：类比前面的过程，你知道五边形的内角和是多少吗？六边形呢？十 边形呢？你是怎么得到的？ 学生先独立思考每个问题，再分组活动，最后总结如图 11-3.2-1. 结论：从五边形的一个顶点出发可以作 2 条对角线，将五边形分割为 3 个三角形，得到 五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,同理六边形的内角和为(6-2)×180°=720°. 教师进一步启发学生从顶点或边或多边形内部分割多边形，进而得到多边形的内角和. 探究 2：多边形内角和的计算公式 教师提出问题：你能从四边形、五边形、六边形的内角和的探究过程获得启发，发现多 边形的内角和与边数的关系吗？能证明你发现的结论吗？你知道 n 边形的内角和吗？ 学生在独立思考的基础上分组活动，推导出 n 边形可以转化为(n-2)个三角形，发现和 概括出几边形的边数与内角和之间的关系，归纳总结 n 边形的内角和公式，即(n-2)×180°. 教师和学生互相交流，共同归纳总结： 多边形的内角和公式：n 边形内角和等于(n-2)×180°. 教师出示教材 P22 例 1： 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 师生共同分析：由多边形的内角和公式可知，四边形的内角和为 360°.若其中两个角 的和为 180°，则可得到另外两个角的和也为 180°. 分析完之后，师生共同解答，教师板书： 解：如图 11-3.2-2，在四边形 ABCD 中，∠A+∠C=180°. ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°, ∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°. 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 探究 3：多边形的外角和 教师出示教材 P22 例 2： 如图 11-3.2-3，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作六边形的外 角和.六边形的外角和等于多少？ 教师提出三个问题： (1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？ (2)六边形的六个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？ (3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？ 让学生观察图形，思考这三个问题，然后师生共同解答： 解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于 180°，因此六边形的六个外角 加上与它们相邻的内角，所得总和等于 6×180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角 和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于 6×180°-(6-2)×180°=2×180° =360°. 接着教师让学生探究、总结多边形的外角和.学生分组交流、探究、总结多边形的外角 和.教师进行指导、点拨，最后得出多边形的外角和：多边形的外角和等于 360°. 最后教师归纳多边形内角和与外角和的作用： (1)内角和公式的作用：①已知边数，求内角和.②已知内角和，求边数. (2)外角和的作用：①已知各相等外角的度数，求多边形的边数.②已知多边形的边数， 求各相等外角的度数. 教师让学生完成教材 P24 练习第 1，3 题，完成之后，教师进行简单点评. 1.多边形的内角和公式：n 边形内角和等于(n-2)×180°. 2.多边形的外角和等于 360°. 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 【知识与技能】 (1)了解全等形及全等三角形的概念. (2)理解全等三角形的性质. 【过程与方法】 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直观. 【情感态度与价值观】 (1)让学生观察、发现生活中的全等三角形并体验在实际操作中获得全等三角形的喜悦. (2)在运用全等三角形的性质的过程中感受数学活动的乐趣. 全等三角形的概念及性质. 掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速、正确地指出两个全等三 角形的对应元素. 多媒体课件、剪刀 教师引入：一位哲学家曾经说过“世界上没有完全相同的两片叶子”，但是在我们的周 围，却有着好多形状、大小完全相同的图案.你能举出这样的例子吗？ 学生口答，教师点评并引入本节新课. 探究 1：全等形及全等三角形的相关概念 教师让学生完成以下活动： 1.动手做. (1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能够重合吗? (2)把手中的直角三角尺按在纸上，画出三角形，并裁下来，把直角三角尺和纸三角形 叠放在一起，观察它们能够重合吗? 然后学生得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念： 能够完全重合的两个图形叫作全等形，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.(教 师板书) 2.观察. 观察图 12-1-1 中△ABC 与△A′B′C′重合的情况. 师生共同总结对应顶点、对应边、对应角的概念： 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重 合的角叫作对应角. 然后教师指出：全等的符号“≌”，读作“全等于”.教师强调：记两个三角形全等时， 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC≌△ DEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE，BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边；∠A 和∠D，∠B 和∠E，∠C 和∠F 是对应角. 接着教师出示例题： 例 1 如图 12-1-2，已知△ABN≌△ACM，∠B 和∠C 是对应角，AB 和 AC 是对应边.写出其 他的对应边及对应角. 师生共同分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABN 和△ACM 从复 杂的图形中分离出来.根据元素位置来找对应元素，再依据已知的对应元素找出其余的对应 元素.然后学生自主完成. 解：对应角为∠BAN 与∠CAM,∠ANB 与∠AMC. 对应边为 AM 与 AN，BN 与 CM. 探究 2：全等三角形的性质 教师让学生把△ABC 沿直线 BC 分别进行平移、翻折、绕定点旋转，然后观察图形的大 小、形状是否发生变化(如图 12-1-3). 师生共同得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和 形状. 教师追问：那么在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？ 学生先思考，再小组交流，得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等.(教师板书) 接着教师出示例题： 例 2 已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC 的周长为 23 cm，BC=4 cm，求 DE 的长. 教师引导学生先画出图形，再进行分析，然后师生共同完成，教师板书： 解：因为△ABC 的周长为 23 cm，BC=4 cm，AB=AC， 所以 AB=AC=(23-4)÷2=9.5(cm). 因为△DEF≌△ABC，∴DE=AB=9.5 cm. 教师强调：运用全等三角形的定义和性质时，要注意规范书写格式. 1.能够完全重合的两个图形叫作全等形.能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边,重合的角叫作对应角.全等三角形的对应边 相等，对应角相等. 2.找全等三角形对应元素的方法,注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等. 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时 1 “边边边（SSS）” 【知识与技能】 (1)明确判定两个三角形全等至少需要三个条件. (2)掌握“边边边(SSS)”条件的内容. (3)能初步运用“边边边(SSS)”条件判定两个三角形全等. (4)会作一个角等于已知角. 【过程与方法】 使学生经历探索三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程.【情感态 度与价值观】 探究三角形全等条件的判定过程，以观察思考，动手画图，合作交流等多种形式让学生 共同探讨，培养学生的合作精神. 三角形全等的“边边边（SSS）”判定方法. 运用“边边边(SSS)”判定方法进行简单的证明. 多媒体课件. 教师引入：如图 12-2-1，教师在黑板上画两个三角形，请仔细观察，△ABC 与△A′B′ C′全等吗？你们是如何判断的？ 学生各抒己见，如动手用纸剪下一个三角形，将剪下的三角形叠到另一个三角形上，观 察这两个三角形是否完全重合；测量两个三角形的所有边与角，观察是否有三条边对应相等， 三个角对应相等. 探究 1：三角形全等的条件 教师提出：(1)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？ (2)如果给出两个条件呢?给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下画 出的三角形一定全等吗？ 学生讨论有几种可能的情况，然后按照下面的条件画一画： ①三角形的一个内角是 30°，一条边是 3 cm； ②三角形的两个内角分别是 30°和 50°； ③三角形的两条边长分别是 4 cm 和 6 cm. 学生分组讨论、画图、探索、归纳，最后以组为单位展示结果. 结果展示： (1)只给定一条边时，如图 12-2-2. 只给定一个角时，如图 12-2-3. (2)给出的两个条件：一边一内角、两内角、两边，如图 12-2-4. 可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等. 教师提出：如果给出三个条件画三角形，你能说出有几种情况吗?(三条边，两条边和一 个角，一条边和两个角，三个角)在刚才的探索过程中，我们已经发现，已知三个内角不能 保证两个三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.(这节课只讨论第一种情况) 探究 2：“边边边(SSS)” 教师让学生完成以下活动： 1.任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得 A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC. 教师先让学生思考三角形的画法，再师生共同总结： (1)画 B′C′=BC； (2)分别以点 B′，C′为圆心，线段 AB，AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 A′； (3)连接 A′B′，A′C′，如图 12-2-5. 2.把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC 上，它们能完全重合吗？(即全等吗？) 3.学生拿出直尺和圆规，按上面的要求作图并验证. 教师在此过程中巡视、指导. 进一步提出问题：作图的结果反映了什么规律？ 学生在思考、实践的基础上，归纳出判定三角形全等的方法.教师板演：三边分别相等 的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 教师出示教材 P36 例 1： 在如图 12-2-6 的三角形钢架中，AB=AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架.求证：△ ABD≌△ACD. 师生共同分析：要证明△ABD≌△ACD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等.注 意：题目中的隐含条件是 AD 是公共边(AD 既是△ABD 的边又是△ACD 的边，我们称它为这两 个三角形的公共边). 分析完之后，师生共同证明，教师板书过程： 教师总结证明三角形全等的书写格式可分为三部分：一是全等条件的证明；二是罗列两 个三角形全等的条件；三是写三角形全等的结论.这里要求注明判定方法.(注意强调书写过 程的严谨性). 探究 3：作一个角等于已知角 教师：由三边分别相等判定三角形全等的结论还可以得到用直尺和圆规作一个角等于已 知角的方法. 师生共同展示： 已知：∠AOB. 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB. 作法：(1)如图 12-2-7，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； (2)画一条射线 O′A′，以点 O′为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′A′于点 C′； (3)以点 C′为圆心，CD 长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点 D′； (4)过点 D′画射线 O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB. 完成之后，教师让学生进行练习：教材 P37 练习第 1，2 题(学生首先独立思考，然后让 两名学生板演，最后教师点评). 1.三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.利用两个三角形全 等可进行一些相关的计算和证明. 2.尺规作图：作一个角等于已知角. 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时 2 “边角边（SAS）” 【知识与技能】 (1)掌握“边角边(SAS)”条件的内容. (2)能初步运用“边角边(SAS)”条件判定两个三角形全等. (3)知道两个三角形具备两边和一对角相等时，不一定全等. 【过程与方法】 使学生经历探索三角形全等的过程，培养学生观察图形、分析图形以及动手操作的能力. 【情感态度与价值观】 通过探究三角形全等条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良 好品质及发现问题的能力. 对“边角边(SAS)”条件的理解和应用. 运用“边角边(SAS)”判定方法进行简单的证明. 多媒体课件. 教师出示投影，让学生认识卡钳： 如图 12-2-8，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)， 在图中，利用这个工具就可以测量工件内的槽宽，你们能解释其中的道理吗？ 学生思考之后进行简单的回答，教师点评并引入本节课题.(板书) 教师：上节课我们学习了三边分别相等的两个三角形全等，如果已知两个三角形的两条 边及一个角对应相等，那么能判定这两个三角形全等吗？ 探究 1：两边及其夹角分别相等〔“边角边(SAS)”〕 教师让学生完成以下活动： 图 12-2-91.先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使 A′B′=AB，A′C′=AC， ∠A′=∠A(即两边和它们的夹角相等). 师生共同分析：要画一个三角形，首先要确定这个三角形的三个顶点. 然后教师出示作法，学生独立完成： 如图 12-2-9，(1)画∠DA′E=∠A； (2)在射线 A′D 上截取 A′B′=AB，在射线 A′E 上截取 A′C′=AC； (3)连接 B′C′. 2.引导学生剪下三角形，看是不是与原三角形全等. 师生共同得出结论：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边” 或“SAS”). 教师补充：也就是说，如果三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定，那么这个 三角形的形状、大小就能确定.用符号语言表示为(教师板书)： 教师强调：“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角. 教师从而解决情境导入中的问题，卡钳测量工件内的槽宽的原理是利用全等三角形的对 应边相等，把不能直接测量的物体“移”到可以直接测量的位置进行测量. 接着教师出示投影，让学生完成这道练习题(学生口答)： 图 12-2-10 中全等的三角形有(D). 探究 2：两边及其邻角分别相等(边边角) 教师提出：如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其邻角分别相等”，即“两 边及其中一边的对角相等”，那么这两个三角形还全等吗？ 学生分小组进行讨论，教师在此过程中及时点拨，画出反例图形，如图 12-2-11. 学生通过反例说明“已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”不一定成 立(即 SSA 不一定成立). 教师出示教材 P38 例 2： 如图 12-2-12，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和 B.连接 AC 并延长到点 D，使 CD=CA.连接 BC 并延长到点 E， 使 CE=CB.连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A，B 的距离，为什么？ 教师引导学生把实际问题转化为数学问题，然后师生共同分析：如果能证明△ABC≌△ DEC，那么就可以得出 AB=DE.由题意可知，△ABC 和△DEC 具备“边角边”的条件. 师生共同解答，教师板书过程： 最后教师总结：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以在证明线段相等或角 相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 教师让学生完成：教材 P39 练习第 1，2 题.让学生在黑板上板演，教师点评，并强调证 明过程的规范书写. 1.运用“边角边(SAS)”判定两个三角形全等，注意“边边角”不能判定两个三角形全 等. 2.判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角. 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时 3 “角边角（ASA）”“角角边（AAS）” 【知识与技能】 (1)掌握“角边角(ASA)”及“角角边(AAS)”条件的内容. (2)能初步运用“角边角(ASA)”及“角角边(AAS)”条件判定两个三角形全等.【过程 与方法】 使学生经历作图、证明等探究过程，从而提高学生分析、作图、归纳、推理等能力. 【情感态度与价值观】 通过探索和动手操作的过程，体会数学思维的乐趣，激发应用数学的意识，通过合作交 流，培养合作意识，体验成功的喜悦. 掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法. 运用“角边角”“角角边”的判定方法进行简单的证明. 多媒体课件. 1.复习旧知： (1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ (2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？分别是什么？ 学生举手回答，教师点评并表扬. 2. 教师引入：在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，接着探究 已知两角一边是否可以判定两三角形全等.(板书课题) 教师：已知两角和一边对应相等有两种情况，首先我们研究第一种情况，即两角及这两 角的夹边对应相等. 探究 1：“角边角(ASA)” 教师提出问题：如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，那么这两个三角形全 等吗？ 学生完成以下活动： 1.先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得∠A′=∠A，∠B′=∠B，A′B′=AB. 教师指导△A′B′C′的作法： 如图 12-2-14，(1)作线段 A′B′，使 A′B′=AB； (2)分别以 A′，B′为顶点，A′B′为一边在 A′B′的同旁画∠DA′B′，∠EB′A′， 使∠DA′B′=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA； (3)射线 A′D 与 B′E 相交于一点，记为点 C′，即可得到△A′B′C′. 2.将画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，发现两个三角形全等. 3.教师让学生模仿上一节所学的“边角边”定理，用一句话来总结一下：两角和它们的 夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 教师补充：也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形 的形状、大小就确定了. 教师出示教材 P40 例 3： 如图 12-2-15，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，∠B= ∠C.求证：AD=AE. 师生共同分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出 AD=AE. 学生写出证明过程，教师点评. 探究 2：“角角边(AAS)” 教师提出问题：如果把“两角和它们的夹边分别相等”改为“两角及邻边分别相等”， 即“两角分别相等且其中一组等角的对边相等”，两个三角形还全等吗？ 教师出示教材 P40 例 4： 如图 12-2-16，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF. 教师引导学生分析题目中的已知条件，让学生思考解题思路：如果能证明∠C=∠F，就 可以利用“角边角”证明△ABC 和△DEF 全等，由三角形的内角和定理可以证明∠C=∠F. 学生分小组交流想法，教师点评.师生共同完成证明过程，教师板书： 证明：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠A-∠B. 同理∠F=180°-∠D-∠E.又∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C=∠F. 在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F， ∴△ABC≌△DEF(ASA). 教师：我们从这道例题可以得到两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的 对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了. 教师紧接着让学生完成 P41 练习第 1，2 题.学生板演，教师点评. 教师最后总结：(1)已知两个三角形的两组角对应相等，要证明这两个三角形全等，应 选择判定方法“ASA”或“AAS”.(2)在运用“ASA”或“AAS”判定三角形全等时，同样要注 意题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等. 最后，教师提出：到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全 部结束.然后让学生把两个三角形全等的判定方法做一个小结.学生自我回忆总结，然后小组 讨论、交流，补充： 边边边(SSS),边角边(SAS),角边角（ASA）,角角边(AAS). 1.用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等. 2.用三角形全等来证明线段或角相等. 3.到目前已经学习了四种判定两个三角形全等的方法. 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时 4 “斜边 直角边（HL）” 【知识与技能】 (1)探索和了解直角三角形全等的条件——“斜边、直角边(HL)”. (2)会运用“斜边、直角边(HL)”判定两个直角三角形全等. 【过程与方法】 让学生在合作交流中获取知识，组织学生通过观察、发现、交流、体验、说理归纳等活 动，感知并掌握直角三角形的判定方法. 【情感态度与价值观】 通过创设情境，激发学生的求知欲，通过动手操作等活动，让学生乐于探究，培养学生 独立思考和合作交流的能力. 探究直角三角形全等的条件. 灵活运用直角三角形全等的条件进行证明. 多媒体课件. 教师出示投影：如图 12-2-18，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这 两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量其长度.你们 能帮他想个办法吗？ 学生思考之后，回答： 方法一：测量斜边和一个对应的锐角(“AAS”)； 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(“ASA”或“AAS”). 教师继续指出：工作人员只带了一把卷尺，他测量了两个三角形没有被遮住的直角边和 斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“这两个直角三角形是全等的”.你们相信他的结 论吗？ 学生回答：这两个三角形都是直角三角形，也许是全等的.因为它还有直角这个特殊条 件. 教师点评：有道理，但科学是严谨的，今天我们就来探究“两个直角三角形全等的条 件”.(板书课题) 探究 1：“斜边、直角边(HL)” 教师：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角 三角形就全等了? 教师出示教材 P42 探究 5： 师生共同按照下面的步骤做一做(如图 12-2-19)： 画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 图 12-2-19(1)画∠MC′N=90°； (2)在射线 C′M 上截取 B′C′=BC； (3)以点 B′为圆心，AB 长为半径画弧，交射线 C′N 于点 A′； (4)连接 A′B′. 教师提问：Rt△A′B′C′就是所求作的三角形吗？ 接着让学生把画好的 Rt△A′B′C′剪下来放在 Rt△ABC 上，观察这两个三角形是否全 等. 学生由此可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的 两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).教师出示教材 P42 例 5： 如图 12-2-20，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC=BD.求证：BC=AD. 师生共同分析：要想证明 BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△BAD 和△ABC，△ADO 和△BCO，其中 O 为 DB，AC 的交点，经过对条件的分析，发现△ABD 和△BAC 具备全等的条件. 师生共同完成证明过程，教师板书： 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. 教师接着提问：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？ 学生回答：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅能用一般三角形判定全等的方法“SAS” “ASA”“AAS”“SSS”，还能用直角三角形独有的判定全等的方法——“HL”. 最后教师总结：对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或两条直角边分别相 等，则这两个直角三角形全等.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形也 全等.在判定三角形全等的各个条件中，一个必要的条件为至少有一条边对应相等.判定两个 三角形全等时，要注意对应边、角的相对位置关系，然后按照以下思路寻求解题方法： （1）已知两边找夹角→SAS 找直角→HL 找第三边→SSS （2）已知两角找夹边→ASA 找一角的对边→AAS （3）已知一边一角边为角的对边→找一角→AAS 边为角的邻边找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS 找夹角的另一边→SAS 紧接着，让学生完成：教材 P43 练习第 1，2 题.(学生板演，教师点评) 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或 “HL”). 2.直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它.同时，直角三 角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法，所 以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 课时一 角的平分线的性质 【知识与技能】 (1)掌握已知角的平分线的画法. (2)利用角的平分线的定义进行简单的证明与计算. (3)利用全等三角形证明角的平分线. (4)掌握角的平分线的性质. (5)了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用. 【过程与方法】 经历角的平分线的画法和角的平分线的性质的探索过程，体会探索、研究问题的基本方 法，培养学生的合作精神，体会转化的数学思想，感受数学来源于生活. 【情感态度与价值观】 在探究角的平分线的作法及性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣,获得解决问题的 成功体验，增强解决问题的信心. 角的平分线的性质，能灵活运用角的平分线的性质解题. 灵活运用角的平分线的性质解题. 多媒体课件. 复习引入教师提出问题： 1.角的平分线的概念. 2.点到直线(射线)的距离的概念. 学生举手回答. 探究 1：角的平分线的画法 教师引入：工人师傅常常用一种简易平分角的仪器(如图 12-3-1)，其中 AB=AD，BC=DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是∠DAB 的 平分线.你能说明它的道理吗？ 学生分组讨论，说明简易平分角仪器的原理，并写出证明过程.(教师提示：用全等三角 形的知识) 教师：其实这种平分角的方法告诉了我们作已知角的平分线的一种方法. 然后教师引导学生用尺规作图： 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 先让学生讨论作法，再由教师总结作法，师生共同作图： (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. (2)分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. (3)画射线 OC.射线 OC 即为所求，如图 12-3-2. 教师紧接着提出问题：你们能说明 OC 为什么是∠AOB 的平分线吗？ 学生进行交流，教师提示(可证明△MOC≌△NOC)，然后让学生写出证明过程.教师巡示 并指导. 探究 2：角的平分线的性质 教师让学生完成以下活动： 1.任意作一个∠AOB，作出∠AOB 的平分线 OC.在 OC 上任取一点 P，过点 P 画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？ 2.在 OC 上再取几个点试一试. 3.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 学生动手操作，独立思考，然后举手回答自己的发现，学生互相补充，教师指导，一起 概括出角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 教师进一步提问：你们能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 教师首先引导学生分析命题的条件和结论.如果学生感到困难，可以让学生先将命题改 写成“如果……那么……”的形式，再引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐 含条件(垂直).最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程. 接着师生共同概括证明几何命题的一般步骤：一般情况下，我们要证明一个几何命题时， 可以按照类似于以下的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 最后教师归纳：利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相 等，但在推导过程中，不要漏掉垂直关系的书写.以后涉及角的平分线上的点到角的两边的 垂线段时，可直接得到其相等，不必再通过证两个三角形全等而走弯路. 教师出示例题： 例 1 如图 12-3-3，在△ABC 中，∠C=90°，AM 平分∠CAB，BM=5.2 cm，点 M 到 AB 的距 离为 3 cm.求 BC 的长. 师生共同分析：只需补出点 M 到 AB 的距离，利用角的平分线的性质得到 CM=3 cm，从 而求出 BC 的长. 师生共同完成证明过程，教师板书： 解：过点 M 作 MN⊥AB 于点 N，∴MN=3 cm. ∵AM 平分∠CAB，∠C=90°， ∴CM=MN=3 cm. 又∵BM=5.2 cm， ∴BC=CM+BM=3+5.2=8.2(cm). 进而教师让学生独立完成：教材 P50 练习第 2 题(学生完成之后，教师点评). 本节课我们学习了角的平分线的性质是由三个条件(一条角平分线，两条垂线段)得到一 个结论(线段相等)，角的平分线的性质可独立地作为证明两条线段相等的依据. 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 课时 2 角的平分线的判定 【知识与技能】 掌握角的平分线的判定，能灵活运用角的平分线的判定解题. 【过程与方法】 通过学生自主探索、操作、领会和感悟角的平分线的判定，并能体会感性认识与理性认 识之间的联系与区别. 【情感态度与价值观】 通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学. 角的平分线的判定. 灵活运用角的平分线的判定解题. 多媒体课件. 教师出示教材 P49 思考： 如图 12-3-4，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路 与铁路的交叉处 500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为 1∶20 000)? 学生先自主思考，教师对学生的回答进行简单的点评，再将这个问题作为本节课开始的 一个悬念. 探究 1：角的平分线的判定 教师提出问题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么，到角的两 边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？探究新知让学生以四人为一个小组合作学习，动 手操作、探究，获得问题的结论.从实践中可知：角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 将条件和结论互换：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 教师指出条件和结论，学生叙述证明过程，教师板演： 已知：如图 12-3-5，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，PD=PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：经过点 P 作射线 OC，如图 12-3-5. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)， ∴∠DOP=∠EOP，即∠AOC=∠BOC， ∴OC 是∠AOB 的平分线. ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 然后教师解决情境导入中的那个问题，让学生根据上面的结论，确定这个集贸市场应该 建于何处.学生分组讨论后回答. 接着师生共同探究角的平分线的性质与判定的区别与联系： 角的平分线的性质说明了角的平分线上的点的纯粹性，即只要是角的平分线上的点，它 到此角的两边一定等距离，而无一例外；角的平分线的判定反映了角的平分线的完备性，即 只要是到角的两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个.在实际应用 中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等(角的平分线). 最后教师归纳角的平分线的作用：角的平分线的判定可以帮助我们证明角相等，使证明 过程简化.需要注意的是：在推导过程中，应注意垂直关系的书写，指明垂线段，并由垂线 段相等直接得到角相等，而不必再去证明三角形全等. 教师出示教材 P50 例题 如图 12-3-6，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的 距离相等. 教师分析：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段的长度表示距离，而证明距离相 等必须标出它们，所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理.如果已知中写明点 P 到三边的距离是哪些线段的长，那么图中画实线，在证明中就可以不写. 学生独立完成，并让一名学生板演，教师点评： 证明：如图 12-3-6，过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E， F. ∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴PD=PE. 同理可得,PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 教师点拨：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字 概括，省略详细的证明过程. 教师继续让学生思考：点 P 在∠A 的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么 关系? 学生独立思考后得到结论：点 P 在∠A 的平分线上，三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这一点到三角形三条边的距离都相等. 接着教师让学生独立完成：教材 P50 练习第 1 题(学生完成之后,教师点评). 1.角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 2.作用：证明角相等. 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.1 轴对称 【知识与技能】 (1)理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念. (2)了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某条直线对称的对应点. (3)掌握线段垂直平分线的概念. (4)理解和掌握轴对称的性质. 【过程与方法】 通过已知图形画对称轴及画轴对称图形，让学生体会轴对称图形的性质和轴对称在实际 生活中的应用. 【情感态度与价值观】 通过对轴对称图形和轴对称的认识，增强学生对对称美的认识，使学生感受数学带来的 美. 轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念. 轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的区别和联系. 多媒体课件、剪刀、长方形纸片 教师引入：我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品 的创作往往也从对称的角度考虑，自然界的许多动植物也按照对称形生长，中国的方块字中 有些也具有对称性，(教师利用投影出示一些图片，如图 13-1.1-1)……对称给我们带来很 多美的感受！ 其中轴对称是对称中重要的一种，那么这节课我们就学习轴对称.(教师板书课题) 探究 1：轴对称 教师提出问题：把一张长方形纸片对折，剪出一个图案，再打开，就剪出了美丽的窗花， 你能剪出什么样的窗花呢？ 教师先把长方形纸片对折，用剪刀剪出一个图案，再打开这个图案，让学生欣赏，然后 学生自己动手按要求剪纸.学生在观察、互相交流的基础上描述图形的特征，教师归纳轴对 称图形及轴对称的概念，并板书概念： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴 对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 然后教师让学生举出一些轴对称图形的例子. 教师出示例题： 例 1 在如图 13-1.1-2 所示的图形中，轴对称图形的个数是(B). 学生先独立思考,再口答哪些是轴对称图形，教师进行点评. 然后教师让学生完成：教材 P60 练习第 1 题.(学生口答，并在书上画出对称轴，标注它 们的一对对称点) 探究 2：两个图形成轴对称 教师提出问题：在教材 P59 图 13.1-3 中，每对图形有什么共同特征？ 你们能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？ 学生观察思考，并互相交流，发现其共同特征——每一对图形沿着虚线折叠，左边的图 形都能与右边的图形重合. 教师进一步说明：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那 么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应 点，叫作对称点. 然后教师让学生举出一些两个图形成轴对称的例子. 教师提出问题：(1)将教材 P58-59 图 13.1-2 和图 13.1-3 进行比较，轴对称图形与两个 图形成轴对称有什么区别？ (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？如果 把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？ 学生独立思考后，进行交流，然后学生代表发言. 教师根据学生回答的情况进行点评，最后师生共同归纳得出：把成轴对称的两个图形看 成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图 形关于这条轴对称. 接着，教师继续提出问题：(1)成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴 对称吗？为什么？ (2)在教材图 13.1-3 中，你能标出 A，B，C 的对称点吗？ 学生独立思考后，再展开讨论，教师参与学生的讨论，并及时指导. 然后教师让学生完成：教材 P60 练习第 2 题.(学生口答，并在书上画出对称轴，标注它 们的一对对称点) 最后教师总结： 探究 3：垂直平分线 教师出示问题：(1)观察教材 P59 图 13.1-4，线段 AA′，BB′，CC′与直线 MN 有什么 关系？ (2)在教材图 13.1-5 中，你能测量出线段 AA′，BB′与直线 l 的夹角吗？它们与直线 l 垂直吗？点 A 与点 A′到直线 l 的距离相等吗？点 B 与点 B′到直线 l 的距离呢？ 教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生汇报交流结果. 教师接着引导学生从观察三条线段与直线 MN 的位置关系，利用投影动画展示点 A 与点 A′等重合的情形，并指出：经过线段中点并垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直 平分线. 最后师生共同归纳： 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线. 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 1.概念：轴对称图形、两个图形关于某条直线对称、对称轴、对称点. 2.找轴对称图形的对称点. 3.垂直平分线. 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课时 1 线段的垂直平分线 【知识与技能】 (1)掌握线段的垂直平分线的性质和判定. (2)能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题. 【过程与方法】 经历线段垂直平分线的性质定理的证明过程，体验逻辑推理的数学方法. 【情感态度与价值观】 通过对线段垂直平分线的性质定理的探索，提高学生自主学习的能力，增强学好数学的 自信心. 线段的垂直平分线的性质和判定. 灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题. 多媒体课件、三角尺、无刻度的直尺、圆规 教师引入：上节课我们学习了线段垂直平分线的概念，并且我们也已经知道线段是轴对 称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，那么线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课 我们将研究它.(板书课题) 教师提出问题：已知线段 a，以 a 为底边的等腰三角形有几个？利用三角尺和刻度尺， 你能画出至少三个吗？ 教师利用三角尺、刻度尺作出线段的垂直平分线，在垂直平分线上取点、连线可得满足 条件的等腰三角形,并直接指出：在这里，我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等.那么这条性质又是怎么证明的呢？下面我们一起来研究. 探究 1：线段的垂直平分线的性质 教师让学生先根据这个命题画出图形(如图 13-1.2.1-1)，写出已知、求证. 学生完成之后教师提问：这是证明线段相等的命题，回忆以 前证明角的平分线的性质的方法，会得到什么启发？ 图 13-1.2.1-1 学生思考之后回答：可以利用“SAS”证明△PAC≌△PBC，从而得到 PA=PB. 学生自行完成证明过程. 然后教师指出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等. 教师进一步说明：今后我们可以直接利用这个性质得到有关的线段相等，同时这也可以 作为等腰三角形的一种判定方法. 探究 2：线段的垂直平分线的判定 教师提出：反过来，与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平 分线上呢？我们也可以通过“证明”来解决这个问题. 然后让学生画出图形(如图 13-1.2.1-2)，写出已知、求证. 图 13-1.2.1-2 教师强调：为了证明点 Q 在 AB 的垂直平分线上，可以过点 Q 作辅助线， 先构造“垂直或平分”中的一个关系，再证明另一个关系.特别要注意防止“过点 Q 作线段 AB 的垂直平分线”这种错误. 然后让学生根据提示，口述证明过程. 最后师生共同总结线段垂直平分线的判定方法：与一条线段两个端点距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上. 学生提出问题：判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上，那么怎么才能判定这条直 线就是线段的垂直平分线呢？ 教师：这个问题提得很好，大家想一想，几点确定一条直线？ 学生回答两点. 教师表示肯定以及回答学生提出的问题：只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方 法的条件，那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.最后教师进行总结：(1)要证明某条直 线是某条线段的垂直平分线，有两种证明方法：一是根据定义去证明；二是根据“两点确定 一条直线”，证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的 判定定理可以作线段的垂直平分线. 接着教师提出：你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？ 教师提示：要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果…… 那么……”的形式，逆命题就容易写出,并且鼓励学生找出原命题的条件和结论. (教师出示投影)原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个 点与这条线段两个端点的距离相等”. 学生口述逆命题，教师板书：“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点 在这条线段的垂直平分线上”. 接着，教师让学生判断它的真假，并且如果是真，那么证明它；如果是假，那么用反例 说明.(请学生自行在练习本上完成) 最后学生给出了如下的四种证法. 已知：线段 AB，P 是平面内一点，且 PA=PB. 求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上. 证法 1：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC.∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC，即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证法 2：取 AB 的中点 C，过点 P，C 作直线，如图 13-1.2.1-3(1). ∵PA=PB，PC=PC，AC=BC， ∴△PAC≌△PBC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=90°，即 PC⊥AB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证法 3：如图 13-1.2.1-3(2)，过点 P 作∠APB 的平分线. ∵PA=PB，∠1=∠2，PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SAS). ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证法 4：如图 13-1.2.1-4，过点 P 作线段 AB 的垂直平分线 PC. ∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 四种证法由学生表述后，有学生表示对第四位同学的证法不明白. 师生共同分析：如图 13-1.2.1-5(1)，PD⊥AB，点 D 是垂足，但点 D 不平分 AB；如图 13-1.2.1-5(2)，PD 平分 AB，但 PD 不垂直于 AB.这说明一般情况下，“过点 P 作 AB 的垂直 平分线”是不可能实现的，所以第四位同学的证法是错误的. 教师总结：从同学们的推理证明过程可知，线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题， 我们把它称为线段的垂直平分线的判定. 接着引入：我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段的垂直 平分线的性质和判定，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线？那么要作出线段 的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段 的垂直平分线.下面我们共同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据. 教师出示 P62 例 1： 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C(如图 13-1.2.1-6). 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. 作法：(1)任意取一点 K，使点 K 和点 C 在 AB 的两旁. (2)以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和点 E. (3)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F. (4)作直线 CF. 直线 CF 就是所求作的垂线. 教师接着提问：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线 CF 就是所求作的垂线？ 学生之间互相交流后，选一个代表口述：从作法的(2)(3)可知，CD=CE，DF=EF， ∴点 C，F 都在线段 AB 的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定). ∴CF 就是线段 AB 的垂直平分线(两点确定一条直线). 最后教师总结：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法 后，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用 这种方法找线段的中点. 接着教师让学生完成：教材 P62 练习第 1，2 题.(学生独立完成之后，教师点评）. 1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题. 2.线段的垂直平分线的集合定义包含两层意思：(1)到线段两个端点的距离相等的点都 在线段的垂直平分线上.(2)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课时 2 对称轴的画法 【知识与技能】 (1)会画线段的垂直平分线. (2)会画轴对称图形的对称轴. 【过程与方法】 通过已知图形画对称轴，让学生体会轴对称图形的性质和轴对称在实际生活中的应用. 【情感态度与价值观】 通过对轴对称图形的认识，增强学生对对称美的认识，使学生感受数学带来的美的享受. 轴对称图形的对称轴的画法. 轴对称图形的对称轴的画法. 多媒体课件、无刻度的直尺、圆规 教师出示投影并引入：如图 13-1.2.2-1 的交通标志是轴对称图形吗？如果是轴对称图 形，你能找到它的对称轴吗？ 学生先口答是否为轴对称图形，再通过折叠，画出折痕(即为对称轴)，教师肯定学生的作法， 且提出问题：不经过折叠，能用什么方法画出它们的对称轴？(教师板书课题) 探究：对称轴的画法 教师引入：我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对 应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点 为端点的线段的垂直平分线即可,并提出问题：如何画线段的垂直平分线呢？ 教师出示教材 P63 例 2： 如图 13-1.2.2-2(1)，点 A 和点 B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 教师具体分析作法：我们只要连接点 A 和点 B，作出线段 AB 的垂直平分线，就可以得 到点 A 和点 B 的对称轴.为此作出到点 A，B 距离相等的两点， 即线段 AB 的垂直平分线上的两点，连接这两点即可得出线段 AB 的垂直平分线. 然后写出作法，根据作法作出图形： 作法：如图 13-1.2.2-2(2). (1)分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧(想一想为什么)，两弧相交 于 C，D 两点； (2)作直线 CD. CD 就是所求作的直线. 学生模仿教师的作法. 学生作完之后，教师指出这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图. 教师引导学生思考： (1)在作法中为什么有 CA=CB，DA=DB？ (2)可以用这种方法找出线段的中点吗？四等分点呢？ 学生思考之后，教师总结对称轴的画法：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点， 作出对应点所连线段的垂直平分线，就能得到此图形的对称轴.教师出示例题： 例 1 如图 13-1.2.2-3，△ABC 和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称 轴. 教师启发学生把问题转化为已解决的问题，此时只要画出点 A,A′连线的垂直平分线即 可.师生共同完成. 解：如图 13-1.2.2-4，直线 l 就是所要求作的对称轴. 随后教师提示学生思考其他作法. 例 2 图 13-1.2.2-5 是一个五角星，请画出它的对称轴. 教师引导学生思考，五角星有几条对称轴？点 A 可以和哪些点是对应点？最后类比例 1， 由学生自己完成. 解：如图 13-1.2.2-6. 最后教师归纳总结：画轴对称图形的对称轴，实际上就是运用轴对称的性质，找到对应 点所连线段的垂直平分线.在画一个轴对称图形的对称轴时，一定要将所有的对称轴都画出 来.在画对称轴时，也可以取两组对应点连线的中点，过这两个中点的直线即为对称轴. 接着教师让学生独立完成：教材 P64 练习第 1~3 题.（学生在书上画出对称轴，教师巡 视、点评. 画轴对称图形的对称轴，实际上就是运用轴对称的性质，找到对应点所连线段的垂直平 分线. 第十三章 轴对称 13.2 画轴对称图形 课时 1 画对称轴图形 【知识与技能】 通过实际操作，掌握画轴对称图形的方法. 【过程与方法】 探索画一般的轴对称图形的方法，使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后 的图形. 【情感态度与价值观】 培养学生的审美情趣、合作意识和学习兴趣. 能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形. 较复杂图形的轴对称图形的画法. 多媒体课件、半透明纸(左边部分画有一只左脚印)、无刻度的直尺、圆规 教师引入：经过前面的学习，我们掌握了轴对称的性质，能利用轴对称的性质画出轴对 称图形的对称轴.那么如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的 图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法. 探究：作轴对称图形的方法 教师拿出一张半透明的纸，并且左边部分画好一只左脚印.然后教师把这张纸对折后描 图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印(如图 13-2-1). 然后让学生观察发现：右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴， 并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 然后教师让学生再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论. 接着教师提出问题：对称轴是折痕所在的直线，即直线 l，它与图中的线段 PP′是什么 关系？ 学生回答：直线 l 垂直平分线段 PP′. 教师最后归纳：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与 原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称 点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 教师出示思考 1：如何画一个点的对称图形？ 已知：直线 l 和直线外一点 A. 求作：关于直线 l 的对称点 A′. 教师总结画法，学生完成：如图 13-2-2.(1)过点 A 作对称轴 l 的垂线，垂足为 B； （2）延长 AB 至点 A′，使得 BA′=AB，则 A′就是点 A 关于直线 l 的对称点. 接着出示思考 2：如何画一条线段的对称图形？ 已知：线段 AB. 求作：AB 关于直线 l 的对称线段. 学生先独立思考，再归纳画法：如图 13-2-3.(1)画出点 A 关于直线 l 的对称点 A′； (2)画出点 B 关于直线 l 的对称点 B′； (3)连接点 A′和点 B′得到线段 A′B′，线段 A′B′即为所求. 教师出示教材 P67 例 1： 如图 13-2-4（1），已知△ABC 和直线 l，画出与△ABC 关于直线 l 对称的图形. 师生共同分析：△ABC 可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线 l 的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形. 学生口述画法，教师板演：(1)如图 13-2-4（2），过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 O， 在垂线上截取 OA′=OA，则 A′就是点 A 关于直线 l 的对称点； (2)同理，分别画出点 B，C 关于直线 l 的对称点 B′，C′； (3)连接 A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求. 最后，教师总结：几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一 些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 接着，让学生独立完成：教材 P68 练习第 1，2 题. 1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、 大小完全相同. 2.经过轴对称变换的图形与原图形上的对应点的连线被对称轴垂直平分. 3.画一个图形的轴对称图形，关键是找到图形上一些特殊点的对称点，它的方法如下： (1)由已知点出发作已知直线的垂线，并确定垂足； (2)在直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段 的长，得到线段的另一端点，即为对称点； (3)连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形. 第十三章 轴对称 13.2 画轴对称图形 课时 2 用坐标表示轴对称 【知识与技能】 (1)能在平面直角坐标系中画出点关于坐标轴的对称点. (2)能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐 标. 【过程与方法】 通过实验,探索、发现关于坐标轴对称的点的规律，并能运用坐标规律在坐标系中画轴 对称图形. 【情感态度与价值观】 通过研究坐标系中关于坐标轴对称的点的规律，让学生体会数形结合在解决问题时发挥 的优势. 表示点关于坐标轴对称的点的坐标. 找对称点的坐标之间的关系. 多媒体课件、尺子 多媒体展示教材 P69“思考”：你能说出西直门的坐标吗？ 学生指出西直门的位置，试着说出西直门的坐标. 然后教师引入：用坐标表示轴对称，可以很方便地确定一个地方的位置，这种表示位置 的方法在我们日常生活中应用非常广泛，如工程建设的绘图等.这节课我们就来学习用坐标 表示轴对称.(板书课题) 探究：关于坐标轴对称的点的规律 教师引导学生完成以下活动： 1.在平面直角坐标系中画出下列已知点： A(2，-3)，B(-1，2)，C(-6，-5)，D12，1，E(4，0). 2.画出这些点分别关于 x 轴、y 轴对称的点，并填写表格. 3. 你 能 发 现 关 于 坐 标 轴 对 称 的 点 的 坐 标 有 什 么 规 律 吗 ？ 小组合作，总结规律(教师板书)：点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x，-y)，即横 坐标相同，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x，y)，即横坐标互 为相反数，纵坐标相同. 教师出示教材 P70 例 2： 如图 13-2-5，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(-5，1)，B(-2，1)，C(-2，5)， D(-5，4)，分别画出与四边形 ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形. 解：点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x，y)，因此四边形 ABCD 的顶点 A，B，C， D 关于 y 轴对称的点的坐标分别为 A′(5，1)，B′(2，1)，C′(2，5)，D′(5，4)，依次连 接 A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形 ABCD 关于 y 轴对称的四边形 A′B′ C′D′，如图 13-2-6. 然后让学生在图 13-2-6 中画出与四边形 ABCD 关于 x 轴对称的图形. 最后教师总结：1.对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶 点)的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形. 2.图形关于坐标轴对称： (1)一个图形内任意一点的横坐标保持不变，纵坐标乘-1，所得图形与原图形关于 x 轴 对称； (2)一个图形内任意一点的纵坐标保持不变，横坐标乘-1，所得图形与原图形关于 y 轴 对称. 接着，学生口答教材 P70 练习第 1 题，然后书面完成练习第 2 题. 点 A 关于 x 轴或 y 轴对称的点的坐标. (1)点 A(a，b)关于 x 轴对称的点的坐标是(a，-b)； (2)点 A(a，b)关于 y 轴对称的点的坐标是(-a，b). 说明：若两个点关于 x 轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于 y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等. 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形 课时 1 等腰三角形的性质 【知识与技能】 (1)理解并掌握等腰三角形的性质. (2)利用角的平分线的定义进行简单的证明与计算. (3)观察等腰三角形的对称性，发展形象思维. 【过程与方法】 (1)通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力. (2)通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能 力. 【情感态度与价值观】 引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解决问题的 活动中获取成功的体验，建立学习的信心. 等腰三角形的性质及应用. 等腰三角形的性质的证明. 多媒体课件、剪刀、尺子 教师出示一些几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角 形、等边三角形等. 让学生抢答哪些是轴对称图形，并且提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对 称图形. 教师引入：我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知 识来研究等腰三角形.(板书课题) 探究：等腰三角形的性质 教师让学生完成活动 1： 如图 13-3.1-1，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到的△ABC 有什么特点？ 图 13-3.1-2 学生动手操作，观察剪出的△ABC 的特点，可以发现 AB=AC. 然后教师让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的 两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角，如图 13-3.1-2. 并指出：在△ABC 中，若 AB=AC，则△ABC 是等腰三角形，AB，AC 是腰，BC 是底边，∠ A 是顶角，∠B 和∠C 是底角. 教师让学生继续完成活动 2：把活动 1 中剪出的△ABC 沿折痕 AD 对折，找出其中重合的 线段和角，填入下表： 从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？ 学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论、交流，从表中总结等腰三角形的性质. 接着教师引导学生归纳，并板书： 性质 1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线 合一”). 教师归纳：等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的 常用方法. 教师让学生完成活动 3：你能用所学的知识验证上述性质吗？ 已知：如图 13-3.1-3，在△ABC 中，AB=AC.求证：∠B=∠C. 学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的方法，要证明∠B=∠C，根据全等 三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可. 教师提示：可以作辅助线构造两个三角形.作 BC 边上的中线 AD，证明△ABD 和△ACD 全 等即可.根据条件，利用“边边边”可以证明. 学生给出证明过程： 证明：作 BC 边上的中线 AD，如图 13-3.1-4，所以 BD=CD. 所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B=∠C. 这样，就证明了性质 1. 然后教师让学生类比性质 1 的证明，证明性质 2. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，从而得出 AD⊥BC.这就 证明了等腰三角形 ABC 底边上的中线平分顶角∠A 且垂直于底边 BC. 学生通过讨论、交流可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合， 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对 称轴. 最后教师拓展补充等腰三角形还有以下性质：(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相 等.(2)等腰三角形两个底角的平分线相等.(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和 等于一腰上的高. 教师出示教材 P76 例 1： 如图 13-3.1-5，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD.求△ABC 各角的度数. 师生共同分析：根据“等边对等角”的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠ BDC，再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.把∠A 设为 x，那么∠ABC， ∠C 都可以用 x 来表示.再由三角形的内角和为 180°，就可求出△ABC 的三个内角的度数. 分析完之后，学生口述过程，教师板书： 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角). 设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x， ∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得 x=36°. 在△ABC 中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 接着教师让学生独立完成：教材 P77 练习第 1-3 题. 1.等腰三角形的性质 1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 注意：等边对等角只限在同一个三角形中运用. 2.等腰三角形的性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重 合(简写成“三线合一”). 说明：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线 是它的对称轴. 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形 课时 2 等腰三角形的判定 【知识与技能】 (1)理解并掌握等腰三角形的判定方法. (2)运用等腰三角形的判定进行证明和计算. 【过程与方法】 探索等腰三角形的判定定理，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念. 【情感态度与价值观】 使学生感受观察、试验、猜想、论证几何图形问题的全过程，体会证明的必要性. 等腰三角形的判定方法. 等腰三角形的判定方法.的证明. 多媒体课件. 教师提出问题：我们已经知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角也相 等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边是否相等呢？ 学生猜想它们所对的边相等. 教师肯定学生的猜想并给出结论：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等. 教师追问：如何证明呢？下面我们就来研究这个问题.(板书课题) 探究：等腰三角形的判定方法 (1)在这一问题中，条件和结论是什么？ (2)用数学符号怎样表示？ 教师引导、提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证. 已知：在△ABC 中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 与学生一起回顾等腰三角形性质的证明过程，从作底边上的高、中线、顶角平分线三个 方面分析.让学生逐一尝试，发现可以作 AD⊥BC，或 AD 平分∠BAC，但不能作 BC 边上的中 线. 学生口头证明后，教师选一种方法写出证明过程： 如图 13-3.1-7，在△ABC 中，∠B=∠C，作△ABC 的角平分线 AD. 在△BAD 和△CAD 中，∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD， ∴△BAD≌△CAD(AAS)， ∴AB=AC. 教师最后总结：从上面的推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法(教师板书)： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 并且教师强调：在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等边”.“等边 对等角”是性质，“等角对等边”是判定方法. 教师出示教材 P78 例 2： 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角 形. 教师引导学生根据命题画出图形，写出已知、求证，利用角平分线的性质及“等角对等 边”来证明. 已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD∥BC(如图 13-3.1-8). 求证：AB=AC. 师生共同分析：要证明 AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B， ∠C 与∠1，∠2 的关系. 学生完成证明过程. 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等). 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C. ∴AB=AC(等角对等边). 接着，教师出示教材 P78 例 3： 如图 13-3.1-9，已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角 形. 教师指导学生如何分析作图题：假设图形已经作好，图形有哪些特性，怎样用已知条件 满足这些特性.学生发表自己的想法，教师总结学生的想法，给出正确的作法. 作法：(1)如图 13-3.1-10，作线段 AB=a. (2)作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D. (3)在 MN 上取一点 C，使 DC=h. (4)连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形. 然后教师让学生独立完成：教材P79练习第1-4题.(教师指导，并回答学生不懂的问题). 等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 (简写成“等角对等边”). 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 课时 1 等边三角形的性质与判定 【知识与技能】 (1)掌握等边三角形的定义. (2)理解等边三角形的性质与判定. 【过程与方法】 经历交流、合作学习的过程，了解等边三角形的性质的形成过程. 【情感态度与价值观】 通过对等边三角形的学习，了解等边三角形的对称美，增强对生活的热爱. 等边三角形的性质和判定. 等边三角形的性质的应用. 多媒体课件. 教师先让学生回顾三角形按边分类的方法，学生板演： 教师指出：在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，叫作 等边三角形. 接着，教师提出问题： 1.把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？ 2.一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 教师：我们本节课先来探究这两个问题.(板书课题) 探究 1：等边三角形的性质 教师让学生小组之间进行讨论，从而解决以下问题： 让学生说出作为等腰三角形的等边三角形已经具有哪些性质？ 教师提示：可从两个角度，(1)角的关系,(2)边的关系. 然后师生共同归纳等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. 探究 2：等边三角形的判定 教师提出问题：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 学生先发表意见：如三边都相等的三角形是等边三角形. 教师接着引导：那三个角都相等的三角形呢？ 在学生充分讨论的基础上，教师引导学生利用口头证明等办法，最后教师归纳并板书等 边三角形的判定方法： 图 13-3.2-11.三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 教师出示教材 P80 例 4： 如图 13-3.2-1，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E.求证：△ADE 是等边三角形. 1.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形. 2.等边三角形的性质：三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. 3.等边三角形的判定： (1)三边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 课时 2 含 30°角的直角三角形的性质 【知识与技能】 掌握含 30°角的直角三角形的性质与应用. 【过程与方法】 让学生通过探究两个 30°角的三角板拼在一起形成等边三角形，得出结论，感受观察、 探索、猜想、论证研究几何图形问题的过程. 【情感态度与价值观】 体会直角三角形的性质在实际生活中的应用. 含 30°角的直角三角形的性质. 运用含 30°角的直角三角形的性质解决实际问题. 多媒体课件、两块含 30°角的三角板. 教师出示问题：如图 13-3.2-3，将两块含 30°角的直角三角板摆放在一起，你能借助 这个图形，找出 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ 探究：含 30°角的直角三角形的性质 学生用含 30°角的直角三角板摆出了如图 13-3.2-4(1)，(2)的两个三角形. 学生通过思考、讨论，得到图 13-3.2-4(1)中的△ABC 是等边三角形，并写出证明过程： 在图 13-3.2-4(1)中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，∴∠B=∠ C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形. 教师进一步提出：由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的数量关 系吗？ 学生口答：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.让学生经历拼摆直角 三角板的活动，发现结论，同时引导学生意识到通过实际操作探索出来的结论还需要给予证 明.探究新知教师追问：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你们能证明它吗？ 让一名学生口头证明：在图 13-3.2-4(1)中，我们已经知道它是等边三角形，所以 AB=BC=AC.而∠ADB=90°，即 AD⊥BC.根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得 BD=DC=12BC， 所以 BD=12AB,即在 Rt△ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边 BD 的长是斜边 AB 的长的一半. 教师肯定学生的回答，并板书： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 教师强调：此性质的大前提是“在·直·角·三·角·形·中·”，如果没有这个条件， 即 使有 30°角，结论也不一定成立. 教师出示教材 P81 例 5： 图 13-3.2-5 是屋架设计图的一部分，D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC， AB=7.4 m，∠A=30°.立柱 BC，DE 要多长？ 师生分析：观察图形可以发现，在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，因为∠A=30°， 所以 DE=12AD，BC=12AB.又因为 D 是 AB 的中点，所以 DE=14AB. 学生独立完成，教师板书过程： 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴BC=12AB，DE=12AD. ∴BC=12×7.4=3.7(m). 又∵AD=12AB，∴DE=12AD=12×3.7=1.85(m). 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m. 接着，教师让学生独立完成教材 P81 练习. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题 【知识与技能】 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握“两点之间，线段最短”和“垂线段最 短”的性质. 【过程与方法】 经历实践活动的过程，得出最短路径问题的解决方法，找到关于线的对称点实行“折” 转“直”，再利用“两点之间，线段最短”这一性质来解决一些简单的实际问题. 【情感态度与价值观】 通过观察、归纳、推理得出数学猜想，让学生体验充满探索性和创造性的数学. 运用所学知识解决最短路径问题. 选择合理的方法解决问题. 多媒体课件. 教师让学生思考：(1)两点的所有连线中，最短. (2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，最短. 学生口答. 教师引入：我们研究过以上这两个问题，我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论 下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.(板书课题). 探究 1：河边饮马问题 教师引入：首先我们来研究河边饮马问题. 并出示问题 1：如图 13-4-1，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 教师提出问题：现在假设点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点， 使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？ 学生举手回答. 教师归纳结果：连接 AB，与直线 l 相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知 这个交点即为所求. 接着，教师让学生思考：如果点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，又应该如何解决？ 学生讨论、交流. 教师追问：(1)牧马人到笔直的河边饮马，河边可以近似地看成一条直线，假设到点 C 饮马，要保证所走的路径最短和哪些线段有关？ (2)要利用我们学过的哪些知识？线段 AC 和 BC 经过怎样的图形变换可以转移到一条线 段上？ 学生分组交流，在小组内达成共识的基础上，推选代表进行板演. 教师幻灯片演示画法，指导学生证明 AB′=AC+BC.(B，B′两点关于直线 l 对称) 如果在直线上另外任取一点 C′，连接 AC′，BC′，B′C′.怎样证明 AC+CB＜AC′+C′ B？ 学生讨论、交流完成. 教师反馈学生完成的情况，集体讲评. 探究 2：造桥选址问题 教师引入：接着，我们探究造桥选址问题. 并出示问题 2：如图 13-4-2(1)，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直) 教师提示：我们可以把河的两岸看成两条平行线 a 和 b〔如图 13-4-2(2)〕，N 为直线 b 上一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M. 让学生思考：(1)要保证路径最短就是要使哪些线段的和最小？ (2)无论点 M，N 在什么位置，MN 的长度是否发生变化？为什么？ 学生讨论、交流. 教师结合学生讨论的结果，强调 MN 的长为定值，解决问题的关键就是要保证 AM+NB 的 和最小. 接着，教师让学生阅读教材 P87，交流思路. 学生小组汇报，教师点评，展示教材图 13.4-9 的证明过程. 求证：AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B. 证明：∵A′B＜A′N′+N′B， ∴A′N+NB＜AM′+N′B. 又∵AM=A′N， ∴AM+NB＜AM′+N′B. 又∵MN=M′N′， ∴AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B. 教师出示例题： 例 1 如图 13-4-3，在旷野上，一个人骑着马从 A 到 B，半路上他必须先到河岸 l 的点 P 让马饮水，再到河岸 m 的点 Q 让马再次饮水，最后到达点 B.他应该如何选择饮马地点 P，Q， 才能使所走路程 AP+PQ+QB 最短(假设河岸 l，m 为直线)？ 教师让学生讨论，师生共同解答(教师板书作图)： 解：如图 13-4-4，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，点 B 关于直线 m 的对称点 B′，连 接 A′B′，交直线 l 于点 P，交直线 m 于点 Q，连接 AP，PQ，QB，所以路程 AP+PQ+BQ 最短. 最后教师总结：解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转 化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择. 解决最短路径问题，常用的方法是借助轴对称的知识转化，利用“两点之间，线段最短” 来求线段和的最小值. 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.1 同底数幂的乘法 【知识与技能】 (1)理解同底数幂的乘法法则. (2)运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题. 【过程与方法】 经历自主探索、猜想、验证同底数幂的乘法法则的过程，并能灵活运用. 【情感态度与价值观】 让学生体验用数学知识解决问题的乐趣，培养学生热爱数学的情感. 正确理解同底数幂的乘法法则. 正确理解和运用同底数幂的乘法法则. 多媒体课件. 师生共同复习 an 的意义： 图 14-1.1-1an 表示 n 个 a 相乘，我们把这种运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂；a 叫作 底数，n 是指数.如图 14-1.1-1. 教师提出问题：一种电子计算机每秒可进行 1 千万亿(1015)次运算，它工作 103 s 可进 行多少次运算？能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ 学生思考后回答：运算次数=运算速度×工作时间，所以该电子计算机工作 103 s 可进 行的运算次数为 1015×103. 教师追问：1015×103 如何计算呢？ 学生列出算式并解答(要求学生写出解答过程中每一步的依据)： 教师肯定学生的答案并引入：很好，通过观察大家可以发现 1015，103 这两个因数是同 底数幂的形式，所以我们把像 1015×103 的运算叫作同底数幂的乘法.根据实际需要，我们有 必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.(板书课题). 探究：同底数幂的乘法法则 教师引入：刚才我们通过计算,知道 ，下面我们再来观察几道题. 计算下列各式： 学生独立计算，三位学生代表上台板演，要求每个步骤都要写出运算的依据,师生共同 评析.如果学生有困难，教师可以引导学生回顾“复习导入”的解答过程，再计算. 教师引导学生发现下列规律： (1)这三个式子都是底数相同的幂相乘. (2)相乘所得的结果的底数与原底数相同，指数是原来两个幂的指数的和. 师生共同总结：am·an 表示同底数幂的乘法，根据幂的意义可得： 用语言描述此法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 教师强调：运用同底数幂的乘法法则时，要注意以下几点： (1)底数必须相同，如 23 与 25，(a2b2)3 与(a2b2)4，(x-y)2 与(x-y)5 等. (2)a 可以是单项式，也可以是多项式. (3)按照运算法则，只有相乘时才是底数不变，指数相加. 教师出示教材 P96 例 1： 师生共同分析解答，教师板书(1)，学生代表板演(2)(3)(4).教师着重让学生说明底数 是什么，指数是什么，让学生观察是不是符合同底数幂相乘，引导学生运用法则进行计算.(2) 中 a=a1 是学生的易错点，教师提问可能会出错的学生，并借此强调此问题. 接着教师让学生独立完成教材 P96 练习，同桌之间互相检查. 1.am·an=am+n(m，n 都是正整数). 用语言描述此法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.三个或三个以上同底数幂的乘法法则：am·an·ap=am+n+p(m，n，p 都是正整数). 3.同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an(m，n 都是正整数) 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.2 幂的乘方 【知识与技能】 (1)知道幂的乘方的意义. (2)会进行幂的乘方的计算. 【过程与方法】 经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展学生的推理能力和有 条理的表达能力. 【情感态度与价值观】 通过分组探究，培养学生合作交流的意识，提高学生勇于探索数学的品质. 会进行幂的乘方的运算. 幂的乘方法则的总结及运用. 多媒体课件. 教师出示问题：(1)叙述同底数幂的乘法法则，并用字母表示. （2）计算： 请学生代表口答. 教师：大家已经学会进行同底数幂的乘法运算，那么幂的乘方运算又应该如何进行呢？ (引入本节课的内容，板书课题). 探究：幂的乘方的法则 教师：我们知道，表示几个相同因数的积的运算叫作乘方，根据乘方的意义，请同学们 解决以下问题： 1.思考. 根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空，看看计算的结果有什么规律： 教师要加强引导，强调运用同底数幂的乘法法则的注意事项. 2.小组讨论. 对正整数 m，n，你认为(am)n 等于什么？能对你的猜想给出检验过程吗？ 学生小组内互相探索、交流，积极思考，然后各组派代表回答，相互点评，补充得出关 于幂的乘方法则. 师生共同总结：一般地，对于任意底数 a 与任意正整数 m,n,幂的乘方法则： 即幂的乘方，底数不变，指数相乘.(教师板书) 教师说明：(1)法则中 a 可以是一个具体的数，也可以是单项式或多项式.(2)在形式上， 幂的乘方的底数本身就是一个幂.(3)法则可推广到［(am)n］k=amnk(m，n，k 是正整数).(4)幂 的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆.例如，不能把(a5)2 的计算结果写成 a7，也不能把 a5·a2 的计算结果写成 a10. 教师出示教材 P96 例 2： 计算： 师生共同分析解答，教师板书(1)，请学生代表上台板演(2)(3)(4). 教师追问：amn 等于(am)n(m，n 都是正整数)吗？ 学生类比同底数幂的乘法法则的逆用得出 amn=(am)n(m，n 都是正整数)，也就是说对于幂 的乘方法则，它的逆用同样成立. 当一个幂的指数是积的形式时，就可以写成幂的乘方的形式. 学生口答. 接着教师让学生独立完成 P97 练习，同桌之间互相检查. 1.(am)n=amn(m，n 是正整数). 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2. 法则可推广到［(am)n］k=amnk(m，n，k 是正整数). 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.3 积的乘方 【知识与技能】 (1)经历探索积的乘方运算法则的过程，进一步体会幂的意义. (2)理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题. 【过程与方法】 让学生经历探索积的乘方法则的过程，提高学生的学习主动性，增强学生学习的兴趣. 【情感态度与价值观】 让学生通过探索，体会知识的发现过程，感受运用数学知识的妙趣及简洁美. 积的乘方的运算法则及其应用. 幂的运算法则的灵活运用. 多媒体课件. 让学生回顾同底数幂的乘法、幂的乘方这两个幂的运算性质. 教师引入：这节课我们来学习积的乘方(板书课题) 探究：积的乘方法则 教师列出自学提纲，让学生解决以下问题，在此过程中引导学生自主探究、讨论、归纳. 1.填空，看运算过程中用到了哪些运算律？从运算结果看你能发现什么规律？ 2.把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达. 教师点评学生的探究过程，并总结：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘.也就是说，积的乘方等于幂的乘积. 用符号语言叙述：(ab)n=anbn(n 是正整数).(教师板书符号语言) 教师出示教材 P97 例 3： 计算： 每道小题均由学生口述完整的解题过程，教师板书. 教师进行总结：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则是整式乘法的基 础，也是整式乘法的主要依据，对三个法则的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要 的是理解，在这三个幂的运算中，既要防止符号错误，也要防止运算性质发生混淆. 接着，教师让学生独立完成教材 P98 练习，教师巡视、指导，完成后同桌之间互相检查. 1.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 2.积的乘方是幂的第三个运算法则，这里的积可以是单独几个字母因式的积，也可以是几个 多项式的积. 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法 课时 1 单项式乘单项式 【知识与技能】 探索并了解单项式与单项式相乘的法则，并运用它进行运算. 【过程与方法】 让学生主动参与到探索过程中，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的严密 性和解决问题的能力. 【情感态度与价值观】 通过对单项式与单项式相乘的法则的探索、猜想、体验及运用，感受学习的乐趣. 单项式与单项式相乘的运算法则及其应用. 灵活地进行单项式与单项式相乘的运算. 多媒体课件. 教师直接引入：我们在前面学习过了整式的加减运算，还记得整式的加减法是如何运算 的吗？其实整式的运算就像数的运算，除了加减法，还有整式的乘法、整式的除法.（教师 板书课题） 探究：单项式乘单项式的运算法则 教师提出问题：光的速度约是 3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是 5× 102 s，你知道地球与太阳之间的距离约是多少吗？ 学生独立思考后列式(3×105)×(5×102).探究新知学生分组讨论以下问题：(1)怎样计 算(3×105)×(5×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？ (2)如果将上式中的数字改为字母，比如 ac5·bc2，怎样计算这个式子？ 小组讨论时，教师要注意指导，并让两名同学在黑板上写出演算过程.最后教师讲评， 得出结论. 教师追问：如何计算 4a2x5·(-3a3bx2)?由此你能总结出单项式与单项式相乘的乘法法则 吗？ 学生先独立思考，教师再进行如图 14-1.4-1 的讲解： 最后师生共同归纳：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 教师强调：(1)积的系数是各因式的系数的积.(2)相同字母按照同底数幂的运算法则进 行计算.(3)只在一个因式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.(4)上述法则 对于三个以上的单项式相乘同样适用.(5)运算结果仍是单项式. 教师出示教材 P98 例 4： 师生共同分析，教师板书(1)，学生自主完成(2). 接着让学生独立完成 P99 练习第 1，2 题，完成后同桌之间互相检查. 根据单项式乘单项式的法则，在进行计算时，可按照如下步骤进行： (1)系数相乘——确定积的系数，在相乘时，要注意符号； (2)相同字母相乘——底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式中含有的字母——连同字母的指数写在乘积中. 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法 课时 2 单项式乘多项式 【知识与技能】 (1)在具体情境中，了解单项式乘多项式的意义. (2)理解单项式与多项式相乘的法则，并运用它进行运算. 【过程与方法】 让学生主动参与到探索过程中，提高学生的主观能动性，感受数学知识的简洁美. 【情感态度与价值观】 通过对单项式与多项式相乘的法则的探索、猜想、体验及运用，感受学习的乐趣. 单项式与多项式相乘的运算法则及其运用. 灵活地进行单项式与多项式相乘的运算. 多媒体课件. 教师引入：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长为 p m，宽为 b m 的长方形绿地， 向两边分别加宽 a m 和 c m，如图 14-1.4-2，你能用几种方法表示出扩大后的绿地面积？不 同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？ 学生思考，教师：本节课我们将探究这个问题.(板书课题) 探究：单项式乘多项式的运算法则 教师将问题进行分解： (1)扩大后绿地的长和宽分别是多少？ 长为 a+b+cm；宽为 pm. (2)根据长方形的面积=长×宽，你能得到的式子是 p(a+b+c)①. (3)利用分割法，可以把扩大后的面积看成是几部分的面积的和？ (注意：在这一过程中，学生可能说出分成两部分，这时要肯定学生得到的结论，再进 行适当的引导，让学生分成三部分) (4)这三部分的面积可以怎么表示？ 学生说出结果后，教师展示图片： 如图 14-1.4-3，扩大后绿地的面积可以表示为 pa+pb+pc② (5)①和②都表示扩大后绿地的面积，它们是什么关系呢？ 最后学生通过观察,发现：因为①和②都表示同一个量，所以这两个式子相等，即 p(a+b+c)=pa+pb+pc. (6)对于这个等式，能用乘法分配律说明吗？ 教师提示：用 p 乘括号里的每一项，再把所得的积相加. 教师追问：p 和 a+b+c 分别是什么样的式子？ 学生：p 是单项式，a+b+c 是多项式，这个乘法是单项式与多项式的乘法. 请同学们试着总结一下单项式与多项式相乘的法则. 学生总结：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所 得的积相加.(教师板书) 最后师生共同归纳：(1)运用单项式与多项式相乘的法则时，要注意各项的符号问题， 且此法则是由分配律推导出来的，所以单项式与多项式相乘可按分配律进行计算. (2)等式的左边是积的形式，等式的右边是和的形式. (3)单项式与多项式相乘所得的结果是一个多项式，它的项数等于原来多项式的项数. 教师出示教材 P100 例 5： 计算： 师生共同分析，找两名学生代表上台板演. 接着让学生独立完成教材 P100 练习第 1，2 题，完成后同桌之间互相检查. 单项式乘多项式的法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每 一项，再把所得的积相加. 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法 课时 3 多项式乘多项式 【知识与技能】 (1)经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式的乘法法则. (2)灵活运用多项式乘多项式的运算法则. 【过程与方法】 经历探索多项式与多项式的乘法法则的过程，进一步发展观察、归纳、概括的能力，发 展学生有条理的思考及语言表达能力. 【情感态度与价值观】 通过探究面积的不同表示方法的活动，使学生体验探究的过程，培养学生的创新能力. 多项式乘法的运算. 探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”“负号”的问题. 多媒体课件. 教师引入：如果现在为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长为 a m，宽为 p m 的长 方形绿地，加长了 b m，加宽了 q m.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 教师：刚才我们遇到了一个实际的问题，和我们上节课的导入内容一样，都是求面积的 问题.下面我们一起来研究这个问题.(板书课题) 探究：多项式乘多项式的运算法则 教师：首先我们根据题意画出图形. 教师引导学生画出图形，如图 14-1.4-4. 让学生根据所画的图形，解决下列问题： (1)扩大后的长方形绿地的长是(a+b)m，宽是(p+q)m. 根据长方形的面积公式，这块绿地的面积(单位：m2)可表示为(a+b)·(p+q). (2)如果把长方形分成两部分，一个一边长是 a m 的长方形和一个一边长是 b m 的长方 形，那么它的面积(单位：m2)可表示为 a(p+q)+b(p+q). (3)如果把长方形分成四部分，那么它的面积(单位：m2)可表示为 ap+aq+bp+bq，如图 14-1.4-5. (4)观察以上几个算式，你从计算过程中发现了什么？ (5)上面的乘法属于哪一种运算？(多项式乘多项式) 学生分组进行讨论，然后让 5 名学生分别解答这 5 个小问题. 教师说明：上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法.计算(a+b)·(p+q)，可以先 把其中的一个多项式，如 p+q，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得出 (a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q) ， 再 利 用 单 项 式 与 多 项 式 相 乘 的 法 则 ， 得 a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq. 总体来看，(a+b)(p+q)的结果可以看成是由(a+b)的每一项乘(p+q)的每一项，再把所得 的积相加而得到的，即 师生共同总结：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多 项式的每一项，再把所得的积相加.(教师板书) 教师强调：运用多项式与多项式相乘的法则进行计算时，注意不要漏乘某项，为防止出 错，尽可能地按顺序进行，即用前一个多项式的第一项与后一个多项式的每一项依次相乘， 再用前一个多项式的第二项与后一个多项式的每一项依次相乘，……直到前一个多项式的每 一项都与后一个多项式的每一项相乘，最后把结果相加，这样就不容易漏项了.注意最后能 合并同类项的一定要合并同类项. 教师总结：在整式的乘法中，我们学习了三个运算法则，它们都是由乘法的运算律推导 出来的，为方便记忆，特归纳如下： 整式的乘法单项式乘单项式：乘法交换律、结合律单项式乘多项式：分配律多项式乘多 项式：分配律 在这三个法则中，单项式乘单项式的法则是基础，是关键. 教师出示教材 P101 例 6： 计算： 师生共同分析，然后教师找 3 名学生上台板演. 接着让学生独立完成教材 P102 练习第 1，2 题，完成后同桌之间互相检查. 1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一 个多项式的每一项，再把所得的积相加. 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法 课时 4 整式的除法 【知识与技能】 (1)掌握同底数幂的除法法则. (2)理解不等于 0 的数的 0 次幂的定义. (3)理解单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并会进行简单的相关运算. 【过程与方法】 通过探索整式的除法的一般规律，能熟练地进行有关的计算. 【情感态度与价值观】 让学生自主探索整式的除法法则，体验通过转化构建新知识体系，培养学生大胆猜想、 善于思考、归纳的数学思维品质和创新精神. 整式的除法法则的运用. 整式的除法法则的运用. 多媒体课件. 师生共同复习回顾： 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 am·an=am+n(m，n 都是 正整数). 教师接着出示问题：一张数码照片的文件大小是 28 KB，一个存储量为 26 MB(1 MB=210 KB) 的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？ 学生先思考，再小组内讨论解决：移动存储器的存储量单位与文件大小的单位不一致， 所以要先统一单位.移动存储器的容量为 26×210=26 624(KB).所以它能存储这种数码照片的 数量为(26 624÷28)张. 教师：我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算.在整式的运算中，有时还会遇到 两个整式相除的情况.由于除法是乘法的逆运算，因此我们可以利用整式的乘法来理解和学 习整式的除法.(板书课题) 探究 1：同底数幂的除法 教师让学生解决以下问题： 1.用你熟悉的方法计算. 2.概括. 在学生讨论、计算的基础上，教师提问：你们能发现什么？ 由学生回答，教师板书，发现： 你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？ 3.分组讨论. 各组选出一名代表来回答问题，师生达成共识，除法是乘法的逆运算，所以除法的问题 实际上是“已知乘积和一个因数，去求另一个因数”的问题，于是上面的问题可以转化为乘 法问题加以解决，即： 师生共同总结：一般地，我们有 am÷an=am-n，并且 m≥n，m，n 为正整数,即同底数幂相 除，底数不变，指数相减.(教师板书) 4.利用除法的意义说明这个法则的算理. 让学生仿照问题的解决过程，讲清算理，并请几名学生代表回答，教师加以评析. 5.让学生互相讨论. 当 m=n 时，am÷an 的结果是多少？能总结出什么规律？ 师生共同总结：当 m=n 时，am÷an=am-m=a0=1(a≠0),即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. 探究 2：单项式除以单项式与多项式除以多项式 教师引入：利用同底数幂的除法法则，我们可以计算单项式与单项式的除法，进一步探 究多项式与单项式的除法，下面我们先来探讨单项式与单项式的除法. 教师出示问题：木星的质量约是 1.90×1024 吨，地球的质量约是 5.98×1021 吨.你知道 木星的质量约为地球质量的多少倍吗？ 学生思考后回答：这是除法运算，木星的质量约为地球质量的［(1.90×1024)÷(5.98 ×1021)］倍. 接着教师让学生解决以下问题： 1.计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，并说说你计算的根据是什么. 2.你能利用 1 中的方法计算下列各式吗？ 3.你能根据 2 说说单项式除以单项式的运算法则吗？ 讨论结果展示： 可以从两个思路考虑： (思路一)从乘法与除法互为逆运算的角度去考虑. 1.我们可以想象 5.98×1021×( )=1.90×1024.根据单项式与单项式相乘的运算法则可 以继续联想：所求单项式的系数乘 5.98 等于 1.90，所以所求单项式的系数为 1.90÷5.98 ≈0.318，所求单项式的幂值部分应包含 1024÷1021，即 103，由此可知 5.98×1021×(0.318 ×103)≈1.90×1024.所以(1.90×1024)÷(5.98×1021)≈0.318×103. 2.可以想象 2a·( )=8a3，根据单项式与单项式相乘的运算法则，可以考虑：8÷2=4， a3÷a=a2，即 2a·(4a2)=8a3.所以 8a3÷2a=4a2. 同样的道理可以得出 所以 (思路二)从除法的意义去考虑. 上述两种算法有理有据，所以结果都正确. 教师引导学生观察上述几个式子的运算过程，总结出它们的共同特征： (1)都是单项式除以单项式.(2)运算的结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的 因式；对于只在一个被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.(3)单项 式相除是在同底数幂的除法的基础上进行的. 教师出示教材 P103 例 7： 学生自主解答. 教师：那么对于多项式除以单项式，同学们可仿照上述的探究过程，自己尝试. 学生小组讨论. 师生共同总结：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式， 再把所得的商相加. 教师出示教材 P103 例 8： 教师引导学生共同分析，教师板书(1)，请 2 名学生代表上台板演(2)(3). 接着教师让学生完成教材 P104 练习第 1，2，3 题.(学生独立完成之后，教师点评) 多项式除以单项式的结果仍然是多项式. 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 【知识与技能】 (1)经历探索平方差公式的过程. (2)会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的运算. 【过程与方法】 通过对平方差公式的探索、验证、应用，体会转化思想、数形结合思想等. 【情感态度与价值观】 积极参加探索活动，并在此过程中培养自己勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心. 平方差公式的推导和应用. 理解平方差公式的结构特征，能灵活运用平方差公式. 多媒体课件. 教师引入：在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题: 1. 21×19=？ 2. 103×97=？ 主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答：“第一题等于 399，第二题等于 9991.” 其速度之快，简直就是脱口而出.同学们，你知道他是如何计算的吗?你想不想掌握他的简便、 快速的运算方法呢？那么，学完本节课，我们就能知道他是如何计算的.(板书课题) 探究：平方差公式 教师提出：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律? (1)(x+1)(x-1)； (2)(m+2)(m-2)； (3)(2x+1)(2x-1). 学生独立运算，然后分组讨论： 教师引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不要急于 概括. 学生回答：上面几个算式都是形如(a+b)的多项式与形如(a-b)的多项式相乘. 继续让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，教师请其中一个小组的 代表举例. 教师出示问题：计算(a+b)(a-b). 让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式. 教师点评并总结： 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.(教师板书) 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫作(乘 法的)平方差公式. 教师引导学生归纳这个公式的一些特点，如公式左、右两边的结构，教给学生记忆公式 的方法. 教师出示教材 P108 例 1： 运用平方差公式计算: (1)(3x+2)(3x-2)； (2)(-x+2y)(-x-2y). 填表： 对本例的第(1)小题，可以采用学生独立完成，然后抢答的形式；第(2)小题，可以采用小组 讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的 负号，将 2y 看作“a”，将 x 看作“b”，然后运用平方差公式计算. 完整的解答过程如下： 教师出示教材 P108 例 2： 计算： (1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； (2)102×98. 此处仍先让学生独立思考，再自主发言，口述解题思路，允许他们进行算法的多样化， 通过比较，优化算法，达到简便计算的目的. 完整的解答过程如下： 教师强调：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法 则进行. 教师提出问题：你们能根据如图 14-2.1-1 的两个图形解释平方差公式吗? 教师演示图形的变换过程，体会变换过程中不变的量，并能用代数恒等式表示. 接着教师让学生独立完成教材 P108 练习第 1，2 题，完成后同桌之间互相检查. 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 2.语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫作 (乘法的)平方差公式. 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.2 完全平方公式 【知识与技能】 (1)完全平方公式的推导及应用. (2)完全平方公式的几何解释. 【过程与方法】 通过对完全平方公式的探索、验证、应用解决问题，体会转化思想、数形结合思想等. 【情感态度与价值观】 培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满探索性和创造性. 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释、灵活运用. 理解完全平方公式的结构特征，并能灵活运用公式进行计算. 多媒体课件. 教师出示习题：1.填空：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即 (a+b)(a-b)=a2-b2，这个公式叫作平方差公式. 学生抢答. 2.用平方差公式计算： (1)(-m+5n)(-m-5n)； (2)(3x-1)(3x+1). 让两名学生代表上台板演.通过复习对比旧知识，引出新课 3.a2+b2 与(a+b)2；a2-b2 与(a-b)2 有什么区别？ 教师引导学生比较 a2+b2 与(a+b)2；a2-b2 与(a-b)2 的区别和联系. 教师：怎样计算两个数的和的平方或差的平方呢?本节课我们就来解决这个问题.(教师 板书课题) 探究 1：完全平方公式 教师引入：我们前面学习了乘方和多项式与多项式相乘的法则，能不能将(a+b)2 转化为 我们学过的知识去解决呢？ 教师出示习题： 让学生独立做题，然后引导学生发现(1)结果中的 2p=2·p·1，(1)与(2)比较，结果中 只有一次项的符号不同. 让学生观察式子的结构特点，并用语言叙述出来：①等号左边是两个相同二项式相乘， 即一个二项式的平方——两个数的和(或差)的平方.②等号右边是一个二次三项式，其中两 项是等号左边的二项式两项的平方的和，第三项是等号左边的两项之积的 2 倍.(首平方加尾 平方，乘积二倍在中央) 师生共同总结：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积 的 2 倍. 教 师 引 入 ： 其 实 我 们 还 可 以 从 几 何 角 度 去 解 释 完 全 平 方 公 式 . 你 们 能 根 据 图 14-2.2-1(1)(2)中的面积说明完全平方公式吗? 师生共同分析：观察图 14-2.2-1(1)，可以看出大正方形的边长是(a+b)，得出大正方 形的面积为(a+b)2=a2+2ab+b2.这正好符合完全平方公式. 观察图 14-2.2-1(2)，可以看出大正方形的边长是 a，较小的正方形的边长是(a-b)，得 出较小的正方形的面积为 这正好符合完全平方公式. 教师进行归纳总结：(1)运用完全平方公式的关键在于明确公式的特征：公式的左边是 两数和(或差)的平方，公式的右边是一个二次三项式，是左边两数的平方和加上(或减去) 左边两数积的 2 倍. (2)①公式中字母的含义：公式中字母 a 和 b 可以是具体的数，也可以是整式(单项式或 多项式).②利用完全平方公式计算多项式的乘法，最容易漏写 2ab 项，实际运算中要特别注 意.③完全平方公式与平方差公式联合使用时，要严格分清公式各自的特点，以防混淆. (3)逆用完全平方公式： ，把三项式写成了积的形 式，这是后面要学习的因式分解. 教师出示教材 P110 例 3： 运用完全平方公式计算： 可由学生口答完成，教师用多媒体展示结果，提高课堂效率. 教师出示教材 P110 例 4： 运用完全平方公式计算： (1)1022；(2)992. 可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路.教师可先不给出题目中“运用完 全平方公式计算”的要求，允许他们用多种算法求解，但要求学生明白每种算法的局限性和 优越性. 让学生完成教材 P110 练习第 1，2 题，完成后同桌之间互相检查. 探究 2：添括号法则 教师引导学生完成以下活动： 活动 1：问题导入 现 有 如 图 14-2.2-2 的 三 种 规 格 的 卡 片 各 若 干 张 ， 请 你 根 据 二 次 三 项 式 ，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的 代数意义. 由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组快. 活动 2：思考讨论 相 等 吗 ？ 相 等 吗 ？ 相等吗？为什么？ 组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作、交流，共同解决难题. 活动 3：教师说明 运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号.我们学过去括号法则，即 a+(b+c)=a+b+c； a-(b+c)=a-b-c.反过来，就得到添括号法则：a+b+c=a+(b+c)；a-b-c=a-(b+c). 也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号 前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 教师强调：(1)添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可利用去括号进 行检验.(2)添括号时，如果前面是负号，那么括到括号里的各项都改变符号，不能只改变部 分项的符号. 教师出示教材 P111 例 5： 运用乘法公式计算： (1)(x+2y-3)(x-2y+3)；(2)(a+b+c)2. 师生共同分析，教师板书(1)，学生独立完成(2). 教师总结：一些不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，解题的关键 是使其转化为二项式的平方，如计算 ，可以把这个代数式转化为 ，把(b+c)或(a+b)看成 一个整体(一个字母)，也可以把这个式子转化为［(a+c)+b］2.实际操作时要看怎样做最简 便. 教师让学生完成教材 P111 练习第 1，2 题，完成后同桌之间互相检查. 1.完全平方公式： 2.添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果 括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法 【知识与技能】 (1)了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系. (2)了解公因式的概念和提取公因式的方法. (3)会用提公因式法因式分解. 【过程与方法】 通过整式乘法与因式分解互逆变形得出因式分解的概念，通过观察、讨论、总结来明确 提公因式法. 【情感态度与价值观】 激发学生探究新知识的兴趣与热情，体会数学知识之间的相互联系、相互转化. 会用提公因式法因式分解. 如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式. 多媒体课件. 教师出示练习题，并要求学生独立完成： 1.解决下面各题： (1)m(a+b)=( )； (2)(a+b)(a-b)=( )； (3)(a+b)2=( ). 2.根据上面的计算，完成下面的填空： (1)ma+mb= ( )( )； (2)a2-b2=( )( )； (3)a2+2ab+b2=( )2. 教师提出问题：以上两组题目有什么不同点?有什么联系? 学生思考后，举手回答. 教师点评并引入：我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一 个多项式的形式.反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形 式.这节课我们就来学习因式分解.(板书课题) 探究 1：因式分解 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： (1)x2+x=x(x+1)； (2)x2-1=(x+1)(x-1). 让学生观察上述两个式子和 ma+mb=m(a+b)，这些式子的共同特点是什么？ 学生通过观察得出：等式左边都是多项式，右边都是乘积的形式. 教师补充：上述式子，左边是一个多项式，右边是两个整式的乘积，这种从左到右的变 形，我们叫作因式分解. 师生共同总结：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多 项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.(教师板书) 教师强调：正确理解因式分解要注意以下三点：(1)因式分解的对象是多项式，不是单 项式，也不是以后我们要学习的分式.(2)因式分解的结果是整式的乘积的形式，每个因式必 须是整式，且每个整式的次数都不高于原来多项式的次数.(3)不能走回头路，如 x2-1=(x+1)(x-1)=x2-1，本来已经完成了对 x2-1 的因式分解，但习惯性地按整式乘法算出 x2-1 的结果，就画蛇添足了. 出示练习： 在下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？ (1)12ab=3a·4b； (2)(x+3)(x-3)=x2-9； (3)4x2-8x-1=4x(x-2)-1； (4)2ax-2ay=2a(x-y)； (5)a2-4ab+4b2=(a-2b)2. 学生自己独立判断，口答后，师生共同点评. 教师追问：因式分解与整式的乘法有什么关系？ 学生独立思考，举手回答. 教师点评：如果把整式的乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式的乘 法的逆过程；如果把多项式的因式分解看作一个变形过程，那么整式的乘法又是多项式的因 式分解的逆过程.因此，多项式的因式分解与整式的乘法互为逆过程，一方面说明了两者之 间的密切关系，另一方面又说明了两者的根本区别. 教师出示练习：根据乘法运算的算式，把下列多项式因式分解： 学生根据乘法运算和因式分解的关系独立完成练习，并及时订正答案.在完成以上题目 的基础上，教师用图文表示出二者之间的关系，并板书： 探究 2：提公因式法 教师引入：我们了解了因式分解的定义，下面我们来学习因式分解的其中一种方法—— 提公因式法. 教师出示投影：如图 14-3.1-1，计算三个宽都为 m 的小长方形的面积的和，可以将它 们拼成一个大长方形来计算面积，这个过程可以用代数式表示为 ma+mb+mc=m(a+b+c). 由单项式乘多项式可知，m(a+b+c)=ma+mb+mc，反过来，ma+mb+mc 一定等于 m(a+b+c)， 我们知道这种变形就是因式分解. 教师提出问题：在 ma+mb+mc=m(a+b+c)中，m 又被称作什么呢？ 学生讨论并尝试命名.在学生充分观察、讨论的基础上，教师给予点拨. 教师说明：公因式就是多项式中各项都含有的相同因式. 让学生从公因式的定义出发，去分析、比较、确定答案，教师引导学生总结在理解公因 式的定义时应注意什么.在充分交流后，教师对四个选项逐一讲述，并强调公因式的定义要 注意两点： (1)每一项都含有，体现“公”字. (2)各项所含有的因式相同. 教师：明白公因式的定义后，有些同学可能会思考怎样才能正确地确定一个多项式的各 项公因式？ 师生共同总结确定公因式的方法： (1)取多项式各项系数的最大公因数为公因式的系数. (2)取各项都含有的相同字母或相同因式的最低次幂作为公因式的因式. 接着，教师出示一个例子：求多项式 的公因式. 学生可先由以上两条法则试求，有困难时教师再引导. 教师提出：我们学公因式的目的是为了进行因式分解，怎样用提公因式法进行因式分解 呢？ 教师直接引出：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将 多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法. 在讲述完定义后，教师设计以下问题： 1.提公因式法的依据是什么？ 2.利用提公因式法进行因式分解的步骤是什么？ 教师引导学生回答. 教师强调：(1)提公因式法的关键是确定公因式，但提出公因式后，还应准确地确定另 一个因式. (2)提公因式的依据是逆用乘法分配律. (3)提公因式时要防止出现以下错误：①漏项.②变错符号. 教师出示教材 P115 例 1： 把 分解因式. 教师先要求学生思考这个问题的最后结果，再仿照教材进行分析，注意讲清楚确定公因 式的具体步骤，从数、字母和字母的次数三个方面进行分析；因式分解完成后要分析公因式 和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式 4ab2，另一个因式是否还有公因式？ 从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证. 师生共同解答，教师板书： 教师出示教材 P115 例 2： 把 2a(b+c)-3(b+c)分解因式. 教师引导学生仔细观察该多项式的每项因式的特点，从而发现，把(b+c)看作一个“整 体”时，公因式就是(b+c)，再用提公因式法进行分解. 学生独立完成解答过程. 解：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3). 接着，教师让学生完成教材 P115 练习第 1~3 题，分别找几名学生代表上台板演，师生 共同点评. 1.（1）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这 个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. (2)因式分解与整式乘法的联系与区别： 联系：都是由几个相同的整式组成的等式. 区别：二者是一个式子的不同表现形式，因式分解是两个或几个因式积的表现形式，而 整式乘法是多项式的表现形式. 2.公因式： (1)在多项式 pa+pb+pc 中，各项都含有一个公共的因式 p，因式 p 叫作这个多项式各项 的公因式. (2)公因式的确定方法：各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂的积. 3.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多 项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法. 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解 14.3.2 公式法 课时 2 用完全平方公式分解因式 【知识与技能】 (1)理解完全平方公式的特点. (2)能较熟悉地运用完全平方公式分解因式. (3)会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作 用. 【过程与方法】 类比联想、观察、归纳、探索运用完全平方公式分解因式的方法. 【情感态度与价值观】 体验充满着探索性和创造性的数学，在数学知识的获得过程中体验成功的喜悦，树立学 习的自信心. 用完全平方公式分解因式. 灵活运用完全平方公式分解因式. 多媒体课件. 教师出示练习题： (1)(a+b)2-4a2；(2)x2(x-y)+y2(y-x)； (3)(a+b+c)2-(a-b-c)2. 让三名学生代表上台板演，教师点评. 教师引入：上节课我们学习了用平方差公式分解因式，这节课我们学习用完全平方公式 分解因式.(板书课题) 探究 1：用完全平方公式分解因式 教师出示问题：根据如图 14-3.2-1 中的图形的面积写出一个等式. (a+b)2 整式乘法分解因式 a2+2ab+b2(教师板书). 也就是(a+b)2=a2+2ab+b2，反过来，可得 a2+2ab+b2=(a+b)2. 教师总结：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或 差)的平方，形如 a2±2ab+b2 的多项式称为完全平方式. 教师：我们掌握了完全平方式，请判断下列多项式是不是完全平方式? (1)a2-4a+4；(2)x2+4x+4y2； (3)4a2+2ab+14b2；(4)a2-ab+b2； (5)x2-6x-9；(6)a2+a+0.25. 教师出示习题，让学生讨论，达到熟悉完全平方公式的结构特征的目的.结合学生的解 答情况，教师归纳、点拨. 教师归纳：(1)完全平方公式的特点：左边是一个二次三项式，并且是两个数的平方和 加上这两个数的积的 2 倍或这两个数的积的 2 倍的相反数的形式.符合这些特点，就可以化 成两数和(或差)的平方的形式. (2) 完全平方公式适合分解三项的多项式，要掌握这一公式的形式和特点. (3)运用公式法分解因式的关键是弄清各公式的形式和结构，选择适当的公式进行因式 分解.公式中的字母可以是任何数、单项式或多项式. 教师出示：对照 a2±2ab+b2=(a±b)2 填空. 学生举手回答，教师点评. 教师出示教材 P118 例 5： 分解因式： (1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-4y2. 师生共同分析，教师在此过程中，要讲解得慢一些，然后师生共同解答，教师板书： 完成之后教师要求学生与同伴交流、总结解题经验. 接着教师出示教材 P118 例 6： 分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2； (2)(a+b)2-12(a+b)+36. 学生讨论完成. 教师提示：(1)中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解.(2)中，将(a+b)看作 一个整体，设 a+b=m，则将原式化为完全平方式 m2-12m+36. 解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2. (2)(a+b)2-12(a+b)+36 =(a+b)2-2·(a+b)·6+62 =(a+b-6)2. 接着教师让学生独立完成教材 P119 练习第 1，2 题，完成后同桌之间互相检查. 最后教师进行总结：对于因式分解的方法，可参考下图： 1.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平 方，形如 a2±2ab+b2 的多项式称为完全平方式. 2.运用 a2±2ab+b2=(a±b)2 分解因式时，要抓住公式的特点：公式左边是一个二次三项 式，右边是二课堂小结项式的平方.当左边是两个数的平方和加上这两个数的积的 2 倍时， 右边就是这两个数的和的平方的形式；当左边是两个数的平方和与这两个数的积的 2 倍的差 时，右边就是这两个数的差的平方的形式.仅一个符号不同. 3.要注意提公因式法与公式法的综合运用，因式分解一定要分解到每一个因式都不能再 分解为止. 第十五章 分式 15.1 分式 15.1.1 从分数到分式 【知识与技能】 (1)以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解 分式的概念. (2)能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件. 【过程与方法】 能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型， 进一步发展符号意识. 【情感态度与价值观】 让学生通过探索，体会知识的发现过程，感受运用数学的乐趣. 理解分式有意义的条件及分式的值为 0 的条件. 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为 0 的条件. 多媒体课件. 教师引入：同学们，在小学，大家学习了分数，那么 5÷3 可以写成什么？ (教师出示投影)根据上面的问题，填空： (1)长方形的面积为 10 cm2，长为 7 cm，则宽为 cm；长方形的面积为 S，长为 a， 则宽为 (2)把体积为 200 cm3 的水倒入底面积为 33 cm2 的圆柱形容器中，则水面的高度为 cm；把体积为 V 的水倒入底面积为 S 的圆柱形容器中，则水面的高度为 学生举手回答，教师与学生一起及时纠正学生出现的错误，并将正确答案填入横线中. 然后教师引入本节课题，并板书. 探究 1：分式的定义 让学生观察刚才的四个式子，看它们有什么相同点和不同点？ 学生根据自己的观察，说出： 是分数. 而另两个式子，看它们有什么特点，让学生自己总结. 学生思考后回答：分母中有字母. 教师引导学生归纳：一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式.分式 中，A 叫作分子，B 叫作分母. 教师出示练习题：在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 学生分析，得出：整式有(2)(4)；分式有(1)(3). 教师引导学生总结方法：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，分母中含有字母的 代数式是分式. 接着教师出示投影：在下列整式中任选两个，分别作为分子和分母，构造出一个分式， 并赋予其实际意义. 教师先举例：选取 k，a+b.实际意义：小明有 a 元，他想买 k 千克的苹果还差 b 元，则 每千克苹果是 元. 然后以小组为单位，编写 1~2 个简单的分式，结合实际生活，试着赋予分式实际意义， 并在组内交流. 教师选取代表发言，并适时点评. 探究 2：使分式有意义的条件 教师提出问题：分式中的分母应满足什么条件？即使分式有意义的条件是什么？ 学生首先独立思考问题，然后教师出示表格，让学生自己选数填写三个式子对应的值， 并且分小组讨论： 教师根据学生取值的情况，适时地进行讲解. 师生共同总结：要使分式有意义，需要分母不为 0.要使分式的值为 0，既要分子等于 0， 也要分母不为 0.(教师板书) 教师：想一想，以下分式何时有意义？何时值为 0？ 学生先独立思考，然后师生共同完成，教师板书解题步骤，最后师生共同总结： 分式有意义，需要分母不为 0，需要解一个带“≠”的不等式. 分式的值为 0，既要分子等于 0，又要分母不为 0.可以用方程和不等式表示上述条件. 接着，教师出示教材 P128 例 1： 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1)23x；(2)xx-1；(3)15-3b；(4)x+yx-y. 教师引导学生：要使分式有意义，必须且只需分母不等于 0，然后引导学生逐一分析： (1)3x≠0，则 x≠0.(2)x-1≠0，则 x≠1.(3)5-3b≠0，则 b≠53.(4)x-y≠0，则 x≠y. 教师板书(1)(2)的解答过程，学生独立完成(3)(4). 解：(1)要使分式 有意义，则分母 3x≠0，即 x≠0.因此，当 x≠0 时，分式 有意 义. (2)要使分式 有意义，则分母 x-1≠0，即 x≠1.因此，当 x≠1 时，分式 有 意义. (3)要使分式 有意义，则分母 5-3b≠0，即 b≠53.因此，当 b≠53 时，分式 有意义. (4)要使分式 有意义，则分母 x-y≠0，即 x≠y.因此，当 x≠y 时，分式 有意 义. 教师强调：无特别说明时，本章中出现的分式都有意义. 最后教师进行归纳总结：对于分式的定义和成立的条件，要注意以下几点: (1)分式的形式与分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整 式相除的商式，其根本区别如下表： (2)分式与分数是相互联系的，因为分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数 更具有一般性.分数是分式中字母取值后的特殊情况. (3)对于分母含π和可以约分的分式，容易判断错误，如 符合分式的定义，是分式； 不是分式，因为π不是字母，而是常数. (4)当分式的值为 0 时，容易忽略分母不为 0 这个条件. 接着，教师让学生独立完成教材 P128 练习第 1~3 题，同桌之间互相检查. 1.一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式.分式 中，A 叫作分子，B 叫作分母. 2.要使分式有意义，需要分母不为 0.要使分式的值为 0，既要分子等于 0，也要分母不 为 0. 第十六章 分式 15.1 分式 15.1.2 分式的基本性质 课时 1 分式的基本性质 【知识与技能】 (1)理解分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行分式的变形. (2)会用分式的基本性质处理分式变形中的符号问题. 【过程与方法】 由分数到分式的基本性质的类比，探索分式的基本性质. 【情感态度与价值观】 通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流的意识与探究精神. 理解并掌握分式的基本性质. 灵活运用分式的基本性质进行分式的变形. 多媒体课件. 教师引入：上节课我们类比分数的概念学习了分式的概念，今天我们来继续学习分式的 相关知识.请看下面的问题： 问题 1：如图 15-1.2-1(1)，将面积为 1 的长方形平均分成 4 份，阴影部分的面积是多 少？ 问题 2：如图 15-1.2-1(2)，将面积为 1 的长方形平均分成 2 份，阴影部分的面积是多 少？ 问题 3：这两个长方形中阴影部分的面积相等吗？ 问题 4：通过怎样的变形可以由 得到 ？通过怎样的变形可以由 得到 ？ 问题 5：上述变形的依据是什么呢？ 教师提出问题，学生思考、回答，板书分数的变形过程. 教师：下面我们来看看分式是否具有类似的性质.(教师板书课题) 探究 1：分式的基本性质 教师出示下面的问题： 1.填空. 2.你认为分式 相等吗？为什么？ 呢？ 学生独立思考第(1)问，根据分数的基本性质， 的分子、分母同时乘 4，可得 ； 的分子、分母同时除以 2，可得 .小组讨论，类比分数的基本性质解决第(2)问. 教师追问：类比分数的基本性质，你们能猜想出分式的基本性质吗？ 学生尝试归纳，相互补充，总结得出分式的基本性质，教师板书： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 教师追问：你们能尝试用符号语言表示分式的基本性质吗？ 学生回答，用式子表示： （C 是不等于 0 的整式）.(教师板 书) 教师强调：A，B，C 均为整式，C≠0. 教师引导学生分析分数的基本性质与分式的基本性质的区别：在分数的基本性质中， “数”是一个具体的、唯一确定的值.在分式的基本性质中，“整式”的值随整式中字母的 取值不同而变化. 接着，教师出示教材 P129 例 2： 填空： 教师引导学生观察等式的左边和右边各发生了什么变化，讨论解题思路. 师生共同分析：(1)因为给 的分母 xy 除以 x 才能化为 y，所以为保证分式的值不变， 根据分式的基本性质，分子 x3 也要除以 x.因为 的分子 3x2+3xy 可以分解为 3x(x+y)，除以 3x 才能化为 x+y，所以分母 6x2 也需要除以 3x.(2)因为给 的分母 ab 乘 a 才能化为 a2b，所以为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子 1 也要乘 a.因为 的分母 a2 乘 b 才能化为 a2b，所以分子 2a-b 也需要乘 b. 教师板书答案： 最后，教师进行归纳总结：运用分式的基本性质对分式进行变形时需要注意的问题： (1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种变换; (2)所乘或除以的必须是同一个整式; (3)所乘或除以的整式应该不等于 0. 分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 用式子表示为 (C 是不等于 0 的整式). 第十七章 分式 15.1 分式 15.1.2 分式的基本性质 课时 2 分式约分和通分 【知识与技能】 (1)类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念. (2)类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤. 【过程与方法】 通过对分式约分、通分的学习，提高学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度与价值观】 感悟知识间的相互联系，体会知识的灵活运用，从中获得成功的体验. 运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分. 通分时最简公分母的确定；运用通分法则将分式进行变形. 多媒体课件. 教 师 提 出 问 题 1 ： 怎 样 把 分 数 约 分 ， 做 这 些 题 目 的 依 据 是 什 么 ？ 相等吗？为什么？ 学生将 约分后，仿照分数约分的方法，根据分式的基本性质，约去分式 的分子与分母的公因式 2mn，得到 . 教师点拨：分式 化为 ，这样的分式变形过程就是分式的约分. 接着，教师提出问题 2：怎样把 通分？类似地，能把分式 变成同分母的 分式吗？ 学生尝试把分式 变成同分母的分式，教师适时引入：根据分式的基本性质，把 几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，我们把这样的分式变形叫作分 式的通分.这就是我们今天要探讨的两个问题.(板书课题) 探究 1：分式的约分 教师提出问题：怎样进行分式的约分？分式约分的依据是什么？ 然后让学生带着问题自学教材 P130-131 的内容. 学生交流，教师讲解：(1)分式约分的依据是分式的基本性质.(2)最简分式：分子与分 母没有公因式的分式叫作最简分式.(3)约分：依据分式的基本性质，把一个分式的分子与分 母的公因式约去，叫作分式的约分. 接着，教师出示教材 P131 例 3： 约分： 教师引导学生总结：①定符号：只把负号留给分式；②定分子与分母的公因式：各项系 数的最大公因数和相同因式的最低次幂的积;③分式约分的最后结果应为最简分式或整式， 即分子、分母没有公因式. 学生先练习，教师再根据情况指导. 教师总结方法：如果分子或分母是多项式，要先分解因式，再找出分子、分母的公因式， 最后根据分式的基本性质进行约分. 接着教师让学生独立完成教材 P132 练习第 1 题，同桌之间互相检查. 探究 2：分式的通分 教师提出问题：我们用类比的方法学习了分式的约分，那么我们是否可以用类比的方法 来学习分式的通分呢？ 学生先思考，教师再出示问题： 将分式 变为同分母的分式，依据是什么？ 学生思考、讨论、交流之后选出代表回答，然后教师总结通分的概念： 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分 式，叫作分式的通分. 学生讨论通分的关键是什么. 教师引导学生：通分的关键是确定分式各分母的最简公分母. 并直接指出找最简公分母的方法: （1）取各分母系数的最小公倍数；(2)单独出现的字母，同它的指数作为最简公分母的 一个因式；(3)相同字母的指数取次数最高的. 接着，教师出示教材 P132 例 4： 通分： 教师引导学生讨论，然后板书(1)的过程，学生独立完成(2). 最后教师让学生独立完成教材 P132 练习第 2 题，同桌之间互相检查. 1.(1)分式约分的依据是分式的基本性质.(2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式 叫作最简分式.(3)约分：依据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫 作分式的约分. 2.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 第十八章 分式 15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 课时 1 分式的乘除 【知识与技能】 (1)理解并掌握分式的乘除法则. (2)运用分式的乘除法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题. 【过程与方法】 经历分式乘除法的运算规律的发现过程，培养学生自主探索、自主学习、自主归纳的能 力. 【情感态度与价值观】 体验充满着探索性与创造的数学，感受数学的严谨性. 掌握分式的乘除运算. 掌握分子、分母为多项式的分式乘除法运算. 多媒体课件. 教师分别出示两个问题： 问题 1：一个水平放置的长方体容器，其容积为 V，底面的长为 a，宽为 b，当容器内的 水占容积的 时，水面的高度为多少？ 教师提出问题，学生思考、交流，回答问题：长方体容器的高为 ，水面的高度为 问题 2：大拖拉机 m 天耕地 a hm2，小拖拉机 n 天耕地 b hm2，大拖拉机的工作效率是小 拖拉机的工作效率的多少倍？ 学生讨论，先分别得出大拖拉机的工作效率是 hm2/天，小拖拉机的工作效率是 hm2/天，进一步得出大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍. 教师引入：从上面的问题可知，为讨论数量关系，有时需要进行分式的乘除运算，那么 接下来我们就来探究分式的乘除运算.(教师板书课题) 探究：分式的乘除运算法则 教师：我们先从分数的乘除法入手，看看能否类比得出分式的乘除法法则. 教师出示下列运算： 先让学生观察，再猜一猜：(1) 学生思考后在小组内交流.经观察、类比发现： 教师从而进一步归纳分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的 积作为积的分母. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 教师适时板书，并引导学生用符号表示. 然后教师说明：(1)分式乘除法运算按从左到右的顺序进行，结果若不是最简分式，则 要进行约分.(2)根据分式的乘法法则得：①分式与分式相乘时，如果分子与分母是多项式， 那么先应分解因式，能约分的先约分，再相乘；②整式与分式相乘时，可以直接把整式看成 分母是 1 的代数式，再与分式相乘；③分式的乘法实质就是约分，所以计算结果如能约分， 必须约分，或通过因式分解后能约分的也要约分，必须把结果化为最简分式或整式.(3)根据 法则我们知道，分式的除法需转化为乘法，转化的过程实际上是“一变一倒”的过程，即除 号变乘号，除式的分子和分母颠倒位置. 接着教师分别出示教材 P136 例 1、例 2、例 3： 例 1 计算： 教师引导学生分析：运用 计算，并且教 师强调计算结果应化为最简分式或整式. 师生共同解答，教师板书： 例 2 计算： 教 师 引 导 学 生 分 析 ： 当 分 子 、 分 母 是 多 项 式 时 ， 通 常 先 分 解 因 式 ， 再 运 用 计算. 学生独立完成练习，教师关注学生能否准确、熟练地进行计算，适时加以指导. 最后教师进行总结：(1)进行分式的乘除运算时，如果分子与分母是多项式，通常是先 分解因式，再进行计算. (2)分式的除法运算，抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母的位 置颠倒.如果除式是整式，应把它的分母看作“1”. 例 3 如图 15-2.1-1，“丰收 1 号”小麦的试验田是边长为 a m(a＞1)的正方形去掉一个 边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为(a-1)m 的 正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg. (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 接着教师让学生独立完成教材 P137 练习第 1 题，同桌之间互相检查. 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 符号表示： 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 符号表示： 第十九章 分式 15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 课时 2 分式的乘方与乘除混合运算 【知识与技能】 (1)进一步熟悉分式的乘除法法则，会进行分式的乘除混合运算. (2)理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方的规律进行分式的乘方运算. 【过程与方法】 经历分式乘方法则的探究过程，采用自主探索与合作交流的方式，经历“做数学”的过 程，培养探究数学问题的能力. 【情感态度与价值观】 体验充满着探索性与创造性的数学，感受数学的严谨性. 分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算. 分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘除法、乘方运算中符号的确定. 多媒体课件. 让学生口答： 1.分式的乘除法运算法则； 2.乘方的意义. 教师根据学生回答情况归纳. 然后教师引入：我们本节课将学习分式的乘方与乘除法混合运算.(板书课题) 探究 1：分式的乘除混合运算 教师出示投影：计算 师生共同分析：乘除混合运算可以统一为乘法运算，然后分解因式，最后运用 计算.学生板演： 教师总结分式乘除混合运算的步骤：分式乘除混合运算，先统一成乘法运算，再把分子、 分母中能进行因式分解的多项式分解因式，进行约分.注意最后的计算结果是最简分式或整 式. 探究 2：分式的乘方与乘除混合运算 教师出示投影：根据乘方的意义和分式乘法的法则填空. 学生思考、交流，回答问题. 然后师生共同推导： 教师归纳并板书分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 接着教师出示教材 P139 例 5： 计算： 教师先让学生独立完成(1)，再让一名学生板演.然后教师着重讲解(2)，师生共同分析 解答，教师板书： 然后教师总结：(1)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方， 再算乘法、除法.有多项式时应先分解因式.(2)在分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号. 负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. 教师强调：在分式乘方时，一定要把分式加上括号，不要把 写成 ；还应把分子、分母分别看作一个整体，如 . 接着让学生独立完成教材 P139 练习第 1，2 题，同桌之间互相检查. 本节课学习了分式的乘除混合运算、分式乘方的法则、分式的乘方和分式的乘除法运算， 同时要注意以下几点： (1)在分式的乘除混合运算中，由于乘除属于同一级运算，因此应按从左到右的顺序逐 步运算.一般在计算除法时，将除法变为乘法，再按乘法法则计算. (2)计算乘方时要先确定符号. 第二十章 分式 15.2 分式的运算 15.2.2 分式的加减 课时 1 分式的加减 【知识与技能】 理解并掌握分式的加减法法则，并会运用它们进行分式的加减运算. 【过程与方法】 通过经历分式加减法的运算规律的发现过程，培养学生自主探索、自主学习、自主归纳 的能力. 【情感态度与价值观】 学生自己体验通过实例运算总结法则的过程，在体验中不断提出问题、发现规律、解决 问题，在主动学习中培养自信心. 运用分式的加减运算法则进行运算. 异分母分式加减法的运算. 多媒体课件. 教师直接引入：以前我们学习过分数的加减法，我们一起来回顾一下: 什么叫通分?通分的关键是什么?什么叫最简公分母?通分的作用是什么? 学生回忆，教师引出课题，并板书课题. 探究：分式的加减运算 教师分别出示教材 P139 问题 3 和问题 4： 问题 3：甲工程队完成一项工程需 n 天，乙工程队要比甲队多用 3 天才能完成这项工程， 两队共同工作一天完成这项工程的几分之几? 教师引导分析，学生思考、交流. 解：甲工程队一天完成这项工程的 ，乙工程队一天完成这项工程的 ，两队共同 工作一天完成这项工程的 问题 4：2009 年、2010 年、2011 年某地的森林面积(单位：km2)分别是 S1，S2，S3，2011 年与 2010 年相比，森林面积增长率提高了多少？ 教师引导学生思考解题过程. 解：2011 年的森林面积增长率是 ，2010 年的森林面积增长率是 ，2011 年与 2010 年相比，森林面积增长率提高了 教师：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，有时需要进行分式的加减 运算. 然后教师出示教材 P140“思考”： 观察下列分数加减运算的式子： 你能将它推广，得出分式的加减法法则吗？ 学生小组讨论，在组内交流，发现：分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相 同,从而得到分式的加减法法则. 教师根据学生归纳的情况，适当点评，并板书. 同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 用式子表示为 异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为 接着教师出示教材 P140 例 6： 计算： 教师板书(1)，学生板演(2)，师生共同点评： 教 师 在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式.可以向学生简单介绍最简分式的有关知 识 ， 可 与 最 简 分 数 进 行 类 比 . 提 醒 :(2) 的 计 算 结 果 也 可 以 写 成 最后教师进行归纳：(1)分式加减运算的结果要化成最简分式或整式. (2)同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相 加减，要注意分数线的作用. (3)异分母分式相加减的一般步骤：①通分：将异分母分式转化成同分母分式；②加减： 写成分母不变，分子相加减的形式；③合并：分子去括号，合并同类项；④约分：分子、分 母约分，将结果化成最简分式或整式.异分母分式相加减的关键是通分. 教师利用投影出示例题： 计算： 教师引导学生分析：(y-x)与(x-y)互为相反数，x-y=-(y-x)，所以只要把中间一个分式 的分母和这个分式的符号同时改变，即可转化为三个同分母分式相加减的问题，然后根据法 则计算即可. 师生共同完成，教师板书： 教师总结：(1)三个及三个以上的分式相加减，与三个及三个以上的分数相加减的步骤 一样.(2)分母互为相反数的分式相加减，可以通过添括号及分式的符号法则将各分式化成同 分母分式，再加减. 接着让学生独立完成教材 P141 练习第 1，2 题，同桌之间互相检查. 1.同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 用式子表示为 2.异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为 第二十一章 分式 15.2 分式的运算 15.2.2 分式的加减 课时 2 分式的混合运算 【知识与技能】 (1)明确分式混合运算的顺序，能熟练地进行分式的混合运算. (2)能灵活运用运算律进行简便运算. 【过程与方法】 经历分式的加、减、乘、除以及乘方的混合运算的过程，培养学生自主探索、自主学习、 自主归纳和运算的能力. 【情感态度与价值观】 体验知识的化归思想和转化思想，养成良好的思考问题的习惯. 熟练地进行分式的混合运算. 熟练地进行分式的混合运算. 多媒体课件. 让学生说出分数混合运算的顺序. 学生思考、交流，回答问题，并类比分数的混合运算法则猜想分式的混合运算法则.(教 师板书课题) 探究：分式的混合运算 教师出示投影： 计算： 学生类比分数混合运算的顺序，独立练习，小组内互相交流. 教师可提示两种思路： 思路一：能约分的先约分，再利用同分母分式的减法法则计算.利用除以一个数等于乘 这个数的倒数将除法运算转化为乘法运算，约分即可得到结果. 思路二：将除法变为乘法，运用乘法分配律计算. 教师引导学生比较，归纳得出：式与数有相同的运算顺序，先乘方，再乘除，最后相加 减.(教师板书) 接着教师出示教材 P141 例 7： 教师引导学生用笔标出运算的先后顺序，再由学生完成练习.教师适时讲解、板书解题 过程. 接着教师出示教材 P141 例 8： 计算： 学生首先确定运算顺序，然后自己独立完成，教师给予分析：对于(1)，重点分析把 m+2 化成 .对于(2)，学生互相检查将除法变为乘法时，除式的分子、分母 是否颠倒，检查多项式分解因式是否正确，引导学生及时纠正练习中的错误.最后教师利用 投影展示正确答案： 最后教师进行知识归纳：分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点： (1)有理数的运算顺序及运算规律对分式运算同样适用； (2)各分式中分子、分母符号的处理，结果中的分子或分母的系数是负数时，一般要把 “-”提到分式本身的前边； (3)括号的“添”或“去”； (4)分式运算与分数运算一样，结果必须化到最简，能约分的要进行约分，保证结果是 最简分式或整式. 接着让学生独立完成教材 P142 练习第 1，2 题，同桌之间互相检查. 分式的混合运算，要注意运算顺序.式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除， 最后加减，有括号的先算括号里面的.分式运算的最后结果要化成最简分式或整式.恰当地运 用运算律会使运算更为简便. 第二十二章 分式 15.2.3 整数指数幂 课时 1 整数指数幂 【知识与技能】 (1)知道负整数指数幂 (a≠0，n 是正整数). (2)掌握整数指数幂的运算性质. 【过程与方法】 通过指数的取值范围由正整数推广到全体整数，培养学生抽象的数学思维能力. 【情感态度与价值观】 在数学公式中感受数学公式的简洁美、和谐美，体会数学中的转化思想. 掌握整数指数幂的运算性质. 负整数指数幂的性质的理解和应用. 多媒体课件. 教师共同回忆：1.正整数指数幂的运算性质: (1)同底数幂的乘法：am·an=am+n(m，n 是正整数)； (2)幂的乘方：(am)n=amn(m，n 是正整数)； (3)积的乘方：(ab)n=anbn(n 是正整数)； (4)同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0，m，n 是正整数，m＞n)； (5)分式的乘方： 2.零指数幂的规定，即当 a≠0 时，a0=1. 教师引导学生回忆，并提出问题：am 中指数 m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数 指数幂 am 表示什么？ 探究 1：整数指数幂 教师：当 a≠0 时， ，再假设把正整数指数幂的运算 性质 am÷an=am-n(a≠0，m，n 是正整数，m＞n)中的条件 m＞n 去掉，那么 a3÷a5=a3-5=a-2，于 是得到 (a≠0). 然 后 引 导 学 生 总 结 负 整 数 指 数 幂 的 运 算 性 质 ： 一 般 地 ， 当 n 是 正 整 数 时 ， (教师板书)这就是说，a-n(a≠0)是 an 的倒数. 教师强调：引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数. 教师提出问题：引入负整数指数幂后，正整数指数幂的性质仍然适用吗？ 探究 2：整数指数幂的运算性质 教师出示投影： 计算： 想一想，正整数指数幂的运算性质在整数范围内仍然适用吗？ 学生独立计算，小组内互相交流： 在(1) ， 说明同底数幂的乘法运算性质在整数的范围内仍然适用； 在(2)中， ，说明幂的 乘方的运算性质在整数范围内仍然适用； 在(3)中 说明积的乘方的运算性质在整数范围内仍然适用. 教师根据巡视情况点拨，进一步引导归纳： 可以看作 ，所以同底数幂的除法的运 算性质和分式的乘方的运算性质在整数范围内也适用. 教师梳理学生讨论的情况，并板书： 整数指数幂的运算性质：(1)am·an=am+n(m，n 是整数)； (2)(am)n=amn(m，n 是整数)； (3)(ab)n=anbn(n 是整数)； (4)am÷an=am-n(a≠0，m，n 是整数)； 教师出示教材 P144 例 9： 计算： 让四名学生进行板演，师生共同点评： 教师提醒：本例是运用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算的，计算结果有负整数 指数幂时，要写成分数的形式. 接着教师让学生独立完成教材 P145 练习第 1，2 题，同桌之间互相检查. 整数指数幂的运算性质：(1)am·an=am+n(m，n 是整数)； (2)(am)n=amn(m，n 是整数)； (3)(ab)n=anbn(n 是整数)； (4)am÷an=am-n(a≠0，m，n 是整数)； 第二十三章 分式 15.2.3 整数指数幂 课时 2 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 【知识与技能】 会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数. 【过程与方法】 通过用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，培养学生转化和类比学习的能力. 【情感态度与价值观】 感受科学记数法的简洁美，培养学生辩证统一的唯物主义观点，感受自然界微观世界的 博大. 会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数. 用科学记数法表示绝对值较小的数时，a×10-n 形式中 n 的取值与小数中左起第一个非 零数字前 0 的个数的关系. 多媒体课件. 教师出示练习题：用科学记数法表示下列各数： 30 000 000 000；14 159 782；68 900 000. 学生口答. 然后教师引入：我们曾用科学记数法表示了一些绝对值较大的数，你能用科学记数法表 示一些绝对值较小的数吗？(教师板书课题) 探究：用科学记数法表示较小的数 教师出示投影：用小数表示下列各数：10-1，10-2，10-3，10-4，你发现了什么？ 学生计算，观察各数的指数和化成小数后 0 的个数之间的规律.10-1= =0.1， 教师引导学生归纳： 教师进一步总结：我们曾用科学记数法表示绝对值大于 10 的数，表示成 a×10n 的形式， 其中 1≤|a|＜10，n 为正整数.类似地，也可以用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数， 将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为正整数.(教师板书) 教师出示练习题：把下列各数用科学记数法表示出来. (1)0.000 01； (2)-112 000； (3)-0.000 001 12. 学生尝试解决问题，同桌交流.教师再重点指导(1)(3)两个小题. 教师追问：(1)当绝对值大于 10 的数用科学记数法表示成 a×10n 的形式时，1≤|a|＜ 10，n 的取值与整数位数有什么关系？ (2)当绝对值较小的数用科学记数法表示成 a×10-n 的形式时，a，n 有什么特点呢？ 教师引导学生归纳：绝对值较小的数的科学记数法表示形式 a×10-n 中，n 是正整数，a 的取值为 1≤|a|＜10，n 的取值为小数中第一个不为 0 的数字前面所有的 0 的个数，如 0.000 05=5×10-5(5 前面有 5 个 0)；0.000 007 2=7.2×10-6(7 前面有 6 个 0). 接着教师出示教材 P145 例 10： 纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm=10-9 m.把 1 nm3 的物体放到乒乓球上，就如同把 乒乓球放到地球上.1 mm3 的空间可以放多少个 1 nm3 的物体(物体之间的间隙忽略不计)？ 教师点明：1 mm=10-3 m，1 nm=10-9 m，学生再独立思考，写出解题过程. 学生讨论如何统一单位.教师指导. 接着，教师让学生完成教材 P145 练习第 1，2 题，同桌之间互相检查. 用科学记数法表示一些绝对值较小的数，将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 1≤|a|＜ 10，n 为正整数. 第二十四章 分式 15.3 分式方程 课时 1 分式方程的解法 【知识与技能】 (1)理解分式方程的意义. (2)理解解分式方程的基本思路和解法. (3)理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 经历由分式方程转化为整式方程的过程，体会转化思想. 【情感态度与价值观】 在探索分式方程的解法的过程中，体会通过探索得到发现的乐趣. 解分式方程的基本思路和解法. 解分式方程时可能无解的原因. 多媒体课件. 教师出示问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等,江水的流速为多少？ 学生依照教材中的分析，完成填空，根据“两次航行所用时间相等”这一相等关系列出 方程： 教师追问：方程 与以前学过的整式方程有什么不同？ 学生思考、讨论后再全班交流，教师以此引出本节课题并板书. 探究 1：分式方程的概念 师生共同概括：分母中含未知数的方程叫作分式方程.(教师板书) 教师接着让学生举出一个分式方程的例子，学生口答. 接着出示练习题：判断下列各式哪个是分式方程. 学生先思考，再举手回答：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程. 探究 2：分式方程的解法 教师提出问题：怎样解分式方程呢？ 然后让学生回答以下问题： (1)回顾解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有方法可以去掉分式方程的分母，把它转化为整式方程呢？ 学生先自主探索，再合作学习并进行总结. 然后师生共同解方程 .①(教师板书) 解：给方程两边同乘(30+v)(30-v)，约去分母，得 90(30-v)=60(30+v). 解这个整式方程，得 v=6. 检验：将 v=6 代入①中，左边＝ =右边，因此 v=6 是分式方程①的解. 所以江水的流速为 6 km/h. 教师概括：上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘同一个整式，约去分母， 把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 教师出示投影：解方程 .②(师生共同完成) 解：给方程两边同乘(x+5)(x-5)，约去分母，得 x+5=10. 解这个整式方程，得 x=5. 教师：事实上，当 x=5 时，分母 x-5 与 x2-25 都是 0，方程中出现的两个分式都没有意 义.因此，x=5 不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解. 教师进一步引出增根的概念：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未 知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为 增根.因此，在解分式方程时必须进行检验. 教师追问：那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？ 学生先思考，再小组交流，最后选取代表回答： 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).给方程①两 边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解 v=6.当 v=6 时，(30+v)(30-v)≠0，这就是说， 去分母时，方程①两边乘了同一个不为 0 的式子，因此所得整式方程的解与方程①的解相同. 给方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解 x=5.当 x=5 时，(x-5)(x+5)=0， 这就是说，去分母时，给方程②两边乘了同一个等于 0 的式子，这时所得整式方程的解使方 程②出现分母为 0 的现象.因此这样的解不是方程②的解. 最后教师总结验根的方法：解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否 使原分式方程的分式的分母为 0.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分 母)，看它的值是否为 0.如果为 0，即为增根. 教师分别出示教材 P151 例 1、例 2： 例 1 解方程： 解：方程两边乘 x(x-3)，得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当 x=9 时，x(x-3)≠0. 所以原分式方程的解为 x=9. 例 2 解方程： 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当 x=1 时，(x-1)(x+2)=0，因此 x=1 不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解. 让两名学生分别在黑板上完成，其余学生在草稿本上完成，教师巡回指导. 接着，让学生独立完成教材 P150 练习和 P152 练习，同桌之间互相检查. 1.分式方程的概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程. 2.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母， 有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 3.解分式方程的一般步骤： (1)在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程. (2)解这个方程. (3)把整式方程的根代入原分式方程，看方程左右两边是否相等，并检验最简公分母是 否为 0. 第二十五章 分式 15.3 分式方程 课时 2 分式方程的应用 【知识与技能】 (1)进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程. (2)熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题. 【过程与方法】 建立分式方程模型的过程，体会建模思想. 【情感态度与价值观】 在探索分式方程解决实际问题的过程中，体会数学在实际生活中的广泛应用. 在不同的实际问题中审清题意设未知数，列分式方程，解决实际问题. 在不同的实际问题中，设未知数列分式方程. 多媒体课件. 教师出示问题： 1.列方程解应用题的一般步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；（5）验；(6)答.(教师板书) 2.由学生讨论，我们现在所学过的应用题有哪些类型？ 学生举手回答上面的两个问题，教师点评. 在学生讨论的基础上，教师归纳、总结，基本上有五种： (出示投影)(1)行程问题：路程=速度×时间，而行程问题中又分相遇问题和追及问题. (2)数字问题：在数字问题中，要掌握十进制数的表示法. (3)工程问题：工作量=工作时间×工作效率. (4)顺水、逆水问题：v 顺水=v 静水+v 水，v 逆水=v 静水-v 水. (5)利润问题：售价-进价=利润率×进价. 教师引入：有一些实际问题，我们可以通过列分式方程解决.(板书课题) 教师：同学们，我们一起来看几个例子(教师依次出示教材 P152 例 3、P153 例 4)： 例 3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 13，这时 增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 分析：甲队 1 个月完成总工程的 ，设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 ，那么 甲队半个月完成总工程的（ ），乙队半个月完成总工程的（ ），两队半个月完成总 工程的（ ）. 教师引导学生在用式子表示上述的量之后，再根据“甲、乙两个工程队的工程总量=总 工程量”这一相等关系建立方程. 教师示范解答过程，强调必须检验这一过程. 例 4 某次列车平均提速 v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前 多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 学生讨论，教师引导.先指导学生读题，理清速度、路程和时间所对应的式子，再抓住 “相同的时间”这一关键词，得出相等的数量关系，即“提速前的路程÷提速前的速度=提 速后的路程÷提速后的速度”，从而建立方程. 学生自己独立完成解答过程，教师再演示解答过程. 注意：教师帮助学生解决含有字母的计算问题，求出关于 x 的方程的解.教师提醒：表 达问题时，用字母不仅可以表示未知数(量)，也可以表示已知数(量). 最后教师总结：(1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等数量关系，在列方程时一 定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系. (2)在检验过程中，不仅要检验所得的根是否为原分式方程的根，还要检验这个根在实 际问题中是否具有实际意义，如时间非负、人数为正数等. (3)在一些实际问题中，有时直接设问题所求的量为未知数可能比较麻烦，可以间接地 设未知数. 接着教师让学生独立完成教材 P154 练习第 1，2 题，同桌之间互相检查. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： (1)审题,了解已知量与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； (2)设未知数； (3)找出能够表示题中全部(或大部分)含义的相等关系，列出分式方程； (4)解这个分式方程； (5)验根，检验所求得的根是不是增根，以及是否符合实际意义； (6)写出答案.