八年级数学上册第一章勾股定理1-2一定是直角三角形吗教学课件新版北师大版

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八年级数学上册第一章勾股定理1-2一定是直角三角形吗教学课件新版北师大版

1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 情境引入 学习目标 1. 了解直角三角形的判定条件.(重点) 2. 能够运用勾股数解决简单实际问题. (难点) 导入新课 问题: 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗 ? 用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段 , 一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结 , 两个助手分别握住第 4 个结和第 9 个结 , 拉紧绳子就得到一个直角三角形 , 其直角在第 1 个结处 . 讲授新课 勾股定理的逆定理 一 探究: 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a , b , c : ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答下列问题 : 1. 这三组数都满足 a 2 + b 2 = c 2 吗? 2. 分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗? 实验结果: ① 5,12,13 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 可以构成直角三角形 ; ② 7,24,25 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 可以构成直角三角形 ; ③ 8,15,17 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 可以构成直角三角形 . 思考: 从上述问题中 ,能发现什么结论吗? 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 那么这个三角形是直角三角形 . 有同学认为测量结果可能有误差 , 不同意 这个发现 . 你觉得这个发现正确吗 ? 你能给 出一个更有说服力的理由吗 ? △ ABC ≌ △ A′B′C′    ? ∠ C 是直角    △ ABC 是直角三角形   A   B   C   a b c 已知:如图,△ ABC 的三边长 a , b , c ,满足 a 2 + b 2 = c 2 . 求证:△ ABC 是直角三角形. 构造两直角边分别为 a,b 的 Rt△ A′B′C′ 证明结论 简要说明: 作一个直角 ∠ MC 1 N , 在 C 1 M 上截取 C 1 B 1 = a = CB, 在 C 1 N 上截取 C 1 A 1 = b = CA , 连接 A 1 B 1. 在 Rt△ A 1 C 1 B 1 中,由勾股定理 , 得 A 1 B 1 2 = a 2 + b 2 = AB 2 . ∴ A 1 B 1 = AB , ∴ △ ABC ≌ △ A 1 B 1 C 1 . ( SSS ) ∴ ∠ C =∠ C 1 =90° , ∴ △ ABC 是直角三角形 . a c b A C B b a C 1 M N B 1 A 1 勾股定理的逆定理 归纳总结 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 a 2 + b 2 = c 2 那么这个三角形是直角三角形 . A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的 判定定理 ,即已知三角形的三边长,且满足两条 较小边 的平方和等于 最长边 的平方,即可判断此三角形为直角三角 , 最长边所对角为直角 . 特别说明: 典例精析 例 1 : 一个零件的形状如图 1 所示 , 按规定这个零件中∠ A 和∠ DBC 都应为直角 , 工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示 , 这个零件符合要求吗 ? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图 1 图 2 在△ BCD 中, 所以 △ BCD 是直角三角形, ∠ DBC 是直角 . 因此,这个零件符合要求 . 解:在△ ABD 中, 所以 △ ABD 是直角三角形, ∠ A 是直角 . 例 2 下面以 a , b , c 为边长的三角形是不是直角三角形?如果是 , 那么哪一个角是直角? (1) a =15 , b =8 , c =17; 解:因为 15 2 +8 2 =289 , 17 2 =289 ,所以 15 2 +8 2 =17 2 ,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形,且∠ C 是直角 . (2) a =13 , b =14 , c =15; 解:因为 13 2 +14 2 =365 , 15 2 =225 , 所以 13 2 +14 2 ≠ 15 2 ,不符合勾股定理的逆定理,所以这个三角形不是直角三角形 . (3) a : b : c =3:4:5; 解:设 a =3 k , b =4 k , c =5 k , 因为 (3 k ) 2 +(4 k ) 2 =25 k 2 ,(5 k ) 2 =25 k 2 , 所以 (3 k ) 2 +(4 k ) 2 =(5 k ) 2 , 根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形,∠ C 是直角 . 根据勾股定理及其逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方 . 归纳 变式 1 : 已知 △ ABC , AB=n²- 1 , BC=2n , AC=n²+ 1 ( n 为 大于 1 的正整数 ). 试问 △ ABC 是直角三角形吗?若是, 哪一条边所对的角是直角?请说明理由 解: ∵ AB²+BC²= (n²-1)²+(2n)² =n 4 -2n²+1+4n² =n 4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC² , ∴△ ABC 直角三角形,边 AC 所对的角是直角 . 先确定 AB 、 BC 、 AC 、 的大小 变式 2 : 若三角形 ABC 的三边 a , b , c 满足 a 2 + b 2 + c 2 +50=6 a +8 b +10 c . 试判断△ ABC 的形状 . 解: ∵ a 2 + b 2 + c 2 +50=6 a +8 b +10 c ∴ a 2 - 6 a + 9+ b 2 - 8 b + 16+ c 2 - 10 c + 2 5= 0. 即 ( a - 3)² + ( b - 4)² + ( c - 5)² = 0. ∴ a =3, b = 4, c = 5 即 a 2 + b 2 + c 2 . ∴△ ABC 直角三角形 . 例 3 在正方形 ABCD 中, F 是 CD 的中点, E 为 BC 上一点,且 CE = CB ,试判断 AF 与 EF 的 位置关系,并说明理由. 解:AF⊥EF.设正方形的边长为4a, 则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a. 在Rt△ABE中,得AE 2 =AB 2 +BE 2 =16a 2 +9a 2 =25a 2 . 在Rt△CEF中,得EF 2 =CE 2 +CF 2 =a 2 +4a 2 =5a 2 . 在Rt△ADF中,得AF 2 =AD 2 +DF 2 =16a 2 +4a 2 =20a 2 . 在△AEF中,AE 2 =EF 2 +AF 2 , ∴△AEF为直角三角形,且AE为斜边. ∴∠AFE=90°,即AF⊥EF. 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 那么这个三角形是直角三角形 . 满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个正整数,称为 勾股数 . 勾股数 二 概念学习 常见勾股数: 3 , 4 , 5 ; 5 , 12 , 13 ; 6 , 8 , 10 ; 7 , 24 , 25 ; 8 , 15 , 17 ; 9 , 40 , 41 ; 10 , 24 , 26 等等 . 勾股数拓展性质: 一组勾股数,都扩大相同倍数 k ,得到一组新数,这组数同样是勾股数 . 例 4 : 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6 , 8 , 10 B.7 , 8 , 9 C.0.3 , 0.4 , 0.5 D.5 2 , 12 2 , 13 2 A 方法点拨:根据勾股数的定义,勾股数必须为正整数,先排除小数,再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可 . 当堂练习 1. 如果线段 a , b , c 能组成直角三角形 , 则它们的比可以是 ( ) A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数 , 则得到 的三角形 ( ) A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形 B A 4. 如果三条线段 a , b , c 满足 a 2 = c 2 - b 2 , 这三条线段组成的三角形是直角三角形吗 ? 为什么 ? 解:是直角三角形 . 因为 a 2 + b 2 = c 2 满足勾股定理的逆定理 . 3. 以△ ABC 的三条边为边长向外作正方形 , 依次得到的面积是 25, 144 , 169, 则这个三角形是 ______ 三角形 . 直角 5. 如图,在正方形 ABCD 中, AB=4 , AE=2 , DF=1 , 图中有几个直角三角形,你是如何判断的? 与你的同伴交流 . 4 1 2 2 4 3 解 :△ABE ,△ DEF ,△ FCB 均为直角三角形 . 由勾股定理知 BE 2 =2 2 +4 2 =20 , EF 2 =2 2 +1 2 =5 , BF 2 =3 2 +4 2 =25, ∴BE 2 +EF 2 =BF 2 , ∴ △BEF 是 直角三角形 . 6. 如图, 四边形 ABCD 中, AB⊥AD ,已知 AD=3cm , AB=4cm , CD=12cm , BC=13cm ,求四边形 ABCD 的面积 . 解:连接 BD. 在 Rt△ABD 中 , 由勾股定理 , 得 BD 2 =AB 2 + AD 2 ,∴ BD =5m, 又 ∵ CD=12cm , BC=13cm ∴ BC 2 =CD 2 +BD 2 ,∴ △BDC 是直角三角形 . S 四边形ABC D =S Rt△BC D - S Rt△A B D = B D •C D - A B • A D = ( 5×12 - 3×4 ) = 24 m 2 . C B A D 变式: 如图,在四边形 ABCD 中, AC⊥DC ,△ ADC 的面积为 30 cm 2 , DC = 12 cm , AB = 3 cm , BC = 4 cm ,求△ ABC 的面积 . 解 : ∵ S △ ACD =30 cm 2 , DC = 12 cm. ∴ AC=5 cm, 又 ∵ ∴ △ ABC 是直角三角形 , ∠B 是直角 . ∴ D C B A 一定是直角三角形吗 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 那么这个三角形是直角三角形 . 课堂小结 勾股数:满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个正整数
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