重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

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14.3.2 公式法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 运用完全平方公式因式分解 学习目标 1. 理解并掌握 用 完全平方公式分解因式 ． （重点） 2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算．（难点） 导入新课 复习引入 1. 因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式 . 2. 我们已经学过哪些 因 式分解的方法？ 1. 提公因式法 2. 平方差公式 a 2 - b 2 =( a+b )( a-b ) 讲授新课 用完全平方公式分解因式 一 你能把下面 4 个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b ab a ² b ² ab 这个大正方形的面积可以怎么求？ a 2 +2 ab + b 2 （ a + b ） 2 = a b a b a ² ab ab b ² （ a + b ） 2 a 2 +2 ab + b 2 = 将上面的等式倒过来看，能得到： a 2 + 2 ab+b 2 a 2 － 2 ab+b 2 我们把 a²+ 2 ab+b² 和 a²- 2 ab+b² 这样的式子叫作 完全平方式 . 观察这两个式子： （ 1 ）每个多项式有几项？ （ 3 ）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （ 2 ）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的 ± 2 倍 完全平方式的特点： 1. 必须是 三项式 （或可以看成三项的）； 2. 有两个 同号 的数或式的平方； 3. 中间有两底数之积的 ±2 倍 . 完全平方式 : 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央 . 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解 . 2 a b + b 2 ± = ( a ± b )² a 2 首 2 + 尾 2 ± 2 ×首×尾 ( 首± 尾 ) 2 两个数的平方和加上 ( 或减去 ) 这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和 ( 或差 ) 的平方 . 3. a ²+4 ab +4 b² =( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2. m ²-6 m +9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x ²+4 x +4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2 b a + 2 b 2 b 对照 a ²± 2ab + b ²=( a ± b )² ，填空： m m - 3 3 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式？ （ 1 ） a 2 － 4 a +4; （ 2 ） 1+4 a ²; （ 3 ） 4 b 2 +4 b -1; （ 4 ） a 2 + ab + b 2 ; （ 5 ） x 2 + x +0.25. 是 （ 2 ）因为它只有两项； 不是 （ 3 ） 4 b ² 与 -1 的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （ 4 ）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍 . 例 1 如果 x 2 -6 x + N 是一个完全平方式 , 那么 N 是 ( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6 x =2 x × (-3), 故可知 N =(-3) 2 =9. 变式训练 如果 x 2 - mx +16 是一个完全平方式 , 那么 m 的值为 ________. 解析： ∵16= ( ± 4 ) 2 ，故 - m =2 × ( ± 4 ) ， m = ± 8. ± 8 典例精析 方法总结： 本题要 熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值 . 计算过程中，要 注意积的2倍的符号，避免漏解． 例 2 分解因式： （ 1 ） 16 x 2 + 24 x+ 9 ； （ 2 ） - x 2 +4 xy - 4 y 2 . 分析 ： (1) 中， 16 x 2 =(4 x ) 2 , 9=3², 24 x =2·4 x ·3, 所以 16 x 2 +24 x +9 是一个完全平方式，即 16 x 2 + 24 x +9= (4 x ) 2 + 2·4 x ·3 + (3) 2 . 2 a b + b 2 a 2 (2) 中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 - ( x 2 - 4 xy +4 y 2 ), 然后再利用公式分解因式 . 解： (1) 16 x 2 + 24 x +9 = (4 x + 3) 2 ； = (4 x ) 2 + 2·4 x ·3 + (3) 2 (2) - x 2 + 4 xy - 4 y 2 = - ( x 2 - 4 x y+4 y 2 ) = - ( x - 2 y ) 2 . 例 3 把下列各式分解因式： ( 1 ) 3 ax 2 +6 axy +3 ay 2 ； (2)( a + b ) 2 -12( a + b )+36. 解 : (1) 原式 =3 a （ x 2 +2 xy + y 2 ） =3 a （ x + y ） 2 ； 分析 ： (1) 中有公因式 3 a , 应先提出公因式，再进一步分解因式； (2) 中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m , 则原式化为 m 2 -12 m +36. (2) 原式 =( a + b ) 2 -2·( a+b ) ·6+6 2 =( a+b -6) 2 . 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 公式法 . 因式分解： (1) － 3 a 2 x 2 ＋ 24 a 2 x － 48 a 2 ； (2)( a 2 ＋ 4) 2 － 16 a 2 . 针对训练 ＝ ( a 2 ＋ 4 ＋ 4 a )( a 2 ＋ 4 － 4 a ) 解： (1) 原式＝ － 3 a 2 ( x 2 － 8 x ＋ 16) ＝ － 3 a 2 ( x － 4) 2 ； (2) 原式＝ ( a 2 ＋ 4) 2 － (4 a ) 2 ＝ ( a ＋ 2) 2 ( a － 2) 2 . 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 例 4 把下列完全平方公式分解因式： (1) 100 2 － 2×100×99+99² ； (2)34 2 ＋ 34×32 ＋ 16 2 . 解： (1) 原式 = （ 100 － 99)² (2) 原式＝ (34 ＋ 16) 2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算， =1. ＝ 2500. 例 5 已知 x 2 － 4 x ＋ y 2 － 10 y ＋ 29 ＝ 0 ，求 x 2 y 2 ＋ 2 xy ＋ 1 的值． ＝ 11 2 ＝ 121. 解： ∵ x 2 － 4 x ＋ y 2 － 10 y ＋ 29 ＝ 0 ， ∴ ( x － 2) 2 ＋ ( y － 5) 2 ＝ 0. ∵ ( x － 2) 2 ≥0 ， ( y － 5) 2 ≥0 ， ∴ x － 2 ＝ 0 ， y － 5 ＝ 0 ， ∴ x ＝ 2 ， y ＝ 5 ， ∴ x 2 y 2 ＋ 2 xy ＋ 1 ＝ ( xy ＋ 1) 2 几个非负数的和为 0 ，则这几个非负数都为 0. 方法总结： 此类问题一般情况是 通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题． 例 6 已知 a ， b ， c 分别是 △ ABC 三边的长，且 a 2 ＋ 2 b 2 ＋ c 2 － 2 b ( a ＋ c ) ＝ 0 ，请判断 △ ABC 的形状，并说明理由． ∴ △ ABC 是等边三角形． 解：由 a 2 ＋ 2 b 2 ＋ c 2 － 2 b ( a ＋ c ) ＝ 0 ， 得 a 2 － 2 ab ＋ b 2 ＋ b 2 － 2 bc ＋ c 2 ＝ 0 ， 即 ( a － b ) 2 ＋ ( b － c ) 2 ＝ 0 ， ∴ a － b ＝ 0 ， b － c ＝ 0 ， ∴ a ＝ b ＝ c ， 当堂练习 1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( ) A ． a 2 ＋ 1 B ． a 2 － 6 a ＋ 9 C ． x 2 ＋ 5 y D ． x 2 － 5 y 2. 把多项式 4 x 2 y － 4 x y 2 － x 3 分解因式的结果是 ( ) A ． 4 x y ( x － y ) － x 3 B ．－ x ( x － 2 y ) 2 C ． x (4 x y － 4 y 2 － x 2 ) D ．－ x ( － 4 x y ＋ 4 y 2 ＋ x 2 ) 3. 若 m ＝ 2 n ＋ 1 ，则 m 2 － 4 mn ＋ 4 n 2 的值是 ________ ． B B 1 4. 若关于 x 的多项式 x 2 － 8 x ＋ m 2 是完全平方式，则 m 的值为 ___________ ． ± 4 5. 把下列多项式因式分解 . （ 1 ） x 2 － 12 x +36; （ 2 ） 4(2 a +b) 2 -4(2 a +b)+1; (3) y 2 +2 y +1 － x 2 ; ( 2 ) 原式 = [ 2 (2 a +b)] ² － 2·2 (2 a +b) ·1+ ( 1 ) ² = (4 a +2b － 1 ) 2 ; 解： (1) 原式 = x 2 － 2· x ·6+ ( 6 ) 2 = ( x － 6 ) 2 ; ( 3 ) 原式 = ( y +1 ) ² － x ² = ( y +1+ x )( y +1 － x ) . (2) 原式 6. 计算： (1)38.9 2 － 2×38.9×48.9 ＋ 48.9 2 . 解： (1) 原式＝ (38.9 － 48.9) 2 ＝ 100. 7 . 分解因式 :(1)4 x 2 ＋ 4 x ＋ 1 ； (2) 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. x 2 － 2 x ＋ 3. (2) 原式 ＝ ( x 2 － 6 x ＋ 9) ＝ ( x － 3) 2 解 : (1) 原式 ＝ (2 x ) 2 ＋ 2•2 x •1 ＋ 1 ＝ (2 x +1) 2 小聪 : 小明 : × × 8. (1) 已知 a － b ＝ 3 ，求 a ( a － 2 b ) ＋ b 2 的值； (2) 已知 ab ＝ 2 ， a ＋ b ＝ 5 ，求 a 3 b ＋ 2 a 2 b 2 ＋ ab 3 的值． 原式＝ 2×5 2 ＝ 50. 解： (1) 原式＝ a 2 － 2 ab ＋ b 2 ＝ ( a － b ) 2 . 当 a － b ＝ 3 时，原式＝ 3 2 ＝ 9. (2) 原式＝ ab ( a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 ) ＝ ab ( a ＋ b ) 2 . 　 当 ab ＝ 2 ， a ＋ b ＝ 5 时， 课堂小结 完全平方公式分解因式 公式 a 2 ±2 ab + b 2 =( a±b ) 2 特点 （ 1 ） 要求多项式有 三项 . （ 2 ） 其中 两项同号，且都可以写成某数或式的平方 ，另一项则是 这两数或式的乘积的 2 倍 ，符号可正可负 .