江苏省盐城市2019-2020学年度高一下学期期终（期末）数学考试试题（解析版）

江苏省盐城市2019-2020学年度高一下学期期终（期末）数学考试试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省盐城市高一第二学期期末数学试卷 一、选择题（共8小题）.‎ ‎1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B＝（　　）‎ A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎2．某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800（单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（　　）‎ A．108 B．‎96 ‎C．156 D．208‎ ‎3．从3名男生，2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动，则选中的是1男1女的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若直线x+ay+1＝0与直线ax+4y+2＝0平行，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣2 B．‎0 ‎C．2 D．±2‎ ‎5．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：‎ x/℃‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎21‎ ‎23‎ y/百元 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎3‎ 若y与x具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（　　）‎ A．（22，3） B．（22，5） C．（24，3） D．（24，5）‎ ‎6．与圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0和x2+y2﹣4x﹣10y+13＝0都相切的直线共有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎7．若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎8．设函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，）∪[1，+∞） B．[，1） ‎ C．（0，） D．（0，）∪（1，+∞）‎ 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）‎ ‎9．设函数f（x）＝sin2x+cos2x，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）的最小正周期为π ‎ B．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称 ‎ C．f（x）的最大值为 ‎ D．y＝f（x）的图象关于点（，0）对称 ‎10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝＝absinC，acosB+bsinA＝c，则下列结论正确的是（　　）‎ A．tanC＝2 B．A＝ ‎ C．b＝或b＝3 D．△ABC的面积为6‎ ‎11．已知边长为2的菱形ABCD中，，现沿着BD将菱形折起，使得，则下列结论正确的是（　　）‎ A．AC⊥BD ‎ B．二面角A﹣BD﹣C的大小为 ‎ C．点A到平面BCD的距离为 ‎ D．直线AD与平面BCD所成角的正切值为 ‎12．设函数f（x）是定义在实数集R上周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，．若直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值可为（　　）‎ A．﹣ B．‎0 ‎C．﹣ D．1﹣‎ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎13．已知tanα＝2，则sin2α﹣cos2α＝　 　．‎ ‎14．古希腊数学家阿基米德的整碑上刻着一个圆柱，此陶柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图所示，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们不妨称之为“阿氏球柱体”，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球桂体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为　 　．‎ ‎15．已知点P在圆C：（x﹣4）2+y2＝4上，点A（6，0），M为AP的中点，O为坐标原点，则tan∠MOA的最大值为　 　．‎ ‎16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，圆M为△BCD的内切圆，点P为圆上任意一点，且，则λ+μ的最大值为　 　．‎ 四、解答题（本大题共6小题，计70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）‎ ‎（1）若||＝||，求角α的值；‎ ‎（2）若•＝﹣1，求的值．‎ ‎18．某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率x的频率分布表如表：‎ x的分组 ‎[﹣0.20，0）‎ ‎[0，0.20）‎ ‎[0.20，0.40）‎ ‎[0.40，0.60）‎ ‎[0.60，0.80]‎ 企业数 ‎13‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（1）估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例；‎ ‎（2）求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，侧面PAB ‎⊥底面ABCD，PB＝2，AB＝AC＝PA＝2．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC；‎ ‎（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若VM﹣PAC＝VP﹣ACD，求三棱锥P﹣AMB的体积．‎ ‎20．设函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x（a∈R）．‎ ‎（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点x0；‎ ‎（2）若函数h（x）＝f（x）+4x+2﹣x在x∈[0，1]的最大值为﹣2，求实数a的值．‎ ‎21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＝c（1+cosA）．‎ ‎（1）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围；‎ ‎（2）若b＝2，且B∈[，]，求△ABC面积的最小值．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0），且被y轴截得的弦长为2，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点．‎ ‎（1）求当满足+2＝时对应的直线l的方程；‎ ‎（2）若点P（﹣3，0），直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为T，分别记直线l、直线RT的斜率为k1、k2，求证：k1+k2为定值．‎ 参考答案 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）‎ ‎1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B＝（　　）‎ A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【分析】进行交集的运算即可．‎ 解：A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ ‎∴A∩B＝{﹣1，0}．‎ 故选：B．‎ ‎2．某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800（单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（　　）‎ A．108 B．‎96 ‎C．156 D．208‎ ‎【分析】利用分层抽样性质求解即可．‎ 解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为800：1000：800＝4：5：4，‎ 现用分层抽样的方法抽出的样本中高一学生有48人，‎ ‎∴由分层抽样性质，得：＝，‎ 解得n＝156．‎ 故选：C．‎ ‎3．从3名男生，2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动，则选中的是1男1女的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】分别计算出基本事件总数n，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数m，由此能求出选中的恰好是一男一女的概率 解：从3名男生，2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动，‎ 基本事件总数n＝C52＝10，‎ 选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数m＝C‎31C21＝6‎ 则选中的恰好是一男一女的概率为p＝＝‎ 故选：D．‎ ‎4．若直线x+ay+1＝0与直线ax+4y+2＝0平行，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣2 B．‎0 ‎C．2 D．±2‎ ‎【分析】由两直线平行时满足的条件，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ 解：因为x+ay+1＝0与直线ax+4y+2＝0平行，‎ 所以4﹣a2＝0即a＝2或a＝﹣2，‎ 当a＝2时，x+2y+1＝0与直线2x+4y+2＝0重合，不符合题意，‎ 故a＝﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎5．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y（单位：百元）与当天的平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：‎ x/℃‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎21‎ ‎23‎ y/百元 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎3‎ 若y与x具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（　　）‎ A．（22，3） B．（22，5） C．（24，3） D．（24，5）‎ ‎【分析】根据表中数据计算、，得出线性回归方程所过的样本中心点．‎ 解：由表中数据，计算＝×（20+22+24+21+23）＝22，‎ ‎＝×（1+3+6+2+3）＝3，‎ 所以y与x的线性回归方程必过样本中心点（22，3）．‎ 故选：A．‎ ‎6．与圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0和x2+y2﹣4x﹣10y+13＝0都相切的直线共有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【分析】确定两圆相外切，即可得出结论．‎ 解：圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0的圆心为（﹣2，2），半径为1，x2+y2﹣4x﹣10y+13＝0圆心是（2，5），半径为4‎ 故两圆相外切 ‎∴与圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0和x2+y2﹣4x﹣10y+13＝0都相切的直线共有3条．‎ 故选：C．‎ ‎7．若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎【分析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，求出圆锥的侧面积和轴截面面积，列方程求得圆锥的高．‎ 解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h；‎ 由圆锥的母线长为4，‎ 所以圆锥的侧面积为πr•4＝4πr；‎ 又圆锥的轴截面面积为•2r•h＝rh，‎ 所以4πr＝4rh，‎ 解得h＝π；‎ 所以该圆锥的高为π．‎ 故选：A．‎ ‎8．设函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，）∪[1，+∞） B．[，1） ‎ C．（0，） D．（0，）∪（1，+∞）‎ ‎【分析】根据对数函数的定义，可得a＞0，讨论0＜a＜1和a＞1时的情况得到关于a的不等式解得即可．‎ 解：根据对数函数定义a＞0时，此时y＝﹣ax﹣1为减函数，‎ ‎①当0＜a＜1时，令g（x）＝loga（x+2），此时需满足g（x）max＞h（x）min，‎ 即loga2＞﹣1＝，即有＞2，故0＜a＜；‎ ‎②当a＞1时，此时条件恒成立，‎ 综上a＞1或0＜a＜，‎ 故选：D．‎ 二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）‎ ‎9．设函数f（x）＝sin2x+cos2x，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）的最小正周期为π ‎ B．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称 ‎ C．f（x）的最大值为 ‎ D．y＝f（x）的图象关于点（，0）对称 ‎【分析】将函数f（x）整理为sin（2x+），结合正弦函数相关性质逐一进行判断即可 解：f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），‎ 故其最小周期T＝＝π，最大值为，故A、C正确；‎ 令2x+＝+kπ（k∈Z），则x＝+（k∈Z），当k＝0时，x＝，故B正确；‎ 令2x+＝kπ（k∈Z），则x＝﹣+（k∈Z），当k＝2时，x＝，故D正确．‎ 故选：ABCD．‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝＝absinC，acosB+bsinA＝c，则下列结论正确的是（　　）‎ A．tanC＝2 B．A＝ ‎ C．b＝或b＝3 D．△ABC的面积为6‎ ‎【分析】由已知a2+b2﹣c2＝absinC，acosB+bsinA＝c，利用余弦定理，正弦定理可求角C，B的三角函数值，进而求b，利用三角形的面积公式即可求其面积．‎ ‎【解答】解；∵a2+b2﹣c2＝absinC，‎ ‎∴2abcosC＝absinC，则tanC＝2，故A正确；‎ ‎∴sinC＝，cosC＝．‎ ‎∵acosB+bsinA＝c，‎ ‎∴sinAcosB+sinBsinA＝sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，‎ ‎∴sinBsinA＝cosAsinB，‎ 又sinB≠0，‎ ‎∴sinA＝cosA，‎ ‎∴A＝，故B正确；‎ ‎∴sinB＝sin（A+C）＝，‎ ‎∵a＝，则由正弦定理得b＝＝＝3，故C错误；‎ ‎∴S△ABC＝absinC＝×＝6，故D正确．‎ 故选：ABD．‎ ‎11．已知边长为2的菱形ABCD中，，现沿着BD将菱形折起，使得，则下列结论正确的是（　　）‎ A．AC⊥BD ‎ B．二面角A﹣BD﹣C的大小为 ‎ C．点A到平面BCD的距离为 ‎ D．直线AD与平面BCD所成角的正切值为 ‎【分析】取BD中点O，证明BD⊥平面OAC可判断A，根据△OAC的形状判断B，根据二面角A﹣BD﹣C的大小判断C，计算直线AD与平面BCD所成角的正切值判断D．‎ 解：取BD得中点O，连接OA，OC，‎ 由菱形性质可知△ABD和△BCD都是等边三角形，‎ ‎∴BD⊥OA，BD⊥OC，又OA∩OC＝C，‎ ‎∴BD⊥平面AOC，‎ ‎∴BD⊥AC，故选项A正确；‎ 由BD⊥OA，BD⊥OC可知∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，‎ 由AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2可知OA＝OC＝，又AC＝，‎ ‎∴∠AOC＝，故选项B正确；‎ ‎∴A到平面BCD的距离h＝OA•sin∠AOC＝＝，故选项C正确；‎ 过A作AM⊥平面BCD，垂足为M，则M为OC的中点，∴OM＝OC＝，‎ 连接DM，则∠ADM为直线AD与平面BCD所成的角，且AM＝，‎ 故DM＝＝＝，‎ ‎∴tan∠ADM＝＝，故选项D错误．‎ 故选：ABC．‎ ‎12．设函数f（x）是定义在实数集R上周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，．若直线y＝x+a与函数y＝f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值可为（　　）‎ A．﹣ B．‎0 ‎C．﹣ D．1﹣‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和周期性作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到条件关系．‎ 解：∵f（x）是偶函数，且当0≤x≤1时，，‎ ‎∴当﹣1≤x≤0时，f（x）＝f（﹣x）＝1﹣，整理得x2+（y﹣1）2＝1‎ 又因为f（x）周期为2，故1≤x≤2时，f（x）＝1﹣，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，‎ 作出函数f（x）在[0，2]上的图象如图，图象表示两段四分之一的圆弧，‎ 则当直线经过点A（1，1）时，满足条件此时1＝1+a，解得a＝0，‎ 当直线y＝x+a与x2+（y﹣1）2＝1相切时，也满足条件，‎ 此时a＜0，且＝1，解得a＝1﹣‎ 故a＝0或a═1﹣‎ 故选：BD．‎ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎13．已知tanα＝2，则sin2α﹣cos2α＝　　．‎ ‎【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．‎ 解：∵tanα＝2，∴sin2α﹣cos2α＝＝＝＝，‎ 故答案为：．‎ ‎14．古希腊数学家阿基米德的整碑上刻着一个圆柱，此陶柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图所示，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们不妨称之为“阿氏球柱体”，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球桂体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为　　．‎ ‎【分析】设球的半径为r，计算出两几何体的体积，用圆柱体的体积减去球的体积即可得到“阿氏球柱体”中剩下的水的体积，则答案可求．‎ 解：∵球内切于圆柱，‎ ‎∴圆柱的底面半径与球的半径相等，不妨设为r，则圆柱的高为2r，‎ ‎∴V圆柱＝πr2•2r＝2πr3，V球＝．‎ ‎∴球与圆柱的体积之比为2：3，即球的体积等于圆柱体积的．‎ 在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球，溢出部分水的体积为圆柱体积的，‎ 剩下的水的体积是圆柱体积的，‎ 则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为．‎ 故答案为：．‎ ‎15．已知点P在圆C：（x﹣4）2+y2＝4上，点A（6，0），M为AP的中点，O为坐标原点，则tan∠MOA的最大值为　　．‎ ‎【分析】由题意设出P的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，写出tan∠MOA＝，然后利用辅助角公式及三角函数的有界性求最值．‎ 解：设P（4+2cosθ，2sinθ），‎ 又A（6，0），且M为AP的中点，‎ ‎∴M（5+cosθ，sinθ），‎ ‎∴tan∠MOA＝，‎ 令y＝，则sinθ﹣ycosθ＝5y，‎ ‎∴sin（θ+φ）＝5y，‎ 即sin（θ+φ）＝，（tanφ＝﹣y）．‎ 由，解得．‎ ‎∴tan∠MOA的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，圆M为△BCD的内切圆，点P为圆上任意一点，且，则λ+μ的最大值为　　．‎ ‎【分析】建立如图所示平面直角坐标系，由已知得到A，B，D的坐标，求出圆M的方程，得到P的坐标，再由向量等式可得λ，μ的值，作和后利用三角函数求最值．‎ 解：建立如图所示平面直角坐标系，‎ 由已知得D（3，0），B（0，4），A（3，4），‎ 设圆M的半径为r，由等面积法可得，‎ 解得r＝1．‎ ‎∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．‎ ‎∵点P为圆上任意一点，∴设P（1+cosθ，1+sinθ），‎ 则，‎ 由，得（cosθ﹣2，sinθ﹣3）＝λ（﹣3，0）+μ（0，﹣4）＝（﹣3λ，﹣4μ），‎ ‎∴，即．‎ ‎∴λ+μ＝＝（θ+φ）（tanφ＝）．‎ ‎∴当sin（θ+φ）＝﹣1时，λ+μ取最大值为．‎ 故答案为：．‎ 四、解答题（本大题共6小题，计70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）‎ ‎（1）若||＝||，求角α的值；‎ ‎（2）若•＝﹣1，求的值．‎ ‎【分析】（1）利用向量的运算性质、同角三角函数基本关系式即可得出；‎ ‎（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式即可得出．‎ 解：，．‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴．‎ 化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．‎ 又，‎ 故．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，‎ 化简得：，‎ 两边平方得：，‎ ‎∴，‎ 故sinα﹣cosα＞0，‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎18．某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率x的频率分布表如表：‎ x的分组 ‎[﹣0.20，0）‎ ‎[0，0.20）‎ ‎[0.20，0.40）‎ ‎[0.40，0.60）‎ ‎[0.60，0.80]‎ 企业数 ‎13‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（1）估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例；‎ ‎（2）求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．‎ ‎【分析】（1）直接求出制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例和产值负增长的企业比例即可．‎ ‎（2）100家制造业企业产值增长率的平均数，然后求解方差即可．‎ 解：（1）制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例为，‎ 产值负增长的企业比例，‎ 所以制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例4%，产值负增长的企业比例13%．‎ ‎（2）100家制造业企业产值增长率的平均数为，‎ 方差[13×（﹣0.10﹣0.20）2+40×（0.10﹣0.20）2+35×（0.30﹣0.20）2‎ ‎+8×（0.50﹣0.20）2+4×（0.70﹣0.20）2]＝0.0364．‎ 所以制造业企业产值增长率的平均数为0.20，方差的估计值为0.0364．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB＝2，AB＝AC＝PA＝2．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC；‎ ‎（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若VM﹣PAC＝VP﹣ACD，求三棱锥P﹣AMB的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意，PA2+AB2＝PB2，得到PA⊥AB，再由平面与平面垂直的性质可得PA⊥面ABCD，从而得到PA⊥BD，结合已知条件证明ABCD为菱形，则BD⊥AC ‎．由直线与平面垂直的判定可得BD⊥面PAC；‎ ‎（Ⅱ）由，得M为PB中点，然后利用＝求解．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由题意，PA2+AB2＝PB2，‎ ‎∴∠BAP＝90°，则PA⊥AB，‎ 又侧面PAB⊥底面ABCD，面PAB∩面ABCD＝AB，PA⊂面PAB，‎ ‎∴PA⊥面ABCD．‎ ‎∵BD⊂面ABCD，则PA⊥BD，‎ 又∵∠BCD＝120°，ABCD为平行四边形，‎ 则∠ABC＝60°，又AB＝AC，‎ 则△ABC为等边三角形，可得ABCD为菱形，则BD⊥AC．‎ 又PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC；‎ ‎（Ⅱ）解：由，得M为PB中点，‎ 由（Ⅰ）知，ABCD为菱形，‎ 又AB＝AC＝2，∠BCD＝120°，‎ ‎∴．‎ 又PA⊥面ABCD，且PA＝2，‎ ‎∴＝．‎ ‎20．设函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x（a∈R）．‎ ‎（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点x0；‎ ‎（2）若函数h（x）＝f（x）+4x+2﹣x在x∈[0，1]的最大值为﹣2，求实数a的值．‎ ‎【分析】（1）通过f（﹣x）+f（x）＝0，求出a ‎＝1．得到函数的解析式，利用解析式为0，求解函数的零点即可．‎ ‎（2）利用换元法通过2x＝t∈[1，2]，h（x）＝t2+at，t∈[1，2]，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可．‎ 解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称，‎ ‎∴f（x）为奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）+f（x）＝0，‎ ‎∴a•2﹣x﹣2﹣x+a•2x﹣2x＝0，‎ 即∴（a﹣1）•（2﹣x+2x）＝0，∴a＝1．‎ 令，‎ 则2•（2x）2+3•（2x）﹣2＝0，‎ ‎∴（2x+2）•（2•2x﹣1）＝0，又2x＞0，‎ ‎∴2•2x﹣1即x＝﹣1，‎ 所以函数g（x）的零点为x0＝﹣1．‎ ‎（2）h（x）＝a•2x﹣2﹣x+4x+2﹣x，x∈[0，1]，‎ 令2x＝t∈[1，2]，h（x）＝t2+at，t∈[1，2]，‎ 对称轴，‎ 当，即a≥﹣3时，hmax（t）＝h（2）＝4+‎2a＝﹣2，∴a＝﹣3；‎ ‎②当，即a＜﹣3时，hmax（t）＝h（1）＝1+a＝﹣2，∴a＝﹣3（舍）；‎ 综上：实数a的值为﹣3．‎ ‎21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＝c（1+cosA）．‎ ‎（1）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围；‎ ‎（2）若b＝2，且B∈[，]，求△ABC面积的最小值．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理，以及两角差的正弦公式可得A＝‎2C，再求出C的范围，即可求出的取值范围；‎ ‎（2）根据余弦定理和基本不等式可得ac≤，即可得到S△ABC≤，根据三角函数的性质即可求出．‎ 解：（1）由正弦定理以及acosC＝c（1+cosA），‎ ‎∴sinAcosC＝sinC（1+cosA），即sin（A﹣C）＝sinC．‎ ‎∴A﹣C＝C或A﹣C+C＝π，即A＝‎2C或A＝π（舍），‎ ‎∴＝，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴A、B、C∈，即，‎ ‎∴C∈，‎ ‎∴cosC∈（，），‎ 故的取值范围为．‎ ‎（2）由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB≥‎2ac﹣2accosB，当且仅当a＝c时取等号，‎ ‎∴ac≤，‎ ‎∴S△ABC＝acsinB≤＝＝，‎ ‎∵B∈[，]，‎ ‎∴∈[，]，‎ ‎∵y＝tan在[，]为增函数，‎ ‎∴y＝tan≤tan＝1，‎ ‎∴S△ABC的面积的最小值为1．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0），且被y轴截得的弦长为2，经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点．‎ ‎（1）求当满足+2＝时对应的直线l的方程；‎ ‎（2）若点P（﹣3，0），直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为T，分别记直线l、直线RT的斜率为k1、k2，求证：k1+k2为定值．‎ ‎【分析】根据题意可得即+r＝3，解得r，及圆心C坐标，进而可得圆C方程，设直线l方程为：y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立圆的方程得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2．‎ ‎（1）由向量的运算可得即，解得k，进而可得直线l的方程．‎ ‎（2）联立直线lPT方程与圆的方程得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得T点的坐标，同理可得R点坐标，再分析k2与k之间关系，即可得k1与k2之间的关系．‎ 解：因为圆C被y轴截得的弦长为2，‎ 所以OC＝，‎ 又圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0），‎ 所以OC+r＝3，即+r＝3，‎ 解得r＝2，所以圆心C（1，0），‎ 所以圆C方程为（x﹣1）2+y2＝4．‎ 设直线l方程为：y＝k1x，M（x1，y1），N（x2，y2）‎ 联立圆的方程得，（1+k12）x2﹣2x﹣3＝0，‎ x1+x2＝③，x1x2＝④，‎ ‎（1）因为，‎ 所以（x1，y1）+（2x2，2y2）＝（0，0）‎ 即 ‎①﹣③得x2＝﹣，‎ 代入③得x1＝，代入④得，（﹣）（）＝‎ 解得k1＝±，‎ 所以直线l的方程为：y＝±．‎ ‎（2）直线lPT方程为：y﹣0＝（x+3），‎ 联立圆的方程得：[1+（）2]x2+[﹣2+6（）2]x+9（）2﹣3＝0，‎ 所以xT+x2＝﹣＝＝，‎ 所以xT＝﹣x2＝﹣x2，‎ ‎＝﹣x2，‎ ‎＝，‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ yT＝（）＝•＝，‎ 所以T（，），‎ 同理可得R（，），‎ 所以k2＝＝‎ ‎＝‎ ‎＝﹣＝﹣k1，‎ 所以k1+k2＝0，‎ 所以k1+k2＝0为定值．‎