重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

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14.2 乘法公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 14.2.1 平方差公式 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征 . （重点） 2. 灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题 . （难点） 导入新课 复习引入 多项式与多项式是如何相乘的？ （ x ＋ 3)( x ＋ 5 ） = x 2 ＋ 5 x ＋ 3 x ＋ 15 = x 2 ＋ 8 x ＋ 15. ( a+b )( m+n ) =am +an +bm +bn 讲授新课 平方差公式 一 探究发现 面积变了吗？ a 米 5 米 5 米 a 米 ( a -5) 相等吗？ ① （ x ＋ 1)( x － 1 ）； ②（ m ＋ 2)( m － 2 ）； ③（ 2 m ＋ 1)(2 m － 1 ）； ④（ 5 y ＋ z )(5 y － z ） . 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 算一算： 看谁算得又快又准 . ② （ m ＋ 2)( m － 2 ） = m 2 － 2 2 ③ （ 2 m ＋ 1)( 2 m － 1)=4 m 2 － 1 2 ④ （ 5 y ＋ z )(5 y － z )= 25 y 2 － z 2 ① （ x ＋ 1)( x － 1 ） = x 2 － 1 ， 想一想： 这些计算结果有什么特点？ x 2 － 1 2 m 2 － 2 2 (2 m ) 2 － 1 2 (5 y ) 2 － z 2 ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 两数 和 与这两数 差 的积 , 等于 这两数的 平方差 . 公式变形 : 1. （ a – b ) ( a + b ) = a 2 - b 2 2. （ b + a )( - b + a ) = a 2 - b 2 知识要点 平方差公式 平方差公式 注： 这里的两数可以是两个 单项式 也可以是两个 多项式 等 ． ( a+b )( a-b )=( a ) 2 -( b ) 2 相同为 a 相反为 b ， - b 适当交换 合理加括号 (1+ x )(1- x ) (-3+ a )(-3- a ) (0.3 x -1)(1+0.3 x ) (1+ a )(-1+ a ) 填一填： a b a 2 - b 2 1 x -3 a 1 2 - x 2 (-3) 2 - a 2 a 1 a 2 -1 2 0.3 x 1 ( 0.3 x ) 2 -1 2 ( a-b )( a+b ) 练一练： 口答下列各题： (l)(- a + b )( a + b )=_________. (2)( a - b )( b + a )= __________. (3)(- a - b )(- a + b )= ________. (4)( a - b )(- a - b )= _________. a 2 - b 2 a 2 - b 2 b 2 - a 2 b 2 - a 2 典例精析 例 1 计算 ： (1) (3 x ＋ 2 )( 3 x － 2 ) ； (2) （ - x +2 y )(- x -2 y ). (2) 原式 ＝ (- x ) 2 - (2 y ) 2 ＝ x 2 - 4 y 2 . 解：（ 1 ） 原式 = ( 3 x ) 2 － 2 2 =9 x 2 － 4 ； 方法总结： 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 利用平方差公式计算： (1)(3 x － 5)(3 x ＋ 5) ； (2)( － 2 a － b )( b － 2 a ) ； (3)( － 7 m ＋ 8 n )( － 8 n － 7 m ) ． 针对训练 解： (1) 原式 = (3 x ) 2 － 5 2 ＝ 9 x 2 － 25 ； (2) 原式 = ( － 2 a ) 2 － b 2 ＝ 4 a 2 － b 2 ； (3) 原式 = ( － 7 m ) 2 － (8 n ) 2 ＝ 49 m 2 － 64 n 2 ； 例 2 计算 : (1) 102×98 ; (2) ( y +2) ( y -2) – ( y -1) ( y +5) . 解 : (1) 102×98 （ 2 ） ( y +2)( y -2)- ( y -1)( y +5) = 100 2 -2 2 =10000 – 4 = （ 100 ＋ 2 ） (100 － 2) =9996 ； = y 2 -2 2 -( y 2 +4 y -5) = y 2 -4- y 2 -4 y +5 = - 4 y + 1. 通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算 . 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算 . 针对训练 计算 : (1) 51 ×49 ; (2) (3 x +4)(3 x -4)-(2 x +3)(3 x -2) . 解 : (1) 原式 = （ 50 ＋ 1 ） (50 － 1) = 50 2 -1 2 =2500 – 1 =2499 ； (2) 原式 =( 3 x ) 2 -4 2 -(6 x 2 +5 x -6) = 9 x 2 -16-6 x 2 -5 x +6 = 3 x 2 -5 x -10. 例 3 先化简，再求值： (2 x － y )( y ＋ 2 x ) － (2 y ＋ x )(2 y － x ) ，其中 x ＝ 1 ， y ＝ 2. 原式＝ 5×1 2 － 5×2 2 ＝－ 15. 解：原式＝ 4 x 2 － y 2 － (4 y 2 － x 2 ) ＝ 4 x 2 － y 2 － 4 y 2 ＋ x 2 ＝ 5 x 2 － 5 y 2 . 当 x ＝ 1 ， y ＝ 2 时， 例 4 对于任意的正整数 n ，整式 (3 n ＋ 1)(3 n － 1) － (3 － n )(3 ＋ n ) 的值一定是 10 的整数倍吗？ 即 (3 n ＋ 1)(3 n － 1) － (3 － n )(3 ＋ n ) 的值是 10 的倍数． 解：原式＝ 9 n 2 － 1 － (9 － n 2 ) ＝ 10 n 2 － 10. ∵( 10 n 2 － 10) ÷ 10= n 2 -1. n 为正整数， ∴ n 2 -1 为整数 方法总结： 对于平方差中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 例 5 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ ∵ a 2 ＞ a 2 － 16 ， 解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为 a 2 ， 改变边长后面积为 ( a ＋ 4)( a － 4) ＝ a 2 － 16 ， ∴ 李大妈吃亏了． 方法总结： 解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题． 1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是 ( 　　 ) A ． ( x ＋ y )( x ＋ y ) B ． ( － x ＋ y )( x － y ) C ． ( － x － y )( y － x ) D ． ( x ＋ y )( － x － y ) 当堂练习 C 2. 计算（2 x +1）（2 x -1）等于（　　） A．4 x 2 -1 B．2 x 2 -1 C．4 x -1 D．4 x 2 +1 A 3. 两个正方形的边长之和为 5 ，边长之差为 2 ，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是 ________ ． 10 （ 1 ） ( a+ 3 b )( a - 3 b ) ； =4 a 2 － 9 ； =4 x 4 － y 2 . 原式 =(2 a+ 3)(2 a- 3) =a 2 － 9 b 2 ； =(2 a ) 2 － 3 2 原式 =( - 2 x 2 ) 2 － y 2 原式 =( a ) 2 － (3 b ) 2 （ 2 ） (3 + 2 a )( － 3 + 2 a ) ； （ 3 ） ( － 2 x 2 － y )( － 2 x 2 +y ). 4. 利用平方差公式计算： 5. 计算： 2015 2 － 2014×2016 . 解： 2015 2 － 2014×2016 = 2015 2 － (2015 － 1)( 2015+1) = 2015 2 － （ 2015 2 － 1 2 ) = 2015 2 － 2015 2 + 1 2 =1 6. 利用平方差公式计算 : （ 1 ）（ a -2)( a +2)( a 2 + 4) 解 : 原式 = ( a 2 -4 )(a 2 +4) = a 4 -16. (2) ( x - y )( x + y )( x 2 + y 2 )( x 4 + y 4 ). 解：原式 = （ x 2 - y 2 )( x 2 + y 2 )( x 4 + y 4 ) = （ x 4 - y 4 )( x 4 + y 4 ) = x 8 - y 8 . 7. 先化简，再求值： ( x ＋ 1)( x － 1) ＋ x 2 (1 － x ) ＋ x 3 ，其中 x ＝ 2. 解：原式 = x 2 － 1 ＋ x 2 － x 3 ＋ x 3 =2 x 2 － 1. 将 x ＝ 2 代入上式， 原式 =2 × 2 2 -1=7. 8. 已知 x ≠1 ，计算： (1 ＋ x )(1 － x ) ＝ 1 － x 2 ， (1 － x )(1 ＋ x ＋ x 2 ) ＝ 1 － x 3 ， (1 － x )(1 ＋ x ＋ x 2 ＋ x 3 ) ＝ (1) 观察以上各式并猜想： (1 － x )(1 ＋ x ＋ x 2 ＋ … ＋ x n ) ＝ ________ ； (n 为正整数 ) (2) 根据你的猜想计算： ①(1 － 2)(1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 ＋ 2 4 ＋ 2 5 ) ＝ ________ ； ②2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n ＝ ________(n 为正整数 ) ； ③( x － 1)( x 99 ＋ x 98 ＋ x 97 ＋ … ＋ x 2 ＋ x ＋ 1) ＝ ________ ； 拓展提升 1 － x n+ 1 -63 2 n ＋ 1 － 2 　 x 100 －1　 (3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ①( a － b )( a ＋ b ) ＝ ________ ； ②( a － b )( a 2 ＋ ab ＋ b 2 ) ＝ ________ ； ③( a － b )( a 3 ＋ a 2 b ＋ ab 2 ＋ b 3 ) ＝ ________ ． a 2 － b 2 　 a 3 － b 3 　 a 4 － b 4 　 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1. 符号表示 ：（ a + b )( a - b )= a 2 - b 2 2. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用