人教版初中数学八年级下册课件18.2.2 菱 形 第2课时 菱形的判定

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人教版初中数学八年级下册课件18.2.2 菱 形 第2课时 菱形的判定

第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 18.2.2 菱 形 第2课时 菱形的判定 学习目标  1.经历菱形判定定理的探究过程,掌握菱形的判 定定理.(重点) 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. (难点) 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱 形 的 性 质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 复习引入 导入新课 问题 菱形的定义是什么?性质有哪些? 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法: AB=AD, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗? 讲授新课 对角线互相垂直的平行四边形是菱形一 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固 定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根 橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行 四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想? 猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这 一猜想吗? A B C O D 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC 与BD相交于点O ,AC⊥BD. 求证:□ABCD是菱形. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义). 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言描述: ∵在□ABCD中,AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理: 归纳总结 例1 如图, ABCD的两条对角线AC、BD相交于 点O,AB=5,AO=4,BO=3. 求证:四边形ABCD是菱形. A B C D O 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∵ OA=4,OB=3,AB=5,证明: 即AC⊥BD, ∴ AB2=OA2+OB2, ∴△AOB是直角三角形, 典例精析 ∴四边形ABCD是菱形. 例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别交于点E、F,求证:四边形AFCE是菱 形. A B C DE F O 1 2 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AE∥FC,∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC, ∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF, ∴△AOE≌△COF,∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形. 练一练 在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,若 添加一个条件使得四边形ABCD是菱形,则这个条 件可以是 (   ) A.∠ABC=90° B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB∥CD B 四条边相等的四边形是菱形二 小刚:分别以A、C为圆心,以 大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接 A、B、C、D四点. 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗? CA B D 想一想:根据小刚的作法你有什么猜想?你能验证 小刚的作法对吗? 1 2 猜想:四条边相等的四边形是菱形. 证明:∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证:四边形ABCD是菱形. 证一证 四条边都相等的四边形是菱形 AB=BC=CD=AD 几何语言描述: ∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD, ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 菱形的判定定理: 归纳总结 四边形ABCD A B C D 下列命题中正确的是 ( ) A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 C 练一练 证明: ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌ △AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四边形ABCD是菱形. 2 例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证:四边形CDEF是菱形. A C B E D F 1 典例精析 例4 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm, BC=8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到 △DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接 AD.求证:四边形ACFD是菱形. 证明:由平移变换的性质得CF=AD=10cm,DF= AC. ∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm, ∴AC=DF=AD=CF=10cm, ∴四边形ACFD是菱形.  2 2 2 26 8 10 cm .AC AB BC      四边形的条件中存在多个关于边的等量关系 时,运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较 方便. 归纳 H G F E D CB A证明:连接AC、BD. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. ∵点E、F、G、H为各边中点, 1 1 ,2 2EF GH BD FG EH AC    , ∴EF=FG=GH=HE, ∴四边形EFGH是菱形. 例5 如图,顺次连接矩形ABCD各边中点,得到四 边形EFGH,求证:四边形EFGH是菱形. C A B D E F G H 【变式题】 如图,顺次连接对角线相等的四边形 ABCD各边中点,得到四边形EFGH是什么四边形? 解:四边形EFGH是菱形. 又∵AC=BD, ∵点E、F、G、H为各边中点, 1 1 .2 2EF GH BD FG EH AC    , ∴EF=FG=GH=HE, ∴四边形EFGH是菱形. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,得 到四边形是菱形. 归纳 理由如下:连接AC、BD A B C D E F G H 拓展1 如图,顺次连接平行四边形ABCD各边中点,得 到四边形EFGH是什么四边形? 解:连接AC、BD. ∵点E、F、G、H为各边中点, 1 1 ,2 2EF GH BD FG EH AC    , ∴四边形EFGH是平行四边形. 拓展2 如图,若四边形ABCD是菱形,顺次连接菱形 ABCD各边中点,得到四边形EFGH是什么四边形? 四边形EFGH是矩形. 同学们自己 去解答吧 思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽 的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形, 你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗? A C D B 分析:易知四边形ABCD是平行四边形,只需证 一组邻边相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等, 然后通过证△ABE≌ △ADF,即得AB=AD. 请补充完整的 证明过程 E F 例3 如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点, BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF. (1)求证:四边形BCFE是菱形; (1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点, ∴DE∥BC且2DE=BC. 又∵BE=2DE,EF=BE, ∴EF=BC,EF∥BC, ∴四边形BCFE是平行四边形. 又∵EF=BE, ∴四边形BCFE是菱形; 菱形的性质与判定的综合运用三 (2)解:∵∠BCF=120°, ∴∠EBC=60°, ∴△EBC是等边三角形, ∴菱形的边长为4,高为 , ∴菱形的面积为 . 2 3 4 2 3 8 3  (2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积. 判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选 择方法.如果可以证明四条边相等,可直接证出菱形; 如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,可以 先尝试证出这个四边形是平行四边形. 归纳 练一练 如图,在平行四边形ABCD中,AC平分∠DAB, AB=2,求平行四边形ABCD的周长. 解:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD, ∴∠DAC=∠ACB,∠BAC=∠ACD, ∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠BAC, ∴∠DAC=∠ACD, ∴AD=DC, ∴四边形ABCD为菱形, ∴四边形ABCD的周长=4×2=8. 当堂练习 1.判断下列说法是否正确 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形; (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形; (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的 四边形是菱形; (4)两条邻边相等,且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形. √ ╳ ╳ ╳ 2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为 24cm和26cm,那么平行四边形的面积是 . 312cm2 3.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD, 下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(  ) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° B 解析:∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE, ∴AC∥DE,AC=DE, ∴四边形ABED为平行四边形. 当AC=BC时, 平行四边形ACED是菱形. 故选B. A B C D O E 4.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC, CE ∥BD.求证:四边形OCED是菱形. 证明:∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴OC=OD, ∴四边形OCED是菱形. 证明:∵MN是AC的垂直平分线, ∴AE=CE,AD=CD,OA=OC, ∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB, ∴∠DAO=∠ECO, ∴△ADO≌ △CEO(ASA). ∴AD=CE,OD=OE, ∵OD=OE,OA=OC, ∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°,∴四边形ADCE是菱形. 5.如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于 点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于点E,连接 AE、CD.求证:四边形ADCE是菱形. B C A D O E M (1)证明:由尺规作∠BAF的平分线的过程可得 AB=AF,∠BAE=∠FAE, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB, ∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE, ∴BE=FA,∴四边形ABEF为平行四边形, ∵AB=AF, ∴四边形ABEF为菱形; 6.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的 平分线交BC于点E,连接EF. (1)求证:四边形ABEF为菱形; (2)AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5,求AE的长. (2)AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5,求AE的 长. 解:∵四边形ABEF为菱形, ∴AE⊥BF,BO= FB=3,AE=2AO, 在Rt△AOB中,由勾股定理得AO =4, ∴AE=2AO=8. 1 2 课堂小结 有一组邻边相等的平行四边 形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形 是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 运用定理进行计算和证明 菱形的 判定 定义法 判定 定理
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