2020八年级数学下册 专题突破讲练 巧用三角形中位线试题 (新版)青岛版

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2020八年级数学下册 专题突破讲练 巧用三角形中位线试题 (新版)青岛版

巧用三角形中位线 ‎1. 三角形中位线定义 连结三角形两边中点的线段叫中位线。‎ 注意:(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。‎ ‎(2)三角形有三条中位线。‎ ‎2. 定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。‎ 如果EF为△ABC的中位线,则EF∥BC且EF=BC。‎ 注意:位置关系——平行 数量关系——等于第三边的一半 ‎3. 三角形中位线定理的应用:‎ ‎(1)证明角相等关系;‎ ‎(2)证明线段的倍分以及相等关系;‎ ‎(3)证明线段平行关系。‎ 例题1 如图,自△ABC的顶点A,向∠B和∠C的平分线作垂线,垂足分别为D、E。‎ 求证:DE∥BC。‎ 10‎ 解析:欲证ED//BC我们可想到有关平行的判定,但要找到有关角的关系很难,这时只要通过延长AD、AE,交BC与CB的延长线于G与H,通过证明三线合一易证D是AG的中点,同理E为AH的中点,故,ED是△AHG的中位线,当然有DE∥BC。‎ 答案:证明:延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H,‎ ‎∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,‎ 又∵BD⊥AD,‎ ‎∴∠ADB=∠BDG=90º ‎∴△ABG为等腰三角形 ‎∴AD=DG,同理可证,AE=GE,‎ ‎∴D,E分别为AG,AH的中点, ‎ ‎∴ED∥BC 点拨:本题巧妙地应用了等腰三角形的三线合一,但最终还是利用中位线的性质得出结论。‎ 例题2 如图,已知平行四边形ABCD中,BD为对角线,点E、F分别是AB、BC的中点,连结EF,交BD于M点。‎ 求证:(1)BM=BD;(2)ME=MF。‎ 解析:(1)由E、F分别为AB、BC的中点想到连结AC,由平行线等分线段定理可证得BM=MO。又因为平行四边形的对角线互相平分,可得BO=OD,即BM=BD。(2)由问题(1)中的辅助线,即连结AC,由三角形中位线定理可得,又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题(2)的结论。‎ 答案:证明:(1)连结AC,交BD于O点,‎ 10‎ ‎∵E、F分别为AB、BC中点,‎ ‎∴EF∥AC,‎ ‎∴BM=MO= BO 又∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴BO=OD=BD,AO=OC=AC,‎ ‎∴BM=BO=BD;‎ ‎(2)∵M是BO的中点,E、F分别是AB、BC的中点。‎ ‎∴ME=AO,MF=OC,又∵AO=OC,∴ME=MF。‎ 点拨:问题(1)运用了三角形中位线的位置关系,即三角形的中位线平行于底边,而问题(2)直接运用了三角形中位线的数量关系。‎ 三角形中位线定理及其应用,在初中数学中占有很重要的地位,如何正确添加辅助线构造三角形中位线是一个重点也是一个难点。要善于觉察图形中的有关定理的基本图形,涉及到中点问题时要及时联想到有关定理。‎ 例题 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是CD、AB的中点,直线EF分别交BC、AD的延长线于S、T两点,求证:∠ATF=∠BSF。‎ 解析:连结AC,取AC的中点H,连结EH、FH,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥AD,EH=AD,FH∥BC,FH=BC,然后求出EH=FH 10‎ ‎,根据等边对等角可得∠EFH=∠FEH,再根据两直线平行,同位角相等可得∠ATF=∠FEH,两直线平行,内错角相等可得∠BSF=∠EFH,然后等量代换即可得证。‎ 答案:证明:如图,连结AC,取AC的中点H,连结EH、FH,‎ ‎∵E、F分别是CD、AB的中点,‎ ‎∴EH、FH分别是△ACD和△ABC的中位线,‎ ‎∴EH∥AD,EH=AD,FH∥BC,FH=BC ‎∵AD=BC,‎ ‎∴EH=FH,‎ ‎∴∠EFH=∠FEH,‎ 又∵EH∥AD,FH∥BC,‎ ‎∴∠ATF=∠FEH,∠BSF=∠EFH,‎ ‎∴∠ATF=∠BSF。‎ 点拨:本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,平行线的性质,等边对等角的性质,熟记各性质并作辅助线,考虑利用三角形的中位线定理是解题的关键。‎ ‎(答题时间:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(宜昌)如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A、B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为‎12m,由此他就知道了A、B间的距离。有关他这次探究活动的描述错误的是(  )‎ A.‎‎ ‎AB‎=‎24m B. MN∥AB C. △CMN∽△CAB D. CM:MA=1:2‎ ‎2.(泸州)如图,等边△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则∠DEC的度数为(  )‎ 10‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎3.(泰安)如图,∠ACB=90°,D为AB的中点,连结DC并延长到E,使CE=CD,过点B作BF∥DE,与AE的延长线交于点F。若AB=6,则BF的长为(  )‎ A. 6 B. ‎7 ‎ C. 8 D. 10‎ ‎4. (福州模拟)如图,△ABC的中线BD、CE交于点O,连结OA,点G、F分别为OC、OB的中点,BC=4,AO=3,则四边形DEFG的周长为(  )‎ A. 6 B. ‎7 ‎ C. 8 D. 12‎ ‎5.(邢台二模)如图,四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直,A1B‎1C1D1是四边形ABCD的中点四边形,如果AC=8,BD=10,那么四边形A1B‎1C1D1的面积为(  )‎ A. 20 B. ‎40 ‎ C. 36 D. 10‎ 二、填空题 ‎6. (怀化)如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点,则S△ADE:S△ABC= _________ 。‎ ‎7.(邵阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥AC于点E。∠A=30°,AB=8,则DE的长度是_________。‎ 10‎ ‎8.(沈阳)如图,△ABC三边的中点D,E,F组成△DEF,△DEF三边的中点M,N,P组成△MNP,将△FPM与△ECD涂成阴影。假设可以随意在△ABC中取点,那么这个点取在阴影部分的概率为_________。‎ ‎9.(天桥区一模)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=2,那么菱形的周长为_________。‎ ‎10.(海门市模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=52°,点D,E分别是AB,AC的中点。若点F在线段DE上,且∠AFC=90°,则∠FAE的度数为_________。‎ 三、解答题 ‎11.(南京)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F。‎ ‎(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;‎ ‎(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?‎ 10‎ ‎12.(鞍山一模)(1)如图1所示,在四边形ABCD中,E、F分别是BC、AD的中点,连接FE并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE,求证:AB=CD。(提示取BD的中点H,连结FH,HE作辅助线)‎ ‎(2)如图2所示,在△ABC中,且O是BC边的中点,D是AC边上一点,E是AD的中点,直线OE交BA的延长线于点G,若AB=DC=5,∠OEC=60°,求OE的长度。‎ 10‎ 一、选择题 ‎1. D 解析:∵M、N分别是AC,BC的中点,‎ ‎∴MN∥AB,MN=AB,‎ ‎∴AB=2MN=2×12=‎24m,‎ ‎△CMN∽△CAB,‎ ‎∵M是AC的中点,‎ ‎∴CM=MA,‎ ‎∴CM:MA=1:1,‎ 故描述错误的是D选项。‎ ‎2. C 解析:由等边△ABC得∠C=60°,‎ 由三角形中位线的性质得DE∥BC,‎ ‎∴∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°,‎ ‎3. C 解析:如图,∵∠ACB=90°,D为AB的中点,AB=6,‎ ‎∴CD=AB=3。‎ 又CE=CD,‎ ‎∴CE=1,‎ ‎∴ED=CE+CD=4。‎ 又∵BF∥DE,点D是AB的中点,‎ ‎∴ED是△AFB的中位线,‎ ‎∴BF=2ED=8。‎ ‎4.B 解析:∵BD,CE是△ABC的中线,‎ ‎∴ED∥BC且ED=BC,‎ ‎∵F是BO的中点,G是CO的中点,‎ ‎∴FG∥BC且FG=BC,‎ ‎∴ED=FG=BC=2,‎ 同理GD=EF=AO=1.5,‎ ‎∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7。‎ ‎5. A 解:∵A1B‎1C1D1是四边形ABCD的中点四边形,AC=8,BD=10,‎ ‎∴A1D1=B‎1C1=BD=5,A1B1=C1D1=AC=4,A1D1∥BD∥B‎1C1,A1B1∥AC∥C1D1,‎ ‎∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直,‎ ‎∴四边形A1B‎1‎C1D1是矩形,‎ ‎∴SA1B‎1C1D1=5×4=20。‎ 10‎ 二、填空题 ‎6. 1:4 解析:∵D、E是边AB、AC上的中点,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥BC且DE=BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴S△ADE:S△ABC=(1:2)2=1:4。‎ ‎7. 2 解析:∵D为AB的中点,AB=8,‎ ‎∴AD=4,‎ ‎∵DE⊥AC于点E,∠A=30°,‎ ‎∴DE=AD=2。‎ ‎8. 解析:∵D、E分别是BC、AC的中点,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴ED∥AB,且DE=AB,‎ ‎∴△CDE∽△CBA,‎ ‎∴==,‎ ‎∴S△CDE=S△CBA。‎ 同理,S△FPM=S△FDE=S△CBA,‎ ‎∴S△FPM+S△CDE=S△CBA,‎ 则=。‎ ‎9. 16 解析:∵菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,EF=2,‎ ‎∴BC=2EF=2×2=4。即AB=BC=CD=AD=4。故菱形的周长为4BC=4×4=16。‎ ‎10. 64° 解析:∵D,E分别是AB,AC的中点,‎ ‎∴DE是三角形ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥BC,‎ ‎∴∠AED=∠ACB,‎ ‎∵∠AFC=90°,E为AC的中点,‎ ‎∴EF=AC,AE=CE,‎ ‎∴EF=CE,‎ ‎∴∠EFC=∠ECF,‎ ‎∴∠ECF=∠EFC=∠ACB=26°,‎ ‎∴∠FAE的度数为90°﹣26°=64°,‎ 10‎ 三、解答题 ‎11. 解:(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥BC,‎ 又∵EF∥AB,‎ ‎∴四边形DBFE是平行四边形;‎ ‎(2)解:当AB=BC时,四边形DBFE是菱形。‎ 理由如下:∵D是AB的中点,‎ ‎∴BD=AB,‎ ‎∵DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE=BC,‎ ‎∵AB=BC,‎ ‎∴BD=DE,‎ 又∵四边形DBFE是平行四边形,‎ ‎∴四边形DBFE是菱形。‎ ‎12.(1)证明:连结BD,取DB的中点H,连结EH、FH。‎ ‎∵E、F分别是BC、AD的中点,‎ ‎∴EH∥AB,EH=AB,FH∥CD,FH=CD,‎ ‎∵∠BME=∠CNE,∠BME=∠HEF,∠CNE=∠HFE,∴∠HEF=∠HFE。‎ ‎∴HE=HF,‎ ‎∴AB=CD;‎ ‎(2)解:连结BD,取DB的中点H,连结EH、OH,‎ ‎∴EH∥AB,EH=AB,HO∥DC,HO=DC。‎ ‎∵AB=CD,‎ ‎∴HO=HE,‎ ‎∴∠HOE=∠HEO,‎ ‎∵∠OEC=60°,‎ ‎∴∠HEO=∠AGO=60°,‎ ‎∴△OEH是等边三角形,‎ ‎∵AB=DC=5,‎ ‎∴OE=。‎ 10‎
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