重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)14

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14.1.4 整式的乘法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 单项式与单项式、多项式相乘 八年级数学上(RJ) 教学课件 学习目标 1. 掌握 单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则 . (重点) 2. 能够 灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算 . (难点) 导入新课 复习引入 1. 幂的运算性质有哪几条? 同底数幂的乘法法则: a m ·a n =a m+n ( m 、 n 都是正整数 ). 幂的乘方法则: ( a m ) n =a mn ( m 、 n 都是正整数 ). 积的乘方法则: ( ab ) n =a n b n ( m 、 n 都是正整数 ). 2. 计算 :( 1 ) x 2 · x 3 · x 4 = ; (2)( x 3 ) 6 = ; (3)(-2 a 4 b 2 ) 3 = ; (4) ( a 2 ) 3 · a 4 = ; ( 5 ) . x 9 x 18 -8 a 12 b 6 a 10 1 讲授新课 单项式与单项式相乘 一 问题 1 光的速度约为 3×10 5 km / s ,太阳光照射到地球上需要的时间大约是 5×10 2 s ,你知道地球与太阳的距离约是多少吗 ? 地球与太阳的距离约是 (3×10 5 )×(5×10 2 )km 互动探究 (3×10 5 )×(5×10 2 ) =(3×5)×(10 5 ×10 2 ) =15×10 7 . 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 这种书写规范吗? 不规范,应为 1.5×10 8 . 想一想 : 怎样计算 ( 3 ×10 5 ) × ( 5 ×10 2 )? 计算过程中用到了哪些运算律及运算性质? 问题 2 如果将上式中的数字改为字母,比如 ac 5 · bc 2 , 怎样计算这个式子? 根据以上计算,想一想如何计算单项式乘以单项式? ac 5 · bc 2 =( a ·b ) ·( c 5 · c 2 ) ( 乘法交换律、结合律 ) = abc 5+2 ( 同底数幂的乘法 ) = abc 7 . 单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 . 知识要点 单项式与单项式的乘法法则 ( 1 ) 系数相乘; ( 2 ) 相同字母的幂相乘; ( 3 ) 其余字母连同它的指数不变,作为积的因式 . 注意 典例精析 例 1 计算: (1) (-5 a 2 b )(-3 a ) ; (2) ( 2 x ) 3 (- 5 xy 3 ) . 解 : (1) (-5 a 2 b )(-3 a ) = [(-5)×(-3)]( a 2 • a ) b = 15 a 3 b ; (2) (2 x ) 3 (-5 xy 3 ) =8 x 3 (-5 xy 3 ) =[8×(-5)]( x 3 • x ) y 3 =-40 x 4 y 3 . 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 单项式相乘的结果仍是单项式 方法总结: (1) 在计算时,应先进行符号运算,积的系数等于各因式系数的积; (2) 注意按顺序运算; (3) 不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式; (4) 此性质对于多个单项式相乘仍然成立. 计算: ( 1 ) 3 x 2 ·5 x 3 ; (2)4 y ·(-2 xy 2 ) ; ( 3 ) (-3 x ) 2 ·4 x 2 ; (4)(-2 a ) 3 (-3 a ) 2 . 解: ( 1) 原式 =(3×5)( x 2 · x 3 )=15 x 5 ; (2) 原式 =[4×(-2)]( y·y 2 ) · x =-8 xy 3 ; ( 3 ) 原式 =9 x 2 ·4 x 2 =(9×4)( x 2 · x 2 )=36 x 4 ; (4) 原式 =-8 a 3 ·9 a 2 =[(-8)×9]( a 3 · a 2 )=-72 a 5 单独因式 x 别漏乘漏写 有乘方运算,先算乘方,再算单项式相乘 . 注意 针对训练 下面计算结果对不对?如果不对,应当怎样改正? ( 1 ) 3 a 3 ·2 a 2 =6 a 6 ( ) 改正: . (2) 2 x 2 ·3 x 2 =6 x 4 ( ) 改正: . (3)3 x 2 ·4 x 2 =12 x 2 ( ) 改正: . (4) 5 y 3 ·3 y 5 =15 y 15 ( ) 改正: . 3 a 3 ·2 a 2 =6 a 5 3 x 2 ·4 x 2 =12 x 4 5 y 3 ·3 y 5 =15 y 8 × × × 练一练 例 2 已知- 2 x 3 m + 1 y 2 n 与 7 x n - 6 y - 3 - m 的积与 x 4 y 是同类项,求 m 2 + n 的值. 解: ∵ - 2 x 3 m + 1 y 2 n 与 7 x n - 6 y - 3 - m 的积与 x 4 y 是同类项, ∴ m 2 + n = 7. 解得 方法总结: 单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘,结合同类项的定义,列出二元一次方程组求出参数的值,然后代入求值即可. 单项式与多项式相乘 二 问题 如图,试求出三块草坪的总面积是多少? 如果把它看成三个小长方形,那么它们的面积可分别表示为 _____ 、 _____ 、 _____. p p a b p c p a p c p b p p a b p c c b a p 如果把它看成一个大长方形,那么它的边长为 ________, 面积可表示为 _________. p ( a+b+c ) ( a+b+c ) 如果把它看成三个小长方形,那么它们的面积可分别表示为 _____ 、 _____ 、 _____. 如果把它看成一个大长方形,那么它的面积可表示为 _________. c b a p p a p c p b p ( a+b+c ) p a+ p b+ p c p ( a+b+c ) p a+ p b+ p c p ( a+b+c ) p ( a + b+ c ) p b + p c p a + 根据乘法的分配律 知识要点 单项式乘以多项式的法则 单项式与多项式相乘,就是用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加 . ( 1 ) 依据是乘法分配律 ( 2 ) 积的项数与多项式的项数相同 . 注意 m b p a p c 例 3 计算: (1)(-4 x ) · (2 x 2 +3 x -1) ; 解: (1) (-4 x )·(2 x 2 +3 x -1) = = -8 x 3 -12 x 2 +4 x ; (-4 x )· (2 x 2 ) (-4 x )·3 x (-4 x )·(-1) + + 典例精析 (2) 原式 单项式与多项式相乘 单项式与单项式相乘 乘法分配律 转化 例 4 先化简,再求值: 3 a (2 a 2 - 4 a + 3) - 2 a 2 (3 a + 4) , 其中 a =- 2. 当 a =- 2 时, 解: 3 a (2 a 2 - 4 a + 3) - 2 a 2 (3 a + 4) = 6 a 3 - 12 a 2 + 9 a - 6 a 3 - 8 a 2 =- 20 a 2 + 9 a . 原式=- 20×4 - 9×2 =- 98. 方法总结: 在做乘法计算时,一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号,不要搞错. 例 5 如果 ( - 3 x ) 2 ( x 2 - 2 nx + 2) 的展开式中不含 x 3 项,求 n 的值. 方法总结:在整式乘法的混合运算中,要注意运算顺序 . 注意当要求多项式中不含有哪一项时,则表示这一项的系数为 0. 解: ( - 3 x ) 2 ( x 2 - 2 nx + 2) = 9 x 2 ( x 2 - 2 nx + 2) = 9 x 4 - 18 nx 3 + 18 x 2 . ∵ 展开式中不含 x 3 项, ∴ n = 0. 1. 计算 3 a 2 ·2 a 3 的结果是( ) A.5 a 5 B.6 a 5 C.5 a 6 D.6 a 6 2. 计算( -9 a 2 b 3 )·8 ab 2 的结果是( ) A.-72 a 2 b 5 B.72 a 2 b 5 C.-72 a 3 b 5 D.72 a 3 b 5 3. 若( a m b n ) ·( a 2 b )= a 5 b 3 那么 m + n =( ) A.8 B.7 C.6 D.5 当堂练习 B C D (1)4( a - b +1)= ___________________ ; 4 a -4 b +4 (2)3 x (2 x - y 2 )= ___________________ ; 6 x 2 -3 xy 2 ( 3)(2 x -5 y +6 z ) (-3 x ) = ___________________ ; -6 x 2 +15 xy -18 xz ( 4)(-2 a 2 ) 2 (- a -2 b + c )= ___________________. -4 a 5 -8 a 4 b +4 a 4 c 4. 计算 5. 计算: - 2 x 2 · ( xy + y 2 )-5 x ( x 2 y - xy 2 ). 解:原式 =( -2 x 2 ) · xy +(-2 x 2 ) · y 2 +(-5 x ) · x 2 y +(-5 x ) ·(- xy 2 ) =-2 x 3 y +(-2 x 2 y 2 )+(-5 x 3 y )+5 x 2 y 2 =-7 x 3 y +3 x 2 y 2 . 6. 解方程: 8 x ( 5 - x ) =34 - 2 x ( 4 x - 3 ) . 解得 x =1. 解:去括号,得 40 x - 8 x 2 =34 - 8 x 2 +6 x , 移项,得 40 x - 6 x =34 , 合并同类项,得 34 x =34 , 住宅用地 人民广场 商业用地 3 a 3 a +2 b 2 a-b 4 a 7. 如图,一块长方形地用来建造住宅 、 广场 、 商厦,求这块地的面积 . 解: 4 a [(3 a +2 b )+(2 a - b )] = 4 a (5 a + b ) = 4 a ·5 a +4 a·b =20 a 2 +4 ab , 答:这块地的面积为 20 a 2 +4 ab . 8. 某同学在计算一个多项式乘以- 3 x 2 时,算成了加上- 3 x 2 ,得到的答案是 x 2 - 2 x + 1 ,那么正确的计算结果是多少? 拓展提升 解:设这个多项式为 A ,则 ∴A = 4 x 2 - 2 x + 1. ∴A·( - 3 x 2 ) = (4 x 2 - 2 x + 1)( - 3 x 2 ) A + ( - 3 x 2 ) = x 2 - 2 x + 1 , =- 12 x 4 + 6 x 3 - 3 x 2 . 课堂小结 整式乘法 单项式 × 单项式 实质上是转化为同底数幂的运算 单项式 × 多项式 实质上是转化为单项式 × 单 项式 四点注意 ( 1 )计算时,要注意符号问题,多项式中 每一项 都 包括 它 前面的符号 , 单项式分别与多项式的每一项相乘时, 同号相乘得正,异号相乘得负 ( 2 )不要出现漏乘现象 ( 3 )运算要有顺序:先乘方,再乘除,最后加减 ( 4 )对于混合运算,注意最后应合并同类项
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