北师大版数学七年级上册《一元一次方程的实际应用》练习

北师大版数学七年级上册《一元一次方程的实际应用》练习

5.3 一元一次方程的实际应用 专题一 应用一元一次方程——打折销售 1． 某企业生产一种产品，每件成本 400 元，销售价为 510 元，本季度销售了 m 件，于是进 一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低成本，经过市场调研，预测下季度 这种产品每件销售价降低 4%，销售量提高 10%，要使销售利润保持不变，该产品每件成 本价应降低多少元？ 2．某书城开展学生优惠购书活动：凡一次性购书不超过 200 元的一律九折优惠，超过 200 元的，其中 200 元按九折算，超过 200 元的部分按八折算． （1）甲同学一次性购书标价的总和为 100 元，需付款 元； （2）乙同学一次性购书标价的总和为 x 元  200x ，需付款 元； （3）丙同学第一次去购书付款 63 元，第二次去购书享受了八折优惠，他查看了所买书 的定价，发现两次共节约了 37 元，求该学生第二次购书实际付款多少元？ 3．某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁 5 年，5 年期满后由开发商以比原商铺标价 高 20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的 10%． 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2 年后，每年可获得的租金为商 铺标价的 10%，但要缴纳租金的 10%作为管理费用． （1）请问，投资者选择哪种购铺方案，5 年后所获得的投资收益率更高？为什么？ （注：投资收益率= 投资收益 实际投资额 ×100%） （2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么 5 年后两人 获得的收益将相差 5 万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？ 专题二 应用一元一次方程——“希望工程”义演 4．现提供两种移动电话计费方式如下表： （1）请依据上表用数学语言简要描述两种方式的收费情况； （2）一个月内本地通话 150 分和 200 分，按方式一需要交费多少？按方式二呢？ （3）对于某个本地通话时间，会出现按两种方式收费一样多吗？你知道怎样选择计费方 式更省钱吗？ 5．某校九年级（1）班积极响应校团委的号召，每位同学都向“希望工程”捐献图书，全班 40 名同学共捐图书 320 册．特别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母的支持下各捐 献了 50 册图书．班长统计了全班捐书情况如下表（被粗心的马小虎用墨水污染了一部 分）： 册数 4 5 6 7 8 50 人数 6 8 15 2 请你分别求出该班级捐献 7 册图书和 8 册图书的人数． 方式一 方式二 月租费 18 元/月 0 本地通话费 0．1 元/分 才中ｚｈｏ ｎｇ 0．2 元/分 6．某地区 2009 年年初的沙漠面积是 40 000 公顷，由于自然原因，沙漠面积会逐年增加， 每年沙漠新增面积是当年年初沙漠面积的 5%，为了防止沙漠面积增加，该地区决定通过 植树绿化沙漠，但由于气候比较干燥，当年植树后树木成活面积仅为植树面积的 80%（假 定当年已经成活的树木两年内仍然成活）． （1）如果 2009 年植树 4 000 公顷，通过计算说明该地区 2009 年底的沙漠面积是否超过 39 000 公顷 ； （2）该地区 2010 年底的沙漠面积为 35 900 公顷，2009 年和 2010 年植树面积相同，求 这两年每年植树多少公顷？ 7． 2012 年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划——“蛋奶工程”． 该地农村小学 每份营养餐的标准是质量为 300 克，蛋白质含量为 8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一 个鸡蛋．已知牛奶的蛋白质含量为 5%，饼干的蛋白质含量为 12．5%，鸡蛋的蛋白质 含量为 15%，一个鸡蛋的质量为 60 克． ⑴ 一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？ ⑵ 每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？ 8．下图的数阵是由一些奇数排成的． （1）图框中的四个数有什么关系？（设框中第一行第一个数为 x ） （2）若这样框出的四个数的和是 200，求这四个数． （3）是否存在这样的四个数，它们的和为 420？为什么？ 专题三 应用一元一次方程——能追上小明吗 9．甲、乙两人骑自行车，同时从相距 65 千米的两地相向而行，甲的速度是 17．5 千米/时， 乙的速度为 15 千米/时，经过几小时，两人相距 32．5 千米？ 10．甲、乙两位同学在环形跑道上从同一点 G 出发，按相反方向沿跑道而行．已知甲每分 钟跑 240 米，乙每分钟跑 1 80 米，如果他们同时出发，并且当他们在出发点 G 第一次 相遇时结束跑步，则他们从出发到结束之间中途相遇多少次？ 状元笔记： 【知识要点】 1. 能用一元一次方程解决一些实际问题，包括列方程、解方程和解释结果的实际意义及合 理性，提高分析问题、解决问题的能力． 2．在经历建立方程模型解决问题的过程中，增强接受和处理信息的能力，体会数学的应用 价值． 【温馨提示】 1．应用简单图形（如正方形、长方形、梯形、圆柱、正方体、长方体等） 的周长、面积、 体积公式，学会分析等量关系来列方程、解放程． 2．整体把握打折问题中的基本量之间的关系：每件商品的利润=商品售价-商品成本价； 能理解商品销售问题中的基本概念及相等关系．熟练地应用“利润=售价-成本价”“利润率= 利润÷成本价×100%”来寻找商品销售中的相等关系． 3．能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题． 4．用列表格或用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程，解决实际问题． 参考答案： 1．解：设降低成本 x 元，则 〔510×(1-4%)-(400-x)〕×(1+10%)m=(510-400)m，解得 x=10.4． 答：该产品每件成本价应降低 10.4 元． 2．解：（1）90 （2） )205 4( x （3）因为 200×0．9＝180 ，63＜180，所以第一次购书不超过 200 元，应享受九折优惠， 所以第一次购书为 63÷0．9＝70（元）． 设 学 生 第 二 次 购 书 标 价 为 x 元 ， 则 应 付 款 为 )205 4( x 元 ， 根 据 题 意 ， 得 37)205 4(63)70(      xx ，解得 x＝250． 当 x＝250 时， 220202505 4205 4 x （元）． 答：该学生第二次购书实际付款 220 元． 3．解：(1)设商铺标价为 x 万元， 则按方案一购买，则可获投资收益（120%－1）·x＋x·10%×5=0．7x ， 投资收益率为0.7x x ×100%=70%． 按方案二购买，则可获投资收益（120%－0．85）·x+x×10%×(1－10%)×3=0． 62x． ∴ 投资收益率为0.62x 0.85x×100%≈72．9%． ∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高． (2)由题意得 0．7x－0． 62x=5， 解得 x=62．5（万元）． ∴甲投资了 62．5 万元，乙投资了 53．125 万元． 4．解：（1）方式一：每月收取月租费 18 元，此外根据累计通话时间按每分钟 0．1 元加收 通话费； 方式二：不收月租费，根据累计通话时间按每分钟 0．2 元收通话费． （2）通话 150 分钟按方式一：18+150×0．1=33(元)，按方式二：150×0．2=30(元)． 通话 200 分钟按方式一：18+200×0．1=38(元)，按方式二：200×0．2=40(元)． （3）设通话 x 分钟两种方式收费一样多，根据题意列方程得 18+0．1x=0．2x， 解方程得 x=180，所以通话 180 分钟时两种方式收费一样多． 可知：通话时间在 180 分钟以内时选用方式二省钱，通话时间在 180 分钟以上时选择方 式一省钱． 5．解：设该班级捐献 7 册图书的同学有 x 人，则该班级捐献和 8 册图书的同学 )9( x 人， 根据题意，得 66)9(87  xx ．解得 39,6  xx ． 答：该班级捐献 7 册图书的同学有 6 人，捐献和 8 册图书的同学 3 人。 6．解：(1)2009 年底的沙漠面积：40000×（1＋5％）－4000×80％＝38800（公顷），未超 过 39 000 公顷． (2)设 2009 年和 2010 年每年植树 x 公顷, 根据题意列方程得[40000×（1＋5％）－80％x]（1＋5％）－80％x＝35900， 解得：x＝5000（公顷）． 答：2009 年和 2010 年每年植树 5000 公顷． 7．解：⑴60×15%=9（克）． 答：一个鸡蛋中含蛋白质的质量为 9 克． ⑵设每份营养餐中牛奶的质量为 x 克，由题意得  5% +12.5% 300-60- +9=300 8%x x  ， 解这个方程，得 x=200，∴300-60-x=40（克）． 答：每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为 200 克和 40 克． 8．解：（1）设第一行第一个数为 x ，则其余 3 个数依次为 2, 8, 10x x x   ． （2）根据题意，得 2 8 10 200x x x x       ， 解得 x =45，所以这四个数依次为 45，47，53，55． （3）不存在．理由： 因为 4 20 420,x   解得 x =100，为偶数，不合题意，故不存在． 9．解：本题有两种情况：情况 1：第一次相距 32．5 千米,设经过 x 小时两人相距 32．5 千 米，根据题意，得 (17.5 15) 65 32.5x   ，解得 1x  ． 情况 2：第二次相距 32．5 千米,设经过 x 小时两人相距 32．5 千米，根据题意，得 (17.5 15) 65 32.5x   ，解得 3x  ．答：经过 1 小时或 3 小时两人相距 32．5 千米． 10．解：设路程为 x，相向而行相遇时间= ，相背而行相遇时间= ， 根据题意得：相遇在 G 点时相遇次数= =7（次）， 则他们从出发到结束之间中途相遇的次数=7﹣1=6（次）．