人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:二元一次方程(组)有关概念(解析版)

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人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:二元一次方程(组)有关概念(解析版)

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:‎ 二元一次方程(组)有关概念 知识网络 重难突破 二元一次方程的概念:含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程。‎ ‎【注意】‎ 1) 二元:含有两个未知数;‎ ‎2)一次:所含未知数的项的次数都是1。‎ 例如:xy=1,xy的次数是二,属于二元二次方程。‎ 3) 方程:方程的左右两边必须都是整式(分母不能出现未知数)。‎ 二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.‎ ‎【注意】‎ 1) 在二元一次方程中,给定其中一个未知数的值,就可以求出另一个未知数的值。‎ 2) 二元一次方程有无数个解,满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解,但并不是说任意一对数值就是它的解。‎ 二元一次方程组的概念:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.‎ ‎【注意】‎ ‎1)二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的,组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数,如也是二元一次方程组。这两个一次方程不一定都是二元一次方程,但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。‎ ‎2)方程组中的各个方程中,相同字母必须代表同一未知量。‎ ‎3)二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。‎ 二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。‎ ‎【注意】‎ ‎1)二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。‎ ‎2)一般情况下二元一次方程组的解是唯一的,但是有的方程组有无数个解或无解。‎ 如:有的方程组无解,如: ‎【典型例题】‎ 题型一 二元一次方程的定义 典例1(2019·巴中市期中)若关于x的方程(k﹣2) +3y=6是二元一次方程,则k的值是(  )‎ A.2 B.﹣2 C.2或﹣2 D.3‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵关于x的方程(k﹣2)x|k|﹣1+3y=6是二元一次方程,‎ ‎∴|k|﹣1=1且k﹣2≠0,‎ 解得:k=﹣2,‎ 故选:B.‎ 变式1-1(2019·招远市期中)若方程3x2m+1-2yn-1=7是二元一次方程,则m、n的值分别为( )‎ A.m=1,n=1 B.m=l,n=2‎ C.m=0,n=1 D.m=0,n=2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:根据题意,得 2m+1=1且n-1=1, 解得m=0,n=2. 故选:D.‎ 变式1-2(2019·泰兴市期中)方程2x﹣=0,3x+y=0,2x+xy=1,3x+y﹣2x=0,x2﹣x+1=0中,二元一次方程的个数是( )‎ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 ‎【答案】D ‎【详解】,分母中含有未知数,不是整式方程,故不符合题意;,是二元一次方程;,最高次为2次,故不符合题意;,是二元一次方程; ,只有一个未知数,不符合题意,‎ 因此二元一次方程有2个,‎ 故选D.‎ 变式1-3(2018·济南市期末)把方程改写成用含的式子表示y的形式,正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 由2x-y=3知2x-3=y,即y=2x-3,‎ 故选C.‎ 变式1-4(2020·唐山市期中)若x|2m﹣6|+(m﹣2)y=8是关于x、y的二元一次方程,则m的值是(  )‎ A.1 B.3.5 C.2 D.3.5或2.5‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 根据题意得出:|2m﹣6|=1且(m﹣2)≠0,‎ ‎∴2m-6=1或2m-6=﹣1且m≠2‎ 解得:m=3.5或m=2.5‎ 故选:D 题型二 二元一次方程组的解 典例2(2019·巴中市期中)二元一次方程2x+y=7的正整数解有多少组(   )‎ A.2 B.3 C.5 D.4‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解:方程2x+y=7,‎ 解得:y=−2x+7,‎ 当x=1时,y=5;x=2时,y=3;x=3时,y=1,‎ 则方程的正整数解有3组,‎ 故选:B.‎ 变式2-1(2018·临沂市期末)二元一次方程3x﹣2y=1的不超过10的正整数解共有( )组.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 把方程3x﹣2y=1化为x=,又因方程有不超过10的正整数解,所以当y=1时,x=1;y=4,x=3;y=7,x=5;y=10,x=7,即方程的正整数解共有4组,故答案选D 变式2-2(2018·长春市期末)若是方程3x+ay=1的解,则a的值是(  )‎ A.a=1 B.a=﹣1 C.a=2 D.a=﹣2‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 把代入方程3x+ay=1中得:3+2a=1,‎ 解得:a=﹣1.‎ 故选:B.‎ 变式2-3(2018·武汉市期末)方程组的解为,其中一个方程是,另一个方程可以是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:将依次代入各选项,‎ A. ,故该方程不是另一个方程;‎ B. ,故该方程不是另一个方程;‎ C. ,故该方程不是另一个方程;‎ D. ,故该方程是另一个方程.l 故选:D.‎ 变式2-4(2019·福建省初一期末)方程2x+y=6的正整数解有(  ).‎ A.1组 B.2组 C.3组 D.无数组 ‎【答案】B ‎【解析】详解:由2x+y=6,‎ 可得:y=﹣2x+6,‎ 当x=1时,y=4;当x=2时,y=2,‎ ‎∴方程的正整数解有2组,‎ 故选:B.‎ 题型三 判断是否是二元一次方程组 典例3(2020·大连市期中)下列不是二元一次方程组的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ A选项中项分母中含有未知数,故不是二元一次方程组.‎ 变式3-1(2019·广西壮族自治区初一期中)下列各方程组中,是二元一次方程组的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解:A. ,是二元一次方程组,此选项 符合题意;‎ B. ,是二元二次方程组,此选项不符合题意;‎ C. ,含有分式方程,此选项不符合题意;‎ D. ,该方程组中含有3个未知数,属于三元一次方程组,此选项不符合题意.‎ 故选:A.‎ 变式3-2(2020·巨野县期中)下列方程组中,是二元一次方程的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解:A项为二元一次方程组,故本选项正确, B项为二元二次方程组,故本选项错误, C项的第一个方程为分式方程,故本选项错误, D项中未知数的最高次项为3次,故不为二元一次方程,故本选项错误. 故选:A.‎ 变式3-3(2019·杭州市期末)下列方程组中,属于二元一次方程组的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解:A、不是二元一次方程组,故本选项不符合题意;‎ B、不是二元一次方程组,故本选项不符合题意;‎ C、是二元一次方程组,故本选项符合题意;‎ D、不是二元一次方程组,故本选项不符合题意;‎ 故选:C.‎ 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 典例4(2019·杭州市期末)若是下列某二元一次方程组的解,则这个方程组为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ A.x=2,y=﹣1不是方程x+3y=5的解,故该选项错误;‎ B.x=2,y=﹣1适合方程组中的每一个方程,故该选项正确.‎ C.x=2,y=﹣1不是方程组中每一个方程的解,故该选项错误;‎ D.x=2,y=﹣1不是方程组中每一个方程的解,故该选项错误.‎ 故选B.‎ 变式4-1(2020·沈阳市期末)下列各组数中,是方程2x+y=7的解的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解:把x=1,y=5代入方程左边得:2+5=7,右边=7,‎ ‎∴左边=右边,‎ 则是方程2x+y=7的解.‎ 故选:C.‎ 变式4-2(2019·新疆维吾尔自治区初一期末)已知一个二元一次方程组的解是,则这个方程组是:( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A. 不是二元一次方程组,故本选项不符合题意; ‎ B. 将代入,不能使方程组左右两侧相等,故不是该二元一次方程组的解,故本选项不符合题意;‎ C. 将代入能使方程组左右两侧相等,故是该二元一次方程组的的解,故本选项符合题意; ‎ D. 将代入,不能使方程组左右两侧相等,故不是该二元一次方程组的解,故本选项不符合题意.‎ 故选C.‎ 变式4-3(2019·泰安市期中)下列数值是二元一次方程的解的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:A、把x=-2,y=9入方程,左边=12≠右边,所以不是方程的解;  B、把x=2,y=1代入方程,左边=8≠右边,所以不是方程的解;  C、把x=8,y=9代入方程,左边=42≠右边,所以不是方程的解;  D、把x=4,y=6代入方程,左边=24=右边,所以是方程的解. ‎ 故选D.‎ 变式4-4(2019·黄石市期中)解为的方程组是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、把代入方程x-y=-1,左边=1≠右边,把代入方程y+3x=5,左边=5=右边,故不是方程组的解,故选项错误;‎ B、把代入方程3x+y=-5,左边=5≠右边,故不是方程组的解,故选项错误;‎ C、把代入方程x-y=3,左边=-1≠右边,故不是方程组的解,故选项错误;‎ D、把代入方程x-2y=-3,左边=-3=右边=-3,把代入方程3x+y=5,左边=5=右边,故是方程组的解,故选项正确.‎ 故选D.‎ 题型五 已知二元一次方程组的解,求参数 典例5(2019·贵港市期中)若二元一次方程组的解是,则的值是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.5‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解:将x=-1,y=-1代入方程组得:,解得,‎ 所以.‎ 故选:C.‎ 变式5-1(2020·甘南县期中)方程的解是 ,则a,b为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意得:,解得:,‎ 故选B.‎ 变式5-2(2018·温州市期末)若是方程3x+my=1的一个解,则m的值是(  )‎ A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 把代入方程3x+my=1,‎ 得:﹣3+2m=1,‎ 解得:m=2.‎ 故选:C.‎ 变式5-3(2019·天津初一期末)已知是二元一次方程组的解,则的值是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:将x=-1,y=2代入方程组得:,‎ 解得:m=1,n=-3,‎ 则m-n=1-(-3)=1+3=4.‎ 故选:D.‎ 变式5-4(2019·泰安市期末)已知是方程组的解,则的值是( )‎ A.10 B.-10 C.14 D.21‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 把x=a,y=b代入方程组,‎ 得:‎ 两式相加得:5a−b=7+3=10.‎ 故选A 巩固训练 一、 选择题(共10小题)‎ ‎1.(2019·东莞市期中)二元一次方程2x+y=5的正整数解有(  )‎ A.一组 B.2组 C.3组 D.无数组 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解:当x=1,则2+y=5,解得y=3, 当x=2,则4+y=5,解得y=1, 当x=3,则6+y=5,解得y=-1, 所以原二元一次方程的正整数解为,. 故选B.‎ ‎2.(2019·阳谷县期末)方程(m-2 016)x|m|-2 015+(n+4)y|n|-3=2 018是关于x、y的二元一次方程,则(  )‎ A.m=±2 016;n=±4 B.m=2 016,n=4‎ C.m=-2 016,n=-4 D.m=-2 016,n=4‎ ‎【答案】D ‎【详解】∵是关于x、y的二元一次方程,‎ ‎∴m-2016≠0,n+4≠0,|m|-2015=1,|n|-3=1,‎ 解得:m=-2016,n=4,‎ 故选D.‎ ‎3.(2019·深圳市期中)已知是关于x、y的二元一次方程,则( )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解:根据题意,得 且a-1≠0,1 解得a=-1,b=-‎ ‎∴ 故选B.‎ ‎4.(2018·三明市期末)以为解的二元一次方程组是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解:将代入A得,满足两个方程,故A正确.‎ 故选:A ‎5.(2018·商丘市期末)若是二元一次方程,则 ( )‎ A.m=3,n=4 B.m=2,n=1 C.m=1,n=2 D.m=-1, n=2‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 根据二元一次方程的定义可得 解得 故选A ‎6.(2018·菏泽市期中)已知 是方程2x-ay=3的一个解,那么a的值是(    )‎ A.1 B.3 C.-3 D.-1‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解:将代入方程2x-ay=3中得:‎ ‎2×1-a×(-1)=3,‎ 解得a=1‎ 故选A ‎7.(2019·益阳市期末)方程 的正整数解的个数是( )‎ A.1个 B.2 个 C.3 个 D.无数个 ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由2x+3y=10得: ‎ 令y=2,得到x=2,‎ 则方程2x+3y=10的正整数解个数是1个.‎ 故选:A ‎8.(2019·长沙市期末)方程组的解中x与y的值相等,则k等于(  )‎ A.2 B.1 C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解:根据题意得:y=x,‎ 代入方程组得:,‎ 解得: ,‎ 故选B.‎ ‎9.(2019·辽阳市期中)将3x-2y=1变形,用含x的代数式表示y,正确的是(    )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵3x-2y=1,‎ ‎∴2y=3x-1,‎ ‎∴‎ 故选:B ‎10.(2018·大石桥市期末)下列方程组中,是二元一次方程组的是 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 选项A,有三个未知数,不是二元一次方程组;选项B,xy的次数是2,不是二元一次方程组;选项C,符合二元一次方程组的定义,是二元一次方程组;选项D,不是整式方程,选项D不是二元一次方程组.故选C.‎ 一、 填空题(共5小题)‎ ‎11.(2019·宝鸡市期末)已知二元一次方程2x-3y=6,用关于x的代数式表示y,则y=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 解:方程2x-3y=6,‎ 解得:y=,‎ 故答案为.‎ ‎12.(2019·洛阳市期中)若3- =5是二元一次方程,则=______,=_____.‎ ‎【答案】2 1 ‎ ‎【详解】‎ 解:∵3x2m-3-y2n-1=5是二元一次方程,‎ ‎∴2m-3=1,2n-1=1,‎ ‎∴m=2,n=1.‎ 故答案为:2,1.‎ ‎13.(2018·渭南市期末)若方程4xm-n-5ym+n=6是二元一次方程,则m=______,n=______.‎ ‎【答案】1 0 ‎ ‎【详解】‎ 解:根据题意,得 解,得m=1,n=0.‎ 故答案是1,0.‎ ‎14.(2018·上饶市期末)写出一个解为的二元一次方程组__________.‎ ‎【答案】 (答案不唯一)‎ ‎【解析】‎ 最简单的方法就用,,即为,另外与是同解方程的都是答案.‎ ‎15.(2019·东方市期中)已知方程是关于二元一次方程,则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【详解】‎ 由题意得:‎ ‎|a−2|=1,且a−3≠0,‎ 解得:a=1,‎ 故答案为:1.‎ 一、 解答题(共2小题)‎ ‎16.(2019·合肥市期末)已知关于x,y的二元一次方程组的解适合方程x+y=6,求n的值.‎ ‎【答案】116‎ ‎【详解】‎ 解:方程组消去n得,-7x-8y=1, 联立得: ‎ 解得 把x=49,y=-43代入方程组,解得n=116.‎ ‎17.(2020·合肥市期末)已知关于x,y的方程组的解为,求m,n的值.‎ ‎【答案】m=5 n=1‎ ‎【详解】‎ 将代入方程组得,解得 .‎
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