精品人教版七年级数学上册第三章3.1从算式到方程

精品人教版七年级数学上册第三章3.1从算式到方程

第三章 一元一次方程 3.1从算式到方程 第1课时 1.通过算术与方程方法的使用与比较，体验用方程解 决某些问题的优越性，提高解决实际问题的能力. 2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学 会判断某个数值是不是一元一次方程的解.（重点） 3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程. （难点） 学习目标 导入新课 情境引入 数学无处不在，即便是一些综艺节目中，也时常会 用到一些数学知识.其中在“奔跑吧，兄弟”中， 有一期节目就涉及中国古代著名典型趣题之一—— 鸡兔同笼问题. 观看视频，你能帮陈赫解决问题吗？ 今 有 雉 兔 同 笼 ， 上 有 三 十 五 头 ， 下 有 九 十 四 足 ， 问 雉 兔 各 几 何 ？ 你有哪些方法解 决这道经典有趣 的数学题？ 温故知新 小学我们已经学过简易方程，你能判断出下列 各式哪些是方程吗？ (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (5) ( ) (6) ( ) √× √ × √ × 713 x ba 2 3x 8 yx 0152 2  xx 352  含有未知数的等式叫做方程. 一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行 驶，快车的行驶速度是70 km/h，慢车的行驶速度是60 km/h， 快车比慢车早1 h经过B地，A，B两地间的路程是多少？ 讲授新课 合作探究 1h 60 km/h 70 km/h 方程及一元一次方程的概念 (1) 上述问题中涉及到了哪些量？ 快车70 km/h，慢车60 km/h 快车比慢车早1h经过B地 AB之间的路程 速度： 时间： 路程： A B快车 慢车 1h 快车每小时比 慢车多走10km 60km 相同的时间，快车 比慢车多走60km 快车走了6h 算式：60 ÷(70-60)×70=420(km) （2）如果将AB之间的路程用x表示，用含x的式子表示 下列时间关系： 快车行完AB全程所用时间： 慢车行完AB全程所用时间： h 70 x h 60 x 两车所用的时间关系为：快车比慢车早到1h 即：（ ）- （ ）=1 1 60 70 x x   慢车用时 快车用时 方程 A B快车 慢车 1h （3）如果用y表示快车行完AB的总时间，你能从 快车与慢车的路程关系中找到等量关系，从 而列出方程吗？ 方 程： 70 y =60（y+1） 等量关系:快车y小时路程=慢车（y+1）小时路程 A B快车 慢车 1h （4）如果用z表示慢车行完AB的总时间，你能 找到等量关系列出方程吗? 方 程： 70（z-1）=60z 等量关系：慢车z小时路程=快车提前1小时走的路程 A B快车 慢车 1h 比较：列算式和列方程 从算式到方程是数学的进步！ 列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能用 已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难. 列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数,解决问题比较方便. 1 60 70 x x   观察下列方程，它们有什么共同点？ 70 y=60（y+1） 70（z-1）=60z 观察与思考 问题1 每个方程中，各含有几个未知数？ 问题2 说一说每个方程中未知数的次数. 问题3 等号两边的式子有什么共同点？ 1个 1次 都是整式 知识要点 这样的方程叫做一元一次方程.等号两边都是整式， （一次） 只含有一个未知数, （一元） 未知数的次数都是1, 一元一次方程 下列哪些是一元一次方程？ （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） ； （7） .1 1 6x   √ √ 练一练 12 x 3152 m 4553  xx 0622  xx yx 38.13  1593 a 例1 若关于x的方程 是一元一次方程，则 n 的值为 . 092 1 nx 【变式题】加了限制条件，需进行取舍 方程 是关于x的一元一次方程，则 m= . 01)1(  mxm 2或－2 1 典例精析 注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0. 例2 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形 的边长是多少？ 4 24x  解：设正方形的边长为x cm. 等量关系：正方形边长×4=周长， 列方程： . x 典例精析 列方程 (2) 一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用 150 h，经过多少月这台计算机的使用时间 达到规定的检修时间2450 h？ 解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450 h. 等量关系：已用时间+再用时间=检修时间， 列方程： . 1700 150 2450x  (3) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人， 这个学校有多少学生？ 解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为 0.52x，男生人数为(1－0.52)x. 等量关系：女生人数－男生人数=80， 列方程：0.52x－ (1－0.52)x=80. 例3 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠 笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优 惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原 价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额 87元.求卖出铅笔的支数. 解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60－x）支. 等量关系：x支铅笔的售价+（60－x）支圆珠 笔的售价=87， 列方程： . 1.2 0.8 2 0.9 60 87x x     分析实际问题中的数量关系，利用其中的相 等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种 方法. 请同学们思考： 1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？ 2.列方程的依据是什么？ 设未知数列方程 一元一次方程 抓关键句子找等量关系实际问题 对于方程4x=24，容易知道 x = 6可以使等 式成立， 对于方程 170+15x =245，你知道 x 等于什么时，等式成立吗？我们来试一试. x １ ２ 3 ４ ５ ６ … … 我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所 以方程 170+15x = 245中的未知数的值应是5． 185 200 215 230 245 260170+15x 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的 解.求方程解的过程叫做解方程. x=420是 方程的解吗?　　　　　1 60 70 x x   知识要点 方程的解 例4 x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x =80的解？ 解：当x=1000时， 方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40， 右边=80，左边≠右边，所以x=1000不是此方程的解. 当x=2000时， 方程左边= 0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80， 右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解. 1. 将数值代入方程左边进行计算， 2. 将数值代入方程右边进行计算， 3. 若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不 是． 判断一个数值是不是方程的解的步骤： 方法归纳 练一练 检验 x = 3是不是方程 2x－3 = 5x－15的解. 解：把 x =3分别代入方程的左边和右边，得 当x = 4，5，6时呢? 左边＝2×3－3=3， 右边＝5×3－15=0. ∵左边≠右边， ∴ x =3不是方程的解. 当堂练习 2. 若 x =1是方程x2 －2mx +1=0的一个解，则m的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. -1 1. x =1是下列哪个方程的解 （ ） A. B. C. D. 21  x xx 3412  2 2 1   xx 254  xx B C 3. 下列方程： ； ； ； ； . 其中是方程的是 ，是一元一次方程的 是 ．(填序号) x x 12 ① 113 x② 15 2  xx ③ 342  yy④ 12  yx⑤ ①②③④⑤ ②③ 4. 根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程， 并指出其是不是一元一次方程. （1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可 以跑3000 m？ 总路程周数一周长  解：设沿跑道跑x周. 400x=3000， 是一元一次方程. （2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买 了多少支？ 元买乙种共用的钱买甲种共用的钱 9 支乙种支数甲种支数 20 解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支. 0.3x+0.6(20－x)=9， 是一元一次方程. （3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面 积是40 cm2，求上底． 解：设上底为x cm，则下底为(x+2)cm. ，是一元一次方程. 1 ( 2) 5 40 2 x x    1 2 (上底+下底）×高=梯形面积 5. 已知方程 是关于x的一元一 次方程，求m的值，并写出其方程． 53)2( )1(   mxm m 解：因为方程 是关于x的一元 一次方程， 所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，得m = －2. 所以原方程为－4x+3 = －7. ( 1)( 2) 3 5mm x m    课堂小结 1. 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两 边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 2. 方程的解： 解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知 数的值，这个值就是方程的解. 第三章 一元一次方程 3.1从算式到方程 第2课时 1. 理解、掌握等式的性质. (重点) 2. 能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程. (难点) 学习目标 对比天平与等式，你有什么发现？ 把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作 天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持 两边平衡. 等号 等式的左边 等式的右边 导入新课 情境引入 √ √√ √ √ 下列各式中哪些是等式？ ； ； ；④ 3； ；⑥2+3=5；⑦3×4=12；⑧9x+10=19； ； . abc 2 1 ① ba 23 ② 5 3 1 2  yxy③ a⑤ abba ⑨ 2rS ⑩ 用等号表示相等关系的式子叫做等式. 我们可以用 a=b表示一般的等式. 讲授新课 观察与思考 观察天平有什么特性？ 天平两边同时加入相同质量的砝码 天平仍然平衡 天平两边同时拿去相同质量的砝码 天平仍然平衡 等式的性质 天平两边同时 天平仍然平衡 加入 拿去 相同质量的砝码 相同的数 (或式子) 等式两边同时 加上 减去 等式仍然成立 换言之， 等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等. 如果a=b，那么a±c=b±c. 合作探究 等式的性质1 由天平看等式的性质2 你能发现什么规律？ c 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结 果仍相等. 等式的性质2 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么 . c b c a  (2) 怎样从等式 3+x=1 得到等式 x =－2? (3) 怎样从等式 4x=12 得到等式 x =3? 依据等式的性质1两边同时减3. 依据等式的性质2两边同时除以4或同乘 . 1 4 依据等式的性质2两边同时除以 或同乘100. 1 100 例1 (1) 怎样从等式 x－5= y－5 得到等式 x = y ? 依据等式的性质1两边同时加5. 典例精析 (4) 怎样从等式 得到等式 a = b? 100100 ba  例2 已知mx=my，下列结论错误的是 （ ） A. x=y B. a+mx=a+my C. mx－y=my－y D. amx=amy 解析：根据等式的性质1，可知B、C正确；根据等式的性质2， 可知D正确；根据等式的性质2，A选项只有m≠0时才成立，故 A错误，故选A． A 易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤 其注意利用等式的性质2等式两边同除某个字母参数， 只有这个字母参数确定不为0时，等式才成立. (2) 从 a+2=b+2 能不能得到 a=b，为什么? (3) 从－3a=－3b 能不能得到 a=b，为什么? (4) 从 3ac=4a 能不能得到 3c=4，为什么? 说一说 (1) 从 x = y 能不能得到 ，为什么? 99 yx  能，根据等式的性质2，两边同时除以9 能，根据等式的性质1，两边同时加上2 能，根据等式的性质2，两边同时除以-3 不能，a可能为0 解: 得 方程两边同时减去7， x + 7 = 26 －7 －7 于是 = x 19 小结：解一元一次方程要“化归”为“ x=a ”的形式. 利用等式的性质解方程 两边同时除以－5，得解: 方程 (2) －5x = 20 思考：为使 (2) 中未知项的系数化为1，将要用 到等式的什么性质 ？ 化简，得 x=－4 -5x÷(－5)= 20 ÷(－5) 1 5 4 3 x   解：方程两边同时加上5，得 化简，得 1 5 5 4 5 3 x     1 9 3 x  方程两边同时 乘 －3， 得 x = －27 x=－27是原方程的解吗? 思考：对比(1)，(3)有什么新特点 ？ (3) 一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代 入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等. 例如， 将 x = －27 代入方程 的左边，45 3 1  x 1 ( 27) 5 = 9 5=4. 3      方程的左右两边相等，所以 x = －27 是原方程的解. 针对训练： (1) x+6 = 17 ; (2) -3x = 15 ; 1 1 2 3 x   (4) (3) 2x-1 = -3 ; 解：(1)两边同时减去6，得x=11. (2)两边同时除以-3，得x=-5. (3)两边同时加上1，得2x=-2. 两边同时除以2，得x=-1. 两边同时乘以-3，得x=9. (4)两边同时加上-1，得 1 3, 3 x   当堂练习 A2. 下列各式变形正确的是 （ ） A. 由3x－1= 2x+1得3x－2x =1+1 B. 由5+1= 6得5= 6+1 C. 由2(x+1) = 2y+1得x +1= y +1 D. 由2a + 3b = c－6 得2a = c－18b B 3. 下列变形，正确的是 （ ） A. 若ac = bc，则a = b B. 若 ，则a = b C. 若a2 = b2，则a = b D. 若 ，则x = －2 c b c a  6 3 1  x B 4. 填空 (1) 将等式x－3=5 的两边都_____得到x =8 ，这是 根据等式的性质__； (2) 将等式 的两边都乘以___或除以 ___得 到 x = －2，这是根据等式性质 ___； 1 2 1 x 加3 1 2 2 1 2 减y 1 除以x 2 (3) 将等式x + y =0的两边都_____得到x = －y，这是 根据等式的性质___； (4) 将等式 xy =1的两边都______得到 ，这是根 据等 式的性质___． 1y x  　 5. 应用等式的性质解下列方程并检验: (1) x+3= 6； (2) 0.2x =4； (3) -2x+4=0； (4) 11 3. 2 x  解： (1) x =3； (2) x =20； (3) 2x  ； (4)x =－4. 6. 已知关于x的方程 和方程3x －10 =5 的解相同，求m的值. 6 2 7 4 1 mx 解：方程3x－10 =5的解为x =5，将其代入方程 ，得到 ，解得m =2.1 7 6 4 2 mx   5 7 6 4 2 m   课堂小结 等式 的 基本 性质 基本性质1 基本性质2 应用 如果a=b，那么a±c=b±c. 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么 . c b c a  运用等式的性质把方程“化 归”为最简的形式 x = a