《同步导学案》人教七年级数学（下册）第五章 第五课时 平行线的判定

《同步导学案》人教七年级数学（下册）第五章 第五课时 平行线的判定

第五课时 平行线的判定 ‎1. 理解并掌握平行线的判定方法．‎ ‎2．会利用平行线的判定方法进行简单的推理．‎ ‎3.重难点：理解并运用平行线的判定方法进行简单的推理．‎ 知识导入 改变图5.2-7中∠1的大小，按照上面的方式再做一做，∠1与∠2的大小满足什么条件时，木条a与木条b平行？‎ 本节中我们将探究平行线的判定，体会数与形的依存关系.‎ 知识讲解 知识点：平行线的判定 平行线的判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行． 数学符号表示：（如图5.2-8）‎ 因为∠1=∠2 (已知) 所以 a∥b (同位角相等，两直线平行) ‎ 平行线的判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行．数学符号表示：（如图5.2-8）‎ 因为∠1=∠3（已知）所以a∥b (内错角相等，两直线平行) ‎ 平行线的判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行．数学符号表示：（如图5.2-8）‎ 因为∠1+∠4=180（已知）‎ 所以a ∥b（同旁内角互补，两直线平行）‎ 例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？‎ 分析 垂直总与直角联系在一起.我们所学判断直线平行的方法有四种1.平行公理及推论（传递性）2.同位角相等，两直线平行.3.内错角相等，两直线平行。4.同旁内角相等，两直线平行.本题只能从角度关系来判断，所以选择后三种.‎ 解析 这两条直线平行.理由如下：如图5.2-9.‎ 法一： 因为 b⊥a，c⊥a，‎ 所以 ∠1=∠2=90°.‎ 从而 b∥c（同位角相等，两直线平行）‎ 法二：因为 b⊥a，c⊥a，‎ 所以 ∠1=∠3=90°.‎ 从而 b∥c（内错角相等，两直线平行）‎ 法三：因为 b⊥a，c⊥a，‎ 所以 ∠1=∠4=90°.‎ 所以 ∠1+∠4=180°‎ 从而 b∥c（同旁内角互补，两直线平行）‎ 点拨 判断两直线平行可有4种方法：1.平行公理及推论（传递性）2.同位角相等，两直线平行.3.内错角相等，两直线平行。4.同旁内角相等，两直线平行.解答此题后我们又得到一个平行线的判定：垂直于同一条直线的两条直线互相平行.‎ 知识探究 平行线的判定的理解 ‎（1）平行公理推论（传递性）：如果b∥a，c∥a，那么b∥c．‎ ‎(2)平行线的判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行．‎ ‎(3)平行线的判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行．‎ ‎(4)平行线的判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行．‎ ‎(5)垂直于同一条直线的两条直线互相平行.‎ 因为a⊥m，b⊥m（已知）所以 a ∥b（垂直于同一条直线的两直线平行）‎ 例 如图5.2-10.已知∠1等于它的余角，∠2是它的补角的3倍，那么AB∥CD吗?为什么？‎ 分析 判定两直线平行，是由两个角(同位角、内错角、同旁内角)的数量关系，推出线与线的位置关系.因此本题的关键是要求出∠1和∠2，因它们是同旁内角,因此看其和是否为180°.‎ 解析 因为∠1等于它的余角，‎ 所以∠1=90°-∠1. ‎ 解得∠1=45°.‎ 因为∠2是它的补角的3倍，‎ 所以∠2=3(180°-∠2).‎ 解得∠2=135°.‎ 所以∠1+∠2=45°+135°=180°.‎ 所以根据同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD.‎ 例 如图5.2-11.已知∠1=60°，∠2=120°，那么AB与CD平行吗?为什么?‎ 分析 要判断AB与CD平行，可以通过∠1与∠4，或∠2与∠3，或∠1与∠5之间的数量关系，应用直线平行的条件加以判断.‎ 解析 解法一 因为∠1+∠3=180°，所以∠3=180°-∠1=180°-60°=120°.‎ 而∠2=120°，所以∠3=∠2‎ 根据“同位角相等，两直线平行”知，AB∥CD.‎ 解法二 因为∠4=∠2=120°，因此∠1+∠4=60°+120°=180°.‎ 根据“同旁内角互补，两直线平行”知，AB∥CD.‎ 解法三 因为∠2+∠5=180°，所以∠5=180°-∠2=180°-120°=60°.‎ 而∠1=60°，因此∠1=∠5.根据“内错角相等两直线平行”知，AB∥CD.‎ 易错辨析 题 如图5.2-12，下列说法中，正确的是（　　）‎ A、因为∠2=∠4，所以AD∥BC B、因为∠BAD+∠D=180°，所以AD∥BC C、因为∠1=∠3，所以AB∥CD D、因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC 错解 A 辨析 据平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．‎ 正解 A、因为∠2=∠4，所以AB∥DC，故选项错误；‎ B、因为∠BAD+∠D=180°，所以AB∥DC，故选项错误；‎ C、因为∠1=∠3，所以AD∥BC，故选项错误；‎ D、因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC，故选项正确．‎ 故选D．‎ ‎1.如图5.2-13，木工师傅常用角尺画出工件边缘的两条垂线则a与b的位置关系是___________，这说明：垂直于同一条直线的两条直线_______________.‎ ‎2.如图5.2-14，因为∠ADE=∠DEF(已知) 所以AD∥____________( )，‎ 因为 ∠EFC+∠C=180°(已知)所以EF∥___________( )‎ 所以 ___________∥____________( )‎ ‎3.如图5.2-15，已知直线AB、CD被直线EF所截，且∠AGE=52°，∠EHD=128°，那么AB∥CD吗？试说明理由．‎ ‎4.我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象.光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象.如图5.2-16，是光线从空气射入水中，再从水中射入空气中的示意图.由于折射率相同，因此有∠1=∠4，∠2=∠3.请你用所学知识来判断光线c与d是否平行?并说明理由.‎ 5. 如图5.2-17,∠B=∠C,B、A、D在同一直线上,∠DAC=∠B+∠C,AE是∠DAC的平分线.试说明:AE∥BC.先阅读下面的方法1并填写推理根据,再将方法1第一步中∠B=∠DAC改为∠C=∠DAC,独立写出方法2.‎ ‎ ‎ 方法1:因为∠DAC=∠B+∠C,且∠B=∠C( ），‎ 所以∠B=∠DAC( ).‎ 因为AE是∠DAC的平分线( ),‎ 所以∠1=∠DAC( ).‎ 所以∠B=∠1( ).‎ 所以AE∥BC( ).‎ 如图5.2-18：因为∠A＝∠3，可得_____∥____，理由是_______________；‎ 因为∠2＝∠___，可得AC∥___，理由是_____________________________；‎ 因为∠5＝∠___，可得EF∥___，理由是_____________________________；‎ 因为∠5＝∠___，可得BC∥____，理由是____________________________.‎ 分析 判断两直线平行涉及角度相等的有：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．本题中∠A与∠3是同位角，所以AC∥EF,理由是同位角相等，两直线平行；∠2与∠4是内错角，所以AC∥EF；理由是内错角相等，两直线平行；∠5与∠C是同位角，所以EF∥AC；理由是同位角相等，两直线平行；∠5与∠4是内错角，所以BC∥ED；理由是内错角相等，两直线平行；‎ 解析 AC∥EF,理由是同位角相等，两直线平行；∠4,EF, 内错角相等，两直线平行；‎ ‎∠C, AC, 同位角相等，两直线平行；∠4,ED, 内错角相等，两直线平行；‎ 点拨 关键分清角与直线的位置．‎ 练习　　如图5.2-19：(1)：因为∠3＝∠___，所以AB∥CD，理由是：______________ (2)：因为∠1＝∠___，所以AD∥BC，理由是：______________________________；‎ ‎(3)因为∠A＋∠____＝180°，所以AB∥CD，理由是：_______________________；‎ ‎(4)因为∠C＋∠____＝180°，所以BC∥AD,理由是：________________________；‎ 参考答案 课时检测 1. 平行；互相平行 2. EF；内错角相等，两直线平行；BC；同旁内角互补，两直线平行；AD；BC；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.‎ ‎3. 解析：结合图形，利用对顶角相等或邻补角知识把∠AGE与∠EHD转化为同旁内角或同位角．解答 解法一因为∠BGH=∠AGE=52°（对顶角相等），‎ ‎∠EHD=128°,所以∠BGH＋∠EHD=180°．‎ 所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．‎ 解法二：因为∠CHE=180°-∠EHD=52°（邻补角定义）,‎ 而∠AGE=52°,所以∠CHE=∠AGE．所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．‎ ‎4.解答 c∥d.如图：‎ 因为∠1+∠5=180°，∠4+∠6=180°(邻补角定义)，‎ 又因为 ∠1=∠4所以 ∠5=∠6(等角的补角相等)‎ 又因为∠2=∠3，所以∠2=∠5=∠6+∠3.所以c∥d(内错角相等，两直线平行).‎ ‎5. 解:已知 等量代换 已知 角平分线的定义 等量代换 同位角相等,两直线平行证法2:因为∠DAC=∠B+∠C,且∠B=∠C(已知),‎ 所以∠C=∠DAC(等量代换).因为AE是∠DAC的平分线(已知),‎ 所以∠2=∠DAC(角平分线的定义).所以∠C=∠2(等量代换).‎ 所以AE∥BC(内错角相等,两直线平行).‎ 拓展提升 ‎(1)4，内错角相等，两直线平行（2）2，内错角相等，两直线平行（3）ADC，同旁内角互补，两直线平行（4）ADC, 同旁内角互补，两直线平行