人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：实数（解析版）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：实数（解析版）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：实数 知识网络 重难突破 知识点一 实数的分类 实数概念：有理数和无理数统称为实数 实数的分类： 1.按属性分类： 2.按符号分类 【典型例题】 1．（2020·南阳市期末）给出下列数： ，其中无理数有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【详解】 根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比． 由此可得， 中， 是无理数 故答案为：B． 2．（2019·成都市七中育才学校初二期末）下列各数中， （相邻两个 3 之间 2 的个数逐次增加 1），无理数有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 313, ,3.14, , 82 π − 313, ,3.14, , 82 π − 3 π， 123.1415, ,0.321, ,2.323322237 π … 【答案】C 【详解】 （相邻两个 3 之间 2 的个数逐次增加 1）中 只有 ，2.32232223…（相邻两个 3 之间的 2 的个数逐次增加 1）共 2 个是无理数． 故选：C． 3．（2020·保定市期末）下列各数中，能化为无限不循环小数的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解:A. 属于无限循环小数； B. 属于有限小数； C. 属于无限循环小数； D. 属于无限不循环小数． 故选 D． 4．（2020·鼓楼区期末）在 3.14、 、 0、 、1.6 这 5 个数中，无理数的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 【详解】 解：在 3.14、 、 0、 、1.6 这 5 个数中， 为无理数，共 1 个. 故选：A. 5．（2020·郑州市期末）下列各数 3.14， ， ， ，2.131 331 333 1…（相邻两个 1 之间 3 的个数 逐次多 1）， ， ，其中无理数的个数为（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【详解】 123.1415, ,0.321, ,2.323322237 π … π 1 3 1 5 1 7 2 π 1 3 1 0.25 = 1 7 2 π 22 7 π 22 7 π π 3 π 0.401  16 23 21 3 9− 无理数有： ，2.131 331 333 1…（相邻两个 1 之间 3 的个数逐次多 1）， ，共 3 个； 故选：B． 6．（2020·沈阳市第七中学初二期末）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不 尽的数；③负数没有立方根；④16 的平方根是 ，用式子表示是 .其中错误的个数有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】D 【详解】 ①实数和数轴上的点是一一对应的，正确； ②无理数是开方开不尽的数，错误，无理数是无限不循环小数； ③负数没有立方根，错误，负数有立方根； ④16 的平方根是±4,用式子表示是： ，故此选项错误。 故选：D. 知识点二 实数和数轴上的点的对应关系（重点）： 实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示 一个实数． 的画法：画边长为 1 的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况： 1.尺规可作的无理数，如 2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001…… 【典型例题】 1．（2020·梅州市期末）下列说法中，不正确的是（　　） A． ﹣ 的绝对值是 ﹣ B． ﹣ 的相反数是 ﹣ C． 的立方根是 2 D．﹣3 的倒数是﹣ 【答案】A 【详解】 2 3 π 3 9− 2 3 2 3 2 3 3 2 64 1 3 解：A、 ﹣ 的绝对值不是 ﹣ ，故 A 选项不正确，所以本选项符合题意； B、 ﹣ 的相反数是 ﹣ ，正确，所以本选项不符合题意； C、 ＝8，所以 的立方根是 2，正确，所以本选项不符合题意； D、﹣3 的倒数是﹣ ，正确，所以本选项不符合题意． 故选：A． 2．（2020·河三门峡市期末）如图， 是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示 的是 （ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】 ∵ ∴ ∴点 最适合表示 故答案为：A． 3．（2020·青岛市期末）如图，在数轴上 ， 两点分别对应实数 、 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：∵由图可知，a＜-1＜0＜b＜1， ∴ab＜0，故 A 错误； a-b＜0，故 B 错误； a+b＜0，故 C 错误； 2 3 2 3 2 3 3 2 64 64 1 3 M N P Q、 、 、 7 M N P Q 4 7 9< < 2 7 3< < M 7 A B a b 0ab > 0a b− > 0a b+ > | | | | 0a b− > ，故 D 正确． 故选：D． 4．（2020·保定市期末）若将 ， ， ， 四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨 迹覆盖的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是负数，在原点的左侧，不符合题意； ，所以 2 3，符合题意； 是负数，在原点的左侧，不符合题意； ，即 3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意． 故选：B． 5．（2020·济南市期末）如图，数轴上 A，B，C，D 四点中，与- 对应的点距离最近的是（　　） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 【答案】B 【详解】 解：∵ ＜ ＜ ，即 1＜ ＜2， ∴﹣2＜ ＜﹣1， ∴由数轴知，与 对应的点距离最近的是点 B， 故选：B． 6．（2018·永昌县期中）如图，数轴上的 A、B、C、D 四点中，与数﹣ 表示的点最接近的是( ) | | | | 0a b− > 2− 6 3− 11 2− 6 3− 11 2− 4 6 9< < 6＜ ＜ 3− 11 9＞ 11＞ 3 A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 【答案】B 【详解】 ， ， ， ， 因为 0.268＜0.732＜1.268， 所以 表示的点与点 B 最接近， 故选 B. 知识点三 实数比较大小 实数大小比较的方法（常用）：1）平方法 2）根号法 3）求差法 实数的三个非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2.非负数有三种形式 ①任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数 a 的平方是非负数，即 ≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即 ≥0 3.非负数具有以下性质 ①非负数有最小值零； ②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0 【典型例题】 1．（2018·大石桥市期中）如图，数轴上的点 分别表示数-1，1，2，3，则表示 的点 应在（ ） 3 1.732− ≈ − ( )1.732 3 1.268− − − ≈ ( )1.732 2 0.268− − − ≈ ( )1.732 1 0.732− − − ≈ 3− A B C D、 、 、 2 5− P A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上 【答案】D 【详解】 ∵ ∴ ， 即 ∴点 P 在线段 AO 上 故选：D 2．（2020·唐山市期末）如图，圆的直径为 1 个单位长度，圆上的点 A 与数轴上表示-1 的点重合，将该圆沿 数轴滚动一周，点 A 到达 的位置，则点 表示的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ∵圆的直径为 1 个单位长度， ∴此圆的周长=π， ∴当圆向左滚动时点 A′表示的数是-π-1； 当圆向右滚动时点 A′表示的数是 π-1． 故选：D． 3．（2020·日照市期末）在实数|﹣3|，﹣2，0，π 中，最小的数是（　　） A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π 【答案】B 【详解】 在实数|-3|，-2，0，π 中， |-3|=3，则-2＜0＜|-3|＜π， 故最小的数是：-2． 故选 B． CD OB BC AO 2 5 3＜ ＜ - 2＞- 5＞- 3 0＞2- 5＞-1 - 1＜2- 5＜0 A′ A′ 1π − 1π− − 1 -1或π π− + 1 - -1π π− 或 4．（2020·海口市期中）若 m= -3，则 m 的范围是( ) A．1 < m < 2 B．2 < m < 3 C．3 < m < 4 D．4 < m < 5 【答案】B 【详解】 解：∵ ＜ ＜ 即 5＜ ＜6 ∴5-3＜ -3＜6-3 ∴2＜m＜3 故选 B． 5．（2019·玉林市期末）下列实数中，比 大的数是（ ） A．0 B． 4 C． D． 【答案】C 【详解】 由题意得： ，∴排除 A、B 选项， ∵ ，∴ ， 故 ， 故选：C. 6．（2019·成都市期末）比较 2， ， 的大小，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵26=64， ， ，而 49＜64＜125 ∴ 28 25 28 36 28 28 3 − π 2 1 3 2< < 2 3 π< < 2 3 π< < 3π > 5 3 7 32 5 7< < 32 7 5< < 3 7 2 5< < 3 7 5 2< < ( ) ( ) 36 2 5 5 125 = =   ( ) ( ) 26 33 37 7 49 = =   ( ) ( )6 6 63 7 5 2< < ∴ 故选 C． 7．（2020·余杭区期末）在 ，-82 ， ， 四个数中，最大的是( ) A． B．-82 C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵ ， ∴ ， 故答案为：C. 8．（2020·湖南雅礼中学初三期末）下列实数： ，其中最大的实数是（ ） A．-2020 B． C． D． 【答案】C 【详解】 ∵ =-2020， =-2020， =2020， = ， ∴ ， 故选 C. 9．（2020·延边市期末）估计 的值在（ ） A．2 到 3 之间 B．3 到 4 之间 C．4 到 5 之间 D．5 到 6 之间 【答案】B 【详解】 ∵4 ＜ 6 ＜ 9 ， ∴ ，即 ， ∴ ， 故选 B. 10．（2019·温州市期末）下列实数中，介于 与 之间的是( ) 3 7 2 5< < 1 8 8 3 8 1 8 8 3 8 2 318 8 2 2 8 264 − = − = =， ， 2 318 8 88 − < < < 12020, | 2020 | | 2020 |, 2020 − − − −， | 2020 |− − | 2020 |− 1 2020 2020− | 2020 |− − | 2020 |− 1 2020 1 2020 12020= | 2020 | | 2020 |2020 − − − −＜ ＜ 6+1 4 6 9< < 2 6 3< < 3 6+1 4< < 2 3 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：由已知 0.67, 1.5, ∵因为 , , , >3 ∴ 介于 与 之间 故选：A． 知识点四 实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为 0)、乘方运算，又增加了非负 数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用。 实数的运算顺序： (1)先算乘方和开方; (2)再算乘除，最后算加; (3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【典型例题】 1．（2020·长沙市期末）如图是一个 的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则 可以是（ ） A．-2 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】 解：由题意可得：a+|-2|= 则 a+2=3， 解得：a=1， 故 a 可以是 ． 故选：B． 2 3 15 7 π 2 3 ≈ 3 =2 2 1.414≈ 3 1.732≈ 15 2.1437 ≈ π 2 2 3 3 2 2 2× a ( ) 21 −− ( )20191− 03 8 2+ ( ) 21 −− 2．（2020·吉林前郭县一中初二期末）计算： __________． 【答案】2020 【详解】 原式=1+2019=2020． 故答案为：2020． 3．（2019·重庆巴川中学校初一期中）计算： ____． 【答案】3 【详解】 解：原式= ， 故答案为：3． 4．（2019·苏州市期末）化简 的结果为_____. 【答案】 【详解】 原式=2+ -1+2= 故答案为 5（2019·齐齐哈尔市期末）（1） ． （2） ． 【答案】（1）原式 ；（2）原式 ． 【详解】 解：（1） = = ( ) 10 12 1 2019 − − + =   32 8 1 2+ − − = 2 2 ( 2 1) 2 2 2 1 3+ − − = + − + = ( )2 32 1 2 8− + − + 3 2+ 2 3 2+ 3 2+ 23 3 14 125 ( 3) 8 − + − − 33( 3 2) 3 2 3 27− + − − − 1 2 = − 3= − 23 3 14 125 ( 3) 8 − + − − 12 5 3 2 − + − 1 2 − （2） = = 巩固训练 一、 选择题（共 10 小题） 1．（2019·石家庄市期中）四个数 0，1， 中，无理数的是（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 0，1， 是有理数， 是无理数， 故选 A． 2．（2018·通化市期中）与 最接近的整数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】 试题分析：由 可得 ，又因 4 比 9 更接近 5，所以 更接近整数 3．故答案 选 B． 3．（2020·沈阳市期末）计算下列各式，值最小的是（ ） A．2×0+1-9 B．2+0×1-9 C．2+0-1×9 D． 【答案】A 【详解】 根据实数的运算法则可得：A 正确，故选 A. 4．（2018·天水市期末）下列说法：①带根号的数是无理数；②不含根号的数一定是有理数；③ 无理数是开方开不尽的数；④无限小数是无理数；⑤π 是无理数，其中正确的有（　　） 33( 3 2) 3 2 3 27− + − − − 3 2 3 2 3 3 3− + − − 3− 12 2 ， 2 1 2 1 2 2 2 0 1 9+ + - A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】D 【解析】 ∵ 带根号，但 是有理数，故①不正确； ∵π 不带根号，但 π 不是有理数，是无理数，故②不正确； ∵无限小数中的无限不循环小数是无理数，故③不正确； ∵π 是无限不循环小数，∴π 是无理数，故④正确； 故选 D. 5．（2018·万州区期末）3+ 的结果在下列哪两个整数之间（　　） A．6 和 7 B．5 和 6 C．4 和 5 D．3 和 4 【答案】A 【详解】 解：∵3＜ ＜4， ∴6＜3+ ＜7， 故选：A． 6．（2018·新乡市期末）在下列实数中：﹣0.6， ， ， ， ，0.010010001……，3.14，无理数有 （　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【详解】 有理数有﹣0.6， ， ，3.14.无理数有 ， ，0.010010001……. 7．（2019·广东深圳实验学校初三期中）在实数 ，有理数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【解析】 试题分析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案： 4 4 2= 10 10 10 8 3 π 3 64 22 7 3 64 22 7 8 3 π 225, ,0, 36,-1.4147 2 π ， 是有理数，故选 D． 考点：有理数． 8．（2020·烟台市期末）如图，数轴上 A，B，C，D 四点中，与- 对应的点距离最近的是（　　） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 【答案】B 【详解】 解：∵ ＜ ＜ ，即 1＜ ＜2， ∴﹣2＜ ＜﹣1， ∴由数轴知，与 对应的点距离最近的是点 B， 故选：B． 9．（2018·余杭区期末）计算 + 的结果是（　　） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【详解】 解：原式=-4+4=0， 故选：B． 10．（2018·万州区期末）估计 2 ﹣3 的值在（　　） A．0 到 1 之间 B．1 到 2 之间 C．2 到 3 之间 D．3 到 4 之间 【答案】B 【详解】 解：∵ ， ∴4＜ ＜5， ∴1＜2 ﹣3＜2． 故选：B． 22 ,0, 36, 1.4147 − 3 64− 16 4− 5 2 5 20= 20 5 二、 填空题（共 5 小题） 11．（2019·保定市期中）比较实数的大小：3_____ （填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＞ 【详解】 将 3 化成 ，因为 9>5，所以 3 大于 . 12．（2020·南京市期中）写出一个负无理数________． 【答案】 （答案不唯一，符合要求即可）． 【解析】 试题分析：无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有 的数． 答案不唯一，如 . 13．（2019·洛阳市期中） ﹣2 的绝对值是_____． 【答案】2﹣ 【详解】 解： =2﹣ . 故答案为：2﹣ . 14．（2019·哈尔滨市期末）把无理数 ， ， ，- 表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨 迹（如图所示）覆盖住的无理数是_____． 【答案】 【解析】 ∵ ， ， ， 且被墨迹覆盖的数在 3 至 4 之间， ∴上述四个数中被墨迹覆盖的数是 . 故答案为： . 15．（2018·洛阳市期末）已知 ，且 为连续整数，则 _______. 5 9 5 2− 2− 3 3 3 2− 3 3 17 11 5 3 11 4 17 5< < 3 11 4< < 2 5 3< < 2 3 1− < − < − 11 11 3 25a b＜ ＜ a b、 a b+ = 【答案】5 【详解】 ∵8＜25＜27， ∴2＜ ＜3， ∴a=2，b=3， 则 a+b=5. 故答案为 5. 三、 解答题（共 2 小题） 16．（2018·汕头市期末）计算 【答案】 ； ． 【详解】 解： 原式 ； 原式 ． 17．（2018·肃宁县期中）计算： （1）5+|-2018|- +（-1）2018； （2） - +|1- | 【答案】（1）2022；（2）9+ ． 【详解】 解：（1）5+|-2018|- +（-1）2018 =5+2018-2+1 =2022； （2） - +|1- | =7+3+ -1 =9+ ． 3 25 ( ) 31 25 8+ ( ) ( )2 2 3 3 1− − − ( )1 7 ( )2 1 2− ( )1 5 2 7= + = ( )2 3 2 3 1 1 2= − − + = − 4 49 3 27− 3 3 4 49 3 27− 3 3 3