人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：相交线与相交线中的角（全解全析）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：相交线与相交线中的角（全解全析）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：‎ ‎ 相交线与相交线中的角 知识网络 重难突破 知识点一 相交线 直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2020·漯河市期末）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有(    )‎ A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点 ‎2．（2019·平顶山市期末）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．（2019·青岛市期末）在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可有的交点数m与直线条数n之间的关系如下表：‎ 则m与n的关系式为：___．‎ 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。‎ 表示方法：‎ 如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．‎ 记作：a ⊥ b于点Ｏ．‎ ‎【注意事项】‎ ‎1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。‎ ‎2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。‎ 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。‎ 垂线的画法：一落、二移、三画。‎ 注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。‎ 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。‎ 注意：‎ 1、 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。‎ 2、 经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。‎ 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 ‎【典型例题】‎ ‎1．（2020·连云港市期末）点P为直线L外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=6cm，PB=8cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（　　）‎ A．4cm B．6cm C．小于 4cm D．不大于 4cm ‎2．（2020·湖南雅礼中学初一期末）如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（　　）‎ A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 ‎3．（2018·漯河市期末）下列说法中不正确的是（　　）‎ ‎①过两点有且只有一条直线 ‎②连接两点的线段叫两点的距离 ‎③两点之间线段最短 ‎④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点 A．① B．② C．③ D．④‎ ‎4．（2019·张掖市期末）我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)，如图，OC⊥AB于点O，OE⊥OD，图中所有互为垂角的角有( )‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 ‎5．（2019·呼伦贝尔市期末）下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是( )‎ A．①④ B．②③‎ C．③ D．④‎ ‎6．（2019·合肥市期末）下列作图能表示点A到BC的距离的是(　　)‎ A． B． ‎ C．D．‎ 知识点二 相交线中的角 邻补角与对顶角的知识点 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：‎ 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ‎1‎ ‎2‎ ‎∠1与∠2‎ 有公共顶点 ‎∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2‎ 邻补角 ‎4‎ ‎3‎ ‎ ∠3与∠4‎ 有公共顶点 ‎∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.‎ ‎∠3+∠4=180°‎ 注意点：‎ ‎（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；‎ ‎（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；‎ ‎（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；‎ ‎（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.‎ 同位角、内错角与同旁内角的知识点 同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）‎ 如：∠1和∠5。‎ 内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）‎ 如：∠3和∠5。‎ 同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。‎ 三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2019·上海市光明中学初一期中）如图，下列判断中，正确的是（ ）‎ A．∠2和∠4是同位角 B．∠1和∠B是内错角 C．∠3和∠5是同旁内角 D．∠5和∠B是同旁内角 ‎2．（2017·唐山市期中）在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是（ ）.‎ A． B．‎ C．D．‎ ‎3．（2019·杭州市建兰中学初一期中）如图，射线AB、AC被直线DE所截，则∠1与∠2是（　　）‎ A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 ‎4．（2019·合肥市期末）若∠α与∠β同旁内角，且∠α=50°时，则∠β的度数为（ ）‎ A．50° B．130° C．50°或130° D．无法确定 ‎5．（2019·安康市期中）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）‎ A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 ‎6．（2019·河南信阳市一中初一期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）‎ A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④‎ ‎7．（2019·广东省台山一中大江实验中学初一期末）如图所示，直线a与b相交，如果，那么（　　）‎ A．45° B．135° C．30° D．90°‎ ‎8．（2019·宝鸡市期末）如图所示，已知直线AB、CD相较于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（ ）‎ A．20 B．25° C．30° D．70°‎ ‎9．（2019·青岛市期中）如图，直线AB、CD、EF相交于一点，∠1=50°，∠2=64°，则∠COF=（ ）度．‎ A．66 B．50 C．64 D．76‎ ‎10．（2018·泾川县丰台乡中学初一期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是( ) ‎ A．∠2＝45° B．∠1＝∠3‎ C．∠AOD与∠1互为邻补角 D．∠1的余角等于75°30′‎ ‎11．（2019·会昌县期中）如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=( ).‎ A．55° B．65° C．75° D．85°‎ 巩固训练 一、 选择题（共10小题）‎ ‎1．（2017·江苏南京师大附中初一期末）下列说法不正确的是（ ）‎ A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 ‎ B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 ‎ D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ‎2．（2018·兰州市第三十一中学初一期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂直为点O，∠BOD＝50°，则∠COE＝（　　）‎ A．30° B．140° C．50° D．60°‎ ‎3．（2019·石景山区期末）已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC的度数是( )‎ A．22° B．46° C．68° D．78°‎ ‎4．（2018·龙岩市第五中学初一期中）两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”两大拇指代表被截直线，食指代表截线下列三幅图依次表示　　‎ A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角 ‎5．（2019·北碚区期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠‎ APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是( )‎ A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④‎ ‎6．（2019·中山市期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（　　）‎ A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5‎ ‎7．（2019·达州市期末）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　）‎ A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5‎ ‎8．（2019·泰安市期中）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（ ）‎ A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°‎ C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°‎ ‎9．（2018·杭州市期末）如图，直线 AD，BE 相交于点 O，CO⊥AD 于点 O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为（ ）‎ A．29° B．30° C．31° D．32°‎ ‎10．（2018·唐山市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF=90°，OF平分∠AOE，若∠BOD=32°，则∠EOF的度数为（　　）‎ A．32° B．48° C．58° D．64°‎ 一、 填空题（共5小题）‎ ‎11．（2019·安康市期中）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝________.‎ ‎12．（2018·杭州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1与∠3的度数之比为3：4，则∠EOC=___________，∠2=_________．‎ ‎13．（2020·长春市期末）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是_____cm.‎ ‎14．（2018·深圳市期末）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOD，FO⊥OD于O，∠1=40°，则∠2=_____度，∠4=_____度．‎ ‎15．（2019·简阳市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为_____．‎ 一、 解答题（共2小题）‎ ‎16．（2018·无锡市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，，‎ 图中的余角是______把符合条件的角都填出来；‎ 如果，那么根据______可得______度；‎ 如果，求和的度数．‎ ‎17．（2018·宁波市期末）如图，直线AB，CD相交于点O．OF平分∠AOE，OF⊥CD于点O．‎ ‎(1)请直接写出图中所有与∠AOC相等的角：______.‎ ‎(2)若∠AOD＝150°，求∠AOE的度数．‎ 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：‎ ‎ 相交线与相交线中的角 知识网络 重难突破 知识点一 相交线 直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2020·漯河市期末）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有(    )‎ A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意两条直线最多有个交点，三条直线最多有个交点，四条直线最多有个交点，根据这个规律即可求得结果.‎ 由题意得六条直线最多有个交点，故选C.‎ ‎2．（2019·平顶山市期末）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断利用排除法求解．‎ 解：A、直线AB与线段CD不能相交，故本选项错误；‎ B、直线AB与射线EF能够相交，故本选项正确；‎ C、射线EF与线段CD不能相交，故本选项错误；‎ D、直线AB与射线EF不能相交，故本选项错误．‎ 故选B．‎ ‎3．（2019·青岛市期末）在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可有的交点数m与直线条数n之间的关系如下表：‎ 则m与n的关系式为：___．‎ ‎【答案】m=n（n-1）．‎ ‎【详解】‎ ‎∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点．‎ 而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，‎ ‎∴可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）个交点．‎ 即m=n（n-1），‎ 故答案为：m=n（n-1）．‎ 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直 ‎，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。‎ 表示方法：‎ 如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．‎ 记作：a ⊥ b于点Ｏ．‎ ‎【注意事项】‎ ‎1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。‎ ‎2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。‎ 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。‎ 垂线的画法：一落、二移、三画。‎ 注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。‎ 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。‎ 注意：‎ 1、 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。‎ 2、 经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。‎ 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 ‎【典型例题】‎ ‎1．（2020·连云港市期末）点P为直线L外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=6cm，PB=8cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（　　）‎ A．4cm B．6cm C．小于 4cm D．不大于 4cm ‎【答案】D ‎【详解】‎ 当PC⊥时，PC是点P到直线的距离，即点P到直线的距离4cm，‎ 当PC不垂直直线时，点P到直线的距离小于PC的长，即点P到直线的距离小于4cm，‎ 综上所述：点P到直线的距离不大于4cm.‎ 故答案选：D.‎ ‎2．（2020·湖南雅礼中学初一期末）如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（　　）‎ A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 ‎【答案】A ‎【详解】‎ 根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，‎ ‎∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短，‎ 故选A．‎ ‎3．（2018·漯河市期末）下列说法中不正确的是（　　）‎ ‎①过两点有且只有一条直线 ‎②连接两点的线段叫两点的距离 ‎③两点之间线段最短 ‎④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点 A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①过两点有且只有一条直线，正确；‎ ‎②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误 ‎③两点之间线段最短，正确；‎ ‎④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点，正确；‎ 故选：B．‎ ‎4．（2019·张掖市期末）我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠‎ ‎1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)，如图，OC⊥AB于点O，OE⊥OD，图中所有互为垂角的角有( )‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：∵OC⊥AB，OE⊥OD，‎ ‎|∠EOB-∠DOB|=90°，|∠EOB-∠EOC|=90°，|∠AOD-∠COD|=90°，‎ ‎|∠AOD-∠AOE|=90°；‎ 所以互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；‎ 故选：C.‎ ‎5．（2019·呼伦贝尔市期末）下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是( )‎ A．①④ B．②③‎ C．③ D．④‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，利用了两点确定一条直线，故①正确；‎ ‎②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用“两点之间线段最短”，故②错误；‎ ‎③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩，利用了点到直线的距离，故③错误；‎ ‎④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，利用了两点确定一条直线，故④正确．‎ 故选A．‎ ‎6．（2019·合肥市期末）下列作图能表示点A到BC的距离的是(　　)‎ A． B． ‎ C．D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ A、BD表示点B到AC的距离，故此选项错误； B、AD表示点A到BC的距离，故此选项正确； C、AD表示点D到AB的距离，故此选项错误； D、CD表示点C到AB的距离，故此选项错误； 故选：B．‎ 知识点二 相交线中的角 邻补角与对顶角的知识点 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：‎ 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ‎1‎ ‎2‎ ‎∠1与∠2‎ 有公共顶点 ‎∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2‎ 邻补角 ‎4‎ ‎3‎ ‎ ∠3与∠4‎ 有公共顶点 ‎∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.‎ ‎∠3+∠4=180°‎ 注意点：‎ ‎（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；‎ ‎（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；‎ ‎（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；‎ ‎（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.‎ 同位角、内错角与同旁内角的知识点 同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）‎ 如：∠1和∠5。‎ 内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）‎ 如：∠3和∠5。‎ 同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。‎ 三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2019·上海市光明中学初一期中）如图，下列判断中，正确的是（ ）‎ A．∠2和∠4是同位角 B．∠1和∠B是内错角 C．∠3和∠5是同旁内角 D．∠5和∠B是同旁内角 ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、∠2和∠4无关系；B、∠1和∠B无关系；C、 ∠3和∠5是内错角；D、∠5和∠B是同旁内角，正确，故选D.‎ ‎2．（2017·唐山市期中）在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是（ ）.‎ A． B．‎ C．D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 选项A、C、B中，∠1与∠2在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，是同旁内角；‎ 选项D中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同旁内角．‎ 故选D．‎ ‎3．（2019·杭州市建兰中学初一期中）如图，射线AB、AC被直线DE所截，则∠1与∠2是（　　）‎ A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：射线AB、AC被直线DE所截，则∠1与∠2是同位角，‎ 故选A．‎ ‎4．（2019·合肥市期末）若∠α与∠β同旁内角，且∠α=50°时，则∠β的度数为（ ）‎ A．50° B．130° C．50°或130° D．无法确定 ‎【答案】D ‎【详解】‎ 同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补,‎ 故选D.‎ ‎5．（2019·安康市期中）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）‎ A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：A．∠1与∠4是同位角，故A选项正确；‎ B．∠2与∠3是内错角，故B选项正确；‎ C．∠3与∠4是同旁内角，故C选项正确；‎ D．∠2与∠4是同旁内角，故D选项错误．‎ 故选D．‎ ‎6．（2019·河南信阳市一中初一期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）‎ A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；‎ 图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．‎ 故选C．‎ ‎7．（2019·广东省台山一中大江实验中学初一期末）如图所示，直线a与b相交，如果，那么（　　）‎ A．45° B．135° C．30° D．90°‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：根据题意，∠1与∠2是邻补角，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 故选择：B.‎ ‎8．（2019·宝鸡市期末）如图所示，已知直线AB、CD相较于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（ ）‎ A．20 B．25° C．30° D．70°‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ ‎∵OE平分∠COB，若∠EOB=55°，‎ ‎∴∠COB=2∠EOB=110°，‎ ‎∵∠BOD与∠COB是邻补角，‎ ‎∴∠BOD=180°-∠COB=70°，‎ 故选D.‎ ‎9．（2019·青岛市期中）如图，直线AB、CD、EF相交于一点，∠1=50°，∠2=64°，则∠COF=（ ）度．‎ A．66 B．50 C．64 D．76‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵∠1=50°，∠2=64°‎ ‎∴∠DOE=180°−∠1−∠2=66°‎ ‎∴∠COF=∠DOE=66°‎ 故选A.‎ ‎10．（2018·泾川县丰台乡中学初一期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是( ) ‎ A．∠2＝45° B．∠1＝∠3‎ C．∠AOD与∠1互为邻补角 D．∠1的余角等于75°30′‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、由OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF平分∠AOE，则∠2=45°，正确；‎ B、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，正确；‎ C、∠AOD与∠1互为邻补角，正确；‎ D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°，‎ ‎∴∠1的余角等于75°30′，不成立．‎ 故选D．‎ ‎11．（2019·会昌县期中）如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=( ).‎ A．55° B．65° C．75° D．85°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎∵∠1=100°，∠2=145°，‎ ‎∴∠4=180°-∠1=180°-100°=80°，‎ ‎∠5=180°-∠2=180°-145°=35°，‎ ‎∵∠3=180°-∠4-∠5，‎ ‎∴∠3=180°-80°-35°=65°．‎ 故选B．‎ 巩固训练 一、 选择题（共10小题）‎ ‎1．（2017·江苏南京师大附中初一期末）下列说法不正确的是（ ）‎ A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 ‎ B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 ‎ D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A不正确；‎ 在同一平面内两条不相交的直线是平行线，这是平行线的概念，故B正确；‎ 在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故C正确；‎ 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故D正确；‎ 故选：A.‎ ‎2．（2018·兰州市第三十一中学初一期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂直为点O，∠‎ BOD＝50°，则∠COE＝（　　）‎ A．30° B．140° C．50° D．60°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题解析：EO⊥AB，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选B.‎ ‎3．（2019·石景山区期末）已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC的度数是( )‎ A．22° B．46° C．68° D．78°‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：∵BO⊥AO，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵OB平分∠COD，‎ ‎∴∠BOC=∠BOD=22°，‎ ‎∴∠AOC=90°-22°=68°.‎ 故选C.‎ ‎4．（2018·龙岩市第五中学初一期中）两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)下列三幅图依次表示( )‎ A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知 第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角. 所以B选项是正确的,‎ ‎5．（2019·北碚区期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是( )‎ A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎①线段AP是点A到直线PC的距离，错误；‎ ‎②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；‎ ‎③PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；‎ ‎④线段PC的长是点P到直线l的距离，错误．‎ 故选A．‎ ‎6．（2019·中山市期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（　　）‎ A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 观察图形可知互为对顶角的是：∠1和∠2，‎ 故选A．‎ ‎7．（2019·达州市期末）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　）‎ A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4． ‎ ‎ 故选C．‎ ‎8．（2019·泰安市期中）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（ ）‎ A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°‎ C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；‎ B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；‎ C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；‎ D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；‎ 故选C．‎ ‎9．（2018·杭州市期末）如图，直线 AD，BE 相交于点 O，CO⊥AD 于点 O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为（ ）‎ A．29° B．30° C．31° D．32°‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵CO⊥AD 于点 O，‎ ‎∴∠AOC=90，‎ ‎∵∠AOB=32，‎ ‎∴∠BOC=122，‎ ‎∵OF 平分∠BOC，‎ ‎∴∠BOF=，‎ ‎∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=32.‎ 故选A.‎ ‎10．（2018·唐山市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF=90°，OF平分∠AOE，若∠BOD=32°，则∠EOF的度数为（　　）‎ A．32° B．48° C．58° D．64°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵∠DOF=90°，∠BOD=32°， ∴∠AOF=90°-32°=58°， ∵OF平分∠AOE， ‎ ‎∴∠AOF=∠EOF=58°． 故选C．‎ 一、 填空题（共5小题）‎ ‎11．（2019·安康市期中）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝________.‎ ‎【答案】45‎ ‎【详解】‎ 因为，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，‎ 所以，BOE=∠90〬,‎ 因为，OD平分∠BOE，‎ 所以，∠BOD=∠BOE=45〬，‎ 所以，∠AOC＝∠BOD=45〬‎ 故答案为45‎ ‎12．（2018·杭州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1与∠3的度数之比为3：4，则∠EOC=___________，∠2=_________．‎ ‎【答案】153° 54° ‎ ‎【详解】‎ ‎∵OF⊥OC，∴∠DOF=∠COF=90°．‎ ‎∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1．‎ ‎∵∠1与∠3的度数之比为3：4，∴∠AOD：∠3=3：2．‎ ‎∵∠3+∠AOD=90°，∴∠3=36°，∠AOD=54°，∴∠2=∠AOD=54°，∠1∠AOD=27°，∴∠EOC=180°－∠1=180°－27°=153°．‎ 故答案为：153°，54°．‎ ‎13．（2020·长春市期末）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是_____cm.‎ ‎【答案】5.‎ ‎【详解】‎ 解：∵PB⊥l，PB=5cm，‎ ‎∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，‎ 故答案为：5．‎ ‎14．（2018·深圳市期末）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOD，FO⊥OD于O，∠1=40°，则∠2=_____度，∠4=_____度．‎ ‎【答案】（1）50； （2）65　． ‎ ‎【解析】‎ ‎∵直线AB，CD相交于O，‎ ‎∴∠1+∠COF+∠2=180°，∠AOD=∠BOC，‎ ‎∵FO⊥OD于O，OE平分∠AOD，‎ ‎∴∠COF=90°，∠4=∠AOD，‎ 又∵∠1=40°，‎ ‎∴∠2=180°-90°-40°=50°，∠BOC=40°+90°=130°，‎ ‎∴∠AOD=130°，‎ ‎∴∠4=65°.‎ 故答案为：（1）50；（2）65.‎ ‎15．（2019·简阳市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为_____．‎ ‎【答案】140°‎ ‎【解析】‎ ‎∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，‎ ‎∴∠EOB=90°，‎ ‎∵∠EOD=50°，‎ ‎∴∠BOD=40°，‎ 则∠BOC的度数为：180°-40°=140°．‎ 故答案为：140°．‎ 一、 解答题（共2小题）‎ ‎16．（2018·无锡市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，，‎ 图中的余角是______把符合条件的角都填出来；‎ 如果，那么根据______可得______度；‎ 如果，求和的度数．‎ ‎【答案】（1）∠BOC、∠AOD（2）对顶角相等，160（3）26°‎ ‎【解析】‎ ‎（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；‎ ‎（2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；‎ ‎（3）∵OE平分∠AOD，‎ ‎∴∠AOD=2∠1=64°，‎ ‎∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°．‎ ‎17．（2018·宁波市期末）如图，直线AB，CD相交于点O．OF平分∠AOE，OF⊥CD于点O．‎ ‎(1)请直接写出图中所有与∠AOC相等的角：______.‎ ‎(2)若∠AOD＝150°，求∠AOE的度数．‎ ‎【答案】(1)∠BOD，∠DOE；(2)∠AOE＝120°．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)∵直线AB，CD相交于点O，‎ ‎∴∠AOC＝∠BOD，‎ ‎∵OF平分∠AOE，‎ ‎∴∠AOF＝∠EOF，‎ ‎∵OF⊥CD，‎ ‎∴∠COF＝∠DOF＝90°，‎ ‎∴∠DOE＝∠AOC，‎ ‎∴与∠AOD相等的角有∠BOD，∠DOE，‎ 故答案为：∠BOD，∠DOE.‎ ‎(2)∵OF⊥CD，‎ ‎∴∠DOF＝90°，‎ ‎∵∠AOD＝150°，‎ ‎∴∠AOF＝60°，‎ ‎∵OF平分∠AOE，‎ ‎∴∠AOE＝2∠AOF＝120°．‎