2020-2021学年江苏省常州实验学校、田家炳中学两校联考八年级（上）期中数学试卷 解析版

2020-2021学年江苏省常州实验学校、田家炳中学两校联考八年级（上）期中数学试卷 解析版

2020-2021 学年江苏省常州实验学校、田家炳中学两校联考八年 级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，下列各题都给出代号为 A,B,C,D 的四个答案，其中有且只 有一个是正确的，每小题 2 分，共 16 分 1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中， 是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各实数中是无理数的是（ ） A． B．1.2012001 C．﹣0. D． 3．下列说法正确的是（ ） A．2 的平方根是 B．（﹣4）2 的算术平方根是 4 C．近似数 35 万精确到个位 D．无理数 的整数部分是 5 4．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，下列条件不能判断△ABC 是直角 三角形的是（ ） A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝5，b＝12，c＝13 C．a＝1，b＝2，c＝3 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AD 是△ABC 的一条角平分线．若 CD＝3， 则△ABD 的面积为（ ） A．15 B．30 C．12 D．10 6．如图，已知 AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC≌△ADC 的是 （ ） A．CB＝CD B．∠B＝∠D＝90° C．∠BAC＝∠DAC D．∠BCA＝∠DCA 7．如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线 DE，分别与 AB 边和 AC 边交于点 D 和点 E， BC 边的垂直平分线 FG，分别与 BC 边和 AC 边交于点 F 和点 G，又△BEG 的周长为 16， 且 GE＝1，则 AC 的长为（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 8．在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线 BC 或直线 AC 上找到一点 P，使△PAB 是等腰三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 二、填空题（每小题 2 分，共 18 分） 9．16 的平方根是 ． 10．已知△ABC≌△DEF，若∠B＝40°，∠D＝30°，则∠F＝ °． 11．如果等腰三角形中有一个角是 80°，那么底角是 度． 12．若 +|y+4|＝0，则 xy 的立方根是 ． 13．如图，已知△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，E 是 AC 的中点，若 AB＝6，则 DE 的长为 ． 14．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲达到点 B60 米，结 果他在水中实际游了 100 米，这条河宽为 米． 15．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝ DE，则∠E＝ 度． 16．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝8，AD＝10，点 E 为 BC 上一点，将△ABE 沿 AE 折叠， 点 B 恰好落在线段 DE 上的点 F 处，则 BE 的长为 ． 17．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD 为 AB 边上的高，点 E 从点 B 出发，在直线 BC 上以 2cm 的速度移动，过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F， 当点 E 运动 s 时，CF＝AB． 三、解答题（本大题共 9 小题，其中 18、20、21、24 每题 6 分，19、22、23、25 每题 8 分， 26 题 10 分，共 66 分） 18．（6 分）计算： ﹣（ ）2+ +（ π ﹣3）0． 19．（8 分）求下列各题中的 x 的值． （1）3x3﹣20＝1； （2）2（x+1）2＝8． 20．（6 分）在边长为 1 的小正方形组成的 10×10 网格中（我们把组成网格的小正方形的顶 点称为格点），△ABC 的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． （1）在图中画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′； （2）在图中找一点 O，使 OA＝OB＝OC； （3）在直线 1 上找一点 P，使 PA+PB 的长最短． 21．（6 分）如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，EA＝FB，AB＝CD，EC＝FD． 求证：（1）△AEC≌△BFD； （2）EA∥FB． 22．（8 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 是 BC 上一点（D 与 C 不重合）． （1）尺规作图：过点 D 作 BC 的垂线 DE 交 AB 于点 E，作∠BAC 的平分线 AF 交 DE 于 点 F，交 BC 于点 G（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：△AEF 是等腰三角形． 23．（8 分）如图，AD 是△ABC 的中线，DE⊥AC 于点 E，DF 是△ABD 的中线，且 CE＝1， DE＝2，AE＝4． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求 DF 的长． 24．（6 分）如图，在△ABC 中，BA＝BC，BE 平分∠ABC，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝BD， BE 与 AD 相交于 F，请探索线段 AB，BD，DF 之间的数量关系，并证明你的结论． 25．（8 分）如图 ① ，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为 a．较 短的直角边为 b，斜边长为 c，结合图 ① ，试验证勾股定理； （2）如图 ② ，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的 周长为 24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积； （3）如图 ③ ，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH， 正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3，若 S1+S2+S3＝16，则 S2＝ ． 26．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6，点 D 为线段 BC 上的一 个动点，以 AD 为直角边向右作等腰 Rt△ADF，使 AD＝AF，∠DAF＝90°． （1）连结 CF，找出图中的一对全等三角形，并说明理由； （2）过 A 点作△ADF 的对称轴交直线 BC 于点 E，若 CE＝1，求 BD 的长． 2020-2021 学年江苏省常州实验学校、田家炳中学两校联考八年 级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，下列各题都给出代号为 A,B,C,D 的四个答案，其中有且只 有一个是正确的，每小题 2 分，共 16 分 1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中， 是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意； B、不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不符合题意． 故选：A． 2．下列各实数中是无理数的是（ ） A． B．1.2012001 C．﹣0. D． 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解答】解：A． 是分数，属于有理数，不符合题意； B．1.2012001 是有限小数，属于有理数，不符合题意； C．﹣0. 是无限循环小数，属于有理数，不符合题意； D． 是无理数，符合题意； 故选：D． 3．下列说法正确的是（ ） A．2 的平方根是 B．（﹣4）2 的算术平方根是 4 C．近似数 35 万精确到个位 D．无理数 的整数部分是 5 【分析】根据平方根的定义，算术平方根的定义，近似数的定义及无理数的估算方法分 别计算可判定求解． 【解答】解：A.2 的平方根是± ，故错误； B．（﹣4）2 的算术平方根是 4，故正确； C．近似数 35 万精确到万位，故错误； D．∵4＜ ＜5，∴无理数 的整数部分是 4，故错误． 故选：B． 4．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，下列条件不能判断△ABC 是直角 三角形的是（ ） A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝5，b＝12，c＝13 C．a＝1，b＝2，c＝3 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理即可判断． 【解答】解：A、∵a＝6，b＝8，c＝10，∴a2+b2＝c2，故△ABC 为直角三角形，不符合 题意； B、∵a＝5，b＝12，c＝13，∴a2+b2＝c2，故△ABC 为直角三角形，不符合题意； C、∵a＝1，b＝2，c＝3，∴1+2＝3，不能组成三角形，符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC 为 直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AD 是△ABC 的一条角平分线．若 CD＝3， 则△ABD 的面积为（ ） A．15 B．30 C．12 D．10 【分析】过 D 点作 DE⊥AB 于 E，如图，根据角平分线的性质得 DE＝DC＝3，然后根据 三角形面积公式计算 S△ABD． 【解答】解：过 D 点作 DE⊥AB 于 E，如图， ∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∴S△ABD＝ ×10×3＝15． 故选：A． 6．如图，已知 AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC≌△ADC 的是 （ ） A．CB＝CD B．∠B＝∠D＝90° C．∠BAC＝∠DAC D．∠BCA＝∠DCA 【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知 AB＝AD，AC 是公共边，具备了两组边对应相等， 故添加 CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据 SSS、SAS、HL 能判 定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA 后则不能． 【解答】解：A、添加 CB＝CD，根据 SSS，能判定△ABC≌△ADC，故 A 选项不符合题 意； B、添加∠B＝∠D＝90°，根据 HL，能判定△ABC≌△ADC，故 D 选项不符合题意； C、添加∠BAC＝∠DAC，根据 SAS，能判定△ABC≌△ADC，故 B 选项不符合题意； D、添加∠BCA＝∠DCA 时，不能判定△ABC≌△ADC，故 C 选项符合题意； 故选：D． 7．如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线 DE，分别与 AB 边和 AC 边交于点 D 和点 E， BC 边的垂直平分线 FG，分别与 BC 边和 AC 边交于点 F 和点 G，又△BEG 的周长为 16， 且 GE＝1，则 AC 的长为（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EB＝EA、GB＝GC，根据三角形的周长公式 计算，得到答案． 【解答】解：∵DE 是 AB 边的垂直平分线， ∴EB＝EA， ∵FG 是 BC 边的垂直平分线， ∴GB＝GC， ∵△BEG 的周长为 16， ∴GB+GE+EB＝16， ∴AE+GE+GC＝16， ∴AC+GE+GE＝16， ∵GE＝1， ∴AC＝16﹣2＝14， 故选：C． 8．在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线 BC 或直线 AC 上找到一点 P，使△PAB 是等腰三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【分析】根据题意，点 P 在直线 BC 或直线 AC 上，使△PAB 是等腰三角形，则三角形的 两底角相等，两腰相等． 【解答】解：如图：当以 B 为圆心，AB 长为半径作圆，交直线 BC 于两点，即为 P，交 直线 AC 于一点，此题符合条件的 P 点有 3 个； 同理：当以 A 为圆心，AB 长为半径作圆，交直线 AC 于两点，即为 P，交直线 BC 于一 点，此题符合条件的 P 点有 2 个； 作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 P，交 BC 的延长线于 P，此题符合条件的 P 点有 2 个， AB 的垂直平分线和 BC 直线的交点与之前的交点重合． 故有 6 个点． 故选：B． 二、填空题（每小题 2 分，共 18 分） 9．16 的平方根是 ±4 ． 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2＝a，则 x 就 是 a 的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：∵（±4）2＝16， ∴16 的平方根是±4． 故答案为：±4． 10．已知△ABC≌△DEF，若∠B＝40°，∠D＝30°，则∠F＝ 110 °． 【分析】先根据全等三角形的性质得到∠E＝∠B＝40°，然后根据三角形内角和求∠F 的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠E＝∠B＝40°， ∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝180°﹣40°﹣30°＝110°． 故答案为 110． 11．如果等腰三角形中有一个角是 80°，那么底角是 80 或 50 度． 【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于 180°，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于 80°， ① 当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是 80°， ② 设该等腰三角形的底角是 x， 则 2x+80°＝180°， 解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是 50°； 故答案为：80 或 50． 12．若 +|y+4|＝0，则 xy 的立方根是 ± ． 【分析】先根据非负数的性质求出 x、y 的值，再代入算式，然后利用立方根的定义求解 即可． 【解答】解：∵ +|y+4|＝0， ∴x2﹣2＝0，y+4＝0， 解得 x＝ ，y＝﹣4， 当 x＝ 时， ＝ ＝﹣ ； 当 x＝﹣ 时， ＝ ； 综上，xy 的立方根是± ， 故答案为：± ． 13．如图，已知△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，E 是 AC 的中点，若 AB＝6，则 DE 的长为 3 ． 【分析】根据等腰三角形的性质可得 AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线 等于斜边的一半可得答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AD 平分∠BAC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵点 E 为 AC 的中点， ∴DE＝ AC＝3． 故答案为：3． 14．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲达到点 B60 米，结 果他在水中实际游了 100 米，这条河宽为 80 米． 【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【解答】解：根据图中数据，运用勾股定理求得 AB＝ ＝ ＝80m， 答：该河流的宽度为 80m． 故答案为：80． 15．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝ DE，则∠E＝ 15 度． 【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB＝60°，根据等腰三角形底角相等即 可得出∠E 的度数． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°， ∵CG＝CD， ∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°， ∵DF＝DE， ∴∠E＝15°． 故答案为：15． 16．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝8，AD＝10，点 E 为 BC 上一点，将△ABE 沿 AE 折叠， 点 B 恰好落在线段 DE 上的点 F 处，则 BE 的长为 4 ． 【分析】先由矩形的性质得 BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°，再由折叠的 性质得∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE，AF＝AB＝8，则∠AFD＝90°，DF＝6，设 BE＝ FE＝x，则 CE＝10﹣x，DE＝x+6，然后在 Rt△CDE 中，由勾股定理得出方程，解方程 即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°， 由折叠的性质得：∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE，AF＝AB＝8， ∴∠AFD＝90°， ∴DF＝ ＝ ＝6， 设 BE＝FE＝x，则 CE＝10﹣x，DE＝x+6， 在 Rt△CDE 中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2＝（x+6）2， 解得：x＝4， 即 BE 的长为 4， 故答案为：4． 17．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD 为 AB 边上的高，点 E 从点 B 出发，在直线 BC 上以 2cm 的速度移动，过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F， 当点 E 运动 2 或 5 s 时，CF＝AB． 【分析】 ① 当点 E 在射线 BC 上移动时，若 E 移动 5s，则 BE＝2×5＝10（cm），根据全 等三角形的判定和性质即可得到结论． ② 当点 E 在射线 CB 上移动时，若 E 移动 2s，则 BE′＝2×2＝4（cm），根据全等三角 形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解： ① 如图，当点 E 在射线 BC 上移动时，若 E 移动 5s，则 BE＝2×5＝10（cm）， ∴CE＝BE﹣BC＝10﹣3＝7cm． ∴CE＝AC， 在△CFE 与△ABC 中， ， ∴△CEF≌△ABC（ASA）， ∴CF＝AB， ② 当点 E 在射线 CB 上移动时，若 E 移动 2s，则 BE′＝2×2＝4（cm）， ∴CE′＝BE′+BC＝4+3＝7（cm）， ∴CE′＝AC， 在△CF′E′与△ABC 中， ， ∴△CF′E′≌△ABC（ASA）， ∴CF′＝AB， 综上所述，当点 E 在射线 CB 上移动 5s 或 2s 时，CF′＝AB； 故答案为：2 或 5． 三、解答题（本大题共 9 小题，其中 18、20、21、24 每题 6 分，19、22、23、25 每题 8 分， 26 题 10 分，共 66 分） 18．（6 分）计算： ﹣（ ）2+ +（ π ﹣3）0． 【分析】原式利用平方根、立方根性质，以及零指数幂法则计算即可求出值． 【解答】解：原式＝3﹣7﹣ +1 ＝﹣3﹣ ＝﹣ ． 19．（8 分）求下列各题中的 x 的值． （1）3x3﹣20＝1； （2）2（x+1）2＝8． 【分析】（1）先移项、合并，再两边都除以 3，最后根据立方根的定义求解即可； （2）先两边都除以 2，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵3x3﹣20＝1， ∴3x3＝21， 则 x3＝7， ∴x＝ ； （2）∵2（x+1）2＝8， ∴（x+1）2＝4， 则 x+1＝±2， ∴x＝﹣1±2，即 x＝1 或 x＝﹣3． 20．（6 分）在边长为 1 的小正方形组成的 10×10 网格中（我们把组成网格的小正方形的顶 点称为格点），△ABC 的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． （1）在图中画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′； （2）在图中找一点 O，使 OA＝OB＝OC； （3）在直线 1 上找一点 P，使 PA+PB 的长最短． 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′； （2）依据 OA＝OB＝OC 可得，点 O 为△ABC 的三边的垂直平分线的交点； （3）依据“两点之间，线段最短”，可得 PA+PB 的长最小值等于 A'B 的长，连接 A'B， 与直线 l 的交点 P 即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求； （2）如图所示，作 AB 和 BC 的垂直平分线，交于点 O，则点 O 即为所求； （3）如图所示，连接 A'B，与直线 l 的交点 P 即为所求． 21．（6 分）如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，EA＝FB，AB＝CD，EC＝FD． 求证：（1）△AEC≌△BFD； （2）EA∥FB． 【分析】（1）证出 AC＝BD，由 SSS 证明△AEC≌△BFD 即可； （2）由全等三角形的性质得∠EAC＝∠FBD，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即 AC＝BD， 在△AEC 和△BFD 中， ， ∴△AEC≌△BFD（SSS）； （2）由（1）得：△AEC≌△BFD， ∴∠EAC＝∠FBD， ∴EA∥FB． 22．（8 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 是 BC 上一点（D 与 C 不重合）． （1）尺规作图：过点 D 作 BC 的垂线 DE 交 AB 于点 E，作∠BAC 的平分线 AF 交 DE 于 点 F，交 BC 于点 G（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：△AEF 是等腰三角形． 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）证明∠FEA＝∠EAF，推出 EF＝EA，可得结论． 【解答】（1）解：图形如图所示． （2）证明：∴EF⊥BC， ∴∠BDE＝∠C＝90°， ∴EF∥AC， ∴∠EFA＝∠CAF， ∵FA 平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAF， ∴∠EFA＝∠EAF， ∴EF＝EA， ∴△AEF 是等腰三角形． 23．（8 分）如图，AD 是△ABC 的中线，DE⊥AC 于点 E，DF 是△ABD 的中线，且 CE＝1， DE＝2，AE＝4． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求 DF 的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC 是直角三角形，即可得出∠ADC 是直 角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵DE⊥AC 于点 E， ∴∠AED＝∠CED＝90°， 在 Rt△ADE 中，∠AED＝90°， ∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20， 同理：CD2＝5， ∴AD2+CD2＝25， ∵AC＝AE+CE＝4+1＝5， ∴AC2＝25， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC 是直角三角形， ∴∠ADC＝90°； （2）∵AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝90°， ∴AD 垂直平分 BC， ∴AB＝AC＝5， 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝90°， ∵点 F 是边 AB 的中点， ∴DF＝ ． 24．（6 分）如图，在△ABC 中，BA＝BC，BE 平分∠ABC，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝BD， BE 与 AD 相交于 F，请探索线段 AB，BD，DF 之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】先由等腰三角形的性质得 BE⊥AC，则∠C+∠CBE＝90°，再由直角三角形的 性质得∠C+∠DAC＝90°，得∠CBE＝∠DAC，然后证△BDF≌△ADC（ASA），得 DF ＝DC，进而得出结论． 【解答】解：AB＝BD+DF，理由如下： ∵BA＝BC，BE 平分∠ABC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠C+∠CBE＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠BDF＝∠ADC＝90°， ∴∠C+∠DAC＝90°， ∴∠CBE＝∠DAC， 即∠DBF＝∠DAC， 在△BDF 和△ADC 中， ， ∴△BDF≌△ADC（ASA）， ∴DF＝DC， ∵BC＝BD+DC，AB＝BC， ∴AB＝BD+DF． 25．（8 分）如图 ① ，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为 a．较 短的直角边为 b，斜边长为 c，结合图 ① ，试验证勾股定理； （2）如图 ② ，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的 周长为 24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积； （3）如图 ③ ，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH， 正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3，若 S1+S2+S3＝16，则 S2＝ ． 【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）可设 AC＝x，根据勾股定理列出方程可求 x，再根据直角三角形面积公式计算即可 求解； （3）根据图形的特征得出四边形 MNKT 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一 个设为 y，从而用 x，y 表示出 S1，S2，S3，得出答案即可． 【解答】解：（1）S 小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面 S 小正方形＝c2﹣4× ab＝c2 ﹣2ab， 即 b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab， 则 a2+b2＝c2． （2）24÷4＝6， 设 AC＝x，依题意有 （x+3）2+32＝（6﹣x）2， 解得 x＝1， ×（3+1）×3×4 ＝ ×4×3×4 ＝24． 故该飞镖状图案的面积是 24． （3）将四边形 MTKN 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y， ∵正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，S1+S2+S3＝16， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝16， ∴x+4y＝ ， ∴S2＝x+4y＝ ． 故答案为： ． 26．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6，点 D 为线段 BC 上的一 个动点，以 AD 为直角边向右作等腰 Rt△ADF，使 AD＝AF，∠DAF＝90°． （1）连结 CF，找出图中的一对全等三角形，并说明理由； （2）过 A 点作△ADF 的对称轴交直线 BC 于点 E，若 CE＝1，求 BD 的长． 【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAF，即可得出结论； （2）由已知得出∠ABC＝∠ACB＝45°，分两种情况： ① 连接 EF，DE＝5﹣BD，由（1） 知△ABD≌△ACF 得出 BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，则∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝ 90°，得出 CF2+CE2＝EF2，由 AE 是△ADF 的对称轴得出 AE 垂直平分 DF，则 EF＝DE， 推出 BD2+CE2＝DE2，即 BD2+12＝（5﹣BD）2，即可求出 BD 的长； ② 连接 EF，DE＝ 7﹣BD，由（1）知△ABD≌△ACF，得出 BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，则∠FCD ＝∠ACF+∠ACB＝90°，∠FCE＝90°，得出 CF2+CE2＝EF2，由 AE 是△ADF 的对称 轴得出 AE 垂直平分 DF，则 EF＝DE，推出 BD2+CE2＝DE2，即 BD2+12＝（7﹣BD）2， 即可求出 BD 的长． 【解答】解：（1）△ABD≌△ACF，理由如下： ∵∠BAC＝∠DAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△ABD 和△ACF 中， ， ∴△ABD≌△ACF（SAS）； （2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， 分两种情况： ① 连接 EF，如图 1 所示： DE＝BC﹣CE﹣BD＝6﹣1﹣BD＝5﹣BD， 由（1）知：△ABD≌△ACF， ∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°， ∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°， ∴CF2+CE2＝EF2， ∵AE 是△ADF 的对称轴， ∴AE 垂直平分 DF， ∴EF＝DE， ∴BD2+CE2＝DE2， 即：BD2+12＝（5﹣BD）2， 解得：BD＝ ； ② 连接 EF，如图 2 所示： DE＝BC﹣BD+CE＝6﹣BD+1＝7﹣BD， 由（1）知：△ABD≌△ACF， ∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°， ∴∠FCD＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°， ∴∠FCE＝90°， ∴CF2+CE2＝EF2， ∵AE 是△ADF 的对称轴， ∴AE 垂直平分 DF， ∴EF＝DE， ∴BD2+CE2＝DE2， 即：BD2+12＝（7﹣BD）2， 解得：BD＝ ； 综上所述，BD 的长为 或 ．