七年级上册数学基础知识

七年级上册数学基础知识

第一章：有理数 一、有理数的基础知识 ‎1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。‎ 概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判断，要严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。‎ ‎②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。‎ ‎③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；‎ ‎④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；‎ ‎2、有理数的概念及分类：整数和分数统称为有理数。‎ 有理数的分类如下：‎ ‎（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：‎ ‎ ‎ 概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数；‎ ‎ ②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数 ‎③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；‎ ‎3、数轴：标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。‎ 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。‎ 概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；‎ ‎②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；‎ ‎③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；‎ - 11 -‎ ‎④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。‎ ‎⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式，这两个公式选择那个都一样。‎ ‎4、相反数 ‎ 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。‎ 概念剖析：①“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。‎ ‎ ②很显然，数a的相反数是-a，即a与-a互为相反数。要把它与倒数区分开。‎ ‎ ③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。‎ ‎④在数轴上离某点的距离等于a的点有两个。‎ ‎⑤如果数和数互为相反数，则+=0；或；‎ ‎⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可；例如的相反数是；‎ ‎5、绝对值 ‎ 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。‎ ‎（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。‎ ‎（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：‎ ‎（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。‎ 概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即。 ‎ ‎ ②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。‎ 二、有理数的运算 ‎1、有理数的加法 - 11 -‎ ‎（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。‎ ‎（2）有理数加法的运算律：‎ 加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)‎ 知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。‎ ‎2、有理数的减法 ‎（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。‎ ‎（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。‎ ‎（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；‎ 概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。转化后它满足加法法则和运算律。‎ ‎3、有理数的乘法 ‎（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。‎ ‎（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。‎ ‎（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。‎ 概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负”‎ ‎②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。‎ ‎③有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。‎ ‎4、有理数的除法 有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。‎ 概念剖析：①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它满足乘法法则和运算律。‎ - 11 -‎ ‎ ②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a的倒数为（a≠0）；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即的倒数为；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0没有倒数。‎ ‎5、有理数的乘方 ‎（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“an”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。‎ ‎（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，-1偶数次幂是1、-1奇数次幂是-1；‎ 概念剖析：①“an” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a；‎ ‎②。因为表示个相乘，而表示个a的相反数；‎ ‎③任何数的偶次幂都得非负数，即。‎ 知识窗口：所有的奇数可以表示为2n+1或2n-1；所有的偶数可以表示为2n。‎ ‎6、有理数的混合运算 ‎（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。‎ ‎（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。‎ 知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。‎ ‎7、科学记数法 ‎（1）把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。‎ ‎（2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。‎ ‎（3）一个数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字，叫做这个数的有效数字。‎ 概念剖析：I 把一个数用科学记数法表示为a×10n，其中，为自然数，‎ - 11 -‎ ‎①当时， 为这个数的整数位数减1；例如：用科学记数法表示得，它满足 ， （的整数部分有6位数）；‎ ‎②当时，为0；例如：用科学记数法表示得；‎ ‎③当时，为由变到的过程中小数点移动位数的相反数；‎ ‎④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。‎ II 在让数字精确和数有效数字时应注意：‎ ‎①在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到的结果千分位为0时，该0不能省略。如：将精确到千分位，应为2.090，不应为2.09。其他分位也应注意。‎ ‎②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字”； 科学记数法a×10n的形式中，效数字只与a有关，而与10n无关。‎ 第二章 整式的加减 ‎2.1 整式 ‎ 单项式：由数字和字母乘积组成的式子。单独一个数或一个字母也是单项式。因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母；若式子中含有加、减运算关系，也不是单项式。‎ 单项式的系数：是指单项式中的数字因数；‎ 单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和。‎ 多项式：几个单项式的和。‎ 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数。‎ 多项式的项：在多项式中，每一个单项式。（注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号）‎ 整事：单项式和多项式统称为整式。‎ ‎2.2整式的加减 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。（几个常数项也是同类项）‎ 同类项必须同时满足两个条件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的次数相同，二者缺一不可。‎ 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。‎ 合并同类项法则：‎ - 11 -‎ 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；‎ 字母的升降幂排列：按某个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列。‎ 如果括号外的因数是正（负）数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同（反）。‎ 去（添）括号：①若括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；‎ ‎ ②若括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；‎ 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项；‎ 第三章 一元一次方程 ‎1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式。‎ ‎2、等式的基本性质 ‎（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，所得结果仍是等式。若，则或。‎ ‎（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。若，则或；‎ ‎（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若a=b，则b=a；‎ ‎（4）传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c，这一性质叫等量代换。‎ ‎3．方程：含未知数的等式，叫方程。‎ ‎4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！‎ ‎5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项。移项的依据是等式性质1。移项必变号，“+”变“—”，“—”变“+”；“×” 变“÷”，“÷”变“×”；即移加变减，移乘变除，移减变加，移除变乘。‎ ‎6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。‎ ‎7．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。‎ ‎8．一元一次方程解法的一般步骤：‎ 主要依据 注意问题 - 11 -‎ 解一元一次方程的步骤 ‎1、去分母 等式的性质2‎ 注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号。‎ ‎2、去括号 去括号法则 乘法分配律 严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号。‎ ‎3、移项 等式的性质1‎ 越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面。‎ ‎4、合并同类项 合并同类项法则 注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变。‎ ‎5、系数化为1‎ 等式的性质2‎ 两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒。‎ ‎6、检验 10． 列一元一次方程解应用题： ‎ ‎（1）读题分析法：“和，差，倍，分问题”‎ 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。‎ ‎（2）画图分析法：“行程问题”‎ 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。‎ ‎11．解实际应用题：‎ 知识点1：市场经济、打折销售问题 ‎（1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100%‎ ‎（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 知能点2： 方案选择问题 知能点3储蓄、储蓄利息问题 - 11 -‎ ‎(1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税 ‎(2）利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%）‎ ‎(3）‎ 知能点4：工程问题 ‎ 工作量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作量÷工作时间 ‎ 工作时间＝工作量÷工作效率 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1‎ 知能点5：若干应用问题等量关系的规律 ‎（1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 ‎（2）等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．‎ ‎①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 知能点6：行程问题 ‎ 基本量之间的关系： 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ‎ （1）相遇问题 （2）追及问题 ‎ ‎ 快行距＋慢行距＝原距 快行距－慢行距＝原距 ‎ （3）航行问题 顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 ‎ 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系 知能点7：数字问题 ‎（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．‎ ‎（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。‎ - 11 -‎ 第四章 图形认识初步 ‎4。1多姿多彩的图形 （1） 几何图形：把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形；几何图形可分为立体图形和平面图形 （2） 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形；（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）‎ （3） 平面图形：各部分都在同一平面的几何图形；（如线段、三角形、长方形、圆等）‎ （4） 立体图形的三视图：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）‎ （5） 展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图；‎ （6） 几何体简称为体；‎ （7） 包围着体的是面；（面有平的面和曲的面两种）‎ （8） 面和面相交的地方形成线；线和线相交的地方形成点；‎ （9） 点动成线、线动成面、面动成体；‎ （10） 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素；‎ ‎4。2 直线、射线、线段 ‎1、线段、射线、直线的定义 ‎（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。‎ ‎（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。‎ ‎（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。‎ 概念剖析：①线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；‎ ‎ ②“线段可以量出长度”，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”，即射线和直线既没有明确的长度，也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说；‎ ‎ ③线段只有长短之分，而没有大小之别，射线和直线既没有长短之分，也没有大小之别；‎ ‎2、线段、射线、直线的表示方法 （1） 直线的表示方法：①用一个小写字母表示直线（如直线l）②用一条直线上的两点来表示这条直线（如直线AB）‎ ‎（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。‎ ‎（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。‎ 概念剖析：①将线段的两个端点位置颠倒，得到的新线段与原来的线段是同一线段，即线段AB与线段BA是同一线段；‎ ‎②将表示射线的两个点位置颠倒，得到的新射线与原来的射线不是同一射线，即射线AB与射线BA不是同一射线，因为它们的端点和方向不同；‎ ‎③将表示直线的两个点位置颠倒，得到的新直线与原来的直线是同一直线，即直线AB与直线BA是同一直线；‎ ‎④识别图中线段的条数要把握一点：只要有一个端点不相同，就是不同的线段；‎ ‎⑤识别图中射线的条数要把握两点：端点和方向缺一不可；‎ ‎3、线段、射线、直线的联系：‎ - 11 -‎ ‎①射线和直线都是有线段无限延伸形成的，把线段向一个方向无限延伸就成了射线，把线段向两个方向无限延伸就形成了直线。‎ ‎②射线和线段都可以看成是直线的一部分。‎ ‎4、线段、射线、直线的区别：‎ ‎①线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；‎ ‎②“线段可以量出长度”，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”，即射线和直线既没有明确的长度，也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说；‎ ‎③直线不能延伸，射线只能向一个方向延伸，线段可以向两个方向延伸；‎ ‎5、直线事实：过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。 ‎ ‎6、线段的比较：（1）叠合比较法；（2）度量比较法。‎ ‎7、线段事实：“两点之间，线段最短”。连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。‎ ‎8、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。‎ ‎9、距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离；‎ ‎4.3 角 ‎1、角的概念：‎ ‎（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。‎ ‎（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。‎ ‎2、角的表示方法：‎ 角用“∠”符号表示 ‎（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间）‎ ‎（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。‎ ‎（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。‎ ‎（4）直接用一个大写英文字母来表示。‎ ‎3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。‎ ‎4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。‎ ‎5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 ‎（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。‎ ‎（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。‎ ‎（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。‎ ‎6、画两个角的和，以及画两个角的差 ‎（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。‎ ‎（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。‎ ‎7、角的平分线：从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。‎ ‎8、角的计算。‎ ‎9、余角和补角 （1） 互为余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；（即其中一个角是另一个角的余角）‎ - 11 -‎ （1） 互为补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角；（即其中一个角是另一个角的补角）‎ （2） 补角的性质：等角的补角相等；‎ （3） 余角的性质：等角的余角相等；‎ 10、 方位角 - 11 -‎