2019七年级数学上册 第二章 几何图形的初步认识 2互余、互补及其性质

2019七年级数学上册 第二章 几何图形的初步认识 2互余、互补及其性质

第2课时　互余、互补及其性质 知识点 1　互余、互补的概念 ‎1．若∠α与∠β互为余角，则∠α＋∠β＝________；若∠α与∠β互为补角，则∠α＋‎ ‎∠β＝________．‎ ‎2．[2017·常德]若一个角为75°，则它的余角的度数为(　　)‎ A．285° B．105° C．75° D．15°‎ ‎3．若∠A＝34°，则∠A的补角的度数为(　　)‎ A．56° B．146° C．156° D．166°‎ ‎4．一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是________．　‎ ‎5．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补．若∠1＝63°，则∠3＝________．‎ ‎6．如图2－7－17，O是直线AE上的一点，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．‎ ‎(1)图中互余的角有哪几对？‎ ‎(2)图中互补的角有哪几对？‎ 图2－7－17‎ ‎ ‎ 9‎ 知识点 2　互余、互补的性质 ‎7．(1)若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则 ‎∠2________∠3(填“>”“<”或“＝”)，理由：‎ ‎________________________．‎ ‎(2)若∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，且∠1＝∠2，则∠3________∠4(填“>”“<”或“＝”)，理由：________________________．‎ ‎(3)若∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，则 ‎∠2________∠3(填“>”“<”或“＝”)，理由：‎ ‎________________________．‎ ‎(4)若∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°，且∠1＝∠2，则∠3________∠4(填“>”“<”或“＝”)，理由：________________________．‎ ‎8．如图2－7－18，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.‎ ‎(1)求出∠AOB及其补角的度数；‎ ‎(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．‎ 图2－7－18‎ ‎9．将一副三角尺按如图2－7－19所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是(　　)‎ 9‎ 图2－7－19‎ ‎10．下列说法正确的是(　　)‎ A．互补的两个角一个是锐角，一个是钝角 B．180°的角是补角 C．互余的两个角可能是等角 D．只有锐角有补角 ‎11．已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于(　　)‎ A．45° B．60° C．90° D．180°‎ ‎12．如果一个角和它的余角的比是1∶3，那么这个角的度数为________．‎ ‎13．已知∠α与∠β互补，且∠α>∠β，试判断∠β与(∠α－∠β)的数量关系．‎ ‎14.如图2－7－20，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．‎ ‎(1)若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；‎ ‎(2)若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；‎ ‎(3)写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．‎ 图2－7－20‎ 9‎ ‎ ‎ ‎15．如图2－7－21，O为直线AB上的一点，∠AOE为直角，∠DOF＝90°，OB平分∠COD，则图中与∠DOE互余的角有哪些，与∠DOE互补的角有哪些？‎ 图2－7－21‎ ‎16．如图2－7－22，∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶3∶4，射线OM，ON分别平分∠AOB与∠COD，已知∠MON＝90°，则∠AOB等于(　　)‎ 图2－7－22‎ A．20° B．30° C．40° D．45°‎ ‎17．如图2－7－23①，∠AOB，∠COD都是直角．‎ ‎(1)试猜想，∠AOD和∠BOC 在数量上是否存在相等、互余或互补的关系？你能说明你的猜想的正确性吗？‎ ‎(2)当∠COD 绕点 O 旋转到图2－7－23②所示的位置时，(1)中的猜想还成立吗？‎ 9‎ 图2－7－23‎ ‎【详解详析】‎ ‎1．90°　180°‎ ‎2．D　[解析] 它的余角的度数为90°－75°＝15°.故选D.‎ ‎3．B　[解析] ∠A的补角的度数为180°－34°＝146°.故选B.‎ ‎4．144°38′　[解析] 根据题意得这个角为90°－54°38′＝35°22′， 则这个角的补角为180°－35°22′＝144°38′.‎ 9‎ ‎5．153°　[解析] 因为∠1是∠2的余角，∠3是∠2的补角，所以∠3－∠1＝90°，所以∠3＝90°＋63°＝153°.‎ ‎6．解：(1)∠AOB与∠DOE，∠AOB与∠COD，∠COD与∠BOC，∠BOC与∠DOE都是互余的角．‎ ‎(2)∠AOB与∠BOE，∠BOC与∠BOE，∠AOC与∠COE，∠COD与∠AOD，∠EOD与∠AOD都是互补的角．‎ ‎7．(1)＝　同角的余角相等　(2)＝　等角的余角相等　(3)＝　同角的补角相等　(4)＝　等角的补角相等 ‎8．解：(1)∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°，‎ 其补角为180°－∠AOB＝180°－120°＝60°.‎ ‎(2)∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，‎ ‎∠AOE＝∠AOC＝×50°＝25°.‎ ‎∠DOE与∠AOB互补．‎ 理由：因为∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝∠DOC＋∠AOE＝35°＋25°＝60°，‎ 所以∠DOE＋∠AOB＝60°＋120°＝180°，‎ 故∠DOE与∠AOB互补．‎ ‎9．C ‎10．C.‎ ‎11．C ‎12．[22.5°　‎ ‎[解析] 根据题意，知这个角的度数是90°×＝22.5°.‎ ‎13．解：因为∠α与∠β互补，‎ 所以∠α＋∠β＝180°，‎ 所以∠β＝180°－∠α，‎ 9‎ 所以∠β的余角为90°－(180°－∠α)＝∠α－90°＝∠α－(∠α＋∠β)＝∠α－‎ ∠β＝(∠α－∠β)，‎ 所以∠β＋(∠α－∠β)＝90°.‎ ‎14．解：(1)因为∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，‎ 所以∠DCB＝90°－35°＝55°.‎ 因为∠ACD＝90°，‎ 所以∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝145°.‎ 9‎ ‎(2)因为∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，‎ 所以∠DCB＝140°－90°＝50°.‎ 因为∠ECB＝90°，‎ 所以∠DCE＝90°－50°＝40°.‎ ‎(3)∠ACB＋∠DCE＝180°(或∠ACB与∠DCE互补)．‎ 理由：因为∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，‎ 所以∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，‎ ‎∠DCE＝∠ECB－∠DCB＝90°－∠DCB，‎ 所以∠ACB＋∠DCE＝180°.‎ ‎15．[解析] 本题要根据余角、补角的定义，结合图形认真观察．‎ 解：因为∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝180°－90°＝90°，‎ 所以∠BOD＋∠DOE＝90°，‎ 即∠DOE与∠BOD互余．‎ 因为OB平分∠COD，‎ 所以∠BOC＝∠BOD，‎ 所以∠DOE与∠BOC互余．‎ 因为∠DOF＝90°，‎ 所以∠DOE＋∠EOF＝90°，‎ 所以∠DOE与∠EOF互余．‎ 即与∠DOE互余的角有∠BOD，∠BOC，∠EOF.‎ 因为∠DOE＋∠BOF＝∠DOE＋∠EOF＋∠BOE＝∠DOF＋∠BOE＝180°，‎ 所以∠DOE与∠BOF互补．‎ 因为∠DOE＋∠COE＝∠DOE＋∠COB＋∠BOE＝∠DOE＋∠BOD＋∠BOE＝‎ ‎∠BOE＋∠BOE＝180°，‎ 9‎ 所以∠DOE与∠COE互补，‎ 即与∠DOE互补的角有∠BOF，∠COE.‎ ‎16．B ‎17．解：(1)猜想：∠AOD 与∠BOC 互补．‎ 因为∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝90°＋∠BOD，‎ ‎∠BOD＝90°－∠BOC，‎ 所以∠AOD＝90°＋90°－∠BOC，‎ 所以∠AOD＋∠BOC＝180°，‎ 即∠AOD与∠BOC互补．‎ ‎(2)(1)中的猜想仍然成立．‎ 因为∠AOB，∠COD都是直角，‎ 所以∠AOB＋∠COD＝180°.‎ 又因为∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝ 360°，‎ 所以∠AOD＋∠BOC＝180°，‎ 所以∠AOD与∠BOC互补．‎ 9‎