人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：平方根、立方根和开立方（附答案与全解全析）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：平方根、立方根和开立方（附答案与全解全析）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：‎ 平方根、立方根和开立方 知识网络 重难突破 知识点一 平方根 算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即 算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作 平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a的平方根。‎ 平方根的性质与表示：‎ 表示：正数a的平方根用表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做a的负平方根。‎ 性质：一个正数有两个平方根： （根指数2省略）且他们互为相反数。‎ ‎0有一个平方根，为0，记作 负数没有平方根 平方根与算术平方根的区别与联系：‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2019·迁安市期末）25的算术平方根是 ‎ A．5 B． C． D．25‎ ‎2．（2018·大石桥市石佛中学初一期末）的值是　　‎ A．±3 B．3 C．9 D．81‎ ‎3．（2020·灯塔市期末）估计的值在（ ）‎ A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 ‎4．（2020·沈阳市第七中学初二期末）9的平方根是（　　）‎ A．±3 B．3 C．±4.5 D．4.5‎ ‎5．（2020·东营市期末）16的平方根是（　　）‎ A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4‎ ‎6．（2020·沭阳县外国语实验学校初二期末）下列说法正确的是（ ）‎ A．（﹣3）2的平方根是3 B．＝±4‎ C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2‎ ‎7．（2019·石家庄市期末）如果=4，那么x等于（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎8．（2020·河南省实验中学初二期中）已知一个正数的两个平方根分别为和,则这个正数的立方根是( )‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎9．（2020·宝鸡市期末）一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为(　　 )‎ A．-1 B．1 C．-2 D．2‎ ‎10．（2020·南京市期末）面积为的正方形的边长是（ ）‎ A．的平方根 B．的算术平方根 C．开平方的结果 D．的立方根 ‎11．（2019·恩施市期末）已知(x +1)2= 16 ，则 x 的值是（ ）‎ A．3 B．7 C．3 或-5 D．7 或-8‎ ‎12．（2020·银川市期末）“的算术平方根是”，用式子表示为( )‎ A．±＝± B．＝±‎ C．＝ D．±＝‎ ‎13．（2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中）下列运算中错误的有（　　）‎ ‎①②，③，④＝3‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎14．（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）若x是9的算术平方根，则x是（ ）‎ A．3 B．－3 C．9 D．81‎ ‎15．（2020·贵港市期末）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　）‎ A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5‎ 知识点二 立方根和开立方 立方根概念：如果一个数的立方等于，即那么x叫做的立方根或三次方根，‎ 表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.‎ 开立方概念：求一个数的立方根的运算。‎ 开平方的表示： （a取任何数） ‎ 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ 注意:０的平方根和立方根都是０本身。‎ 次方根(扩展)‎ 概念：如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。‎ 当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。‎ 当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。‎ 性质： 正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。‎ 正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2019·唐山市期中）下列等式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．（2018·成都市武侯区西蜀实验学校初二期末）下列计算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．（2019·昌平区期中）下列各式中，正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（2019·宜宾市期中）下列说法正确的是（　　）‎ A．1的平方根是1 B．﹣2没有立方根 C．±6是36的算术平方根 D．27的立方根是3‎ ‎5．（2018·福建省厦门第六中学初一期中）下列各式中，正确的是　　‎ A． B． C． D．=-4‎ ‎6．（2019·湖南广益实验中学初一期末）的算术平方根是（　　）‎ A．2 B．±2 C． D．‎ ‎7．（2018·泉州市北峰中学初二期中）下列说法正确的是（ ）.‎ A．1的立方根是 B． C． D．0没有平方根；‎ ‎8．（2018·邯郸市期中）（-）2的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）‎ A．3 B．7 C．3或7 D．1或7‎ ‎9．（2019·萍乡市期中）下列各组数中互为相反数的是（ ）‎ A．－2与 B．－2与 C．2与（-）2 D．|-|与 ‎25．（2019·赣州市期末）已知为实数，且，则的立方根是（ ）‎ A． B．－8 C．－2 D．‎ ‎、‎ 巩固训练 一、 选择题（共10小题）‎ ‎1．（2019·丹东市期中）的算术平方根为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（2018·武邑县期末）2的算术平方根是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．（2018·贵阳市期末）下列结果错误的是(　　)‎ A．＝2 B．的算术平方根是4‎ C．12的算术平方根是 D．(－π)2的算术平方根是π ‎4．（2019·运城市期末）的算术平方根是（ ）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎5．（2017·张家港市期中）(－6)2的平方根是(　　)‎ A．－6 B．36 C．±6 D．‎ ‎6．（2020·盐城市期末）下列说法正确的是（ ）‎ A．4的平方根是±2 B．8的立方根是±2 C． D．‎ ‎7．（2018·南昌市期中）一个正数的平方根是x－5和x＋1，则x的值为(　　)‎ A．2 B．－2 C．0 D．无法确定 ‎8．（2018·南京市期末）－64的立方根与的平方根之和为(　　)‎ A．－2或2 B．－2或－6‎ C．－4＋2或－4－2 D．0‎ ‎9．（2016·深圳市高级中学初二期中）比较的大小，正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．（2018·龙岩市期中）若a是(﹣3)2的平方根，则等于( )‎ A．﹣3 B． C．或﹣ D．3或﹣3‎ 一、 填空题（共5小题）‎ ‎11．（2018·嘉兴市期末）的算术平方根是_____．‎ ‎12．（2019·嘉兴市期末）已知a、b满足（a﹣1）2+=0，则a+b=_____．‎ ‎13．（2019·杭州市期中）的算术平方根是 _____．‎ ‎14．（2020·郑州市期末）立方根是__________．‎ ‎15．（2019·从江县期中）的平方根是_____，﹣的立方根是_____．‎ 二、 解答题（共2小题）‎ ‎16．（2019·朝阳市期中）已知+=b+8.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求a2-b2的平方根.‎ ‎17．（2017·张家港市期中）（1）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值；‎ ‎（2）已知与互为相反数，求（x+y）2的平方根．‎ 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：‎ 平方根、立方根和开立方 知识网络 重难突破 知识点一 平方根 算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即 算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作 平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a的平方根。‎ 平方根的性质与表示：‎ 表示：正数a的平方根用表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做a的负平方根。‎ 性质：一个正数有两个平方根： （根指数2省略）且他们互为相反数。‎ ‎0有一个平方根，为0，记作 负数没有平方根 平方根与算术平方根的区别与联系：‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2019·迁安市期末）25的算术平方根是 ‎ A．5 B． C． D．25‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴的算术平方根是5.‎ 故选A.‎ ‎2．（2018·大石桥市石佛中学初一期末）的值是　　‎ A．±3 B．3 C．9 D．81‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析：∵ ‎ ‎∴的值是3 ‎ 故选C.‎ ‎3．（2020·灯塔市期末）估计的值在（ ）‎ A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵4 ＜ 6 ＜ 9 ，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ 故选B.‎ ‎4．（2020·沈阳市第七中学初二期末）9的平方根是（　　）‎ A．±3 B．3 C．±4.5 D．4.5‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎（±3）2=9‎ ‎∴9的平方根是±3‎ 故选A.‎ ‎5．（2020·东营市期末）16的平方根是（　　）‎ A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵ ‎ ‎∴16的平方根是±4.‎ 故选A.‎ ‎6．（2020·沭阳县外国语实验学校初二期末）下列说法正确的是（ ）‎ A．（﹣3）2的平方根是3 B．＝±4‎ C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、（﹣3）2的平方根是±3，故该项错误；B、，故该项错误；C、1的平方根是±1，故该项错误；D、4的算术平方根是2，故该项正确.故选D.‎ ‎7．（2019·石家庄市期末）如果=4，那么x等于（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：∵=4，‎ ‎∴ ∴x=±4． 故选：D．‎ ‎8．（2020·河南省实验中学初二期中）已知一个正数的两个平方根分别为和,则这个正数的立方根是( )‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：∵一个正数的两个平方根分别为3a-5和7-a，‎ ‎∴3a-5+7-a=0，‎ 解得：a=-1，‎ ‎∴3a-5=-8，‎ 这个数是(-8)2=64，‎ ‎64的立方根为4，‎ 故选：A．‎ ‎9．（2020·宝鸡市期末）一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为(　　 )‎ A．-1 B．1 C．-2 D．2‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵一个正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2，‎ ‎∴，解得：.‎ 故选A.‎ ‎10．（2020·南京市期末）面积为的正方形的边长是（ ）‎ A．的平方根 B．的算术平方根 C．开平方的结果 D．的立方根 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：因为正方形的边长的平方等于面积，且正方形的边长为正数，‎ A选项的平方根有两个，其中一个为负数，故A错误；‎ B选项，一个正数的平方等于a，那么这个数叫做a的算术平方根，所以面积为的正方形的边长是的算术平方根，故B正确；‎ C选项开平方的结果即为的平方根，故C错误；‎ D选项的立方根是求一个数的立方等于13，故D错误.‎ 故选：B ‎11．（2019·恩施市期末）已知(x +1)2= 16 ，则 x 的值是（ ）‎ A．3 B．7 C．3 或-5 D．7 或-8‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 根据题意得x+1=±4，‎ x=-1±4，‎ 得x=3或-5．‎ 故选C．‎ ‎12．（2020·银川市期末）“的算术平方根是”，用式子表示为( )‎ A．±＝± B．＝±‎ C．＝ D．±＝‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 的算术平方根是, 用式子表示为 .‎ 故选C.‎ ‎13．（2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中）下列运算中错误的有（　　）‎ ‎①②，③，④＝3‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎①4，故A正确；‎ ‎②，故B错误；‎ ‎③，无法开方，故C错误；‎ ‎④±±3，故D错误．‎ 错误的有3个．‎ 故选B．‎ ‎14．（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）若x是9的算术平方根，则x是（ ）‎ A．3 B．－3 C．9 D．81‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题解析：∵32=9，‎ ‎∴=3，‎ 故选A．‎ ‎15．（2020·贵港市期末）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　）‎ A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵a2=4,b2=9，‎ ‎∴a=±2，b=±3，‎ ‎∵ab<0，‎ ‎∴a=2时,b=−3,a−b=2−(−3)=2+3=5，‎ a=−2时，b=3，a−b=−2−3=−5，‎ 所以，a−b的值为5或−5.‎ 故选：B.‎ 知识点二 立方根和开立方 立方根概念：如果一个数的立方等于，即那么x叫做的立方根或三次方根，‎ 表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.‎ 开立方概念：求一个数的立方根的运算。‎ 开平方的表示： （a取任何数） ‎ 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ 注意:０的平方根和立方根都是０本身。‎ 次方根(扩展)‎ 概念：如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。‎ 当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。‎ 当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。‎ 性质： 正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。‎ 正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2019·唐山市期中）下列等式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、原式=，错误；‎ B、原式=-（-）=，错误；‎ C、原式没有意义，错误；‎ D、原式==4，正确，‎ 故选D．‎ ‎217．（2018·成都市武侯区西蜀实验学校初二期末）下列计算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：A、=-2，故本选项正确；‎ B、-=-0.6，故本选项错误；‎ C、=13，故本选项错误；‎ D、=5，故本选项错误；‎ 故选：A．‎ ‎3．（2019·昌平区期中）下列各式中，正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 试题分析：A．；该选项正确；‎ B．=3≠9，故该选项错误；‎ C．=－3，该选项错误；‎ D．=2≠－2，该选项错误.‎ 故选A.‎ ‎4．（2019·宜宾市期中）下列说法正确的是（　　）‎ A．1的平方根是1 B．﹣2没有立方根 C．±6是36的算术平方根 D．27的立方根是3‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、1的平方根是±1，故选项错误；‎ B、﹣2的立方根是，故选项错误；‎ C、6是36的算术平方根，故选项错误；‎ D、27的立方根是3，故选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎5．（2018·福建省厦门第六中学初一期中）下列各式中，正确的是　　‎ A． B． C． D．=-4‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A、，故A错误；‎ B、，故B错误；‎ C、，故C正确；‎ D、=4，故D错误，‎ 故选C．‎ ‎6．（2019·湖南广益实验中学初一期末）的算术平方根是（　　）‎ A．2 B．±2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎∵=2，‎ 而2的算术平方根是，‎ ‎∴的算术平方根是，‎ 故选C．‎ ‎7．（2018·泉州市北峰中学初二期中）下列说法正确的是（ ）.‎ A．1的立方根是 B． C． D．0没有平方根；‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析：A. 1的立方根是1，故错误.‎ B.故错误.‎ C.正确.‎ D. 0有平方根.故错误.‎ 故选C.‎ ‎8．（2018·邯郸市期中）（-）2的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）‎ A．3 B．7 C．3或7 D．1或7‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ ‎∵（-）2=9，9的平方根x=±3，y=4，‎ ‎∴x+y=7或1．‎ 故答案为7或1．‎ ‎9．（2019·萍乡市期中）下列各组数中互为相反数的是（ ）‎ A．－2与 B．－2与 C．2与（-）2 D．|-|与 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 选项A. －2与 =2，‎ ‎ 选项B. －2与 =-2，‎ ‎ 选项 C. 2与（-）2=2,‎ ‎ 选项D. |-|=与,‎ 故选A.‎ ‎25．（2019·赣州市期末）已知为实数，且，则的立方根是（ ）‎ A． B．－8 C．－2 D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴x−3=0，y+2=0，‎ 解得：x=3，y=−2，‎ 则yx=(−2)3=−8的立方根是：−2.‎ 故选：C.‎ 巩固训练 一、 选择题（共10小题）‎ ‎1．（2019·丹东市期中）的算术平方根为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵=2，‎ 而2的算术平方根是，‎ ‎∴的算术平方根是，‎ 故选B．‎ ‎2．（2018·武邑县期末）2的算术平方根是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：2的算术平方根是，故选B．‎ ‎3．（2018·贵阳市期末）下列结果错误的是(　　)‎ A．＝2 B．的算术平方根是4‎ C．12的算术平方根是 D．(－π)2的算术平方根是π ‎【答案】B ‎【解析】‎ A. 原式==2，故A正确，与要求不符；‎ B.4，4的算术平方根是2，故B错误，与要求相符；‎ C.12=,它的算术平方根是，故C正确，与要求不符；‎ D.(−π)2=π2,π2的算术平方根是π，故D正确，与要求不符.‎ 故选：B.‎ ‎4．（2019·运城市期末）的算术平方根是（ ）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：∵=2，∴的算术平方根是．故选C．‎ ‎5．（2017·张家港市期中）(－6)2的平方根是(　　)‎ A．－6 B．36 C．±6 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析： ‎ 的平方根是 ‎ 故选C.‎ ‎6．（2020·盐城市期末）下列说法正确的是（ ）‎ A．4的平方根是±2 B．8的立方根是±2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：A．4的平方根是±2，故本选项正确；‎ B．8的立方根是2，故本选项错误；‎ C． =2，故本选项错误；‎ D．=2，故本选项错误；‎ 故选A．‎ ‎7．（2018·南昌市期中）一个正数的平方根是x－5和x＋1，则x的值为(　　)‎ A．2 B．－2 C．0 D．无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】试题解析：由题意得，x−5+x+1=0，‎ 解得：x=2.‎ 故选A.‎ ‎8．（2018·南京市期末）－64的立方根与的平方根之和为(　　)‎ A．－2或2 B．－2或－6‎ C．－4＋2或－4－2 D．0‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：-64的立方根是-4．‎ ‎=4，4的平方根是±2，‎ 所以-4+2=-2，-4+（-2）=-6．‎ 故选：B．‎ ‎9．（2016·深圳市高级中学初二期中）比较的大小，正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵2，∴2；‎ ‎∵，∴，∴．‎ 故选A．‎ ‎10．（2018·龙岩市期中）若a是(﹣3)2的平方根，则等于( )‎ A．﹣3 B． C．或﹣ D．3或﹣3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 详解：∵a是（﹣3）2的平方根，∴a=±3，‎ ‎∴等于或﹣．故选C．‎ 一、 填空题（共5小题）‎ ‎11．（2018·嘉兴市期末）的算术平方根是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵=8，（）2=8，‎ ‎∴的算术平方根是.‎ 故答案为：. ‎ ‎12．（2019·嘉兴市期末）已知a、b满足（a﹣1）2+=0，则a+b=_____．‎ ‎【答案】﹣1‎ ‎【详解】‎ ‎∵（a﹣1）2+=0，‎ ‎∴a=1，b=﹣2，‎ ‎∴a+b=﹣1，‎ 故答案为﹣1．‎ ‎13．（2019·杭州市期中）的算术平方根是 _____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【详解】‎ ‎∵，的算术平方根是2，‎ ‎∴的算术平方根是2.‎ ‎14．（2020·郑州市期末）立方根是__________．‎ ‎【答案】2；‎ ‎【详解】‎ ‎∵=8，，‎ ‎∴的立方根是2.‎ 故答案为：2.‎ ‎15．（2019·从江县期中）的平方根是_____，﹣的立方根是_____．‎ ‎【答案】±2 -2 ‎ ‎【详解】‎ ‎=4，所以的平方根是±2，‎ ‎-=-8，所以﹣的立方根是-2，‎ 故答案为：±2，-2.‎ 一、 解答题（共2小题）‎ ‎16．（2019·朝阳市期中）已知+=b+8.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求a2-b2的平方根.‎ ‎【答案】（1）17；（2）±15.‎ ‎【解析】‎ 根据题意得:,‎ 解得:a=17,‎ ‎（2）b+8=0,‎ 解得:b=﹣8,‎ 则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225,‎ 则平方根是:±15.‎ ‎17．（2017·张家港市期中）（1）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值；‎ ‎（2）已知与互为相反数，求（x+y）2的平方根．‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 根据题意，可得2a−1=9，3a+b−9=8；‎ 故a=5，b=2；‎ 又有 ‎ 可得 ‎ 则 ‎ 根据题意得： ‎ 可得 ‎ 解得： ‎ 则 的平方根是 ‎