精品人教版七年级数学上册第一章1.2有理数

精品人教版七年级数学上册第一章1.2有理数

第一章有理数1.2有理数第1课时 1.掌握有理数的概念.（重点）2.会对有理数按一定的标准进行分类,培养分类能力.(难点）学习目标 导入新课情境引入某天毛毛看报纸，见到下面一段内容：冬季的一天，某地的最高气温为6℃，最低气温达到－10℃，平均气温是0℃，而同一天北京的气温为－3℃～7℃.问题1：这里面出现的数是什么数？6,7是正数-10，-3是负数0既不是正数也不是负数 问题2:又是什么数？小学：分数和小数初中：统归为分数 讲授新课我们以前学过的数，特别提示：零既不是正数，也不是负数！分类的时候别丢了0哦还有小数呢？－1，－2，－3，…称为负整数；像1，2，3，…称为正整数；，…称为负分数.，…称为正分数.那么在以上这些数的前面添上“－”号后，有理数的概念 1.目前我们所学的小数有哪几类？你能尝试把它们化为分数吗？2.0.1,-0.5,5.32,-150.25，等为什么被列为分数？它们都可以化为分数：思考：有限小数，无限循环小数，除π外均能化为分数这些能化为分数的小数，都看作为分数 正整数、零和负整数统称整数.整数和分数统称为有理数.正分数和负分数统称分数.概念归纳 判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”。整数分数正数负数有理数2017√√√-4.90-12√√√√√√√√√√√填一填 有理数正整数正分数负分数整数分数零负整数自然数你能根据有理数的定义对有理数分类吗？有理数的分类 探究总结有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数。无限不循环小数（如π）不是分数，就不是有理数。质疑探索学了有理数的分类后，聪明的你想过没有——有没有一些数不是有理数呢？ 有理数分类的几点注意：1.如能约分成整数的数_____(填“能”或“不能”)算做分数；不能2.无限不循环小数不是有理数，如π；(无理数)3.整数中除了正整数和负整数，还有_____.0有理数还有其他的分类方法吗？ 有理数正整数负整数负分数正有理数负有理数正分数零有理数按符号（正、负）分类如下：注意：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复；③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 填一填：（1）既是分数又是负数的数是_______；（2）非负数包括________和_______；（3）非正数包括________和_______；（4）非负整数包括________和_______；又称为________；（5）非负分数包括________和_______；（6）非正分数包括________和_______.负分数正数00负数自然数正整数0整数正分数整数负分数 例1：下列说法：①0是整数；②是负分数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个C典例精析 例2:把下列各数填在相应的集合中：正数集合：{}；负数集合：{}；分数集合：{}；整数集合：{}；非负有理数集合：{}；有理数集合：{}.易错提醒：1.像300%这种可以先化简成整数的数是整数不是分数；2.π大于0是正数不是正有理数. 当堂练习2.下列各数：-2，5，，0.63，0，7，-0.05，-6，9，，.其中正数有____个，负数有____个，正分数有____个，负分数有____个，自然数有____个，整数有____个.6642341.下列说法中，正确的是（）A.正整数、负整数统称为整数B.正分数、负分数统称为分数C.零既可以是正整数，也可以是负整数D.一个有理数不是正数就是负数B （1）0是整数（）（2）自然数一定是整数（）（3）0一定是正整数（）（4）整数一定是自然数（）√√××3.判断：4．填空：（1）有理数中，是整数而不是正数的是___________；是负数而不是分数的是__________．（2）零是_________，还是______，但不是_____，也不是_____．负整数和0负整数有理数整数正数负数 5.把下列各数填入相应的集合内12／7，-3.1416，0，2018，-8／5，-0.23456，10%，10.1，0.67，-89…………正数集合负数集合…………整数集合分数集合201810.10.67-3.1416-8／5-0.23456-8912／710%02018-8912／7-3.1416-8／5-0.2345610%10.10.67 1.到现在为止，我们学过的数（π除外）都是有理数．2.有理数的分类有理数整数分数负整数负分数正分数正整数0正有理数负有理数正分数负分数负整数正整数0有理数3.注意0的特殊性，分类时不要遗漏0．课堂小结 第一章有理数1.2有理数第2课时 1.掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.(重点）2.会正确的画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.（难点）学习目标 问题：在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．037.534.8情景引入1 图中没有表示出来东西方向，那我们怎样表示出东西方向呢？东西方向可以用前面我们学过的相反意义的量来表示.037.534.8 思考:怎样简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系（方向、距离）？为了使表达更清楚，我们规定向东为正，把点汽车站牌左右两边的数分别用负数和正数表示.-4.8-30137.5我们把正数、0和负数用一条直线上的点表示出来. B观察如图所示的温度计，回答下列问题：（1）点A表示多少摄氏度？点B呢？点C呢？（2）温度计刻度的正负是怎样规定的?以什么为基准?（3）每摄氏度两条刻度线之间的距离有什么特点?AC情景引入2 0活动：把温度计平放，我们能从中发现什么？零下零上分刻度思考：你能借鉴温度计,用一条直线上的点表示有理数吗?数轴的概念 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴.类比归纳 数轴的画法：1.画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.02.规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.3.选择适当的长度为单位长度.00123-1-2-3 1.01-1错2.4.6.3.7.5.8.-101错2-1-21错0错2-1102-10错错0错1-1011-12对-2原点、正方向、单位长度一个也不能少.试一试：判断下面所画数轴是否正确，并说明理由 (1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；(2)直线一般画水平的；(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.画数轴注意事项：归纳总结 0-3-2-1123思考：3.如何用数轴上的点来表示分数或小数？如：1.5，-—怎样表示.23..1.观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？2.每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？在数轴上表示有理数 例1在所给数轴上画出表示下列各数的点.1，－5，－2.5，，0－5－4－3－2－1012345－5－4－3－2－1012345解:1－54●●●●●－2.50注意:①把点标在线上；②把数标在点的上方，以便观看.4典例精析 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度．归纳右aa左 012-2-1例2在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？DCBA(4)D点表示-1.5(1)A点表示2；(2)B点表示0.25；(3)C点表示-0.75；解:.... 例3从数轴上表示-1的点出发，向左移动两个单位长度到点B，则点B表示的数是，再向右移动5个单位长度到达点C，则点C表示的数是.0-3-2-1123C..解析:如图，左移2个右移5个.B-32 点A为数轴上表示－2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的数为()A.2B.－6C.2或－6D.不同于以上变式训练C分析:点A可能向左移，也可能向右移，所以需分情况讨论. 当堂练习C1.下列说法中正确的是（）A.在数轴上的点表示的数不是正数就是负数B.数轴的长度是有限的C.一个有理数总可以在数轴上找到一个表示它的点D.所有整数都可以用数轴上的点表示，但分数就不一定能找到表示它的点 2.与原点距离是2.5个单位长度的点所表示的有理数是（）A．2.5B．-2.5C．±2.5D．这个数无法确定3.在数轴上表示数6的点在原点_____侧，到原点的距离是_____个单位长度，表示数-8的点在原点的_____侧，到原点的距离是_____个单位长度．表示数6的点到表示数-8的点的距离是______个单位长度．4．在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为________．C右6左814-10或6 5.如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数．解：点A，B，C，D，E表示的数分别是0，-2，1，2.5，-3. 6.画出数轴并表示下列有理数：1.5，－2.2，－2.5，，　，0.-3-2-1012345●●1.5●－2.2●－2.5●● 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.2.数轴的画法.3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是正负数的分界限.课堂小结 第一章有理数1.2有理数第3课时 1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.（难点）2.会求有理数的相反数.(重点）学习目标 导入新课情境引入1成语故事《南辕北辙》讲了一个人……如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，假设楚国与魏国相距30km，以魏国为原点0，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来．现在的位置魏国楚国OBA-30-20-100102030 两位同学背靠背，规定向前为正，一人向前走3步，记作,一人向后走3步，记作.对照数轴,说出-3与+3两数的相同点和不同点.你还能说出具备这些特征的成对的数吗？情境引入2 活动1：观察下列一组数＋1和－1，＋2.5和－2.5，＋4和－4，并把它们在数轴上表示出来.思考：1）上述各对数之间有什么特点？2）请写出一组具有上述特点的数3）你能得出相反数的概念吗？4）表示各对数的点在数轴上有什么位置关系？探究一相反数的概念相反数 讲授新课活动2：请观察这两个数，它们有什么异同点？你还能列举两个这样的数吗？数字相同符号不同 1.定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.2.一般地，a和-a互为相反数.要点归纳代数意义 判断题：（1）－5是5的相反数;（）（2）－5是相反数;（）（3）与互为相反数;（）（4）－5和5互为相反数；（）（5）相反数等于它本身的数只有0；﹙﹚（6）符号不同的两个数互为相反数.﹙﹚×√×√√×练一练 结合数轴考虑：0的相反数是_____.一个正数的相反数是一个.一个负数的相反数是一个.负数正数一个数的相反数是它本身的数是______．00 思考：在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观察这两个点具有怎样的特征？位于原点两侧，且与原点的距离相等.05-5-11探究二相反数的几何意义a-a 思考：数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什么特点？借助数轴填一填：1.数轴上与原点距离是2的点有____个，这些点表示的数是________；2.与原点的距离是5的点有____个，这些点表示的数是________.02-2两2和-25和-5两5-5 1.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）；2.互为相反数的两个数到原点的距离相等.要点归纳几何意义3.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和-a，这两点关于原点对称. 1.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有_____个，它们分别在原点的______，表示_______，我们说这两点________________.两左右-a和a关于原点对称归纳总结 问题1：a的相反数是什么？在这个数前加一个“－”号．问题2：如何求一个数的相反数？a的相反数是－a，a可表示任意有理数.多重符号的化简 －（＋1.1）表示什么？－（－7）呢？－（－9.8）呢？它们的结果应是多少？问题3：若把a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？a=+5，-a=-（+5）a=-7，-a=-（-7）a=0，-a=0 (1)是____的相反数，(2)是______的相反数，=______．(3)是_______的相反数，．(4)是_______的相反数，．＋4-4填一填 思考：如果在一个数前面加上“＋”号所得得到的结果是什么呢？归纳总结在一个数前面加上“－”号表示求这个数的相反数. 化简下列各数（先读后写）(1)-(+10)(2)+(-0.15)(3)+(+3)(4)-(-12)(5)+[-(-1.1)](6)-[+(-7)]例2(6)-[+(-7)]=-(-7)=7.由内向外依次去括号方法总结：化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.解：(1)-(+10)=-10；(2)+(-0.15)=-0.15；(3)+(+3)=3；(4)-(-12)=12；(5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1； 技巧：（一查二定）1.式子中含偶数个“－”号时，结果正；含奇数个“－”号时，结果为负。2.凡是“+”都去掉。 1．-1.6是____的相反数，____的相反数是0.3．2．下列几对数中互为相反数的一对为（）．A．和B．与C．与3．5的相反数是____；a的相反数是___；1.6-a-5C-0.3当堂练习 4．若a=-13，则-a=____;若-a=-6，则a=___．5．若a是负数，则-a是_____数；若-a是负数,则a是_____数．6.的相反数是_____，-3x的相反数是___.136正3x正 7.（1）若a=3.2，则-a=;(2)若-a=2,则a=;(3)若-（-a）=3，则-a=;(4)-（a-b）=.能力拓展-2-3.2-3b-a 8.若2x+1是-9的相反数，求x的值.解：由相反数的意义，得2x+1=92x=8x=4拓展思考：已知两个有理数x、y，且x+y=0,那么这两个有理数有什么关系？ 课堂小结1.相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数；特别地，0的相反数是0.2．表示的相反数. 第一章有理数1.2有理数第4课时 1.理解绝对值的概念及性质.（难点、重点）2.会求一个有理数的绝对值.学习目标 大象距原点多远?两只小狗分别距原点多远?01234-1-2-3导入新课情境引入 甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作km，乙车向西行驶10km到达B处，记做km.+10-10讲授新课合作探究－10100OBA绝对值的意义及求法 以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多少？它们的实际意义是什么？－10100OBA 06-1-2-3-4-5-612345│－５│＝５│４│＝４4到原点的距离是4,所以4的绝对值是4,记做|4|=4-5到原点的距离是5,所以-5的绝对值是5,记做|-5|=5我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“||”表示.0到原点的距离是0,所以0的绝对值是0,记做|0|=0 利用数轴上点到原点的距离口答|5|=|3.5|=|-3|=|-4.5|=|0|=01000053.5-3-4.553.534.50说一说 |5|=5|-10|=10|3.5|=3.5|100|=100|-3|=3|50|=50|-4.5|=4.5|-5000|=5000|0|=0…..思考：一个正数的绝对值是什么？一个负数的绝对值是什么？0的绝对值是什么？问题：观察这些表示绝对值的数，它们有什么共同点？绝对值的性质及应用 结论1：一个正数的绝对值是正数.一个负数的绝对值是正数.0的绝对值是0.结论2：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.任何一个有理数的绝对值都是非负数!|a|≥0 正数的绝对值是它本身(1)当a是正数时，｜a｜＝____；(2)当a是负数时，｜a｜＝＿＿；(3)当a=0时，｜a｜＝＿＿＿.a-a00的绝对值是0负数的绝对值是它的相反数思考:字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗? 相反数、绝对值的联系是什么？互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.|-5|=5|+5|=5互为相反数，符号相反绝对值相等思考 （1）一个数的绝对值是4 ，则这数是－4.　　　　　　　　　　　　　　　　（2）|3|＞0.　　　　　　（3）|－1.3|＞0.（4）有理数的绝对值一定是正数.（5）若a＝－b，则|a|＝|b|.（6）若|a|＝|b|，则a＝b.（7）若|a|＝－a，则a必为负数.（8）互为相反数的两个数的绝对值相等.判断下列说法是否正确.×√√√×××练一练√ 例1求下列各数的绝对值.12，-7.5，0.解：|12|=12；||=；|-7.5|=7.5；|0|=0.正数的绝对值等于它本身负数的绝对值等于它的相反数0的绝对值是0典例精析 (1)绝对值等于0的数是___,(2)绝对值等于5.25的正数是_____,(3)绝对值等于5.25的负数是______,(4)绝对值等于2的数是_______.05.25-5.252或-2例2填一填易错提醒：注意绝对值等于某个正数的数有两个，他们互为相反数，解题时不要遗漏负值. 解：根据题意可知x－4＝0，y－3＝0，所以x＝4，y＝3，故x＋y＝7.归纳总结：几个非负数的和为0，则这几个数都为0. 1.判断并改错：（1）一个数的绝对值等于本身,则这个数一定是正数()（2）一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数；()（3）如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定相等；()（4）如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值一定不等；()（5）有理数的绝对值一定是非负数.()当堂练习 0非负数非正数±22.____的相反数是它本身，_______的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．3.|－|的相反数是；若||=2，则=_____.4.求下列各数的绝对值：3，3.14，，-2.8.|3|=3；|3.14|=3.14；|-2.8|=2.8.解：- 5.化简：-ba-b|0.2|=|b|=(b＜0)|a–b|=（a＞b）0.2 6.正式排球比赛对所用的排球重量是有严格规定的，现检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下：问题：指出哪个排球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明.答：第五个排球的质量好一些，因为它的绝对值最小，也就是离标准质量的克数最近. 1．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.2．绝对值的性质(1)|a|≥0；(2)课堂小结 第一章有理数1.2有理数第5课时 1.通过探究得出有理数大小的比较方法.（重点）2.能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.（难点）学习目标 导入新课你能说出哪个城市的最低气温最低吗？ 下图表示某一天我国5个城市的最低气温.武汉5℃北京－10℃　上海0℃广州10℃哈尔滨－20℃讲授新课问题：你能将上述五个城市的最低气温按从低到高的顺序依次排列吗？哈尔滨－20℃北京－10℃上海0℃武汉5℃广州10℃<<<<借助数轴比较有理数的大小 请大家思考这五个数的大小与它们在数轴上的位置有什么关系?越来越大哈尔滨－20℃北京－10℃上海0℃武汉5℃广州10℃<<<<－20－100510●●●●● 记住了吗？有理数大小的比较方法1：数轴比较法:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.-5-4-3-2-1012345小大想一想有没有最大的有理数?有没有最小的有理数?为什么? -5-4-3-2-1012345●●●●例1在数轴上表示数-3,-5,4,0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”号连接.解：-3,-5,4,0在数轴上表示如图：将它们按从小到大的顺序排列为：－5<－3<0<4典例精析 如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，则它们的大小关系是（）A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c针对训练D 结论：（1）正数大于0，（2）两个负数，绝对值大的反而小．例如，1＞0,0＞-1,1＞-1，-1＞-2.负数小于0，正数大于负数；问题：对于正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？运用法则比较有理数的大小 例2.比较下列各数的大小.解：先化简，－（－3）＝3，－（＋2）＝－2，因为正数大于负数，所以3＞－2，即－（－3）＞－（＋2）（1）－（－3）和－（＋2）；异号两数比较要考虑它们的正负. 解：两个负数做比较，先求它们的绝对值.同号两数比较要考虑它们的绝对值.两负数相比较，绝对值大的反而小. 解：先化简： 下列判断，正确的是（）A．若a＞b，则│a│＞│b│B．若│a│＞│b│，则a＞bC．若a＜b＜0，则│a│＜│b│D．若a＞b＞0，则│a│＞│b│能力提升D×如a=1,b=-2×如a=-3,b=2×如a=-3,b=-2√ 当堂练习2.比较下面各对数的大小，并说明理由：>＜>=1.在有理数0，│-（-3）│，-│+1000│，-（-5）中最大的数是（）A．0B．-（-5）C．-│+1000│D．│-（-3）│B 3.将下列这些数用“＜”连接.0，－3，|5|，－（－4），－|－5|.解：－|－5|＜－3＜0＜－（－4）＜|5|. 4.下表记录了今年一月某日部分城市的最高气温：城市阜阳安庆淮北合肥芜湖最高气温/℃－52－3－14(1)在数轴上表示这些城市最高气温的值；(2)用“＜”连接这些城市的最高气温． 解：(1)如图(2)－5℃＜－3℃＜－1℃＜2℃＜4℃.[解析](1)画出数轴，然后根据数轴表示数的方法画出－5，2，－3，－1，4所表示的点；(2)根据“数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小”可得到它们的大小关系． 5．如果a是有理数，试比较|a|与－2a的大小．分析：由于不能确定a的正负，所以需分类讨论解：当a＞0时，|a|>0，－2a＜0，所以|a|>－2a；当a=0时，|a|=0，－2a=0，所以|a|=－2a；当a＜0时，－2a＞0，|a|=－a，因为－2a＞－a，所以|a|＜－2a. 课堂小结比较有理数大小的方法.方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大．方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．