华东师大版七年级数学上册全册优秀教案（共172页）
第1章 走进数学世界
第1课时 数学伴我们成长人类离不开数学
【基本目标】
1.使学生初步认识到数学与现实世界的密切联系，懂得数学的价值，形成用数学的意识；
2.使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程.
【教学重点】
加强数学意识.
【教学难点】
数学能力的培养.
一、情境导入，激发兴趣
1. 现在让我们进入时空的隧道，回忆我们的成长历程：
出生——学前——小学，我们每一天都在接触数学并不断学习它，相信吗？不妨大家从不同阶段来举出一些我们身边或亲身经历的例子，试一试.
2．进入小学，我们正式开始学习数学，回忆一下，在小学阶段我们学习的主要数学知识有哪些？
【教学说明】学生很容易能说出数学与生活的联系，感受数学与生活有着密切的联系，激发学生学习数学的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.数学伴我们成长
人来到世界上的第一天就遇到数学，数学将哺育着你的成长.数学知识开阔了你的视野，改变了你的思维方式，使你变得更聪明了.
从生活的一系列人生活动中，我们会逐渐意识到这一切的一切都和数、数的运算、数的比较、图形的大小、图形的形状、图形的位置有关.另外，数学知识开阔了你的视野，改变了你的思维方式，使我们变得更聪明.
【教学说明】使学生明确数学伴随我们成长，数学与我们的生活密切相关.
2.人类离不开数学
（1）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂营造的蜂房,其表面由正六边形构成.
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【教学说明】观察图形，引起学生探究的兴趣.
（2）随着市场经济的发展，成本、利润、投入、产出、贷款、效益、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词语频繁使用，买与卖、存款与保险、股票与债券……几乎每天都会碰到.而这些经济活动无一能离开数学.
股市走势图
【教学说明】通过看图，使学生了解数学与经济活动的关系.
（3）在许多地方，我们常见到如图所示的地面，它们分别是用同样大小的正方形、正六边形的材料铺成的，这样形状的地砖能铺成平整、无空隙的地面.
那么除了这两种形状的材料外，还有哪些形状能够铺满地面呢?
我们还可以举出以下各种形状的图案，它们能够铺满地面.
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【教学说明】让学生回想家里和广场上地砖的形状，互相讨论，画图说明.
（4）现在我们走进商场，看看购物中的数学.
某商场平时实行打折销售，现推出如下“有奖销售”活动：
一、有奖销售活动起讫日：2011年10月1日起，奖券10000张发完为止.
二、凡累计消费额满400元，发奖券壹张.
三、开奖日期：2011年10月15日.
四、本活动由天山公证处公证，并请顾客代表参加当天的开奖仪式.
五、奖品设立：
特等奖2名，各2000元（奖品）；
一等奖10名，各800元（奖品）；
二等奖20名，各200元（奖品）；
三等奖50名，各100元（奖品）；
四等奖200名，各50元（奖品）；
五等奖1000名，各20元（奖品）；
中奖率高达12.82%.
请你计算奖金的总金额是多少，占10000张奖券的最低销售总额的百分比是多少.
奖品的总金额是：2000×2+800×10+200×20+100×50+50×200+20×1000=51000
它占10000张奖券对应的最低销售总额400×10000=4000000的1.257%.
【教学说明】学生通过计算，发现奖品总金额占10000张奖券的最低销售总额的比例很低，说明数学在生活中是有用的.
三、练习反馈，巩固提高
数学知识的学习，不仅开阔了我们的视野，而且改变了我们的思维方式，使我们变得更加聪明了.发挥一下我们的聪明才智，尝试解决下面的两个问题：
1. (1)计算并观察下列三组算式：
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(2)已知25×25=625，则24×26=_______.
(3)你能举出一个类似的例子吗？
(4)更一般地，若a×a=m，则(a+1)(a-1)= _______.
2.今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图）
【教学说明】学生通过练习，发展思维能力，培养一定的数学探究能力和合作意识.
【答案】1.（1）144 143（2）624（3）13×13=169,12×14=168（4）m-1
四、师生互动，课堂小结
1.数学伴我们成长，人类离不开数学.
2.通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？请与老师或同学进行交流.
【教学说明】学生回顾本节课所学内容，进一步提升学生学习数学的兴趣.
完成本课时对应的练习.
新课标明确告诉我们，教学已不再是教师的专利了，应把学习的主动权还给学生.只有让学生在和谐的学习氛围中互相质疑、互相欣赏、互相帮助才能把学生吸引住.通过观察、思考、计算、论证等一系列活动，使学生明确数学与我们的生活紧密相连，增强学生学习数学的兴趣.
第2课时 人人都能学会数学
【基本目标】
1.使学生对数学产生一定的兴趣，获得学好数学的自信心；
2.使学生学会与他人合作，养成独立思考与合作交流的习惯；
3.使学生在数学活动中获得对数学良好的感性认识，初步体验到什么是“做数学”.
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【教学重点】
如何培养学生对数学的兴趣.
【教学难点】
学生对数学的感性认识.
一、情境导入，激发兴趣
数学并不神秘，不是只有天才才能学好数学，只要通过努力，人人都能学好数学.阅读《华罗庚的故事》，谈谈你的感受.
【教学说明】用科学家的故事来激励学生去学好数学，认识数学，认识自我.
二、合作探究，探索新知
1.学好数学还要把数学应用于实际问题.下面让我们试着来解决一个实际问题.如图是6级台阶侧面的示意图，如果要在台阶上铺地毯，那么至少要买地毯多少米？
要在台阶上铺地毯，实际上并不需要测出台阶的长度.我们把上面的图想象为由一根绳子围成的图形，将它拉成为一个长和宽分别为2.8米和1米的长方形.因此，地毯的长就是2.8+1=3.8(米)，也就是要买地毯3.8米.
【教学说明】通过求地毯的长，培养学生的空间想象力，进一步强调数学在实际生活中的作用.
2.去掉一个最高分和一个最低分
在歌手电视大奖赛上，10个评委亮分之后，为什么要去掉一个最高分和一个最低分?
大奖赛上，常常要去掉一个最高分和一个最低分，其目的是要略去评委评分中可能出现的异常值，使得一个或两个评委的个人意愿不至于影响参赛歌手的总成绩.
让我们再看一个极端的例子.某大奖赛有7名评委，他们给甲乙两选手打的分数分别是：
甲：9.55,9.55,9.55,9.55,9.55,9.60,9.90
乙：9.50,9.60,9.60,9.60,9.60,9.60,9.70
凭直觉，你认为哪个选手比较好一点？
（1）请直接算出7个分数的平均数.
甲的平均分：(9.55+9.55+9.55+9.55+9.55+9.60+9.90)÷7=9.607
乙的平均分：（9.50+9.60+9.60+9.60+9.60+9.60+9.70）÷7=9.60
（2）去掉一个最高分和一个最低分，计算剩下5个数的平均数.
甲的平均分：(9.55+9.55+9.55+9.55+9.60)÷5=9.56
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乙的平均分：（9.60+9.60+9.60+9.60+9.60）÷5=9.60
（3）通过计算，想一想哪种方式更合适？
显然，用第二种方式比较符合直觉.由于评委给甲打分时出现极端的最高分（9.90），所以直接计算7个分数的平均数会出现偏差，而采用“去掉一个最高分和一个最低分”就可以避免这样的偏差，显得较为公平.
【教学说明】通过对比，使学生了解数学在生活中的重要作用，增强学生学习数学、研究数学的兴趣.
三、练习反馈,巩固提高
1.设定期储蓄1年期、2年期、3年期、5年期的年利率分别为2.25%，2.43%,2.70%和2.88%,试计算1000元本金分别参加这四种储蓄，到期所得的利息各为多少.（国家规定：个人储蓄从1999年11月1日起开始征收利息税，征收的税率为利息的20%）分析结果，你能发现什么？（提示：利息=本金×年利率×储存年数）
【答案】1年期利息18元，2年期利息38.88元，3年期利息64.8元，5年期利息115.2元．发现：参加定期储蓄，存期越长，得到利息越大．
2.在第十届“哈药六杯”全国青年歌手电视大奖赛，8位评委给某选手所评分数如下表，计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均分作为该选手的最后得分.请你算一算该选手的最后得分．
【答案】9.72
【教学说明】通过练习，让学生体会用数学.
四、师生互动，课堂小结
通过以上两节的学习，我们一定会喜欢上数学，并希望它天天陪伴你.在以后的学习中，我们将在小学的基础上学到更多新的知识.
完成本课时对应的练习.
在本节课的教学中，紧紧抓住数学与实际生活的联系，让学生尝试用数学知识去解决实际生活中的一些简单问题，增强学生学习数学的兴趣，初步培养学生应用数学的意识.
第1章 走进数学世界
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【基本目标】
1.结合具体例子，体会数学与我们的成长密切相关，人类离不开数学；激发学生的学习兴趣，增强他们的数学应用意识.
2.尝试独立思考，体验数学问题的探索过程；初步获得成功体验，树立“人人都能学好数学”的自信心.
3.经历观察、操作、思考、交流等活动过程，初步体会什么是做数学、怎样做数学；激发对数学的好奇心和求知欲，并在数学活动中获得成功的体验.
【教学重点】
激发学生学习数学的兴趣，体验数学问题的探索过程.
【教学难点】
独立解决问题的能力.
一、知识框图，整体把握
二、典例精析，温故知新
例1 一个数减去4，再除以2，然后加上3 ，再乘以2，最后得8，问这个数是多少？
分析：可用算术法或代数法解，答案是6.
例2 这是一道数学填空题，是从美国哈佛大学入学试卷中选出的.请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线处填上恰当的图.
分析：已知条件是数字1,2,3,4,5,7的镜像图.这个有趣的题目说明学习中需要细致观察，需要对数字、图形敏感，也需要想象.
例3 （可以使用多媒体课件）有人在甬江大桥下做赌博游戏，几个围观者跃跃欲试.主持人给大家看，公文包里有５个乒乓球，其中两个球上写有大红“福”字.他吆喝着人们去摸“福”，如果一下子同时摸中这两只就能获奖.旁边贴有“海报”，上面写着：S
低投入 高回报
请试试你的手气！
出 2元，摸到“双福”，可获仿金项链一条（约18元）
出10元，摸到“双福”，可获正宗红中华两包（约88元）
出20元，摸到“双福”，可获正宗茅台一瓶（约188元）
出100元，摸到“双福”，可获21英寸彩电一台（约888元）
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分析：发现摸彩者获奖的可能性仅有10%，赢率微乎其微.接着老师当场拿出教具，请几位学生试验手气，果然均难以一下子摸到“双福”.所以在这场不公平的游戏中，摸彩者摸到的不是福气，而是晦气.赌博有害，我们不仅不要参与，而且要用数学的眼光，来揭穿它的骗人的本质.
例4 我国著名数学家苏步青教授年轻时候做过这样一道题：“甲和乙从东西两地同时出发，相对而行，两地相距10千米.甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，几小时两人相遇？如果甲带了一只狗，和甲同时出发，狗以每小时5千米的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去；遇到甲又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住.问这只狗共奔跑了多少千米？”
分析：要从整体的角度看问题，狗奔跑的时间是两人相遇的时间.
解：10÷（3＋2）×5=10（千米）.
三、拓展训练，巩固提高
1.猜谜语：2、4、6、8、10（打一成语）_______________________.
2.一群整数朋友按照一定的规律排成一行，可排在 位置的数跑掉了，请帮它们把跑掉的朋友找回来:
（1）5，8，11，14， ，20；
（2）1，3，7，15，31，63， ；
（3）1，1，2，3，5，8， ，21．
3.将1~8这八个整数分别填入下列括号内，使得等式成立：
【答案】1. 无独有偶
2.（1）17（2）127（3）13
3.
完成本课时对应的练习.
通过典型例题的探究，培养学生观察、思考、猜想、验证的数学思维过程，初步培养数学探究意识，提高学生数学思维能力.
第2章 有理数
2.1 有理数
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1.正数和负数
【基本目标】
1.明白生活中存在着无数表示相反意义的量，能举例说明；
2.能体会引进负数的必要性和意义，建立正数和负数的数感.
【教学重点】
理解正数和负数的意义.
【教学难点】
体会现实生活中具有相反意义的量.
一、情境导入，激发兴趣
1.回顾小学中有关数的范围及数的分类，指出小学中的“数”是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.
如：0，1，2，3，…，，.
2.下面的温度怎样表示？
【教学说明】让学生了解数的产生过程，初步认识到以前学过的数不能满足实际的需要.
二、合作探究，探索新知
1.在日常生活中，常会遇到这样的一些量：
如：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米；
温度是零上10℃和零下5℃；
收入500元和支出237元；
水位升高1.2米和下降0.7米；
像这样的日常生活中描述温度的零上多少摄氏度和___________________，水位的升高和_______，现金的收入和_______，商品的买进和_______等类似的数量都具有相反的意义，我们称之为具有相反意义的量.
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2.问题：你能再举几个其他的具有相反意义的量吗？
【教学说明】必须满足两个条件：（1）意义相反；（2）同一种量.
3.定义：一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示；把与它意义相反的量规定为负的，在过去学过的数（零除外）的前面放上一个“-”号来表示.
如：在表示温度时，通常规定零上为“正”，零下为“负”，即零上10℃表示为10℃，零下5℃表示为-5℃.
（1）正数
小学学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,都是_______. 为了加以强调，_______前可加上 “+” （读作正）号,但一般省略不写.如5可以写成+5, +5和5是一样的.
（2）负数
在正数的前面加上 “-”(读作负)号的数是_______.“-”号不能省略.如：-5，-0.36.
（3）0既不是_______,也不是_______（0不再仅仅表示“没有”，也是正、负数的分界点）.
【教学说明】通过归纳总结正数和负数的概念，举出实际例子加深对正数和负数的理解，使学生掌握正数和负数的特征及表示方法.
三、示例讲解，掌握新知
例1 填空：
（1）出口货物500吨记作-500，进口货物262吨记作_______；
（2）如果产量增加20％，记作_______，那么产量减少3％记作_______；
（3）向东前进30m记作+30，向西前进10m记作_______.
【教学说明】让学生先观察记法，找到具有相反意义的量，再用正负数来表示.
例2 把下列叙述改成使用正负数的方法
（1）向南走-20 m，即_______；
（2）飞机下降-200 m，即_______；
（3）飞机上升-3000 m，即_______；
（4）商店赢利-1000元，即_______.
【教学说明】通过讲解，使学生理解正数和负数是表示相反意义的量，掌握它的表示方法.
四、练习反馈，巩固提高
1. (1)向东走5米记+5米,那么向西走6米记作_______;
(2)获利200元记作+200元,亏损100元记作_______;
(3)前进10步记作_______,后退5步记作_______;
(4)上升10米记作+10,那么-5表示_______;
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(5)向东记作正,则-12米的意思是_______;
(6) 海面下-200米相当于_______.
2.如果一个只能上下移动的物体向上移动为正，那么：
（1）物体移动-3m表示什么意义？
（2）物体移动5m表示什么意义？
（3）物体向下移动-10m表示什么意义？
【教学说明】学生独立完成练习，查漏补缺，及时巩固所学知识.
【答案】1.（1）-6米（2）-100元
（3）+10步 -5步（4）下降5米（5）向西12米（6）海拔低于海平面200米
五、师生互动，课堂小结
1.由于实际问题中存在着相反意义的量，所以要引入负数，这样数的范围就扩大了.
2.正数就是以前学过的0以外的数(或在其前面加“+”)，负数就是在以前学过的0以外的数前面加“-”．
【教学说明】教师引导学生总结负数的产生是实际生活的需要，进一步理解用正数和负数表示互为相反意义的量.
完成本课时对应的练习.
本节课从学生的生活经验入手，逐步引导学生理解负数的产生是由于生活的实际需要，我们可以用正数和负数来表示相反意义的量，引导学生理解0的含义.体验数学知识来源于生活，又应用于生活，激发学生学习数学的兴趣.
2.有理数
【基本目标】
1.掌握有理数的概念，对有理数按照一定的标准进行分类，培养学生的分类能力；
2.了解分类的标准与分类结果的相关性，初步了解“集合”的含义；
3.体验分类是数学上常用的处理问题的方法．
【教学重点】
正确理解有理数的概念．
【教学难点】
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正确理解分类的标准和按照一定的标准进行分类．
一、复习提问，引入新课
1.在前两个学段，我们已经学习了很多不同类型的数，通过上两节课的学习，又知道了现在的数包括了负数，下面请同学们在草稿纸上任意写出3个数(同时请3个同学在黑板上写出)．
问题1：观察黑板上的9个数，并给它们进行分类．
2.学生思考讨论和交流分类的情况．
【教学说明】学生可能只给出很粗略的分类，如只分为“正数”和“负数”或“零”三类，此时，教师给予引导和鼓励．例如，对于数5，可这样问：5和5．1是相同的类型吗?5可以表示5个人，而5．1可以表示人数吗?(不可以)所以它们是不同类型的数，数5是正数中整个的数，我们就称它为“正整数”，而5．1不是整个的数，称为“正分数”……(由于小数可化为分数，以后把小数和分数都称为分数)
二、合作探究，探索新知
1.教师引导学生对写出的数字进行分类，鼓励学生自己概括，最后归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数.
【教学说明】教师要引导学生确定分类的标准，说出数字之间的区别，总结出分类的依据.
2.总结得出“整数”和 “分数”统称“有理数”．
【教学说明】要特别说明统称的含义，有理数就是两类：整数和分数.
3.试一试：按照以上的分类，你能做出一张有理数的分类表吗?你能做出以上有理数的分类是以什么为标准的吗?(是按照整数和分数来划分的)
4.教师板书总结
分类一：
分类二：
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【教学说明】分类时一定要说明是按照什么标准来分的，不要记混淆了.
5.有关集合的简单知识
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称为数集；
所有的有理数组成的数集叫做有理数集；
所有的整数组成的数集叫做整数集；……
【教学说明】在说明数集时，一定要多举例，以便于学生理解，一定要说明数集包含无数个数.
三、示例讲解，掌握新知
例把下列各数填入相应的数集：
-18，，3.1416，0，2001，，-0.142857，95%.
正数集 负数集
整数集 分数集
四、师生互动，课堂小结
有理数按照不同的标准可以分为哪几类？
【教学说明】让学生从不同的角度来归纳总结有理数的分类，进一步巩固所学知识.
完成本课时对应的练习.
每个学生的认识水平不同，思维水平也存在着明显的差异.教师课前预期的设计有既定的目标，这是必要的，也是要充分考虑的.但怎样在实际课堂教学中更好地顺应学生的思维，把握学生生成的一些问题并转化为有效的教学资源，有赖于教师先进的教学理念、良好的教学素养和机智的驾驭技巧.这就要求教师在课堂上随时提醒自己，倾听学生的发言、关注学生的表情、关注学生的思维.
2.2 数轴
1.数轴
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【基本目标】
1.掌握数轴的三要素，能正确画出数轴；能将已知数在数轴上表示出来；能说出数轴上已知点所表示的数；
2. 使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识；对学生渗透数形结合的思想方法；
3.使学生初步了解数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．
【教学难点】
有理数和数轴上的点的对应关系．
一、情境导入，激发兴趣
1.请大家看，这是一支温度计，它的用途大家是知道的．但是你会读温度计吗？请同学们读出此时温度计所显示的温度．这样看来，液面所在的刻度就表示此时的温度．这说明温度计上的刻度与一些有理数建立了对应的关系，也就是说温度计上的每一个刻度都表示一个有理数．
2.在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
【学生活动设计】
思考：怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系（方向、距离）？
像这种生活中的例子，同学们还能列举出来吗？（收音机的标尺、超级解霸上的标尺等）我们能否利用一个类似于温度计图形，用它的刻度（也就是点）来表示所有的有理数呢？这就是我们今天要一起研究的数轴．
【教学说明】先用温度计给学生一个具体的形象，再引导学生仿照温度计的记数方法来描述情境，逐步渗透数轴的形象.
二、合作探究，探索新知
1.观察温度计的刻度规律，你能发现什么？
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学生观察温度计，从温度计上发现：刻度有正有负也有0.结合有理数包含正数、零、负数的特点，类比一条直线在什么样的条件下才能成为数轴，于是：因为有零，就必须在直线上取一点，用这个点表示零．（如图1）我们把这个点叫做原点，用大写字母O表示．由温度计的刻度规律可知：原点的一侧表示正数，另一侧表示负数．因而我们就规定原点的其中一侧为正方向，那么另一侧就为负方向．习惯上，当直线水平放置时，原点右方为正方向，原点的左方为负方向．正方向的一侧我们用箭头表示．（如图2）现在同学们来猜想一下，正有理数应该在图2的哪一个区域？负有理数呢？
知道正数在原点的右边，那么我们用多长来表示+1呢？怎么办？我们需要规定一个单位长度．（如图3）一旦表示1的点确定了，表示其他的有理数的点就好确定了．我想请同学们举例说明其他有理数点的确定．（利用成倍的关系）
2.这样能用来表示全体有理数的图形我们就找到了．我们把这种图形叫做数轴．现在我请同学们归纳一下数轴有哪几个特点？（原点、正方向、单位长度）于是：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
归纳数轴的规范画法：
（1）三要素：原点、正方向和单位长度；
（2）刻度要在直线上，且是细短线；数字在下，字母在上．
【教学说明】通过观察温度计数字的排列规律，逐步引导学生认识数轴，归纳出数轴的三要素，重点是负数在数轴上的排列规律.
3.动手操作、感受数轴的画法、巩固对数轴的认识．
（1）动手操作，画数轴．
教师活动设计：现在每一位同学都画一个数轴，根据你所画的数轴提出你的问题．
学生活动设计：学生动手画数轴，在画的过程中可能有诸多问题，比如：数轴一定是水平放置的吗？原点一定在最中间吗？单位长度究竟是什么样的一个长度？数轴可以画为射线吗？然后学生进行交流，得到数轴规范的画法．
（2）判断下列图形哪些是数轴？
【学生活动设计】学生独立思考上述5个图形，根据数轴的定义进行分析，只有符合数轴三要素的直线才是数轴，于是只有⑤是正确的．
【答案】只有⑤是正确的．
【教学说明】学生动手操作，检验自己掌握的情况，检查错误的地方，更好的理解数轴上数字的排列规律.
三、示例讲解,掌握新知
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1．画出一个单位长度是1厘米的数轴,并用刻度尺画出表示下列各数的点：
1.5、0、2、-2、2.5.
学生活动设计：先考虑在原点的哪一侧，然后看距原点的距离是单位长度的倍数．
解答:如图
2.如图:
写出数轴上的A、B、C、D、E、F表示的有理数．
学生活动设计：根据数轴的特征和各点所在的位置，学生直接从图中读出各点表示的数，若在学生读的过程中出现问题，则由学生进行纠正，直到得出正确的结果．
解答:A:-3,B:5.5,C:3,D:-1.5,E:-3.5,F:0．
【教学说明】本问题主要考察学生对数轴的理解能力以及数形结合的初步认识，在解决的过程中教师应适当的点拨和启发，使学生能够顺利完成．
四、师生互动，课堂小结
1.数轴的三要素是什么？
2.在数轴上，正数和负数分别是怎样排列的？
【教学说明】让学生自己叙述上面的问题，进一步巩固所学的知识.
完成本课时对应的练习.
本节课从生活中的实际入手，由温度计的具体形象，引出数轴的概念，总结归纳出数轴的三要素和数轴上数字的排列规律.要求学生学会画出数轴，学会在数轴上表示出有理数.初步渗透数形结合的思想.
2.在数轴上比较数的大小
【基本目标】
1.通过观察数轴上点的位置关系，初步学会利用数轴比较有理数的大小；
2.初步认识图形和数量的对应关系.
【教学重点】
负数和零的大小比较.
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【教学难点】
如何启发学生自己得到有理数的大小比较的方法，并认识其合理性.
一、情境导入，激发兴趣
在小学，我们已经学会比较两个正数的大小，那么，引进负数后，怎样比较两个有理数的大小？例如：1与-2哪个大？-1与0哪个大？-3与-4哪个大？
【教学说明】通过设问，让学生进行猜想和争论，引起学生探究的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.探寻规律（教材P17探索）
（1）请任意写出两个正数，在下面数轴上画出表示它们的点.
你所写的是两个数是______>______，观察在数轴上表示它们的点，我们可以发现，较大的数对应点在较小的数对应点的______边.
（2）生活中，同学们能判断两个气温的高低吗？
①某日哈尔滨的气温为-9℃，泉州的气温为12℃，该日______的气温较高.
②把温度计如下图横放，我们可以发现，______的气温会显示在右边.
【教学说明】由学生熟悉的正数大小关系入手，结合数轴，初步了解数轴上点的排列规律和数的大小的关系，再由温度计的具体形象，渗透负数的大小关系.
2.总结规律（教材P17概括）
规律1：把温度计横过来放，就像一条数轴.类似于气温的高低，我们可以知道，在数轴上表示的两个数，右边的数总______左边的数.
规律2：从数轴上可以发现，表示正数的点都在原点的______，表示负数的点都在原点的______.所以，我们说：正数总______零，负数总______零，正数总______负数.
3.用“>”、“<”或“＝”填空：
1______-2；-1______0；-3______-4.
【教学说明】让学生结合温度计数字的排列规律，总结在数轴上的数的大小关系，掌握规律.
三、示例讲解，掌握新知
1.比较有理数3、0、、－4，并用“<”连接.
2.利用数轴比较下列各数的大小：
－1.3、0.3、-3、-5.
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【教学说明】让学生先在数轴上表示出这些数字，再按照规律比较大小.
四、练习反馈，巩固提高
1.判断下列各数是否存在？如果存在，把它们写出来.
（1）最小的正整数：_______，______；
（2）最小的负整数：______，______；
（3）最大的正整数：______，______；
（4）最小的整数：______，______.
2.如图所示的是数a、b在数轴上的位置，下列判断正确的一项是（ ）
A.a<0 B.a>1
C.b>－1 D.b<－1
【教学说明】让学生独立完成，当堂检查，以检验掌握的情况.
【答案】
1.(1）存在 1（2）不存在（3）不存在（4）不存在 2.D
五、师生互动，课堂小结
1.在数轴上表示的数大小是怎样排列的？
2.怎样利用数轴比较两个负数的大小？
【教学说明】让学生归纳总结，形成知识体系，更进一步掌握本节课知识.
完成本课时对应的练习.
教师引导学生通过结合有理数在数轴上的位置，发现正数、零、负数在数轴上的位置关系，确定了正数、零、负数的大小比较法则，并能通过数轴来比较任意两个非确定数的大小.尤其是要注意掌握比较两个负数的大小.
2.3 相反数
【基本目标】
1.使学生理解相反数的意义；
2.使学生掌握求一个已知数的相反数；
3.培养学生的观察、归纳与概括的能力．
【教学重点】
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理解相反数的意义，理解相反数的代数定义与几何定义的一致性．
【教学难点】
多重符号的化简．
一、情境导入，激发兴趣
画一个数轴，并在画出的数轴上，找出表示+5，-5；，－；，－
各数的点来，并标上字母．
【教学说明】让学生动手操作，在画的过程中观察数字之间的关系.
二、合作探究，探索新知
1．(1)观察+5与-5，与－，与－，发现这三对数有什么特点？
这三对点，各有哪些相同？哪些不同？
引导学生回答：符号不同，一正一负；数字相同．
（2）总结归纳：只有符号不同的两个数，我们说它们互为相反数，如+5与-5互为相反数，与－互为相反数等等．也可以说一个数是另一个数的相反数，如是－的相反数或－是的相反数．
【教学说明】让学生通过观察发现两个数之间的关系，教师适时总结，得出相反数的概念.
2．(1)观察+5与-5，与－，与－这三对数在数轴上的对应点有什么特点？
引导学生回答：分别在原点的两侧；到原点的距离相等．
（2）总结归纳：这样我们也可以说，在数轴上的原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数．
（这个概念很重要，它帮助我们直观地看出相反数的意义，称为相反数的几何意义.）
【教学说明】让学生通过观察与思考，自己得出结论，渗透数形结合的思想.
3.强调： 0的相反数是0．
这是因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0．这是相反数等于它本身的唯一的数．
【教学说明】教师要结合数轴讲清楚0的相反数为什么是0，强调它的特殊性.
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4.（1）思考：在学习有理数时我们就指出字母可以表示一切有理数，那么数a的相反数如何表示？
（2）引导学生观察，并自己得出结论：
数a的相反数是-a，即在一个数前面加上一个负号就是它的相反数．例如：
①当a=7时，-a=-7，7的相反数是-7；
②当-5时，-a=-(-5)，读作“-5的相反数”，-5的相反数是5，因此，-(-5)=5;
③当a=0时，-a=-0，0的相反数是0，因此，-0=0．
（3）观察:－a=-(-5)表示-5的相反数，那么-(-8)，-(+4)，-(-)各表示什么意思？
引导学生回答：-(-8)表示-8的相反数；-(+4)表示+4的相反数；
（4）你能自己总结出简化符号的规律吗？
括号外的符号与括号内的符号同号，则简化符号后的数是正数；括号内、外的符号是异号，则简化符号后的数是负数．（可适当表示有三个符号的数）-(-)表示-的相反数．
【教学说明】学生在老师的指导下，通过一系列的自主探究，自己总结出化简符号的规律.
三、示例讲解，掌握新知
例1 (1)分别写出9与-7的相反数；
(2)指出-2.4与各是什么数的相反数．
例2 简化-(+3)，-(-4)，+(-6)，+(+5)的符号．
【教学说明】让学生尝试自己解决问题，老师适当的进行点拨指导，使学生更好地掌握所学内容.
四、练习反馈，巩固提高
1.填空：
(1)+1.3的相反数是_______；
(2)-3的相反数是_______；
(3) _______的相反数是-1.7；
(4) _______的相反数是；
(5)-(+4)是_______的相反数；
(6)-(-7)是_______的相反数．
2.简化下列各数的符号：
-(+8)，+(-9)，-(-6)，-(+7)，+(+5)．
3.下列两对数中，哪对是相等的数？哪对互为相反数？
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-(-8)与+(-8)；-(+8)与+(-8)．
【教学说明】学生独立完成，检验自己掌握的情况，教师根据学生练习的情况，有针对性的进行补充讲解.
【答案】1.(1)-1.3 (2)3 (3)1.7 (4) (5)4 (6)-7
2.-8,-9,6,-7,5
3.-(-8)与+（-8）互为相反数
-（+8）与+（-8）相等
五、师生互动，课堂小结
1.什么样的两个数叫做互为相反数？
2.互为相反数的两个数在数轴上的位置有什么关系？
3.怎样化简多重符号？
【教学说明】让学生回顾本节课所学内容，形成一定的知识体系，加深印象.
完成本课时对应的练习.
由于本节课内容是一个全新的内容，学生理解和掌握它需要一个循序渐进的过程，所以在教学时，一定要多给学生以观察思考的时间，及时进行总结和归纳，及时巩固，让学生形成一定的概念，同时，要充分利用数轴的形象性特征，让学生直观理解相反数的概念.
2.4 绝对值
【基本目标】
1.通过数轴上的点与原点的距离引出有理数的绝对值的概念.
2.明确绝对值的代数定义和几何意义；会求一个已知数的绝对值；会在已知一个数的绝对值条件下求这个数.
3.体验数学的概念、法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想．
【教学重点】
求一个数的绝对值.
【教学关键】
绝对值在数轴上的意义问题.
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一、情境导入,激发兴趣
创设情境：在一节体育课中，老师组织了一次游戏.如图所示，四位同学站在圆上，比赛谁最先到达圆的中心.
提问：1.四位同学到达中心的距离相等吗？
2.他们的方向会影响距离的长度吗？
结论：与方向无关，距离相等.
【教学说明】通过一个具体的实例，让学生体会只考虑距离，和方向无关，为学习绝对值打下基础.
二、合作探究，探索新知
1. 找一找数轴上表示1与-1的点，3与-3的点，观察它们到原点的距离各是多少？
结论： 1与-1到原点的距离相等，3与-3到原点的距离相等.
【教学说明】让学生观察后回答，发现他们距离的关系.
2.概念讲解
在数轴上表示-6的点与原点的距离是6，数100的点与原点的距离是100.我们叫做-6的绝对值是6，100的绝对值是100，也就是说，把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a|.
【教学说明】教师结合具体的例子，给出绝对值的概念，重点强调绝对值与数轴上的点之间的关系.
3.随常练习
（1）试一试，口答：
|+2|=________ ||=________
|+8.2|=________ |0|=________
|-3|=________ |-0.2|=________
|-8.2|=________
（2）求下列各数的绝对值：
-，,-4.75，+10.5.
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【教学说明】让学生结合绝对值的概念进行回答，进一步理解绝对值的概念，及时巩固所学知识.
4.观察思考：通过求上面数的绝对值，观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？请同学们分类讨论，归纳出数a的绝对值的一般规律.
【教学说明】学生先对照具体的数字思考规律，然后互相交流，总结正数、负数和0的绝对值分别是什么数，有什么规律.
5.总结归纳
一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.
【教学说明】教师根据学生的回答及时板书，再用字母代表的式子表示这个规律，形成知识体系.
三、示例讲解，掌握新知
例1 求下列各数的绝对值:
-，+，-4.75,10.5.
例2 求下列式子的值:
（1）|-(+)|； （2）-|-|.
【教学说明】先让学生自主尝试，教师检查学生的掌握情况，及时点拨.
四、练习反馈，巩固提高
1.写出下列各数的绝对值：
6，-8，-3.9,100,π-5.
2．|x|=7，则x=________； |－x|=7，则x=________．
3．如果a>3，则|a－3|=________，|3－a|=________．
4.若|a-2|=0,则a=________；若|b-4|=0,则b=________.
5.计算：（1）|8|+|-8|-|-3|；（2）|-6.5|-|-5.5|.
6.给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【教学说明】学生独立完成，发现自己存在的问题，及时纠正，巩固本节课所学知识.
【答案】
1.6，8，3.9，100，5-π 2.±7 ±7 3.a-3 a-3 4.2 4 5.(1)13 (2)1 6.B
五、师生互动，课堂小结
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1.对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑.从几何方面看，一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
2.求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数.
【教学说明】让学生总结和归纳，再一次回顾本节课所学知识，达到再巩固，再提高的目的.
完成本课时对应的练习.
绝对值是中学数学中一个非常重要的概念，它具有非负性，在数学中有着广泛的应用.本节从几何与代数的角度阐述绝对值的概念，重点是让学生掌握求一个已知数的绝对值，对绝对值的几何意义、代数定义的导出,对“负数的绝对值是它的相反数”的理解是教学中的难点.
2.5 有理数的大小比较
【基本目标】
1.掌握有理数大小的比较方法，会利用绝对值比较两个负数的大小.
2.利用各种方法比较有理数的大小，培养逻辑思维能力.
3.情感体验：通过化归思想意识，让学生在学习新知识时与旧知识建立联系，学习新的数学知识，解决新的数学问题，养成全面分析的习惯;通过有趣的教学活动，体验教学活动的探索性与创造性，并获得成功的体验，并在与同学的交流中培养协作精神.
【教学重点】
运用法则，借助数轴比较两个有理数的大小.
【教学难点】
利用绝对值概念比较两个负数的大小.
一、情境导入，激发兴趣
1.我们怎样利用数轴比较两个有理数的大小呢?
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2.我们应该怎么样去比较两个负数的大小呢？例如－２与－５哪个较大呢？用我们前面所学的知识来比较，就是画出数轴，在数轴上标上－２与－５两个点，因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－５＜－２．但如果不用画数轴，我们可以知道－２与－５哪个较大呢？这个问题就是我们这节课要上的内容.
【教学说明】通过回顾利用数轴比较有理数的方法，让学生对两个负数的大小比较有一个判断，为后面总结规律奠定基础.
二、合作探究，探索新知
1.正数与负数、正数与0的大小关系是怎样的？
【教学说明】让学生观察数轴后归纳总结，这个内容比较简单，一定要让学生自己总结，并且让学生观察它们在数轴上的位置，为后面总结规律打下基础.
2.在数轴上表示出-3、-5与-1.3的点，比较它们的大小.
【教学说明】先观察它们在数轴上的位置，再确定它们的大小，将位置和绝对值联系起来.
3.思考：它们的大小与它们的绝对值的大小有什么关系？你能总结出比较两个负数的方法吗？
4.小结：两个负数，绝对值大的反而小.
【教学说明】学生先求出它们的绝对值，再比较它们的绝对值的大小，总结规律.
5.利用法则，怎样比较 －２与－５的大小？
【教学说明】及时运用规律，掌握思维方法和思维过程.
三、示例讲解，掌握新知
例1 比较－和－的大小．
解：（1）先分别求出它们的绝对值，并比较其大小．
－＝，－＝
(2)根据“两个负数，绝对值大的反而小”，得出结论：
－＞－
因此得出步骤：
①分别求出两个负数的绝对值；
②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断．
【教学说明】在教学中要强调过程的规范性，体现如何使用规律来比较两个负数的大小的方法.
例2 比较下列各对数的大小:
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（1）－1与－0.01;
（2）－与－;
（3）－｜－2｜与0;
（4） 与;
（5）与－0.618;
（6）与－0.7.
【教学说明】要强调解题步骤．根据有理数大小的比较法则．第（３）题讲评，其余的题目板演．
四、练习反馈，巩固提高
1.大于－4的负整数的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.无数个
2.冬季某天我国三个城市的最高气温分别是-10℃、1℃、-7℃，把它们从高到低排列正确的是（ ）
A.－10℃>－7℃>1℃
B.－7℃>－10℃>1℃
C.1℃>－7℃>－10℃
D.1℃>－10℃>－7℃
3.比较大小：－3_______－2．(用“＞”、“＝”或“＜”填空)
4.写出一个比－1小的数_______．
5.在一次游戏结束时，5个队的得分如下（答对得正分，答错得负分），A队：－50分；B 队：150分；C队：－300分；D队：0分 ；E队：100分. 请把这些队的得分按低分到高分排序.这次游戏的冠军是哪个队?
【答案】1.B 2.C 3.＜ 4.-2 5.B队
【教学说明】学生独立完成练习，及时巩固所学知识，教师根据学生完成情况予以点拨和强调.
五、师生互动，课堂小结
1.有理数比较大小的两种方法：通过数轴比较两个有理数的大小和认识有理数比较大小的法则.
2.有理数比较大小关键是两个负数怎样比较大小：（1）先分别求出两个负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小；（3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”
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做出正确的判断．同样，通过数轴比较有理数大小也是一种重要比较方法．
【教学说明】学生回顾和总结本节课所学内容，对本节课内容从总体上进行把握，从而更进一步掌握本节课所学知识.
完成本课时对应的练习.
如何来比较两个负数的大小，这对有些学生来讲可能比较难，为什么-2>-5？要讲清楚这一点，利用数轴较直观，从特殊的例子到一般的规律.
另外在讲解例题的时候，首先得强调两个负数的前提下，再比较绝对值.所以应先看是如何的两个数进行比较，正数之间的比较我们早已会了，我们也知道正数大于负数.而有时候我们也往往需要对一些数先进行化简再比较，这一点在练习中有很多同学还是没有注意.
2.6 有理数的加法
1.有理数的加法法则
【基本目标】
【知识与技能】
1.了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性；
2.能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算．
【过程与方法】
1.经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法；
2.通过积极参与探究性的数学活动，体验数学来源于实践并为实践服务的思想，激发学生的学习兴趣，同时培养学生探究性学习的能力．
【情感态度】
1.通过观察、归纳、类比、推断而得出有理数加法的法则，体验数学活动充满探索与创造性；
2.在现实情境中理解有理数加法法则，让学生感受有理数加法在实际生活中的实用性．
【教学重点】
有理数的加法法则.
【教学难点】
异号两数相加的法则．
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一、情境导入，激发兴趣
1.一位学生在一条东西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？
2.我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答，可是上述问题不能得到确定答案，其原因是什么呢？
【教学说明】让学生通过画图来说明问题，使学生知道要确定结果，不仅需要距离，还需要方向.
二、合作探究，探索新知
1.全班交流:将研究结果进行整理，得到以下几种情形．为了把这一问题说得明确些，现规定向东为正，向西为负．
(1)若两次都是向东走，则一共向东走了50米，他现在位于原来位置的东方50米处，写成算式就是（+20）+（+30）= +50．
这一运算在数轴上可表示为如下图：
(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处，写成算式就是（-20）+（-30）= -50．
(3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，在数轴上表示如下图：
写成算式是（+20）+（-30）= -10．
我们可以看到，这位同学位于原来位置的西方10米处．
(4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，同样可结合数轴上表示可以看到，这位同学位于原来位置的东方10米处，写成算式是
（-20）+（+30）= +10．
小结：后两种情形中两个加数符号不同，通常可称异号．
【教学说明】在探究的过程中，始终结合数轴来进行，将数轴和式子结合起来，得到最后的结果，探究其中的规律.
2.请同学们再来试一试，把下列算式中的各个加数不妨仍可看作运动的方向和路程，完成下列填空：
（+5）+（-3）= （ ）；（+4）+（-10）= （ ）；
（-3）+（+8）=（ ）；（-8）+3 =（ ）．
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【教学说明】在探究中，脱离数轴的具体形象，发挥想象，实现从具体到抽象的过渡.
3.你能发现得到的结果与两个加数的符号及绝对值之间有什么关系吗？
【教学说明】让学生观察思考后进行回答，可适当安排讨论交流，得出结论.
4.再看两种特殊情形：
(1)第一次向西走了20米，第二次向东走了20米，写成算式是
（-20）+（+20）=（ ）；
(2)第一次向西走了20米，第二次没有走，写成算式是
（-20）+0＝（ ）．
【教学说明】让学生自主完成，探究互为相反数两个数相加的规律，一个数和0相加的规律.
5.从以上写出的6个算式中，你能探索总结出一些规律吗？由此可推出如下有理数加法法则：
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
(2)绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
(3)互为相反数的两个数相加得零；
(4)一个数与零相加，仍得这个数．
【教学说明】总结出规律后，教师要特别强调进行加减运算时，应注意确定和差的正负号及绝对值.
三、示例讲解，掌握新知
例计算：
（1）(+2)+(-11);
（2）(+20)+(+12);
（3）（－）+（－）;
（4）(-3.4)+4.3.
解：
(1)(+2)+(-11)=-(11-2)=-9;
(2)(+20)+(+12)=+(20+12)=（+32）=32;
(3)(－)+(－)=(－+)=－（+）=－;
(4)(-3.4)+4.3=+(4.3-3.4)=0.9.
【教学说明】教师示范讲解（1），主要强调思路和解题格式，学生尝试完成其余题目，将所学知识及时加以运用.
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四 、练习反馈，巩固提高
1.填表：
2.计算：
(1)10+(-4)；
(2)(+9)+7；
(3)(-15)+(-32)；
(4)(-9)+0；
(5)100+(-99)；
(6)(-0.5)+4.4.
3.填空：
（1）（ ）+（-3）=-8；
（2）（ ）+（-3）=8；
（3）（-3）+（ ）=-1；
（4）（-3）+（ ）=0.
4.两个有理数相加，和是否一定大于每个加数？
【教学说明】学生独立完成练习，进一步熟练运用有理数的加法运算法则进行计算，教师针对学生出现的问题进行点拨和强调.
【答案】1.略2.(1)6 (2)16 (3)-47 (4)-9 (5)1 (6)3.9
3.(1)-5 (2)11 (3)2 (4)3
4.不一定
五、师生互动，课堂小结
1.今天这节课主要学习了什么内容？哪位同学来小结一下？
2.从上面练习中你能总结出在进行有理数加法运算时的经验教训吗？
3.使学生明确:(1)运算的每一步都要有根据；(2)两数相加时，先确定和的符号，再确定和的绝对值.
【教学说明】教师进一步强调进行加法运算的思维过程，加深理解和记忆.
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完成本课时对应的练习.
本节课教学从情境入手，通过一系列的活动逐步引导学生探究有理数加法的计算法则.在教学中，尤其要注意正数与负数相加，负数与负数相加的运算.一定要先确定和的符号，再确定和的绝对值.
2.有理数加法的运算律
【基本目标】
【知识与能力】
经历探索有理数加法运算律过程，理解有理数加法运算律，能熟练运用运算律简化运算，提倡算法的多样化.
【过程与方法】
在具体情境中探索运算律，并提倡算法的多样化，对复杂问题能探索解决问题的有效方法，并试图寻找其它途径，并解释其合理性.
【情感、态度、价值观】
重视过程对中学生的归纳，概括，描述，交流等能力的考察.
【教学重点】
合理运用运算律简化运算.
【教学难点】
理解运算律在实际问题中的应用.
一、情境导入，激发兴趣
1.有理数加法的法则是什么？在进行有理数加法运算时要注意什么？
2.小学我们学过哪些加法的运算律？那么，引入负数后，这些运算律在有理数范围内还成立吗？
【教学说明】让学生回顾加法运算法则，为后面的学习奠定基础.通过提问，引起学生的思考，引入本节课的学习内容.
二、合作探究，探索新知
1.请在下列图案内任意填入一个有理数，要求相同的图案内填相同的数（至少有一个是负数）.算出各算式的结果，比较左、右两边算式的结果是否相同.
（1）△+□和□+△
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（2）（△+□）+○和△+（□+○）
【教学说明】让学生自主探究，激发学生探究的兴趣，提醒学生注意观察运算的结果，思考其中的规律.
2.请同学们说说自己的结果，你发现了什么？
【教学说明】让学生自由发言，学生通过探究，很容易就能得出结论：加法运算律在有理数范围内仍然是成立的.
3.归纳总结：有理数的加法仍满足加法交换律和结合律.
（1） 加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，______不变，表示为：a+b=______.
（2）加法结合律：
三个数相加，先把______相加，或者先把______相加，和不变.表示为：
（a+b）+c=a+______.
【教学说明】教师根据学生的回答及时进行归纳，形成知识点，加深学生的印象.
三、示例讲解，掌握新知
例1 计算:
（1） (+26)+(－18)+5+(－16);
（2）（-1.75）+1.5+（+7.3）+（-2.25）+（-8.5）.
例2 10筐苹果，以每筐30kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
2，-4，2.5，1.5，3，-1，0，-2.5
问这10筐苹果总共重多少千克？
【教学说明】先让学生进行观察，确定计算的顺序，比较不同方法的难易性，及时进行总结.
四、练习反馈，巩固提高
1.在横线上填写运算律名称.
(-193)+(-215)+(+193)
=(-193)+(+193)+(-215)
__________________
=［(-193)+(+193)］+(-215)
__________________
=0+(-215)
=-215
2.算一算：
(1)16+(－25)+24+(－35);
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(2)(－3.48)+5.33+(－9.52)+(－5.33)+(－3.05);
(3) (－)+(－)+(－)+(+2)+(－).
【教学说明】让学生先独立思考，然后可以小组内互相交流，比较哪一种方法最简单，及时进行总结，教师及时点拨和强调.解题策略：（1）把正数和负数分别结合在一起相加；（2）把互为相反数的结合，能凑整的结合.
【答案】1.加法交换律，加法结合律
2.（1）-20（2）-16.05（3）-
五 、师生互动，课堂小结
1.加法的运算律有哪些？
2.怎样运用加法的运算律进行简便运算？
（1）互为相反数的两个数可以先相加;
（2）几个数相加得整数的可以先相加;
（3）同分母的分数可以先相加;
（4）符号相同的数可以先相加.
【教学说明】让学生先在小组内进行交流，形成统一意见，然后再全班进行交流得出结论，教师及时进行归纳和总结.
完成本课时对应的练习.
本节课主要是运用加法的运算律进行简便运算.在教学中要引导学生先进行观察，确定运算的思路，比较运算的难易性，及时进行总结，形成一定的计算方法.
2.7 有理数的减法
【基本目标】
1.经历探索有理数减法法则的过程,理解并掌握有理数减法法则;
2.会正确进行有理数减法运算;
3.体验把减法转化为加法的转化思想.
【教学重点】
有理数减法法则和运算.
【教学难点】
172
有理数减法法则的推导.
一、情境导入，激发兴趣
1.世界上最高的山峰珠穆朗玛峰海拔高度约是8844米，吐鲁番盆地的海拔高度约为 —154米，两处的高度相差多少呢？
试试看，计算的算式应该是__________________.能算出来吗，画草图试试.
【教学说明】让学生结合图象，得出结论.
2.甲数是-8，乙数是-3，甲数比乙数多多少？计算的算式应该是__________________.结果是多少呢？
【教学说明】先让学生列出算式，然后让学生猜想结果，引起学生探究的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.怎样计算（-8）-（-3）？
请你在小组内一起探究、交流.
要计算（-8）-（-3）=？，实际上也就是要求：？+（-3）=-8，所以这个数（差）应该是_____.也就是（-8）-（-3）=-5.
再看看，（-8）+（+3）=_____.所以3-(-2) _____3+2！
由上你有什么发现？请写出来____________________.
【教学说明】一步步引导学生思考，计算得出结果，观察其中蕴含的规律，总结运算的法则.
2.换两个式子计算一下，看看上面的结论还成立吗？
-1-（-3）=_____，-1+3=_____，所以-1-（-3）_____-1+3.
0-（-3）=_____，0+3=_____ ，所以0-（-3）_____0+3.
【教学说明】用不同的算式进行计算，进一步强化对规律的理解，使学生掌握的更熟练.
3.归纳总结：有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
【教学说明】让学生及时归纳总结，形成方法.
三、示例讲解，掌握新知
例 计算：
(1)(-32)-(+5)；
(2)7.3-(-6.8)；
(3)(-2)-(-25)；
(4)12-21 .
解:
172
(注意：两处必须同时改变符号.)
(3)(-2)-(-25)=(-2)+25=23 .
(4)12-21 = 12+(-21)= -9 .
【教学说明】教师重点讲解（1），强调减号变加号，减数变相反数，学生仿照完成其余计算，进一步熟悉法则的应用.
四、练习反馈，巩固提高
1.下列括号内各应填什么数?
(1)(+2)-(-3)=(-2)+( )；
(2)0-(-4)= 0 +( )；
(3)(-6)- 3 =(-6)+( )；
(4)1-(+39) = 1 +( ) .
2.计算下列各题：
典型引路：（-6）-（+4）=（-6）+（-4）=-10
（1）9-（-5）=
（2）（-3）-1=
（3）0-8=
（4）（- 5）-0=
总结步骤：（1）_______________________________________.
(2)___________________________________________________.
3.下列运算中正确的是（ ）
A.3.58-(-1.58)=3.58+(-1.58)=2
B.(-2.6)+(-4)=2.6+4=6.6
4.计算：
(1) (－3)－(－7);
(2) (－10)－3;
172
(3)（－2.5）－1.5;
(4)0－12;
(5) (－11)－0;
(6)－.
【教学说明】学生独立完成，达到熟练应用法则进行计算的目的，教师针对出现的问题及时进行强调.
【答案】1.（1）3 （2）4 （3）-3 （4）-39
2.（1）9+5=14 （2）（-3）+（-1）=-4 （3）0+（-8）=-8 （4）（-5）-0=-5 （5）减号变加号 （6）减数变相反数
3.D 4.(1)4 (2)-13 (3)-4 (4)-12
(5)-11 (6)-
五、师生互动，课堂小结
1.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
2.在运用有理数减法法则的时候，要注意什么？
【教学说明】教师要重点强调进行有理数的减法运算时减法变成加法，减数变为相反数，然后再按照加法的法则进行计算.
完成本课时对应的练习.
本节课的教学，运用的加法与减法互为逆运算这一思维方式，推导出有理数减法的法则， 然后运用法则将有理数的减法运算转化为加法运算.在转化的过程中，一定要强调减法变为加法，减数变为它的相反数.
2.8 有理数的加减混合运算
【基本目标】
1.使学生掌握将加减混合运算写成省略加号的和的形式;
2.使学生熟练地进行有理数的加减混合运算;
3.培养学生的运算能力;
4.能使用加法的运算律进行简便运算.
【教学重点】
172
减法直接转化为加法及混合运算的准确性.
【教学难点】
使用加法的运算律准确迅速地进行有理数的加减混合运算.
一、情境导入,激发兴趣
1.叙述有理数加法法则是什么？有理数减法法则是什么？
2.有理数加法的运算律有哪些？
3.化简：+(+3)；+(-3)；-(+3)；-(-3).
【教学说明】让学生回顾前面所学的知识，初步感知运算的规律，减法可以转化为加法，为后面的探究打下基础.
二、合作探究，探索新知
1.加减法统一成加法
（1）将(-8)-(-10)+(-6)-(+4)统一成加法运算的式子是什么？
（2）根据减法法则，按照运算顺序，原式可以转化为：
(-8)-(-10)+(-6)-(+4)= (-8)+(+10)+(-6)+(-4)
（3）在一个加式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，即有：(-8)-(-10)+(-6)-(+4)= (-8)+(+10)+(-6)+(-4)= -8+10-6-4
这个式子仍看作和式，有两种读法:
按性质符号读作“负8、正10、负6、负4的和”;
按运算意义读作“负8加上10减去6减去4”.
【教学说明】引导学生一步步将加减混合运算转化为加法运算，教师适时总结式子的两种读法，让学生直观了解和式的意义和读法.
（4）观察思考：你能够直接将原式化为省略加号和括号的和的形式吗？有什么规律？
按照化简符号的方法，可以直接将一个加减混合运算的式子化成一个省略加号和括号的和的形式，再按照加法运算的法则进行计算.
【教学说明】教师可以让学生观察思考，然后进行简单的交流，得出结论，教师及时予以总结，形成方法.
2.加法运算律的运用
（1）由于有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，在有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律，可使计算简化，有理数的加减混合运算统一成加法后，也可以利用加法的运算律进行简便运算，一般应注意运算的合理性.
（2）试一试，先把原式化为省略加号和的形式，再进行计算，并想一想怎样计算最简单.
(+3)-(+7)-(-5)+(+9)+(-2)-(+8)
172
解：原式 =(+3)+(-7)+(+5)+(+9)+(-2)+(-8)
=3-7+5+9-2-8
=(3+5+9)+(-7-2-8)
=17+(-17)
=0
小结：（1）先将原式化为省略加号和的形式，再运用运算律将正负数分别相加.
（2）在交换加数位置的时候，要连同它的符号一起交换位置.
【教学说明】先让学生自主观察思考，尝试不同的解法，然后进行对比，发现最简单的解法，教师及时进行总结，要特别强调符号问题.
三、示例讲解，掌握新知
例1 把(+)+(-)-(+)-(-)-(+1)写成省略加号的和的形式，并把它读出来.
解：原式=(+)+(-)+(-)+(+)+(-1)=--+-1
读作“、-、-、、-1的和”，也可以读作“减减加减1”.
【教学说明】让学生按照要求尝试完成，教师进行检查，及时发现问题，予以点拨和强调，尤其要注意符号.
例2 计算：
（1）-24＋3.2-16-3.5+0.3;
（2）0-21+(+3)-(-)-(+).
解:(1)因为原式表示-24，3.2，-16，-3.5，0.3的和，所以可将加数适当交换位置,并作适当的结合进行计算，即
-24+3.2-16-3.5+0.3
=-24-16+3.2+0.3-3.5
=-40
(2) 0-21+(+3)-(-)-(+)
=0-21+(+3)+(+)+(-)
=-21+3+-
=(-21)++(3-)
172
=-21+3
=-18
小结：（1）交换加数位置的时候，要连同它的符号一起交换;（2）根据数字的特点选取合适的简便运算的方法进行计算.
【教学说明】学生尝试完成，教师适时点拨，提醒学生注意符号的变化，完成后，让学生进行总结，怎样算最简单?教师及时予以补充完善.
四、练习反馈，巩固提高
1.将下列各式写成省略加号的和的形式，并合理交换加数的位置.
（1）（+16）+（-29）-（+11）+（+9）= ；
（2）（-3.1）-(-4.5) + (+4.4) - (+103) + (-2.5)= ;
（3）+12-5+--++-= ；
（4）（-2.6）-（4.7）-（+0.5）+（+2.4）+（-3.2）= .
2.计算：
（1）（-6）-（+6）-（-7）;
（2）0-（+8）+（-27）-（+5）;
（3）（-）+(+0.25)+（-）-（+）;
（4）（+3）+（+4）-（+1）+（-3）.
【教学说明】学生独立完成，教师检查后，对出现的问题及时进行纠正和强调，总结所使用的方法，加深印象.
【答案】1.
（1）16-29-11+9=16+9-29-11
（2）-3.1+4.5+4.4-103-2.5=4.5+4.4-3.1-103-2.5
（3）12-5---=12----5
（4）-2.6-4.7-0.5+2.4-3.2=-2.6-4.7-0.5-3.2+2.4
2.(1)-5 (2)-40 (3)- (4)3
五、师生互动，课堂小结
1.有理数的加减法可统一成加法.
2.因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便.但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换.
172
【教学说明】学生对本节课所学内容进行回顾和总结，教师对容易出现的问题进行强调，使学生形成一定的运算能力.
完成本课时对应的练习.
本节课是计算课,是学生们在学习了有理数的加法和减法的基础上进行教学的.通过本节课的学习使学生掌握代数和的概念,知道所有含有有理数的加、减混合运算的式子都可以化为有理数的加法的形式，即代数和的形式.并能熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.还要培养学生理解事物发展变化是可以相互转化的辩证唯物主义观点.本节课本着“扎实、有效”的原则，既关注课堂教学的本质，又注重学生能力的培养，且面向全体学生来设计教学.
2.9有理数的乘法
1.有理数的乘法法则
【基本目标】
1.使学生在了解有理数的乘法的意义的基础上，掌握有理数的乘法法则，并初步掌握有理数乘法法则的合理性；
2.培养学生的观察、归纳、概括及运算能力.
【教学重点】
有理数乘法的运算.
【教学难点】
有理数乘法中的符号法则.
一、情境导入，激发兴趣
1.问题1
一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3m的速度向东爬行2分钟，那么它现位于原来位置的哪个方向？相距多少米？
（1）我们知道，这个问题可用乘法来解答，这里我们规定向东为正，向西为负，
3×2=6
（2）你能用数轴来表示这一事实吗？请动手画一画．
172
【教学说明】让学生将算式和数轴结合起来考虑，得出结果.使学生了解运动变化问题中，既要考虑运动的距离，也要考虑运动的方向，为后面的的学习奠定基础.
2.如果上述问题变为问题2:
小虫向西以每分钟3m的速度爬行2分钟，那么结果有何变化？
（1）写成算式就是：
(-3)×2=-6
即小虫位于原来位置的西方6米处．
（2）你能再用数轴表示一下这个事实吗?
【教学说明】先写出算式，学生可能会猜测出结果，然后让学生画数轴验证猜想，使学生初步形成乘法积的符号概念.
二、合作探究，探索新知
1.我们来比较上面两个算式，你有什么发现？
当我们把“3×2＝6”中的一个因数“3”换成它的相反数“-3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“-6”， 一般地，我们有：
把一个因数换成它的相反数，所得积是原来的积的相反数．
【教学说明】通过实例让学生了解记得符号变化规律，教师及时总结.
2.试一试：
(1)3×(-2)＝？
把上式与3×2相比较，则3×(-2)＝-6.
(2)(-3)×(-2)=？
把上式与(-3)×2=-6相比较,则(-3)×(-2)=6．
若把上式与(-3)×2=-6相比较,能得出同样结果吗？
【教学说明】学生利用总结的规律得出结果，加深印象.
3.我们知道，一个数与零相乘，结果仍为0.
如 5×0＝0； 0×(-3)＝0.
【教学说明】教学时，要注意负数和0的积仍然是0，教师可以多举几个例子来加深印象.
4.概括
综合上面式子
(1)3×2＝6；
(2)(-3)×2=-6；
(3)3×(-2)＝-6；
172
(4)(-3)×(-2)=6.
(5)任何数与零相乘，都得零．
请同学们观察(1)~(4)四个式子，思考并回答下列问题:
①积的符号与因数的符号有什么关系？
②积的绝对值与因数绝对值有什么关系？
5.在学生交流后，归纳总结出有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，都得零．
【教学说明】请学生阅读课本内容后，总结出如何正确运用有理数乘法法则.学生交流后指出：有理数的乘法关键在于确定积的符号，当积的符号确定后，有理数的乘法，实质就转化为小学的乘法运算了.
三、示例讲解，掌握新知
例：计算：
(1)(-5)×(-6);
(2)（-）×.
解：(1)原式=+(5×6)=+30=30
(2)原式=-（×）=
【教学说明】例题比较简单，可以让学生先尝试自己完成，教师强调思维过程和解题格式.
四、练习反馈，巩固提高
1.练习(口答)
确定下列两数的积的符号：
（1）5×（-3）;（2）（-3）×3;
（3）（-2）×（-7）;（4）×.
注意：教学中应强调先确定积的符号，再把绝对值相乘．
2.计算：
（1）3×（-4）; （2）（-5）×2;
（3）（-6）×2; （4）6×(-2);
（5）(-6)×0; （6）0×(-6);
（7）(-4)×0.25; （8）(-0.5)×(-8);
（9）×（-）; （10）（-2）×（-）;
172
（11）（-5）×2; （12）2×（-5）.
【教学说明】学生独立完成，通过训练，加强运用法则的熟练性，形成一定的计算能力，教师对出现的问题及时予以纠正和强调.
【答案】1.（1）负 （2）负 （3）正 （4）正
2.（1）-12 （2）-10 （3）-12 （4）-12 （5）0 （6）0 （7）-1
（8）4 （9）- （10）1 （11）-10 （12）-10
五、师生互动，课堂小结
1.有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘，都得零．
2.进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再把绝对值相乘.
【教学说明】学生回顾本节课所学习的内容，进一步加深印象，教师对出现的问题进行强调，使学生更好的掌握本节课所学知识.
完成本课时对应的练习.
本节课的教学，导入时要结合数轴得到积的结果，再让学生观察积的符号规律，总结得出乘法法则.通过训练，让学生总结进行乘法运算的思维过程，形成一定的经验.
2.有理数乘法的运算律
【基本目标】
1.使学生掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算；
2.使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则;
3.培养学生观察、归纳、概括及运算能力.
【教学重点】
乘法的符号法则和乘法的运算律.
【教学难点】
使用乘法的运算律进行简便运算.
一、情境导入，激发思考
1.小学里我们学习了哪些乘法的运算律？
172
乘法的交换律，乘法的结合律和乘法的分配律.
2.计算4×8×25，说出你的所有的运算方法，你认为哪种方法最好？
4×8×25=（4×25）×8=100×8=800
说明了合理运用乘法的运算律进行计算，可以使我们的计算变得简便.
3.那么乘法的运算律在有理数范围内也是成立的吗？
【教学说明】让学生回顾所学的乘法运算律，再通过一个实例运用，使学生初步感知合理使用乘法的运算律，可以使计算变得简便.
二、合作探究，探索新知
1.（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：□×○和○×□，有什么发现？（让学生尝试计算，得出结论）
（投影显示）有理数乘法的交换律：ab=ba.
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果：（□×○）×◇和□×（○×◇），又有什么发现？（让学生尝试计算，得出结论）
（投影显示）有理数乘法的结合律：（ab）c=a（bc）.
【教学说明】让学生自主探究，得出结论:乘法的运算律在有理数范围内也是成立的.为后面使用运算律奠定基础.
2.计算：（-10）××0.1×6.
解：原式=［（-10）×0.1］××6
=（-1）×2
=-2
【教学说明】让学生自主完成，对不同的方法进行对比，然后让学生进行总结.
3.从上面解答过程中，你能得到什么启发？你能直接写出下列各式的结果吗？
（-10）×(-)×0.1×6= ；
（-10）×(-)×（-0.1）×6= ；
（-10）×(-)×（-0.1）×（-6）= .
观察以上各式，能发现几个正数与负数相乘时积的符号与各因数的符号之间的关系吗？（学生讨论，教师点拨总结）
（投影显示）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
172
【教学说明】学生自主完成探究，总结规律，教师及时进行补充和完善，形成运算规律.
4.想一想：三个数相乘，积为负，那么其中可能有几个因数为负数？四个数相乘，积为正，那么其中是否可能有负数？
【教学说明】学生通过“想一想”，能更深的体会和加深这一结论，激发学习兴趣.
5.试一试：
（-5）×(-)×3×（-2）×2=？
(-5)×（-8.1）×3.×0=？
通过以上计算，你能得到什么结论？
（投影显示）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.
【教学说明】将两个式子的计算结果进行对比，学生很容易得出结论，教师及时予以强调.
6.计算下列各题：
（1）8＋（-0.5）×（-8）×；
（2）（-3）××(-)×(-0.25).
解：（1）原式=8＋×8×=8＋3=11；
（2）原式=-3×××=-.
【教学说明】教师提醒学生先要进行观察，确定计算的方法，再让学生尝试解答，以使学生在解题的过程中熟练掌握解题方法.
三、示例讲解，掌握新知
例1 计算：
（1）30×-＋25；
（2）４.98×（-5）.
解：（1）原式= 30×12-30×＋30×
=-20＋12=7；
（2）原式=（5-0.02）×(-5)=-25＋0.1=-24.9
(第（2）题需要把算式变形，才能用乘法分配律)
172
【教学说明】学生可以尝试完成（1），教师要强调注意符号，对于（2），教师可先进行点拨,适当变形，可以使计算简便，然后教师可以示范讲解.
例2 计算：
（1）×(8--)；
（2）8×(-)-(-4)×(-)+(-8)×.
小结：由上面的例子可以看出，适当应用运算律可使运算简便. 也有时需要先把算式变形，才能用分配律，还有时需反向运用分配律.
【教学说明】学生独立完成（1），教师示范讲解（2），使学生理解怎样反向运用乘法的分配律，然后及时进行总结，形成方法.
四、练习反馈，巩固提高
172
【教学说明】学生独立完成练习，教师强调学生一定要注意符号，强调如何合理利用乘法的分配律进行计算，学生通过练习，进一步熟悉新的计算方法，提高计算能力.
【答案】1.（1）1 （2）7 （3）-1 （4）-17034
2.（1）25 （2）9×=（10-）×15=150-=149
五、师生互动，课堂小结
1.有理数的乘法运算律有：
乘法的交换律、乘法的结合律和乘法的分配律.
2.合理使用乘法的运算律进行计算，可以使计算更简便.但是要注意先观察式子的特点，适当变形，选取适当的运算律进行计算.
【教学说明】教师对本节课内容进行总结，对简便运算过程中出现的问题进行强调，使学生形成一定的思维方法和计算能力.
完成本课时对应的练习.
本节课主要探索乘法的运算律在有理数乘法中的应用，先通过具体的探索了解乘法的运算律在有理数范围内仍然成立，然后通过不同的实例，让学生逐步认识到合理使用乘法的运算律可以使计算变得简便.在教学的过程当中，尽量让学生去尝试，以便于学生形成对比，加深印象，要及时进行总结，以便于学生掌握方法.
2.10 有理数的除法
172
【基本目标】
1.使学生理解有理数倒数的意义；
2.使学生掌握有理数的除法法则，能够熟练地进行除法运算；
3.培养学生观察、归纳、概括及运算能力．
【教学重点】
有理数除法法则．
【教学难点】
1.商的符号的确定;
2.0不能作除数的理解．
一、情境导入，激发兴趣
1.有理数乘法法则是什么？
2.计算：
(1)(―6)×；
(2)(-0.5)×(-1)××(-8)×；
(3)(―3)×(+7)―9×(―6)；
(4)÷().
【教学说明】学生回顾有理数的乘法法则，进行有理数的乘法计算，对前面所学的知识进行回顾，通过（4）的计算，回顾除法运算的方法，为后面的探究奠定基础.
二、合作探究，探索新知
1.问题探究
“一个数与2的乘积是-6，这个数是几?”你能否回答?这个问题写成算式有两种：
2×( ?)=-6(乘法算式)
也就是 (-6)÷2=( ?)(除法算式)
由2×(-3)=-6，我们有(-6)÷2=-3.另外，我们还知道： (-6)×=-3.
所以，(-6)÷2=(-6)×.这表明除法可以转化为乘法来进行.
【教学说明】让学生通过具体实例的探究，找到除法和乘法的关系,除法可以转化为乘法来进行.
2.探索
172
填空：
8÷(-2)＝8×( )；
6÷(-3)＝6×( )；
-6÷( )＝-6×；
-6÷( )＝-6×.
【教学说明】让学生自主探究，计算出相应的结果，思考其中蕴含的规律.
3.总结：让学生总结倒数的概念、除法法则.
（1）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数.
例如，2与12、(-)与(-)分别互为倒数.
（2）对有理数除法，一般有有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.
注意：0不能作除数.
【教学说明】让学生根据探究和讨论的结果进行总结，教师及时给予补充和强调，归纳出有理数除法的法则.
三、示例讲解，掌握新知
例1 计算:
(1) (-18)÷6；
(2) (-)÷(-)；
(3) ÷(-).
解：(1)原式=(-18)÷6=-(18÷6)=-3；
(2)原式=(-)÷(-)=-×(-)=；
(3)原式=÷(-)=×(-)=-.
【教学说明】学生在初次使用法则时不太熟练，尤其是对于含有负数的除法运算，在变为倒数时容易出现错误，教师要及时予以强调.
例2 化简下列分数：
(1) -1； (2) .
解：(1)原式=-=(-12)÷3=-(12÷3)=-4；
172
(2)原式==(-24)÷(-16)=24÷16=.
【教学说明】教师可提示学生可以将分数的化简转化为分子除以分母来进行化简.
例3 计算：
【教学说明】让学生在计算时先进行观察怎样计算最简便，可以先将除法转化为乘法，再按照乘法的法则和运算律进行计算.
四、练习反馈，巩固提高
1.填空：
（1）（-27）÷9= ；
（2）(-)÷(-)= ；
（3）1÷（-9）= ；
（4）0÷（-7）= ；
（5）÷（-1）= ；
（6）-0.25÷= .
2.化简下列分数：
172
3.计算：
（1）(-)÷4；
（2）（-24）÷（-2）÷(-1)；
（3）（-0.75）÷÷（-0.3）.
【教学说明】让学生独立完成，使学生对法则的使用更熟练，同时教师及时发现学生出现的问题，主要是符号错误，教师及时进行纠正和强调.
【答案】1.（1）-3 （2） （3）- （4）0 （5）- （6）-
2.（1）-8（2）- (3)9 (4)30
五、师生互动，课堂小结
1.有理数除法法则：
（1）除以一个数等于乘上这个数的倒数.
注意：0不能作除数.
（2）有理数的除法有与乘法类似的法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
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2.引导学生归纳有理数除法的一般步骤：(1)确定商的符号；(2)把除数化为它的倒数；(3)利用乘法计算结果.
【教学说明】教师引导学生进行总结，加深法则和解题过程的理解和掌握.同时，教师也对学生出现的易错点进行强调，使学生在今后的计算中更准确.
完成本课时对应的练习.
“数学教学是数学活动的教学”.我们进行数学教学，不能只给学生讲结论，因为任何数学理论总是伴随着一定的数学活动，应该暴露数学活动过程.也只有在数学活动的教学中，学生发挥学习的主动性，才能得以发挥.
这节课，从有理数除法问题的产生，到有理数除法法则的形成，以及归纳有理数除法的解题步骤等，不是简单地告诉学生结论和方法，然后进行大量的重复性练习，而是在教师的指导下，让学生自己去思索、判断，自己得出结论，从而达到培养学生观察、归纳、概括能力的目的.
2.11有理数的乘方
【基本目标】
1.使学生理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算；
2.培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及学生的探索精神；
3.渗透分类讨论思想.
【教学重点】
有理数乘方的运算.
【教学难点】
有理数乘方运算的符号法则.
一、情境导入，激发兴趣
1.计算：
（1）( -9)÷3；
（2） (-6)÷(-4)÷(-1).
【教学说明】让学生独立计算，帮助学生复习有理数的乘法和除法运算.
172
2.在小学我们已经学习过a·a，记作a2，读作a的平方(或a的二次方)；a·a·a记作a3，读作a的立方(或a的三次方)；那么，a·a·a·a可以记作什么?读作什么?a·a·a·a·a呢?
(n是正整数)呢?
【教学说明】通过复习平方和立方，推广到n次方，帮助学生回顾乘方运算与乘法运算的关系，为后面的学习打下基础.
二、合作探究，探索新知
1.有理数乘方的概念
一般地，有n个相同的因数a 相乘，即，记作an.
例如，2×2×2＝23；(-2)(-2)(-2)(-2)＝(-2)4.
这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
【教学说明】通过具体的例子，引入负数的乘方运算，将乘方运算的范围扩展到整个有理数.
2.在an中，a叫作底数，n叫做指数，an 读作a的n次方，an可看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.
例如，23中，底数是2，指数是3，23读作2的3次方，或2的3次幂.
【教学说明】向学生讲解底数、指数和幂的概念，让学生理解乘方的两种读法的含义，然后通过具体的实例，让学生理解得更透彻.
3.一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写.
【教学说明】着重向学生介绍一个数的一次方，这是一个新的知识，结合具体的实际例子来讲解，学生更容易理解和掌握.
三、示例讲解，掌握新知
例1 计算：(1) (-2)3；(2) (-2)4；(3) (-2)5.
解：(1) 原式=(-2)(-2)(-2)=-8；
(2) 原式= (-2)(-2)(-2)(-2)=16；
(3) 原式= (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=-32.
例2 计算：
(1)(-3)2，(-3)3，［-(-3)］5；
(2)-32，-33，-(-3)5.
【教学说明】让三个学生在黑板上计算．教师引导学生纵向观察第(1)题和第(2)题的形式和计算结果，让学生自己体会到(-a)n的底数是-a，表示n个(-a)相乘，-an是an的相反数，这是(-a)n与-an
172
的区别．教师引导学生横向观察第(3)题的形式和计算结果，让学生自己体会到写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种运算了．
小结：根据上面的计算，你能总结出有理数乘方运算的符号法则吗？
（1）根据有理数乘法运算法则，我们有：
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
（2）你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?
当a＞0时，an＞0(n是正整数)；
当a<0时，an>0(n是偶数)
an<0(n是奇数) ；
当a=0时，an=0(n是正整数)
(以上为有理数乘方运算的符号法则)
a2n=(―a)2n(n是正整数)；
a2n-1=―(―a)2n-1(n是正整数)；
a2n≥0(a是有理数，n是正整数).
【教学说明】让学生结合上面的计算，分类进行讨论，教师加以引导.尤其要注意负数的奇数次方和偶数次方的不同，然后再用符号表示出来，便于学生记忆，同时发展学生抽象概括的能力.
四、练习反馈，巩固提高
1. -45读作什么?其中-4叫做什么数?5叫做什么数? (-4)5是正数还是负数?
2.计算：
(1) (-1)3 ; (2)(-1)10; (3) (0.1)3;
(4) ()4; (5) (-2)3×(-2)2; (6) (-)3×(-)5;
(7) 103; (8) 105.
【教学说明】学生自主完成，教师检查，发现问题及时纠正和强调，主要是提醒学生注意括号的作用以及运算的符号.
【答案】1.负4的五次方；底数，指数，负数
2.（1）-1 （2）1 （3）0.001 (4)
(5)-32 (6) (7)1000 (8)100000
五、师生互动，课堂小结
1.乘方的有关概念
（1）求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫作底数，n叫做指数.
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（2）an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方.
2.有理数乘方运算的符号法则
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.要注意括号的作用.
【教学说明】教师引导学生对本节课的重点知识进行回顾，使之形成知识系统，同时加强学生对乘方运算的理解.教师尤其要强调乘方运算的符号.
完成本课时对应的练习.
有理数乘方是初中数学教学的重点之一，也是初中数学教学的一个难点.所以我在教这一节课的教学中要从有理数乘方的意义、有理数乘方的符号法则、有理数乘方运算顺序、有理数乘方书写格式、有理数乘方常见错误等五个方面来教学.在每一个知识点的讲授时，结合具体的实际例子来进行讲解，及时进行总结，形成方法．有理数的乘方中反映出来的数学思想主要是分类讨论思想，在教学中要加以引导，逐步渗透这一思想.
2.12科学记数法
【基本目标】
1.复习和巩固有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算;
2.使学生了解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示比较大的数.
【教学重点】
正确运用科学记数法表示较大的数.
【教学难点】
正确掌握10的幂指数特征.
一、情境导入，激发兴趣
同学们，你们能够迅速的读出和记住下列数字吗？
1.光的速度约是300 000 000m/s，它相当于速度为6m/s的自行车的速度的多少倍？
2.全世界人口数大约是6 100 000 000人;
3.第五次人口普查时，中国人口约为1 300 000 000人；
4.中国的国土面积约为9 60 0000平方千米；
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5.我国信息工业总产值将达到383 000 000 000元．
这样的数，读和写都不方便，接下来，让我们一起来探究一种科学的记数方法吧.
【教学说明】可以先让学生读和写这些数，学生在读和写的过程中，体会它的困难，从而引起学生探究的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.10n的特征
（1）计算102，103，104，…并讨论102 表示什么，指数与运算结果中的0的个数有什么关系，与运算结果的数位有什么关系.
小结：0的个数和指数相同，整数数位比指数多1.
【教学说明】先让学生进行计算，然后通过观察与思考，总结规律，教师不要包办代替，这样学生才能够逐步进行更深入的探究.
（2）练习：
①把下面各数写成10的幂的形式：1000，10 000 000，10 000 000 000.
②指出下列各数各是几位数：102，105，1012，1025.
【教学说明】这是对上面总结规律的一个反向运用，学生利用探究出来的规律进行解答，加深对规律的理解和运用.
2.科学记数法定义
综上所述，一个大于10的数可以表示成a×10n 的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数方法叫科学记数法．
【教学说明】教师向学生介绍什么是科学记数法，重点强调a的取值范围.
三、示例讲解，掌握新知
例1 用科学记数法记出下列各数：
(1)696 000； (2)1 000 000；
(3)58 000； (4)―7 800 000.
解：(1)原式＝6.96×105； (2)原式＝106；
(3)原式＝5.8×104； (4) 原式＝―7.8×106.
观察思考：用科学记数法表示一个数时，10的指数与原数的整数位数有什么关系？
小结：10的指数比原数的整数位数少1.
【教学说明】教师可示范讲解（1），学生尝试解答（2）（3）（4），然后让学生根据解答的过程发现其中的规律，并进行总结，教师及时予以总结，形成方法.
变式训练
下列用科学记数法表示的数的原数是什么？
(1)9.18×105；
(2)-5×103；
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(3)3.76×107.
【教学说明】这是对上面方法的反向运用，教师可先让学生思考应怎样解决，再尝试解答.在解答前，要先确定原数的整数位数是多少，再写出原数.
四、练习反馈，巩固提高
1.2013年某省国内生产总值达到6030亿元，用科学记数法表示应记作（ ）.
A.60.3×102亿元 B.6.03×102亿元
C.6.03×103亿元 D.6.03×104亿元
2.设n是一个正整数，则10n+1是（ ）
A.n 个10相乘所得的积
B.是一个 n+1位的整数
C.10后面有n+1个0的整数
D.是一个 n+2位的整数
3.用科学计数法表示下列各数:
（1）100 000; （2） 378 000;
（3）-112 000; （4）2945;
（5）1346.30.
4.已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数:
（1）2.01×104; （2）6.070×105;
（3）104; （4）-2.24×103.
【教学说明】学生独立完成，教师再根据学生的完成情况，对学生出现的问题进行纠正和强调，尤其要注意万元、亿元等所表示的数，要先写出原数，再用科学记数法记这个数.
【答案】
1.C 2.D
3.(1)1×105 （2）3.78×105 （3）-1.12×105 （4）2.945×103
（5）1.34 630×103
4.(1)20 100 (2)607 000 (3)10 000 (4)-2240
五、师生互动，课堂小结
1.什么是科学记数法？
一个大于10的数可以表示成a×10n 的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数方法叫科学记数法．
2.用科学记数法表示一个数时，10的指数与原数的整数位数有什么关系？
10的指数比原数的整数位数少1.
【教学说明】教师提问，引导学生对本节课知识进行回顾，对方法再次进行强调，使之形成系统知识，加深学生的印象.
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完成本课时对应的练习.
在上一节课中，学生已学习了有理数乘方的概念，知道了有理数乘方的意义，会利用有理数乘方法则进行有理数乘方运算．本节课在复习上节课内容的基础上，使学生进一步理解乘方的意义，并能用科学记数法表示大于10的数．本节课的重点和难点都是科学记数法．为此，通过实例，引入了科学记数法，而通过例题的讲授，使学生知道怎样用科学记数法表示绝对值大于10的数，在表示中应重点注意10的指数与原数的整数数位的关系.
2.13有理数的混合运算
【基本目标】
1.掌握有理数混合运算的顺序，会正确进行有理数的混合运算；
2.会使用运算律进行简便运算；
3.培养学生的运算能力及综合运用知识解决问题的能力.
【教学重点】
会进行有理数的混合运算.
【教学难点】
1.准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题;
2.会正确使用运算律进行简便运算.
一、情境导入，激发兴趣
1.我们学习了哪几种有理数的运算？指出下面的式子中有哪几种运算？
3＋50÷22×(-)-1
2.请同学们想一想，有理数混合运算的顺序应该怎样进行？
【教学说明】先让学生观察式子中包含的运算，再对照小学学过的运算顺序，叙述本题的运算顺序，为后面的学习奠定基础.
二、合作探究，探索新知
1.怎样计算下面的式子？
3＋50÷22×(-)-1
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解：原式=3＋50÷4×(-)-1(先算乘方)
=3+50××(-)-1(化除为乘)
=3-50××-1=3--1=-
(先定符号，再算绝对值)
2.请同学们总结有理数的混合运算的顺序是怎样的.
【教学说明】学生按照拟定的运算顺序尝试计算，在每一步的计算中，教师要提醒学生注意运算法则的运用，尤其要注意符号.
小结：有理数混合运算的运算顺序规定如下：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行；
（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.
注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算.
【教学说明】学生结合上面的运算，总结有理数的混合运算的顺序，教师及时予以总结，同时渗透进行混合运算的步骤：先确定运算顺序，再按照运算顺序进行计算.
三、示例讲解，掌握新知
【教学说明】教师可示范讲解，同时提醒学生这里要注意三点：
①小括号先算；
②进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法；
③同级运算，按从左往右的顺序进行，这一点十分重要.
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3.比较以上两种算法，哪一种更简便？给你什么启示？
小结：进行有理数的混合运算，先进行观察，确定计算的顺序，合理使用运算律，可以使计算更简便.
【教学说明】让学生使用不同的方法进行计算，然后比较它们的难易性，加深印象.教师适时说明，合理使用运算律，可以使计算更简便.教师要提醒学生，做计算题之前要先观察，确定合适的顺序和方法，使计算更简便和更准确.
四、练习反馈，巩固提高
1.计算:
172
2.下列计算有无错误?若出错如何改正?
【教学说明】学生独立完成，对于不同的解法，要引导学生进行比较哪种方法更简单，提高学生的计算能力.
五、师生互动，课堂小结
1.有理数混合运算的顺序：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行；
（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.
2.进行有理数的混合运算，先进行观察，确定计算的顺序，注意运算的符号.合理使用运算律，可以使计算更简便.
172
【教学说明】教师引导学生进行总结，对出现的问题进行反思，对好的方法予以归纳，形成科学有效的计算方法.
完成本课时对应的练习.
有理数的混合运算的关键是运算的顺序，运算法则和运算符号，为此，必须进一步对加、减、乘、除、乘方运算法则和性质的理解予以强化，熟练掌握，在此基础上对其运算顺序也应熟知，这两个方面应学的好，掌握牢，在运算过程中，始终遵循三个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序.为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等.对于复杂的有理数运算，要善于观察、分析、类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜券.
2.14 近似数
【基本目标】
1.使学生初步理解近似数的概念，并由给出的近似数，说出它精确到哪一位;
2.给一个数，能熟练地按要求四舍五入取近似数.
【教学重点】
近似数、精确度等概念和给一个数能按照精确到哪一位或保留几个有效数字的要求，四舍五入取近似数.
【教学难点】
按要求取一个数字的近似数.
一、情境导入，激发兴趣
1.问题
(1)统计班上喜欢看球赛的同学？
(2)量一量课本的宽度.
了解准确数和近似数的概念：统计的人数是一个实际完全符合的数，是准确数；如果量得课本的宽度是18.4cm，是一个与实际宽度非常接近的数，称之为近似数.
【教学说明】通过具体的例子，让学生明确准确数和近似数的概念，引起学生的探究兴趣.
2.从学生原有认知结构提出问题
在小学里我们计算圆的面积S=πR2，π
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一般取多少?(3.14)这是一个精确的数吗?小数位数太多，不便于计算，常常保留两位小数，由“四舍五入”取π≈3.14，这就是“近似数”，小学里在小数计算中经常把最后答案取近似数.
【教学说明】从学生已经掌握的知识入手，进一步渗透为什么需要近似数以及如何取一个数的近似数，为后面的学习奠定基础.
二、合作探究，探索新知
在实际问题中，我们经常要用近似数.使用近似数就有一个近似程度的问题，也就是精确度的问题.
我们都知道，π=3.14159…,我们对这个数取近似数：
如果结果只取整数，那么按四舍五入的法则应为3，就叫做精确到个位；
如果结果取1位小数，则应为3.1，就叫做精确到十分位(或叫精确到0.1)；
如果结果取2位小数，则应为3.14，就叫做精确到百分位(或叫精确到0.01)……
概括：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
【教学说明】让学生按照要求取近似数，教师适时总结精确度的规律，在总结时，一定要紧紧结合上面的实际例子来进行，这样学生理解的更透彻.
三、示例讲解，巩固提高
例1 下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?
(1)132.4；
(2)0.0572；
(3)2.40万.
解：(1)132.4精确到十分位(精确到0.1)，共有4个有效数字1、3、2、4；
(2)0.0572精确到万分位(精确到0.0001)，共有3个有效数字5、7、2；
(3)2.40万精确到百位，共有3个有效数字2、4、0.
注意：由于2.40万的单位是万，所以不能说它精确到百分位.
【教学说明】让学生尝试说明，对于（3），学生可能会存在一些争论，教师要鼓励学生进行争论，在争论中找到正确的结果，使学生印象更深刻，教师适时总结，看精确到哪一位，要看最后一个数字的实际位数.
例2 用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.
(1)0.34082(精确到千分位)；
(2)64.8 (精确到个位)；
(3)1.504 (精确到0.01)；
(4)130542 (精确到千位).
解：(1)0.34082 ≈ 0.341;
(2)64.8 ≈ 65;
(3)1.504 ≈ 1.50;
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(4)130 542 ≈ 1.31×105.
注意：(1)例2 的(3)中，由四舍五入得来的1.50与1.5的精确度不同，不能随便把后面的0去掉；
(2)例2 的(4)中，如果把结果写成131 000，会误认为是精确到个位得到的近似数，所以我们用科学记数法，把结果写成1.31×105 ，就确切的表示精确到千位；
(3)有一些量，我们或者很难测出它的准确值，或者没有必要算得它的准确值，这时通过粗略的估算就能得到所要的近似数，有时近似数也并不总是按“四舍五入”法得到的.
【教学说明】学生尝试自主完成，教师重点讲解（4），要讲清楚为什么要写成科学记数法的形式，如果把结果写成131000，会误认为是精确到个位得到的近似数，所以我们用科学记数法，把结果写成1.31×105 ，就确切的表示精确到千位.紧接着教师举出实际例子说明有时近似数也并不总是按“四舍五入”法得到的，介绍“进一法”和“去尾法”.
四、练习反馈，巩固提高
1.用四舍五入法,括号中的要求对下列各数取近似数.
(1) 0.34 0 82 (精确到千分位);
(2) 64.8 (精确到个位);
(3) 1.5046 (精确到0.01);
(4) 30542 (精确到百位).
2.近似数2.60所表示的精确值a的取值范围（ ）
A.2.595≤a <2. 605
B.2.50≤a< 2.70
C.2.595
0,a+b<0，那么下列关系式中正确的是（ ）
A.a>b>-b>-a B.a>-a>b>-b
C.b>a>-b>-a D.-a>b>-b>a
分析：本题可利用特殊值法，根据条件可令a和b等于某数.
点评：本题也可以运用画数轴的方法，利用数形结合的思想来解决问题.
例6 计算下列各题：
（1）-1+5×（-2）-（-4）2÷（-8）;
（2）--+-.
分析：对于有理数的混合运算，要注意运算顺序和运算法则.
点评：在进行混合运算时，能用运算律简便运算的一定要用运算律来进行运算.
例7计算下列各题：
分析：本题主要考查有理数乘法的交换律、结合律、分配律的运用.应用运算律可以简化运算，同时也可提高做题的速度，减少计算量.
点评：对于乘法分配律a（b＋c）＝ab＋ac有两种运用方法，一种是顺用公式，如上题中的(1)，另一种是逆用公式，如上题中的(2)，在做题时，应具体问题具体分析.
例8神舟六号飞船，在平安飞行115小时23分后重返神州. 用科学记数法表示神舟六号飞船飞行的时间是 秒 （精确到千位）.
分析：a×10x中a的取值范围是1≤a<10，底数10的指数n等于所表示的整数位数减去1.
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点评：本题考查的是科学记数法及其运算，由于数字较大，计算时很容易出错，因此一定要特别当心，没有特别说明的话，建议此题用计算器来解决.
例9(-8)2014+(-8)2013能被下列数整除的是（ ）
A.3 B.5 C.7 D.9
分析：本题重在考查转化思想，因为直接计算显然不大可能，因此可把原式转化为82014-82013，运用了乘方的意义及乘法分配律.
点评：从(-8)2014+(-8)2013到7×82013的运算，只要掌握了乘方的概念，我们就会发现这是一道看似超纲的，其实却没超纲的好题.
四、拓展训练，巩固提高
1.如果x<0,y>0,且x2=4,y2=9,则x+y= .
2.大于-4而小于＋3的整数是 .绝对值不小于2.1且不大于5.3的整数是 .
3.a为最小的正整数，b为a的相反数的倒数，c为相反数等于本身的数，则(a+b)×5+4c= .
4.已知|a-1|+|2-b|=0，则a100-5b .
5.认真算一算:
6.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示且|a|=|b|.
（1）求a+b与值;
（2）判断b+c,a-c,bc,ac及的符号；
（3）化简|a|-|a+b|-|c-a|+|c-b|.
【教学说明】学生独立完成练习，体会知识点的运用变化，提高思维和解题能力，提高综合解题能力.
172
完成本课时对应的练习.
全章复习的目的是使学生进一步系统掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力.因此，在选择教学内容时我们注意了下面两个方面：第一，既加强基础，又提高能力和发展智力；第二，既全面复习，又突出重点.
本节课是有理数全章的复习课，所以教学中抓住了有理数的概念和有理数的运算这两个主要内容.这是有理数的基础知识，也是复习的重点.此外，还通过典型例题的分析，让学生熟练地利用数轴来解题，以提高他们对数形结合思想的认识，以及分析问题、解决问题的能力.
第3章整式的加减
3.1 列代数式
【基本目标】
1.使学生认识用字母表示数的意义，并能说出一个代数式所表示的数量关系；
2.初步培养学生观察、分析及抽象思维的能力；
3.学生能熟练地根据题意列出相应的代数式；
4.能用代数式表示一些有特别含义的数.
【教学重点】如何根据题意列出正确的代数式.
【教学难点】能处理表示特别意义的数的代数式.
一、情境导入，激发兴趣
172
1.在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如何用字母表示它们?
(通过启发、归纳最后师生共同得出用字母表示数的五种运算律)
(1)加法交换律 a+b=b+a；
(2)乘法交换律 a·b=b·a；
(3)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)；
(4)乘法结合律 (ab)c=a(bc)；
(5)乘法分配律 a(b+c)=ab+ac
指出：(1)“×”也可以写成“·”号或者省略不写，但数与数之间相乘，一般仍用“×”;
(2)上面各种运算律中，所用到的字母a，b，c都是表示数的字母，它代表我们过去学过的一切数
【教学说明】从学生学过的内容入手，便于学生回答所提的问题，教师逐步引导学生理解式子中的字母可以代表任意数字.体会用字母表示数字使关系式更具有一般性，更简洁.
2.从甲地到乙地的路程是15千米，步行要3小时，骑车要1小时，乘汽车要0.25小时，试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是多少?
3.若用s表示路程，t表示时间，ν表示速度，你能用s与t表示ν吗?
4.一个正方形的边长是a厘米，则这个正方形的周长是多少?面积是多少?
(用l表示周长，则l=4a厘米；用S表示面积，则S=a2平方厘米.)
【教学说明】学生回答，此时，教师应指出：(1)用字母表示数可以把数和数的关系简明的表示出来；(2)在公式中，用字母表示数也会给运算带来方便.
二、合作探究，探索新知
1.用字母表示数
从这些例子，我们可以体会到，用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义．
【教学说明】可以适当多举一些例子，让学生体会用字母表示数之后，更简洁，更具有一般性.
我们在书写含有字母的式子的时候要注意什么？
①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如5×n,常写作5·n或5n；
②数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如5n,一般不写作n5；
③除法运算写成分数形式，如1500÷t通常写作1500t（t≠0）.
【教学说明】先让学生观察式子的写法与平时习惯写法的不同，再归纳书写含有字母的式子时应注意哪些问题，教师结合具体的例子及时予以补充和强调.
2.代数式
（1）代数式的定义
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在前面的研究中出现的如16n，s5 ，2a＋ 32b2，a，b，a＋b，ab，a2 ，a+b2，15，5 050，nn+12，5x，st等式子，它们都是由数和字母、字母和字母用运算符号连接所形成的式子，我们称它们为代数式.
注意：单独的一个数或一个字母也是代数式.
【教学说明】先让学生观察式子的特点，找到它们的共同点进行总结.教师及时予以补充和完善，形成代数式的概念.为了加深学生的理解，可以举一些不是代数式的例子让学生辨别，教师再予以强调.
3.列代数式
（1）通过前面的探究，我们知道可以用字母来表示数.在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式，使问题变得简洁，更具有一般性.
【教学说明】教学中可结合前面的探究，让学生体会到什么是列代数式以及列出代数式表示数量关系的优越性.
三、示例讲解，掌握新知
例1 填空：
（1）某地为了治理河山，改造环境，计划在第十个五年计划期间植树绿化荒山，如果每年植树绿化x公顷荒山，那么这五年内植树绿化荒山 公顷；
（2）每本练习本m元，甲买了5本，乙买了2本，两人一共花了 元，甲比乙多花了 元;
（3）1500米跑步测试，如果某同学跑完全程的成绩是t秒，那么他跑步的平均速度为 米／秒.
解：（1）绿化荒山5x公顷．
（2）两人共花（5m＋2m）元，甲比乙多花了（5m－2m）元．
（3）速度为米/秒．
【教学说明】学生在写式子的时候可能不会很规范，这时教师应该及时进行纠正和强调，并讲清楚为什么要这样写，教师及时板书规范的写法.
例2展示课本第86页例2，学生尝试解答.
在用代数式表示实际问题的量时，要注意什么？
【教学说明】学生尝试解答后，教师提出要注意的地方：首先要注意代数式的书写格式，其次要分析数量之间的关系，根据数量关系正确地列出代数式.
例3展示课本第87页例3，学生尝试完成.
教师点拨：（2）题该数与它的的和与（3）题该数与
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的和的3倍有什么区别？提醒学生注意运算的顺序.
例4展示课本第87页例4，先让学生尝试完成.
教师点拨：（1）题中的平方和与（2）题中的和的平方有什么区别？提醒学生注意运算的顺序.（4）题中什么数是偶数？什么数是奇数？若用n表示整数，那么怎样表示偶数和奇数？
【教学说明】学生尝试完成，教师及时纠正错误，然后让学生总结在列代数式的过程中应该注意的问题.教师强调：列代数式应注意其语言的顺序，按先后顺序来列出正确的代数式，并结合规范的代数式的表达方式.
四、练习反馈，巩固提高
1.用代数式表示：
（1）比a小3的数 ；
（2）比b的一半大5的数 ；
（3）a的3倍与b的2倍的和 ；
（4）a与b的和的60% .
2.设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：
（1）甲乙两数的和的2倍 ；
（2）甲、乙两数的平方和 ；
（3）甲乙两数的和与甲乙两数的差的积 ；
（4）甲、乙两数和的平方 .
3.我们知道:23=2×10+3；865=8×100+6×10+5=8×102+6×10+5
类似地：3725= ×103+7× +2×10+5×
则若某三位数的个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,则此三位数可表示为.
【教学说明】学生独立完成.第1、2题要注意语言的顺序；数量关系的顺序，第3题要由具体到抽象，通过具体数字的探究，写出相关的代数式.
【答案】1.(1)a-3 (2)b+5 (3)3a+2b
(4)60%(a+b) 2.(1)2(a+b) (2)a2+b2 (3)(a+b)(a-b) (4)(a+b)2 3.3 102 1；100c+10b+a
五、师生互动，课堂小结
1.代数式的定义：由数和字母、字母和字母用运算符号连接所形成的式子，我们称它们为代数式.注意：单独的一个数或一个字母也是代数式.
2.代数式的书写要注意什么？
（1）代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如5×n常写作5·n或5n；
（2）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如5n一般不写作n5；
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（3）除法运算写成分数形式，如1500÷t通常写作(t≠0).
3.列代数式时应注意弄清楚数量之间的关系，正确的列出代数式，还要注意其语言的顺序，按先后顺序来列出正确的代数式，并结合规范的代数式表达方式.
【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课知识，形成知识体系，便于学生理解和掌握，对出现的典型问题予以强调，使学生理解更加深刻.
完成本课时对应的练习.
本节课是学生由具体的数之间的数量关系到用字母表示数字的过渡,让学生体会由具体思维到抽象思维的过渡.故在设计其教学过程时，注意所选例题及练习题由易到难，循序渐进，使学生逐步掌握好这一内容，为今后的学习打下一个良好的基础，同时也使学生的抽象思维能力得到初步培养.
3.2 代数式的值
【基本目标】
1.使学生掌握代数式的值的概念，并会求代数式的值；
2.培养学生准确地运算能力，并适当地渗透对应的思想．
【教学重点】当字母取具体数字时，对应的代数式的值的求法及正确地书写格式．
【教学难点】正确地求出代数式的值.
一、情境导入，激发兴趣
1.某礼堂第1排有18个座位，往后每排比前一排多2个座位，问：
（1）第n排有多少个座位？（用含n的代数式表示）
（2）第10排、第15排、第23排各有多少个座位？
2.学生以小组为单位进行探究，得出结果：
（1）第n排有18+2（n—1）个座位;
（2）第10排，即当n=10时，18+2（n—1）=18+2×9=36;
第15排，即当n=15时，18+2（n—1）=18+2×14=46;
第23排，即当n=23时，18+2（n—1）=18+2×22=62.
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【教学说明】学生在教师的引导下一步步解决所提出的问题，体会代数式的值与字母取值的对应关系.
二、合作探究，探索新知
由前面的探究可知:当n取不同的数值时，代数式18+2（n—1）计算得出的结果不同.以上结果可以说明：当n=10时，代数式18+2（n—1）的值是36.
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
【教学说明】教师结合前面的探究，指出什么叫代数式的值，强调代数式的值和字母取值之间的对应关系.
三、示例讲解，掌握新知
例1当a＝2，b＝－1，c＝－3时，求下列各代数式的值：
（1）b2－4ac；
（2）a+b+c2．
解:（1）当a＝2，b＝－1，c＝－3时，
b2－4ac=(－1)2－4×2×(－3)=1+24=25
（2）当a＝2，b＝－1，c＝－3时，
(a+b+c)2=(2－1－3)2=4
小结：
(1)求代数式的值的步骤：
①代入，将字母所取的值代入代数式中；
②计算，按照代数式指明的运算进行，计算出结果.
(2)注意的几个问题：
①由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的，所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当……时”写出来.;
②如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号；
③代数式中省略了乘号时，代入数值以后必须添上乘号.
【教学说明】教师提醒学生注意在求值的运算中，首先应注意到代数式的运算顺序；在代值时，字母的值如果是负数或分数应习惯上加上括号.然后让学生总结求代数式值的一般步骤，教师在这里一定要强调格式的规范性.
例2某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了10%．如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值将能达到多少亿元？如果去年的年产值是2亿元，那么预计明年的年产值是多少亿元？
解：由题意可得，今年的年产值为a·（1＋10%）亿元，于是明年的年产值为
a·（1＋10%）·（1＋10%）＝1.21a（亿元）．
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若去年的年产值为2亿元，则明年的年产值为
1.21a＝1.21×2＝2.42（亿元）．
答：该企业明年的年产值将能达到1.21a亿元．由去年的年产值是2亿元，可以预计明年的年产值是2.42亿元．
【教学说明】教师总结两点：（1）有关增长率的题目是生活中常见的问题，应注意是在谁的基础上增长，谁是单位1.（2）代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义.
四、练习反馈，巩固提高
1.当x=时，代数式(x2+1)的值是什么？
2.当a=-1，b=4时，求代数式+3(b－1)的值.
3.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的相反数为-7，求－m2－4cd+
的值.
【教学说明】学生独立完成.在第1题中，要注意分数在计算时加上括号，第2题注意负数的计算符号和添加乘号，此题体现了整体思想，让学生分步计算.
【答案】1. 2.8 3.根据题意得：a+b=0,cd=1,m=7,∴原式=-（7）2-4×1+=-53
五、师生互动，课堂小结
1.代数式的值的定义
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
2.求代数式的值的步骤时应该注意什么？
(1)求代数式的值的步骤：
①代入，将字母所取的值代入代数式中；
②计算，按照代数式指明的运算进行，计算出结果.
(2)注意的几个问题：
①由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的，所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当……时”写出来；
②如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号；
③代数式中省略了乘号时，代入数值以后必须添上乘号;
④代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义.
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【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课所学知识和应该注意的问题，形成知识体系，便于学生理解和掌握,对出现的典型问题予以强调，使学生理解更深刻.
完成本课时对应的练习.
本节课的重点是代数式的值的概念,难点是如何准确求出代数式的值. 前一节刚学习了列代数式,本节可以从列代数式引入.在引出概念时,教材给出字母的一个值,求代数式的值.我觉得不能让学生体验到代数式的值的不唯一,应该自己根据问题的背景,给出代数式中的字母的几个值,求出相应代数式的值.由于代数式的值是由代数式里的字母所取的值决定的，因此在设计教学过程中，注意渗透对应的思想.
3.3整式
1.单项式
【基本目标】
1.要求学生能充分理解单项式的特征，能分辨一个代数式是不是单项式；
2.能写出一个单项式的系数与次数；
3.能根据条件，写出符合条件的单项式.
【教学重点】能熟练写出一个单项式的次数与系数.
【教学难点】能逆向写出符合条件的单项式.
一、情境导入，激发兴趣
1.什么样的式子是代数式？
2.列代数式：
（1）若正方形的边长为a，则正方形的面积是 ；
（2）若三角形一边长为a，并且这边上的高为h,则这个三角形的面积为 ；
（3）若m表示一个有理数，则它的相反数是 ；
（4）小明从每月的零花钱中拿出x元钱捐给希望工程，一年下来小明共捐款 元.
3.学生根据要求回答：
（1）a2 （2）ah （3）－m （4）12x
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【教学说明】通过复习引入，让学生自主独立完成，既巩固了前面所学知识，又自然引入了本节课知识的探究，同时学生对以上问题解决起来难度不大，也增强了学生学习的信心.
二、合作探究,探索新知
1.单项式的概念
观察思考：前面通过探究得到的代数式a2、ah、－m、12x，它们的共同的特点是什么？
小结：上面列出的代数式是由数字与字母的乘积组成的代数式，这样的代数式叫做单项式.
注意：（1）单项式是只有数字与字母的积；
（2）单独的一个数或一个字母也是单项式.
【教学说明】先让学生观察思考，分析这些代数式共同点以及它们的组成部分，得出单项式的概念，同时为下一步学习系数与次数打基础.
2.单项式的系数和次数
既然单项式是由数字与字母组成的，为了方便，我们有：
（1）一个单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；
（2） 一个单项式中的所有字母因数的指数和叫做这个单项式的次数，同时这个单项式也称为几次式.
注意：（1）圆周率π是常数；（即π是数字而不是字母）;
（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略；
（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
【教学说明】在讲解单项式系数和次数概念时要结合具体的实例进行，使学生有一个直观的理解.单项式的次数是本节课的难点，一定要结合实例讲清楚，指出容易出错的地方，可以举出具体的容易犯错的实例来说明.
三、示例讲解，掌握新知
例1判断下列各式是否是单项式，如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它的系数与次数.
（1） x+1； （2）；
（3） πr2； （4）－a2b.
【教学说明】判断一个式子是否是单项式，要紧紧扣住单项式的定义：由数字与字母的乘积组成的代数式，这样的代数式叫做单项式.所以（1）和（2）不是单项式，（3）和（4）是单项式，尤其要提醒学生注意（2）是数与字母的商 ，所以不是单项式.
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四、练习反馈，巩固提高
1.在①m,②－a,③x2y,④,⑤，⑥3a+b,⑦0中，是单项式的是 （只填序号）．
2.单项式－的系数是 ，次数是 .
3.若单项式(3m－2)xyn－1的系数是２，次数是４．则n2－3m= .
【教学说明】第1题中要注意④⑤⑥不是单项式，教师要引导学生根据定义来进行区分，加深学生对单项式定义的理解.第2题注意系数是数字部分，不要遗漏.第3题是相关概念的逆向运用，教师可做适当的提示.
【答案】
1.①②③⑦ 2.- 3 3.12
五、师生互动，课堂小结
1.单项式的定义：由数字与字母的乘积组成的代数式，这样的代数式叫做单项式.
注意：（1）单项式是只有数字与字母的积；
（2）单独的一个数或一个字母也是单项式.
2.单项式的系数和次数：
（1）一个单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；
（2） 一个单项式中的所有字母因数的指数和叫做这个单项式的次数，同时这个单项式也称为几次式.
注意：（1）圆周率π是常数；（即π是数字而不是字母）
（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略；
（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课所学知识和应该注意的问题，形成知识体系，便于学生理解和掌握，对需要注意的地方再次予以强调，加深学生的印象.
完成本课时对应的练习.
本节课的主要内容是在学习代数式中的单项式，学习分辨一个代数式是否是单项式，所以要掌握单项式的主要特征.在掌握此概念的基础上，理解单项式的系数与次数，要特别注意单项式的次数的教学，可以从正反两个方面进行训练，加深学生对单项式的次数的理解.
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2.多项式
3.升幂排列与降幂排列
【基本目标】
1.要求学生能充分认识到单项式与多项式的区别；
2.能掌握多项式的有关概念，包括多项式的项、项数、次数、最高次项等；
3.能将一个多项式按某个字母的升幂排列和降幂排列.
【教学重点】多项式的相关概念.
【教学难点】多项式的次数.
一、情境导入，激发兴趣
1.什么样的式子是单项式？单项式的系数和次数分别是什么？
2.列代数式:
（1）若三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的周长是 ;
（2）某班有男生x人，女生21人，则这个班的学生一共有 人；
（3）如图，阴影部分的面积为 .
3.学生回答，答案为： （1）a+b+c (2)x+21 (3)2ar-πr2
【教学说明】教师复习提问，学生回答和尝试解题，既巩固了前面单项式的相关知识，也为后面的学习奠定了基础.
二、合作探究，探索新知
1.多项式的有关概念
（1）观察思考：上面探究的这些式子是单项式吗？
a+b+c x+21 2ar-πr2
【教学说明】主要是让学生对单项式和多项式进行一个对比，在比较中产生新的认识.这也是我们学生学习新知识的一个非常有用的方法，必须加以重视.
（2）它们都有什么共同特点？它们与单项式有什么联系和区别？
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由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼他们的表达能力.通过对特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教师可给予适当的提示及补充.
小结：(1)多项式的概念：上面列出的代数式都是由几个单项式相加而成的.几个单项式的和叫做多项式.
（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式含有几项，就叫做几项式.
（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，叫做多项式的次数.
（4）整式的概念：单项式和多项式统称整式.
注意：（1）多项式是由单项式构成的，它是几个单项式的和；
（2）多项式的次数不是所有项的次数之和；
（3）多项式的每一项都包括它前面的符号.
教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想.
【教学说明】在分析中，多项式的次数应是重中之重，而一个多项式中的最高次项可能不只一个，必须给学生讲清，并可适当举例说明.
2.升幂排列与降幂排列
（1）任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到哪些不同的排列方式？在这些排列方式中，你认为哪几种比较有规律？
（2）学生自主探究，得出结论：任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到6种不同的排列方式，在这些排列方式中，“x2+x+1”与“1+x+x2”的排列是比较有规律的.那么，它们有什么规律呢？
（3）学生观察思考后回答.
教师小结：
我们可以发现：这两种排列方式有一个共同特点：x的指数呈现一种逐渐变大或逐渐变小的排列顺序.
从上面的两种整齐的写法中，我们发现：除了美观之外，还会为今后的计算带来方便，因而我们常常把一个多项式各项的位置按照其中一字母的指数大小顺序来排列.
（4）升幂排列与降幂排列的概念：
把一个多项式按照同一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的降幂排列；
把一个多项式按照同一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的升幂排列.
【教学说明】在排列中，应能让学生说出哪几种排列比较整齐，这样让学生去体验它所蕴含的排列组合思想与数学美感.能培养学生的审美观，也有利于教师把握本节课的情感因素，为本节课打下良好的情感基础.
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三、示例讲解，掌握新知
例1指出下列多项式的项和次数：
（1）a3－a2b+ab2－b3；
（2）3n4－2n2+1．
解：（1）多项式a3－a2b+ab2－b3的项有a3，－a2b，ab2，－b3；次数是3．
（2）多项式3n4－2n2+1的项有3n4，－2n2，1；次数是4．
【教学说明】学生尝试解答后，教师强调：（1）多项式的每一项都包括它前面的正负号；
（2）多项式的次数是指次数最高次项的次数，不是所有项的次数之和.
例2指出下列多项式是几次几项式:
（1）x3－x+1；（2）x3－2x2y2+3y2．
解:（1）x3－x+1是一个三次三项式；
（2）x3－2x2y2+3y2是一个四次三项式．
【教学说明】学生解答后，教师强调：先确定多项式的项数和次数，几次几项式的数字大写.
例3把多项式2r－1+r3－r2按r升幂排列.
解:按升幂排列为：－1+2r－r2+r3.
例4把多项式a3＋b2－3a2b－3ab3重新排列：
（1）按 a升幂排列；（2）按a降幂排列．
解:（1）按 a升幂排列为：
b2－3ab3－3a2b＋a3；
（2）按a降幂排列为：
a3－3a2b－3ab3＋b2．
【教学说明】教师根据学生解答出现的典型问题着重强调：（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母的升幂排列或降幂排列.
四、练习反馈，巩固提高
1.填空题：
（1）下列整式：―x2,（a+b）c，3xy，0，，―5a2+a中，是单项式的有 ，是多项式的有 .
（2）多项式―a3b―7ab―6ab4+1是 次 项式，次数最高项的系数是 .
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（3）－a2b－ab+1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 .
2.指出下列多项式的次数与项：
（1）－；（2）a2+2a2b+ab2－b2.
3.把多项式3xy-4x2y2+x3-5y3重新排列：
（1）按x的升幂排列
(2)按y的升幂排列
【教学说明】第1、2题主要是对多项式的相关概念的应用，教师应关注学生对多项式次数的理解以及书写的规范性.第3题是升幂排列和降幂排列，主要是要注意每一项移动时要连同符号一起移动.
【答案】1.（1）单项式：-x2,3xy,0多项式：（a+b)c,,-5a2+a;(2)五，四，-6;
（3）三，三，-，-ab,1.
2.(1)二次项：,-
(2)三次项：a2,2a2b,ab2,-b2
3.(1)-5y3+3xy-4x2y2+x3
(2)x3+3xy-4x2y2-5y2
五、师生互动，课堂小结
1.多项式的相关概念：
(1)多项式的概念：上面列出的代数式都是由几个单项式相加而成的.几个单项式的和叫做多项式.
（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式含有几项，就叫做几项式.
（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，叫做多项式的次数.
（4）整式的概念：单项式和多项式统称整式.
2.应该注意的几个问题：
（1）多项式是由单项式构成的，他是几个单项式的和；
（2）多项式的次数不是所有项的次数之和；
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（3）多项式的每一项都包括它前面的符号.
3.升幂排列与降幂排列：
把一个多项式按照同一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的降幂排列；
把一个多项式按照同一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按此字母的升幂排列；
4.应该注意的几个问题：
（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；
（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.
【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课所学知识和应该注意的问题，形成知识体系，便于学生理解和掌握，对需要注意的地方再次予以强调，加深学生的印象.
完成本课时对应的练习.
本节课主要内容是多项式的相关概念和升幂排列与降幂排列，首先以实际的例子引入多项式，主要让学生区别多项式与单项式，找到多项式的特征，弄清多项式与单项式的联系与区别；接着教师指出多项式的项和次数，这里要特别注意多项式的次数与单项式次数的区别，避免学生混淆.教师通过具体的实例，让学生体会什么是升幂排列与降幂排列，这里主要提醒学生注意在移动多项式的项的时候，要连同它的符号一起移动.
3.4整式的加减
1.同类项
2.合并同类项
【基本目标】
1.使学生能掌握同类项的概念，并能在多项式中找到同类项；
2.能逆向运用同类项的概念，确定某些指数的值;
3.理解合并同类项的法则并能熟练运用；
4.能在合并同类项的基础上，进行简单的化简求值的运算.
【教学重点】作为同类项所必须满足的条件，会合并同类项.
【教学难点】同类项概念的逆向运用.
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一、情境导入，激发兴趣
1.指出多项式3x2y－4xy2－3+5x2y+2xy2+5的项有哪些.
学生观察后回答：这个多项式的项中有3x2y、－4xy2、－3、5x2y、2xy2、5.
【教学说明】要注意每一项都要包含它前面的符号，是正号的可以省略，但是是负号的不能省略.
2.我们常常把具有相同特征的事物归为一类.你能按照一定的标准，将上面的项进行分类吗？怎样分？你的标准是什么？
学生自主探究后，进行小组讨论，得出结果，教师鼓励学生进行不同的尝试，并进行比较.
【教学说明】学生可能会按照不同的标准进行分类，教师引导学生对这些分类方法进行比较，总结出比较科学的分类方法.在这里一定要注意保护学生思维的积极性，对学生提出的方法都给予鼓励，培养学生学习的积极性，渗透分类讨论的数学思想.
二、合作探究，探索新知
1.同类项的概念
（1）上面同学们按照不同的标准将以上六项进行了分类，如果我们按照如下分类：
3x2y与5x2y、－4xy2与2xy2、－3与5.
同学们观察一下，它分类的标准是什么？
小结：所含字母相同，相同字母的指数相同.
引导学生思考这些所谓相同特征的项有什么相同的特征.
（2）同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.
（3）注意：
①同类项中要注意到两个相同：字母相同及相同的字母的指数也相同；
②所有的常数项都是同类项；
③同类项的判断是以它的总体特征来判断，而不能仅仅看它们的位置.如：
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从上我们很容易发现，这两个所谓的同类项，只有系数不同，而字母相同，而且相同的字母的指数也相同.
【教学说明】在讲解同类项的概念时，应紧紧抓住具体的实例来进行分析，抓住同类项概念的本质特征，还应举出一定的反例来说明其本质，举出一些似是而非的例子来加深学生的印象.
2.合并同类项
（1）单项式3x2y与5x2y是不是同类项？
（2）试一试计算3x2y+5x2y结果是多少？怎样进行计算？
3x2y+5x2y=（3+5）x2y=8x2y
（3）小结：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.
【教学说明】合并同类项的法则是对合并同类的总体说明，我们必须从最简单的合并同类项入手进行分析指导，使得学生对合并同类项的过程有一个正确的认识.
（4）想一想：怎样合并下列多项式中的同类项？
3x2y-4xy2-3 + 5x2y + 2xy2 + 5
学生尝试计算，教师示范讲解：
3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5
=3x2y+5x2y-4xy2+2xy2-3+5
=(3x2y+5x2y)+(-4xy2+2xy2)+(-3+5)
=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)
=8x2y-2xy2+2
（5）通过刚才的解答，请同学们总结合并同类项的一般步骤有哪些？
小结：进行合并同类项的一般步骤：
（1）先用相同的划线找到同类项；
（2）利用加法交换律与加法结合律把同类项放在一起；
（3）利用有理数的加减混合运算，进行系数相加；
（4）字母与字母的系数不变.
【教学说明】这个式子比较复杂，教师可以引导学生一步步进行化简，注意格式的规范性，然后结合解答的过程让学生总结合并同类项的一般步骤.
三、示例讲解，掌握新知
例1指出下列多项式中的同类项：
（1）3x－2y+1+3y－2x－5；
（2）3x2y－2xy2+13xy2－yx2.
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【教学说明】教师可示范讲解（1），要求学生用不同的划线标出同类项，为下一节学习合并同类项打基础.还应注意提醒学生，项中按字母的顺序来书写.
例2k取何值时，3xky与－x2y是同类项？
【教学说明】例2的类型很重要，是逆用同类项的概念进行思考，从题型上必须跟学生讲清楚，加深学生对同类项概念的理解和运用.
例3合并下列多项式中的同类项：
（1）2a2b－3a2b+a2b；
（2）a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3.
【教学说明】例题其实是整式加减的运算，学好本题也是为以后打基础，所以在讲解时，必须讲清方法与步骤及格式.
例4求多项式3x2+4x－2x2－x+x2－3x－1的值，其中x=－3.
【教学说明】本题是要求先化简，再代入求值，教师要先提示学生注意计算的步骤，在讲解本例题时，
一是强调解题的过程：先化简，再代入求值；二是强调格式一定要规范.
四、练习反馈，巩固提高
1.所含 相同，并且 也相同的项叫同类项.
2.在代数式4x2+4xy－8y2－3x+1－5x2+6－7x2中，4x2的同类项是 ，6的同类项是 .
3.若2xkyk+2与3x2yn的和为5x2yn，则k= ，n= .
4.若-3xm-1y4与13x2yn+2是同类项，求m,n.
5.合并同类项：
（1）3x2-1-2x-5+3x-x2;
（2）-0.8a2b-6ab-1.2a2b+5ab+a2b.
【教学说明】第1、2题是对同类项概念的应用，要紧扣概念来进行解答；第3、4题是对同类项概念的逆向运用，要让学生先思考同类项的特征，再进行解答；第5题要强调步骤和格式的规范性.
【答案】1.字母，相同字母的指数
2. -5x2, -7x2 1 3. 2 4
4.m=3,n=2
5.(1)原式=3x2-x2-2x+3x-1-5
=2x2+x-6
(2)原式=-0.8a2b-1.2a2b+a2b-6ab+5ab=-a2b-ab
五、师生互动，课堂小结
1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.
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2.理解同类项的概念要注意以下几点：
（1）同类项中要注意到两个相同：字母相同及相同的字母的指数也相同；
（2）所有的常数项都是同类项；
（3）同类项的判断是以它的总体特征来判断，而不能仅仅看它们的位置.
3.合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.
4.进行合并同类项的一般步骤：
（1）先用相同的划线找到同类项；
（2）利用加法交换律与加法结合律把同类项放在一起；
（3）利用有理数的加减混合运算，进行系数相加；
（4）字母与字母的系数不变.
【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课所学知识和应该注意的问题，形成知识体系，便于学生理解和掌握，对需要注意的地方再次予以强调，加深学生的印象.
完成本课时对应的练习.
本节课教学内容是同类项、合并同类项.它是本章的重点内容，也是本章的一个难点内容，对后面的学习非常重要，所以一定要要求学生掌握同类项的特征，会正确的合并同类项.在教学中，要通过具体的实例来讲解同类项的特征，举出容易混淆的例子让学生进行辨别，以加深学生的理解，然后通过反向运用，渗透逆向思维的数学思想.在讲解合并同类项时，一是紧扣法则进行计算，二是强调步骤与方法的规范性.
3.去括号与添括号
【基本目标】
1.了解去括号法则依据，理解去括号法则，并初步理解去括号法则的合理性;
2.使学生掌握添括号法则，并能熟练地按要求正确地添括号，进行整式的化简.
【教学重点】理解去括号与添括号法则并能用法则进行正确去括号和添括号.
【教学难点】括号前面是“-”号和括号前有系数的括号的去法，运用添括号进行整式的简便运算.
一、情境导入，激发兴趣
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情境1：某时，2路某趟公交车上有乘客a名，后来在第一个停靠站上来了b名乘客，在第二个停靠站又上来了c名乘客，则
（1）此时，此公交车上有乘客 名；
（2）还可以理解为：后来一共上来了乘客名，因而此时公交车上共有乘客 名.
由于以上的两个式子： 与 都表示同一个量，所以我们有： .
由情境1得到：a+(b+c)=a+b+c
【教学说明】在情境1中，应与加法的结合律配合进行讲解，会使学生理解到更新的知识.
情境2：若图书馆内原有x名同学，后来有些同学因上课要离开，第一批走了y名同学，第二批又走了z名同学，试用与“情境1”相同的方法，用两种方式写出图书馆内还剩下的同学数.
由情境2得到：x－(y+z)=x－y－z
【教学说明】在情境2的分析讲解中，应先以学生的独立思考为前提，即要求先思考，教师再进行总结.
二、合作探究，探索新知
1.去括号法则：
（1）由a+(b+c)=a+b+c 和x－(y+z)=x－y－z ，你发现去括号有什么规律？
【教学说明】注意分析两个等式之间的异同点，作为去括号的知识点，两者的区别与联系是非常重要的.
（2）小结去括号法则：
①括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；
②括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号.
【教学说明】教师强调去括号是去掉括号和它前面的符号，要注意符号是否发生改变.
2.小结需要注意的几个问题：
（1）去括号是去掉了两部分：括号与括号前的符号；
（2）括号内的项的变与不变是统一的；
（3）如果括号前有数字，那么这个数字必须乘以括号内的每一项.
【教学说明】教师根据出现的典型问题予以强调，加深学生印象.
3.添括号法则：
（1）从去括号的运算中，我们知道：
a+(b+c)=a+b+c
a－(b+c)=a－b－c
根据等式的性质，我们有：
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a+b+c=a+(b+c)
a－b－c=a－(b+c)
观察思考：变化后的式子相当于添加了括号，那么添括号有什么规律？
【教学说明】在引例的讲解中注意复习去括号法则，因为在这两者中，去括号法则还是占有主要地位，同时去括号法则也是本部分知识的重点内容.引例的分析，应从比较入手.
（2）教师小结添括号法则：
所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
【教学说明】教师强调添括号是添了两个部分：前面的符号及括号.
三、示例讲解，掌握新知
例1去括号：
（1）a+(b－c);（2）a－(b－c);
（3）a+(－b+c);（4）a－(－b－c).
【教学说明】这是对去括号法则的直接运用，可以让学生先尝试解答，教师再根据出现的问题予以纠正和强调.
例2先去括号，再合并同类项：
（1）(x+y－z)+(x－y+z)－(x－y－z);
（2）(a2+2ab+b2)－(a2－2ab+b2);
（3）3(2x2－y2)－2(3y2－2x2).
【教学说明】例题2已经非常接近整式加减的综合题了，所以本题在分析过程中应加强分析，特别是在步骤上必须逐步强调，在各个知识点的应用上要做到步步有依据，条理要清楚.
例3用简便方法计算：
（1） 21a+47a+53a；
（2） 214a－39a－61a.
注意：添括号与去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可以用去括号进行检验.
【教学说明】这个例题有一定的难度，教师可以先让学生观察思考，提出各自的方法，再按照所提出的方法尝试计算，比较计算的方法，得出最简单的方法，同时也提示学生使用添括号的方法来解题，特别要强调观察符号变还是不变.
四、练习反馈，巩固提高
1.根据去括号法则，在 上填上“+”号或“-”号：
(1) a (-b+c)=a-b+c；
(2) a (b-c-d)=a-b+c+d；
(3) (a-b) (c+d)=c+d-a+b.
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2.已知x+y=2,则x+y+3= ，5-x-y= .
3.化简：
(1)(2x-3y)+(5x+4y)；
(2)(8a-7b)-(4a-5b)；
(3)a-(2a+b)+2(a-2b)；
(4)3(5x+4)-(3x-5).
【教学说明】第1题是去括号和添括号的综合运用，体现了去括号和添括号之间的联系，要注意符号是否发生改变.第2题体现了整体思想，学生解答有一定的困难，教师可作适当的提示.第3题，要强调格式的规范性.
【答案】1.(1)+ (2)- (3)- +
2.5,3 3.(1)7x+y (2)4a-2b (3)a-5b (4)12x+17
五、师生互动，课堂小结
1.去括号法则：
(1)括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；
(2)括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号.
2.去括号时应注意:
（1）去括号是去掉了两部分：括号与括号前的符号;
（2）括号内的项的变与不变是统一的；
（3）如果括号前有数字，那么这个数字必须乘以括号内的每一项.
3.添括号法则：
所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
4.添括号时应注意:
（1）添括号是添了两个部分：前面的符号及括号;
（2）添括号与去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可以用去括号进行检验.
【教学说明】教师以提问的方式引导学生回顾本节课所学知识和应该注意的问题，形成知识体系，便于学生理解和掌握，对需要注意的地方再次予以强调，加深学生的印象.
完成本课时对应的练习.
本节课去括号的知识是在旧知识的基础上进行发展的.在去括号过程中，必须抓住其特征：括号前是“+”号还是“-”号，去掉括号与符号后，括号内的项到底要不要变号，有什么规律，都必须有总结性的结果.
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而添括号法则，关键是在实际题目中的应用，在应用中当所添括号前的符号是“-”时，所括到括号内的所有的项都必须变号，这是本节最难的，也是最容易错的知识点.
另外，正确的掌握去括号法则是进行整式加减的基础，所以可以通过不同类别的去括号的训练，增强学生对法则运用的熟练性和去括号的准确性，为后面的学习奠定基础.
4.整式的加减
【基本目标】
1.通过对以前所学知识的综合复习，从而顺利过渡到整式的加减运算；
2.在整式的加减中，能灵活结合各方面运算法则，进行正确的计算，提高计算的灵活性.
【教学重点】结合各方面知识进行整式的加减运算.
【教学难点】如何更灵活、更准确地进行整式的加减.
一、创设情境，导入新课
做一做：
某学生合唱团出场时第一排站了ｎ名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？
①学生写出答案：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）
②提问：以上答案还能进一步化简吗？如何化简？我们进行了哪几步运算？
③学生尝试计算.
【教学说明】从实际问题引入,让学生经历一个实际背景，体会进行整式的加减运算的必要性.再通过尝试计算，为学生概括出整式的加减的一般步骤做必要的准备.
二、合作探究，探索新知
1.试一试：化简下列各式.
（1）(x+y)—(2x－3y);
(2)2(a2-2b2)-3(2a2+b2）.
学生尝试计算，教师提问:以上化简实际上进行了哪几步运算?怎样进行整式的加减运算?
2.小结
（1）整式的化简实质上就是整式的加减，去括号和合并同类项是整式加减的基础.
（2）整式加减的一般步骤可以总结为：
①如果有括号，那么先去括号;②如果有同类项，再合并同类项.
【教学说明】教师在学生解答后提问，让学生通过回顾解答的过程进行总结.教师予以补充完善.
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三、示例讲解，掌握新知
例1求整式x2―7x―2与―2x2+4x―1的差.
解：原式=( x2―7x―2)―(―2x2+4x―1)= x2―7x―2+2x2―4x+1=3x2―11x―1.
【教学说明】本例应先列式，列式时注意先给两个多项式都加上括号，然后进行整式的加减.
例2计算：―2y3+(3xy2―x2y)―2(xy2―y3).
解：原式=―2y3+3xy2―x2y―2xy2+2y3= xy2―x2y.
【教学说明】本例让学生体会整式的加减实质是去括号、合并同类项这两个知识的综合.有利于将新知识转化为已有的知识，使学生的知识结构得到更新.
例3化简求值：(2x3―xyz)―2(x3―y3+xyz)+(xyz―2y3)，其中x=1，y=2，z=―3.
解：原式=2x3―xyz―2x3+2y3―2xyz+xyz―2y3=―2xyz.
当x=1，y=2，z=―3时，原式=—2×1×2×（—3）=12.
【教学说明】本例让学生经历求代数式的值时，应先考虑将代数式化简，在代入求值的过程，体会先化简再求值的优越性.
四、练习反馈，巩固提高
1.填空：
（1）3x与-5x的和是 ，
3x与-5x的差是 .
（2）a-b,b-c,c-a三个多项式的和是 .
（3）化简：（x+y+z)+(z-y+x)-(x-y-z)= .
2.将代数式先化简，再求值：
2a2-b2+2(b2-a2)-(a2+2b2),其中a=243,b=3.
3.计算2（x－3x2+1)－3(2x2－x－2).
4.先化简，再求值：
5x－［3x－x(2x－3)］,其中x=2.
5.如果某三角形第一条边长为（2a－b) cm,第二条边比第一条边长（a+b) cm,第三条边比第一条边的2倍少b cm,求这个三角形的周长.
【教学说明】第1、2、3、4题是对整式加减运算进行训练，要注意强调解题步骤的规范性，化简求值，一般应先化简，再代入求值，注意格式的规范性，第5题是一个实际应用性的问题，可以提示学生分步解答.
【答案】1.(1)-2x 8x (2)0
(3)x+y+3z
2.解：2a2-b2+(2b2-2a2)-(a2+2b2)=2a2-b2+2b2-2a2-a2-2b2=-a2-b2,当a=243，b=3时，原式=-2432+（-32）=-59058
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3.-12x2+5x+8
4.2x2-x,6
5.解：（2a-b）+［(2a-b)+(a+b)］+［2(2a-b)-b］=9a-4b
五、师生互动，课堂小结
1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合.
2.整式的加减的一般步骤：
(1)如果有括号，那么先算括号;(2)如果有同类项，则合并同类项.
3.求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样使计算简便.
4.数学是解决实际问题的重要工具.
【教学说明】教师引导学生对整式加减的一般步骤和求代数式的值的过程进行回顾，使学生思维更清晰，强调解题格式的规范性，体会数学是解决实际问题的重要工具.
完成本课时对应的练习.
通过实际问题，让学生经历一个实际背景，去体会进行整式的加减的必要性.通过“去括号、合并同类项”习题的练习归纳总结出整式的加减的一般步骤.培养学生的观察、分析、归纳和概括的能力，掌握知识的发生发展过程，理解整式的加减实质就是去括号、合并同类项.教学过程中由学生小组讨论概括出整式的加减的一般步骤，然后出示例题，由学生解答.同时采取由学生出题，其他同学抢答等形式，来提高学生的学习兴趣，充分发挥他们的主观能动性，提高课堂教学效益.
第3章 整式的加减
【基本目标】
1.通过引导学生复习总结知识结构，使其进一步加深对本章知识的理解；
2.通过对本章典型问题的举例，使学生进一步加深对本章知识的理解，提高运用能力；
3.学生通过练习，体会运用知识，解决问题的成就感;
4.进一步加强一般与特殊的关系的认识，从而使学生能进一步体会辩证唯物主义的思想.
【教学重点】本章基本概念和基本法则的理解和运用.
【教学难点】基本概念和基本法则的灵活运用及简单的数学思想方法的渗透.
一、知识框图，整体把握
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【教学说明】教师引导学生回顾本章知识点，边回顾边画出本章知识框图，使学生对本章知识有一个总体把握，了解各知识点之间的联系，加深对知识点的理解，为后面的运用奠定基础.
二、释疑解惑，加深理解
1.用字母表示数
用字母表示数是代数的一个重要特点.有了用字母表示数的知识，使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来.用字母表示数，还可以使数量关系的表示简洁明了，更具普遍意义，给研究和计算带来了极大的方便.
2.代数式
（1）代数式的定义
代数式是数与数之间、数与字母之间、字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连接起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号.另外，单独的一个数或字母也是代数式.
（2）代数式的规范书写
①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如 6×b常写作6·b或6b.但数与数相乘不遵循此原则，如6×8不能省略乘号，否则就写成了68，也不宜将“×”改为“·”，否则就写成了6·8，容易与6.8混淆.
②数字与字母相乘时，数字写在字母前面，而有理数又要写在无理数前面，如 6b一般不写作b6，2πr2不写作π2r2.
③除法运算写成分数形式，如 1÷a，通常写作1a （a≠0）.
④相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如 a·a写作a2，a·a·a写作a3.
3.列代数式
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性.但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍、大、小、多、少、增加了、增加到、除、除以等概念.
4.求代数式的值应注意的问题：
(1）若代数式中省略了乘号、代入数值后应添上“×”号；
（2）若代入的值是负数或分数时，应添上括号；
（3）注意解题格式规范，应写成“当……时，原式=……”的形式；
（4）代数式的字母可取不同的值，但所取的值不应该使所在的代数式或实际问题无意义.
5.正确理解单项式的有关概念
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（1）单项式的定义
数与字母的乘积组成的代数式为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式， 如 6，a都是单项式.因此，单项式只能含有乘法以及以数字为除数的除法运算，不能含有加减运算，更不能含有以字母为除数的除法运算.
（2）单项式的系数
单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式的系数为1或－1时，通常省略不写，但“－”号不能省略.如1ab写成ab，－1ab写成-ab.
(3）单项式的次数
一个单项式，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 .一个单项式的次数是几，我们习惯上又称作这个单项式是几次单项式.单项式中字母的指数为1时，1省略不写，但计算单项式次数时不能丢掉，或误认为是0.
6.理解并掌握多项式的有关概念
（1）多项式的意义
几个单项式的和叫做多项式 .多项式中含有加减运算，也可以含有乘方、乘除运算，但不能含有以字母为除数的除法运算.
(2）多项式的项.
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 .其中，不含字母的项，叫做常数项.常数项在多项式中次数最低.多项式有几项，我们习惯上又称为“几项式”.
(3）多项式的次数
多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数.
7.多项式的排列
(1）升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的升幂排列.
（2）降幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的降幂排列.
8.整式的意义
单项式与多项式统称为整式 .整式中不能含有以字母为除式的除法运算.
9.同类项概念及合并同类项的方法
（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
（3）合并同类项的法则
把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.
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10.去括号和添括号的法则
（1）去括号法则
括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”去掉，括号里各项都不变符号；
括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”去掉，括号里各项都改变符号.
（2）添括号法则
所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”，括到括号里面的各项都改变符号.
注意：添括号去括号正好是相反的两个过程，可以相互检验正误.
11.整式加减的方法与步骤
（1）如果有括号，应先去括号；
（2）如果有同类项，再合并同类项.
【教学说明】教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾，使学生对本章知识进行进一步的理解，形成一定的知识网络.
三、典例精析，温故知新
例1若xa-1y3与-3x-by2a+b是同类项，那么a,b的值分别是（ ）
A.a=2, b=－1.
B.a=2, b=1.
C.a=－2, b=－1.
D.a=－2, b=1.
思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系.
解析：由同类项的定义可得：a－1=－b,且 2a+b=3，
解得 a=2, b=－1，
故选A.
例2（化简代入求值法）已知x＝－15，y＝－13,求代数式(5x2y－2xy2－3xy)－(2xy＋5x2y－2xy2) .
思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值.
解析：原式＝5x2y－2xy2－3xy－2xy－5x2y＋2xy2＝－5xy
当x＝－，y＝－时，原式＝－5×（-）×（-）=-
总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果.应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值.
172
例3已知x2＋x＋3的值为7，求2x2＋2x－3的值.
思路点拨：该题解答的技巧在于先求x2＋x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想.
解析：由题意得x2＋x＋3＝7，所以x2＋x＝4，所以2(x2＋x)＝8，即2x2＋2x＝8，所以2x2＋2x－3＝8－3＝5.
总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法.运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化，在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到.
例4已知多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值与x无关，试求5a2－2(a2－3a＋4)的值.
思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.
解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4.
因为原式的值与x无关，故3a－9＝0，所以a＝3.
又因为5a2－2(a2－3a＋4)＝5a2－2a2＋6a－8＝3a2＋6a－8，
所以当a＝3时，原式＝3×32＋6×3－8＝37.
总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化.
例5已知关于x的多项式(a－1)x5＋x|b＋2|－2x＋b是二次三项式，求a,b的值.
分析：由题意可知a－1＝0，即a＝1，|b＋2|＝2，即b＝－4或0，但当b＝0时，不符合题意，所以b＝－4.
【答案】a＝1，b=－4
【教学说明】教师出示典型例题，让学生先尝试解答，教师予以讲解，在讲解的过程中，应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.
四、练习反馈，巩固提高
1.如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成图形阴影部分的面积为．
2.礼堂第一排有(a-1)个座位,后面每排都比前一排多1个座位.
(1)第二排有 个座位.
(2)第三排有 个座位.
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(3)第n排有多少个座位?
3.求a=-，b=4时, 6a+2b - 3(3a - b- 2a-2b +ab)的值.
4.某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x（x≥10）本.
(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.
(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？
【教学说明】学生独立完成练习，进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.
【答案】
1.(-1)a2 2.(1)a (2)a+1 (3)a+n-2
3.3a+11b-3ab,48
4.(1)第一种方式：25×10+5（x-10)=200+5x
第二种方式：0.9×（25×10+5x）=225+4.5x
(2)方式一：200+5×30=350
方式二：225+4.5×30=360∴选第一种方式购买更省钱
完成本课时对应的练习.
本节课是全章的复习课，先画出全章知识框图，使学生对本章知识有一个全面的了解；然后引导学生对本章的知识点和需要注意的问题进行回顾，更进一步理解本章知识点；接着通过典型的例题解析，加强对知识点应用的训练，加深对知识点的理解；最后通过练习，及时巩固所掌握的的解题方法，使学生更深入的掌握本章内容.
第4章 图形的初步认识
4.1 生活中的立体图形
【基本目标】
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1.能从现实背景中抽象出立体图形；
2.认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球；
3.认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征.
【教学重点】
1.感受图形世界的丰富多彩；
2.认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球.
【教学难点】
认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征.
一、创设情境，导入新课
1.一幅幅精美的图片带领同学们一起神游大地，去领略祖国的美景.
出示图片：北京天坛、故宫、鸟巢、水立方.
千姿百态的建筑物美化了我们的生活.展示了建筑师的聪明才智，在这些实物中有没有大家熟悉的立体图形？
2.学生观察图片回答.
【教学说明】通过欣赏图片导入本节课的学习，创设愉悦、宽松的氛围，让学生在完全放松的情绪下感知我们生活中处处存在着数学知识，产生学习立体图形的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.我们生活中的很多物体都是立体的，而这些物体中有一部分是较有规则的，如：
【教学说明】让学生识别常见的具体图形，从中抽象出立体图形，经历从具体到抽象的思维过程，培养学生抽象思维的能力，使学生研究问题的意识由具体到抽象转变.
2.常见的立体图形如下图：
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在上面的图形中：
（1）图1所表示的立体图形是柱体（圆柱体）；
（2）图2所表示的立体图形是柱体（棱柱体）；
（3）图3所表示的立体图形是锥体（圆锥体）；
（4）图4所表示的立体图形是球体；
（5）图5所表示的立体图形是锥体（棱锥体）.
【教学说明】教师及时对常见的立体图形进行归纳总结，并让学生叙述它们的特征，找到它们的相同点和不同点，为后面的分类奠定基础.
3.多面体的概念
观察上图2、5与图1、3、4，它们有什么区别？
小结：如上图2、5，围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体.
【教学说明】让学生对比找到不同点，教师归纳总结多面体的概念.
4.归纳总结：你能将这些立体图形进行分类吗？
简单立体图形分类:
柱体 圆柱
棱柱
立体图形 球体
圆锥
锥体 棱锥
【教学说明】根据上面图形的不同特征，进行分类，使学生掌握各种立体图形的特征，形成一定的知识体系.
5.另外，棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……
棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……
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【教学说明】
让学生观察后总结棱柱和棱锥的特征，按照特征找出规律.
三、练习反馈，巩固提高
1.在下面四个物体中，最接近圆柱的是（）
2.下面图形中上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与上面立体图形对应的实物.
3.说出下列立体图形的名称：
172
【教学说明】学生独立完成，在解答时，要结合具体的图形进行，注意图形的特征.对于叙述不准确的地方，教师要及时予以纠正和强调.
【答案】1.C3.四棱锥、圆柱体、三棱柱、三棱锥、圆锥
四、师生互动，课堂小结
1.简单立体图形分类:
柱体 圆柱
棱柱
立体图形 球体
圆锥
锥体 棱锥
2.多面体的概念：围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体.
【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.
完成本课时对应的练习.
本节课的教学应从具体的图像入手，引导学生从中抽象出立体图形，使学生经历从具体到抽象的思维过程，初步培养学生的抽象思维能力.通过对简单立体图形的分类，渗透分类思想.提高学生的识图能力，通过比较掌握图形的特征.
4.2立体图形的视图
【基本目标】
1.经历“从不同方向观察物体”的活动过程，发展空间观念；
2.在观察的过程中，初步体会从不同方向观察同一个物体可能看到不一样的结果；
3.能画出简单立体图形的三视图；
4.使学生能利用三视图来描述出实际的立体图形.
【教学重点】如何确定物体的三视图和如何根据三视图画出正确的立体图.
【教学难点】如何根据三视图描述具体的立体图形.
一、情境导入，激发兴趣
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1.工人在建造房子之前，首先要看房子的图纸.但在平面上画空间的物体不是一件简单的事，因为必须把它画得从各个方面看都很清楚.为了解决这个问题，创造了三视图法.建筑工程师和工人为了描绘和制造各种物体常常使用这种方法.
【教学说明】视图法在生活中有着较广泛的应用，特别对于要涉及到立体图形的工作.通过教师介绍，使学生对于视图的应用有一个大致的了解.
2.视图来自于投影.下面请同学们利用手型的变化做一个手影游戏，比一比谁的手影最具有创意.
【教学说明】通过手影游戏，引起学生探究的兴趣，使学生自觉投入到探究中.
3.灯光的光线可以看作是从一点发出的，我们称这种投影为中心投影；太阳的光线可以看作是平行的，我们称这种投影为平行投影.视图是一种特殊的平行投影.
【教学说明】教师将手影游戏及时与相关的数学知识联系起来，自然过渡到新课的教学.
二、合作探究，探索新知
1.由立体图形到视图
（1）观察下列物体，你从正面、上面和左面（或右面）看到的图形是一样的吗？你能将看到的图形画出来吗？
【教学说明】教师准备一个实物，以便于学生观察，从不同的角度让学生观察，叙述所看到的图形.
（2）学生尝试完成.
【教学说明】教师引导学生从不同方向看，然后让学生叙述所看到的图形，然后尝试画出所看到的图形，使学生经历一个完整的思维过程.
（3）小结：从不同的方向看同一个物体，所看到的结果可能是不同的.从正面看到的图形，称为正视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看方向不同，有左视图、右视图.
【教学说明】教师及时总结正视图、俯视图和侧视图，形成规范的知识点，使学生明确三视图是从哪些方向看.
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2.由视图到立体图形
（1）观察思考：如图中所示的是一些立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称，并画出相应的实际立体图形.
(1)
（2）
教师根据学生的回答小结：（1）该立体图形是长方体，如图所示:
(2)该立体图形是圆锥, 如图所示：
【教学说明】由三视图到立体图形更需要学生具有空间想象能力，或者说如何使学生对一些基本图形更加熟悉，所以培养学生的图感仍是重中之重.图中只是从一个方向所见得到的平面图形，所以在此必须引导学生从多个方面去思考，逐渐培养学生的发散性思维.
三、示例讲解，掌握新知
例1画出如图所示的正方体和圆柱体的三视图.
解:如图，正方体的三视图都是正方形
172
圆柱体的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆形.
【教学说明】画三视图，应抓住的关键是从哪一个角度来观察，另外很重要的是一个把立体图形转化为平面图形的过程，应观察出所得的有关线条与轮廓.教师可以先让学生叙述所看到的图形，再画出相应的图形.
例2画出如图所示的圆锥的三视图.
解：圆锥的三视图如图所示：
【教学说明】圆锥的俯视图要注意中心有一个点，教师可以让学生先画出图形，教师再予以纠正和强调.
例3如图是一个物体的三视图，试说出物体的形状.
解：此物体如图所示：
【教学说明】抽象思维及平面图形如何相互组合成立体图形，这一过程是一个充分思维的过程.学生完成此例有一定的困难，教师可适当让学生以小组为单位，准备一些长方体的实物，按照观察思考的图形进行摆放，逐步由具体过渡到抽象.
四、练习反馈，巩固提高
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1.画出下列物体的三视图.
2.如图是几个小立方体所搭成的立体图形的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小立方体的个数，请画出这个立体图形的主视图和左视图.
【教学说明】第1题是画立体图形的三视图，学生能够比较容易画出来，第2题是由三视图想象立体图形，对于学生来讲有一定的困难.可以让学生先叙述它的形状，或者用实物摆放试试，再画出主视图和左视图.
【答案】
1.
2.
五、师生互动，课堂小结
1.从不同的方向看同一个物体，所看到的结果可能是不同的.从正面看到的图形，称为主视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看方向不同，有左视图、右视图.
2.我们可以通过一个物体的三视图，描述这个物体的形状.
【教学说明】教师引导学生对所学内容进行总结，对出现的问题及时予以纠正和强调，对相关的方法进行总结，加强学生对本节课知识的理解.
完成本课时对应的练习.
172
本节课对学生的抽象思维能力的发展很重要，是学生由具体到抽象的过渡.由两个内容构成，一是由立体图形到视图，要使学生明确从不同的方向看，可能会看到不同的图形，通过观察与归纳，能画出从不同方向看到的图形，发展观察思考能力；二是由视图到立体图形，这是本节课的难点，开始可以由简单的、学生熟悉的图形入手，让学生通过观察和想象，描述具体的立体图形，对于比较复杂的图形，可以适当让学生用实物演示，得出结论，然后总结方法和规律，逐步过渡到直接抽象出相应的立体图形.
4.3 立体图形的表面展开图
【基本目标】
1.让学生通过直观感知、操作等实践活动，丰富立体图形的认知和感受，进一步认识立体图形与平面图形的关系；
2.会判断所给定的平面图形能否折成立体图形；
3.给出一些立体图形的展开图，能说出相应立体图形的名称；
4.会判断给定的平面图形是否为某立体图形的展开图，并会把一个简单的立体图形展开成平面图形；
5.培养学生的观察、实践操作能力和空间想象能力.
【教学重点】根据立体图形研究其展开图和根据展开图判别立体图形.
【教学难点】研究一个简单立体图形的展开图.
一、情境导入，激发兴趣
1.观察生活的周围，就会发现物体的形状千姿百态……，这其中蕴含着许多图形的知识.
2.当我们进行包装时，它们的展开图是怎样的呢？下面让我们一起来探究.
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【教学说明】教师可展示实物，方便探究.通过实物展示，引起学生探究的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.圆柱体是我们所熟悉的图形，那么圆柱体的侧面展开图是什么图形呢？请你画出来.
【教学说明】可以让学生动手操作，再画图，有一个直观的认识.
2.“折一折”：如下图是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？
【教学说明】先让学生想象、猜测，再动手做，然后请学生来回答，在折起时，应掌握一定的规律性东西，即，如何折，从何折起.
3.学生以小组为单位展开探究，将结果画在黑板上，教师及时予以总结.正方体展开图如下图：
根据图形做出归纳小结：第一行是1-4-1组合；第二行第1-3个是2-3-1组合；第二行最后两个分别是2-2-2和3-3组合.
【教学说明】注意：（1）立体图形有几个面，它的平面展开图就由几个面构成；（2）同一个立体图形，按不同方式展开得到的平面展开图是不一样的.
三、示例讲解，掌握新知
把如右的正方体纸盒展开成平面图形：
思考：
（1）沿着一个正方体的一些棱将它剪开得到一个平面图形，需要剪开几条棱？
（2）对上述正方体的展开图尝试分类.
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【教学说明】可以汇集学生所剪得的不同的展开图，张贴在黑板上，必要时教师提供几种新的展开图让学生作参考.
四、练习反馈，巩固提高
1.画出圆柱、长方体、三棱柱、圆锥的表面展开图，看它的平面展开图是什么，把相应的图形连起来.
2.在下面的图形中，不可能是圆锥体的展开图的是（ ）
3.如图，在这些图形中，是四棱柱的侧面展开图的是 （填序号）.
4.如图，（ ）不是正方体的展开图
5.如图，下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称.
6.在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有（ ）
A.7种
B.4种
C.3种
D.2种
【教学说明】让学生充分发挥想象，将结果与其他同学进行交流.对于第6题，要注意总结规律，便于学生掌握.
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【答案】
1.略2.A3.①4.D5.
长方体、三棱锥、三棱柱、五棱锥6.B
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？
【教学说明】让学生自我总结收获和疑问，在小组内进行交流，教师再根据交流的情况，对典型问题进行强调.尤其是对正方体的展开图规律再次进行强化.
完成本课时对应的练习.
本节课主要内容是立体图形的平面展开图，学习本节课内容需要学生有一定的空间想象能力，所以在实际教学中，应多从具体的实物入手，让学生通过动手操作来发现规律并及时进行总结，然后再通过抽象的想象来解决问题，给学生一个适应的过程.
4.4 平面图形
【基本目标】
1.知识目标：让学生经历观察——画图——认知——设计的过程，了解生活中的圆和多边形；通过画图——分析——归纳，了解多边形与三角形之间的关系，将一个多边形分割成三角形.
2.能力目标：从具体图形中，通过抽象、概括，画出它的表面形状，把一个多边形进行分割转化成三角形，从中渗透数学转化思想，并锻炼学生的动手操作能力.
3.情感态度目标：通过欣赏优美的图案、亲自动手设计图案，感知数学的美、感受数学的魅力.
【教学重点】让学生发现生活中的圆、多边形及其给生活带来的美和享受，进而认识多边形，会将一个多边形分割成三角形.
【教学难点】多边形分割成三角形的方法.
一、情境导入，激发兴趣
1.观察下面所示的各物体，你能画出它们表面轮廓线的形状吗？
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【教学说明】将具体的实物图片呈现给学生，让学生经历从具体到抽象的思维过程.
2.虽然我们所处的世界是一个立体的世界，是一个三维的世界，但通过前面的学习，我们也知道，立体图形是由平面图形所组成的，我们也知道，其实有时我们观察物体，都是从其表面开始的：
【教学说明】从学生最熟悉的实际物体入手，发挥学生的想象力，将理论与实际相联系，理论联系实际是数学学习的关键，也是学习数学的一个重要出发点.
二、合作探究，探索新知
1.其实，生活中的物体，它们的表面都是有一定形状的平面图形，如：
【教学说明】让学生认识到复杂的物体从简单的图形研究起.培养抽象思维、概括能力，初步感知圆和多边形图形.
2.观察这些图形，你能发现它们是怎样构成的吗？
概括：（1）圆是由曲线围成的封闭图形；
（2）多边形是由线段围成的封闭图形.
按照组成多边形的边数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形……；另外，多边形也可分为凹多边形与凸多边形.
【教学说明】先让学生观察得出结论，然后教师再用规范严密的语言进行总结，重点强调多边形的特征，可适当举例说明.
3.我们都知道，每个多边形都可以看成是由三角形组成的，即三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形.如：
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从上图中，可以发现三角形的个数刚好与边数有一定的规律：即
三角形的个数=边数-2
【教学说明】教师可做适当引导，然后让学生动手画一画，发现其中的规律，充分让学生展示，培养学生的语言表达、概括能力.
三、示例讲解，掌握新知
例1认识图形，说出以下图形是不是多边形.
【教学说明】先让学生观察后回答，教师提示应符合两点：线段和封闭.
例2下面各图中，哪几个是四边形？
【教学说明】学生观察后回答，教师先不急于肯定对错，让学生判断，教师再予以纠正和强调.
四、练习反馈，巩固提高
1.下列图形中，不是多边形的是（ ）
2.下列图形中，是四边形的是（ ）
A.①③B.②③④
C.③④D.①②④⑤
3.给下面的多边形写出一个合适的名称：
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4.如图,每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形.
按如图所示的方法，十五边形可以分成 个三角形.
【教学说明】第1、2、3题是对多边形的认识，学生应该很容易解答，对于第4题，可以提示学生找出规律，再进行解答.
【答案】1.D2.C3.(1)五边形（2）三角形（3）四边形4.13
五、师生互动，课堂小结
1.（1）圆是由曲线围成的封闭图形；
（2）多边形是由线段围成的封闭图形.
2.在多边形中，三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形.
【教学说明】教师引导学生对所学内容进行总结，对出现的问题及时予以纠正和强调，对相关的方法进行总结，加强学生对本节课知识的理解.
完成本课时对应的练习.
1.在本节课的教学中，从数学的具体图形入手，让学生通过观察与思考，得出结论.将多边形分割成若干个三角形是本节课教学的难点.教师要引导学生动手操作，总结出规律，应该鼓励学生采用不同的分割方法.
2.本节课能抓住学生的爱好和心理需求，在轻松、愉快的气氛中让学生学到数学知识，并能把数学知识同生活实际联系起来.
3.本节课是在学生认识多边形和圆，并认识到它们可以组成各种优美的图案的基础上发散学生的思维能力，培养学生大胆想象的能力、创新能力和动手能力.让学生真正参与了教学，同时学生也得到了展示自己的机会和舞台.
4.5 最基本的图形——点和线
1.点和线
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【基本目标】
1.使学生理解任何图形都是由点和线组成的，体会线段、射线、直线的形象，正确区分这三个图形，掌握它们的表示方法．
2.感受、体会、理解“两点之间，线段最短以及两点确定一条直线”，掌握两点间距离的概念．
【教学重点】线段、射线、直线的定义以及表示方法，熟悉简单的几何语言．
【教学难点】线段、射线、直线的区别与联系．
一、情境导入，激发兴趣
1.如果你站在一座足够高的楼上，望着楼底下的某一个人，那么你将能见到什么？
2.黑夜中用聚光灯照射远处的墙壁，我们会看到什么？
3.如果你把一条两头都打结的绳子拉直了，你将能发现什么？
【教学说明】让学生充分发挥想象，对于学生的回答教师应该给予肯定，激发学生探究的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.从情景中，我们可以知道，你能看到的将是一个点，而这个点就表示着这个人或
聚光灯照射处
的位置，因此，可以概括：点通常表示一个物体的位置.
点
图形：·A
表示：点A（A点）.
2.日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象.
线段
图形：
表示：线段AB 线段d
【教学说明】在讲解时，要注意一方面通过现实生活中的实例让学生理解这些概念，另一方面要引导学生考虑现实生活中的哪些事物具有这些形象.
3.利用线段的形象，我们顺利引出了射线与直线.
概括：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线；把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.
射线
图形：
172
表示：射线AB 射线d
直线
图形：
表示：直线AB直线d
【教学说明】考虑到“线段”的概念更为直观，所以由“线段”引入“射线”和“直线”，可让学生经历直线和射线的形成过程.注意几个概念间的区别和联系.
4.小结：对于线段、射线、直线，应该进行综合的比较：
【教学说明】将线段、射线、直线之间的区别以表格形式呈现，便于学生进行对比，从而更好的掌握特征.可以先呈现表格，然后让学生观察填空.
5.试一试.
（1）线段公理
观察下图，从A地到B地有三条路径，你会选择哪一条？
从上边的图中，我们很容易发现：如果从A地到B地，走直路的路程是最短的，即在这些把A、B连结起来的线中，线段AB是最短的.
概括：两点之间，线段最短.
连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离.
【教学说明】两点间的距离是指连结两点的线段的长度而不是线段本身，这是一个数量概念，要求学生正确理解两点间距离的含义.
（2）直线的公理
我们要把一根木条钉紧，只用一个钉子，行吗？那么至少需要订几个钉子才能将木条钉紧？
由生活中的经验，我们都知道，一个是不够的，至少需要两个钉子才能将木条钉紧.
172
概括：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线.
【教学说明】由实际生活现象归纳出相应的数学原理，是一个难点，教师可多举一些实例便于学生理解和应用.
三、练习反馈，巩固提高
1.如图所示，A、B、C是同一直线上的依次三点，下列说法正确的是（ ）
A.射线AB与射线BA是同一条射线
B.射线AB与射线BC是同一条射线
C.射线AB与射线AC是同一条射线
D.射线BA与射线BC是同一条射线
2.下列说法正确的是（ ）
A.直线AB的长是A、B两点间的距离
B.线段AB是A、B两点间的距离
C.A、B两点间连线的长是A、B两点间的距离
D.线段AB的长是A、B两点间的距离
3.平面上有四个点，经过每两个点作一条直线，则作出的直线最多有（ ）
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
4.四条直线两两相交，其交点个数最多有（ ）
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
5.如图所示，共有线段 条；共有射线 条；共有直线 条.
6.用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明 ；用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明 .
【教学说明】学生独立完成，对于第5题，学生容易数漏，教师应引导学生总结规律，第6题是学生不太熟悉此的问题，教师可适当补充一些实例，加深学生的理解.
【答案】1.C 2.D 3.D 4.D
5.5，6 ，3
6.经过一点可以画无数条直线，两点确定一条直线
四、师生互动，课堂小结
1.线段、射线和直线有什么联系和区别？
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2.两点之间，线段最短.
连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离.
3.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线.
【教学说明】教师引导学生对所学内容进行总结，主要是比较三线的区别，对相关的方法进行总结，加强学生对本节课知识的理解.
完成本课时对应的练习.
本节课是学生学习几何的入门课，培养学生的几何意识对于本节课来讲就很重要.教师可以从具体形象的实际例子入手，使学生经历从具体到抽象的思维过程，从而培养学生的几何意识.抽象是数学的一种基本思想和基本方法，让学生从实际生活的物体、图形中抽象得到点、线、面、体等数学概念.概括事物的数学属性，引导学生从数学的角度去看待实际物体，提高学生的抽象思维能力，引导学生的思维习惯.
2.线段的长短比较
【基本目标】
1.使学生掌握分别用测量与重叠来比较线段大小的方法；
2.使学生充分理解两条线段大小比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化；
3.线段中点的性质及其简单运算.
【教学重点】线段大小比较的方法及其原理.
【教学难点】如何引导学生从“数量”的角度引入到从“形”
172
的角度来分析两条线段的大小比较.
一、情境导入，激发兴趣
1.如果有两个同学在比较高矮，你们一般是怎么做的？
解决方法：让两个人站在一起来比较；分别量出这两个同学的身高.
2.如何比较数学书长和宽的长度大小？你能够想到什么方法？
解决办法：可以拿两本相同的数学书，将长和宽重叠进行比较；分别测量长和宽的长度；用圆规截取书本的宽度，再和长相比较.
【教学说明】在这几个问题中要充分发挥学生间的讨论，让他们自己发现解决问题的方法，对于第2个问题更要提醒学生采用多种方法进行比较.
二、合作探究，探索新知
1.从上面的探究，怎样比较下图中两条线段的长短？
小结：从上面的引例，我们很容易知道，比较两条线段的长短有两种方法：
（1）用刻度尺度量；（2）利用圆规进行移动.
如图有线段AB与线段CD，且进行了以上的有关比较方法.
如果通过比较知：线段AB比线段CD短，则表示为：
ABAB）
【教学说明】让学生动手操作，然后在小组内讨论总结方法，对于用几何语言表示线段的大小关系，学生比较陌生，教师应示范讲解，可多举几个例子让学生尝试写一下.
2.如图，MN是已知线段，你能用直尺和圆规准确地画一条与MN相等的线段吗？
小结：我们可以先画射线AB，然后用圆规量出线段MN的长，再在射线AB上截取AC=MN，那么，AC就是所要画的线段．
【教学说明】教师可以先示范讲解，然后让学生自己尝试画图.
3.在一张半透明的纸上画一条线段AB，将线段AB折叠，使点A和点B重合，折痕与线段AB的交点为C，测量AC与BC、AB的长度，你有什么发现？
小结：ＡＣ＝ＣＢ＝ＡＢ，ＡＣ＋ＣＢ＝ＡＢ
归纳：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点.
如上图，点Ｃ是线段ＡＢ的中点.
172
【教学说明】教师讲解，要求学生动手操作完成，然后将得到的结果进行交流，教师总结线段中点的定义，然后示范用几何语言表示.
三、示例讲解，掌握新知
例：如图，AB=6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，那么AD多长呢？
解：因为C点是AB的中点
所以AC=BC=AB=3cm
因为D点是BC的中点
所以CD=BC=1.5cm
所以AD=AC+CD=3+1.5=4.5cm
【教学说明】例题应掌握其解题的有关方法，特别是基本的格式.这是一个简单的推理解答，教师在讲解时要注意引导学生掌握思路和方法.
四、练习反馈，巩固提高
1.如图①，AD＝AB－ ＝AC+ .
图①
2.如图②，下列说法不能判断点C是线段的中点的是（ ）
A.AC＝CB
B.AB＝2AC
C.AC＋CB＝AB
D.CB＝AB
图②
3.在直线m上顺次取A、B、C三点，使AB＝4cm,BC=3cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长.
分析：由题意画图，根据线段的和、差及中点的意义去考虑.
【教学说明】第1、2题，主要是对线段的和差、线段的中点进行检测，提醒学生观察图形进行解答，第3题是第一次由学生接触到由几何语言转化为几何图形的题型，应引导学生先画出图形，再进行解答.
【答案】1.BD CD 2.C 3.
AC=AB+BC=4+3=7cm∵O是AC的中点，∴AO=AC=×7=3.5cm∴OB=AB-AO=4-3.5=0.5cm
五、师生互动，课堂小结
172
1.比较两条线段的长短有两种方法：
（1）用刻度尺度量； （2）利用圆规进行移动.
2.把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点.
如下图，点Ｃ是线段ＡＢ的中点，
则ＡＣ＝ＣＢ＝12ＡＢ，ＡＣ＋ＣＢ＝ＡＢ.
【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行回顾，重点强调用几何语言表示实际问题的规范性，理解中点的含义.
完成本课时对应的练习.
在本节课的安排上应逐渐在几何中渗透几何语言的描述，并应注意到其语言的规范性.在知识上应对本节课内容上有所拓展，而不能局限于教材.要引导学生来发现问题，并学会找到解决问题的方法.
4.6角
1.角
【基本目标】
1.使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法；
2.使学生掌握角的各种表示方法；
3.通过角的第二定义的教学，使学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点；
4.使学生掌握平角、周角和直角的概念；
5.掌握角的单位换算，会进行计算；
6.会用角准确的表示方向.
【教学重点】角的概念及两个定义和角的表示法.
【教学难点】角的单位换算和用角准确的表示方向.
一、情境导入，激发兴趣
观察下面的图形，你发现什么共同的特点吗?
172
这些图形都给了我们角的形象.
【教学说明】在讲解本部分时，应注意与小学中有关知识相联系，以达到平滑过渡.
二、合作探究，探索新知
1.根据你对上面角的观察，你能说说什么样的图形叫做角？
小结：角的定义：
（1） 角是由两条有公共端点的射线组成的图形.
（2）从运动变化的角度来看，角可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.
【教学说明】可以利用教学用的圆规，将一条边进行旋转形成角来引导学生从动态的角度给角下一个定义.对于角的两种不同定义，应从不同的角度进行理解，并区别在不同情况下所包含的意义.角的两种定义其实都隐含了组成角的一个重要因素：即两条射线间相对的位置关系.
2.如何表示一个角呢？
小结：角的表示方法：有以下几种表示方法(如图所示)：
【教学说明】对于角的四种表示方法，各有其优点，在讲解中必须加以说明，并能在讲解中使学生认识到各种表示法的优缺点.要强调表示方法的规范性.
3.平角和周角
在上面的旋转过程中，有两种特殊的情况：第一种是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；第二种是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角.
【教学说明】在讲解时应该进行教具演示，使学生直观理解平角和周角的定义.
4.角的度量
如何使用量角器测量角的大小？
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从量角器中我们已经知道如果把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1°.但是一个角并不正好是整数度数，与长度单位一样，考虑用更小一些的单位.把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1′；而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1".
这样，角的度量单位度、分、秒有如下关系：
1周角=360° 1平角=180°
1°=60′1′=60"
【教学说明】让学生通过亲自动手度量角，从而得到角不一定是整度的,所以自然此刻引出分﹑秒.向学生说明此结论不用死记硬背，可以仿照时间来记忆.
5.方位角
还记得下图八个方向吗?但在日常生活中，八个方向是不够用的，这只是一种大致的方向.如果要准确地表示方向，那就要借用角度的表示方式.
三、示例讲解，掌握新知
例1（1）把18°15′化成用度表示的角；
（2）把93.2°化成用度﹑分﹑秒表示的角.
解：（1）15′=1560°=0.25°
18°15′=18°+15′=18.25°
（2）0.2°=0.2×60′=12′
93.2°=93°+0.2°=93°12′
【教学说明】先让学生动手做一做,有困难的适当点拨.
例2 如图所示， OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
① 偏东25°；
② 偏西60°.
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解:①以南方向的射线为始边，向东方向旋转25°所成的角，即为所求.
②以北方向的射线为始边，向西方向旋转60°所成的角，即为所求.
【教学说明】三种不同情况下的方向角的表示法，应是特别重要的知识.另外，在讲解中一个必须讲清楚的是：同一射线上的点的方向是相同的，但两者的位置是不一样的.
四、练习反馈，巩固提高
1.计算：
（1）180°－（35°18′5″＋62°56′15″）；
（2）180°－79°36′20″；
（3）73°45′55″＋61°41′37″.
2.写出图中所有小于平角的角.
【教学说明】第1题要注意是60进位制，学生可能不太习惯，第2题不要数漏角.
【答案】
1.(1)81°45′40″ (2)100°23′40″ (3)135°27′32″
2.(1)∠CAE,∠CAD,∠CAB,∠DAE,∠EAB,∠DAB,∠C,∠CEA,∠AED,∠EDA,∠ADB,∠B
(2)∠AOC,∠AOE,∠AOD,∠COE,∠COB,∠COD,∠EOB,∠BOD(3)∠A,∠B,∠C,∠D
五、师生互动，课堂小结
1.角的定义
（1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形.
（2）从运动变化的角度来看，角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.
2.一条射线绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角.
3.角的单位换算
1周角=360° 1平角=180°
1°=60′ 1′=60″
4.我们可以借用角来表示方向.
【教学说明】本节课内容比较多，教师要逐一引导学生回顾，对于角的计算要强调是60进制，方位角是新的内容，可再举例让学生加深印象.
完成本课时对应的练习.
172
本节课的教学应该从学生所熟悉的图形入手，结合学生小学已经掌握的关于角的知识来逐步引入本节课内容.然后从静态和动态两个角度给角下定义.在讲解时，可利用相关的教具进行直观的演示，以利于学生理解.角的表示方法是本节课的重点，教师一定要讲清楚每种方法怎样表示以及应该注意的问题，使学生能够熟练掌握.角的度量单位的换算是本节课的难点，教师可提醒学生仿照时间的换算来进行记忆.在进行换算时，教师要先进行示范讲解，将每一步的过程演示清楚，然后可适当补充练习，使学生掌握.
2.角的比较和运算
【基本目标】
1.了解角的大小比较的方法；
2.掌握角的度数的运算和角的运算；
3.掌握角的平分线及其应用；
4.会用圆规和直尺画一个角等于已知角.
【教学重点】
1.角的度数的运算和角的运算；
2.角的平分线及其应用.
【教学难点】
1.角的度数的运算；
2.角的平分线的应用.
一、情境导入，激发兴趣
1.比较两条线段的长短有哪些方法？
小结：测量法；叠合法.
2.我们如何比较两个角的大小呢？
【教学说明】首先在导入新知识的过程中，必须对旧的知识进行适当的复习，使学生有一个启示.
二、合作探究，探索新知
1.角的大小比较
（1）出示教具，探索讨论：
观察以下三个角，你能说出它们的大小吗？
172
（2）学生提出方法，教师小结：
①叠合法(课件)
把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧.
②度量法
用量角器分别量出角的度数，再加以比较.
【教学说明】让学生动手操作，通过讨论总结方法.重叠法是一个难点，但此法比较适用于实际中的比较.
2.角的和差关系
（1）观察下图中有哪几个角，把它写下来： .
（2）根据上图中角之间的关系填空：
∠AOB= + ；
∠BOC= - ；
∠AOC= - .
【教学说明】让学生自主观察思考后回答，教师适时总结.
（3）我们都知道一副三角板有六个角，其中四个不同的角（30°、45°、60°、90°），对于这些角，我们除了可直接画出以外，还可以利用这些角的和或者差画出哪些度数的角？
学生自主探究后回答，教师根据学生的回答小结：
可以画出如下度数的角：
15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、
120°、135°、150°、165°.
【教学说明】学生自主探究，通过共同的补充，找出所有的结论.在画角时，如何画应是老师必须给予提示与讲解的，特别是如何放角的顶点与边.
（4）我们也可以对角进行简单的加减运算，试计算：
34°34′+21°51′=
180°-52°31′=
172
【教学说明】学生自主完成，注意进制.
3.作一个角等于已知角
在前面的学习中，我们已经知道如何作一条线段等于已知线段，同样，我们也可以利用圆规来作一个角等于已知角.
【教学说明】教师示范画图，学生根据教师示范的步骤画图.作图应作为一个补充知识，重要的是让学生实际操作，掌握方法.
4.角平分线
（1）请同学们把一个角的两边对折，让两边互相重合.这时，我们将看到这个角的中间有一条射线，请你测量所分成的两个角的大小，你有什么发现？
（2）小结：这条射线将这个角分成两个相等的角，这时，我们把这条射线称为这个角的角平分线.
归纳：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
如图，已知ＯＣ平分∠AOB，则有：∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
【教学说明】角平分线的知识是一个几何中的重要知识点，在教学中，老师不能放松，要加强讲解.教师示范如何用几何语言来表示角平分线，然后举例让学生再做一次，加深印象.
三、示例讲解，掌握新知
例已知，如图，∠AOC=80°，∠BOC=50°，OD平分∠BOC，求∠AOD.
【教学说明】例题的讲解是本题的重点，几何题的分析是一个几何学习的重点与难点，必须使学生在学习中有一个渐进的过程.另外在例题的讲解中，如何书写几何题的过程也是一个非常难的步骤.
四、练习反馈，巩固提高
1.如图1，∠AOB ∠AOC,∠AOB ∠BOC.(填“＞”,“=”或“＜”)
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2.如图2,∠AOC= + = - ;
∠BOC= - = - .
3.如图3，所示：（1）∠DAB =∠DAC+ ；
（2）∠ACB =∠DCB - .
图3 图4
4.如图4，若∠AOB =∠BOC =∠COD，则OB是 的平分线， =∠AOC， ∠BOC = = =
5.如图，已知∠AOB=50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.求∠EOD的度数.
6.如图，将长方形纸片沿AC折痕对折，使点B落在B′，CF是∠B′CE 平分线，求∠ACF的度数.
【教学说明】第1、2、3题是角的和差计算，学生观察图形后进行解答，第4题是对角平分线的应用，第5、6题是解答题，要注意过程的规范性.
【答案】1.>,> 2.∠AOB,∠BOC,∠AOD,∠COD,∠AOC,∠AOB,∠BOD,∠COD
3.(1)∠BAC(2)∠DCA 4.∠AOC,∠AOB=∠BOC,∠AOC,∠BOD,∠AOD 5.∠EOD=25° 6.∠ACF=90°
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五、师生互动，课堂小结
1.角的大小比较方法：①叠合法；②度量法.
2.我们可以利用圆规来作一个角等于已知角.
3.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
【教学说明】教师引导学生对所学内容进行总结，重点强调对角平分线的理解，对相关的方法进行总结，加强学生对本节课知识的理解.
完成本课时对应的练习.
本节课主要学习角的大小比较和运算，是本章的重点和难点，所以在讲解的时候，要将每个知识点讲解透彻，要多举实例，使学生理解得更透彻.角的平分线是本节课的重点和难点内容.首先可以让学生通过折叠角得到角平分线，然后通过测量感知角平分线将一个角分成两个相等的角，使学生形成较深刻的印象，教师在学生探究的基础上，及时进行总结，形成完整的知识点.最后，通过具体的例子进行相关知识的应用，发展学生使用知识的能力.
3.余角和补角
【基本目标】
1.理解互为余角和补角的概念；
2.掌握余角与补角的性质及其简单应用；
【教学重点】正确求出一个角的余角和补角.
【教学难点】余角和补角性质的应用.
一、情境导入，激发兴趣
1.如图1，已知∠1=149°，∠2=31°，那么∠1+∠2= .
2.如图2，已知∠COD=90°,那么∠1+∠2= .
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【教学说明】与本节相关知识有联系的并不多，主要还只是角的和差，所以应简单对角的和、差计算进行适当的复习.
二、合作探究，探索新知
1.计算.
（1）如图3，已知∠1=28°，∠2=62°，那么∠1+∠2＝ .
（2）如图4，已知∠1=62°,∠2=118°,那么 ∠1+∠2＝ .
（3）如图5，A、O、B在同一直线上，∠1+∠2= .
2.通过上面的计算，你发现∠1与∠2的和各满足什么条件？
小结：互为余角的定义：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余；
互为补角的定义：两个角的和等于180°（平
角），就说这两个角互为补角，简称互补；
3.思考：
问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？
问题2：若∠1+∠2 +∠3 =180° ，那么∠1、∠2、∠3互为补角吗？
【教学说明】两个问题环环相扣，让学生逐一回答，教师及时进行总结归纳，对于“互为”的含义要讲解清楚.另外有关余角、补角的学习就看成一个整体，运用类比的方法来对待而不能单纯分开来讲解.
4.余角、补角的性质
（1）如图∠1 与∠2互余，∠3与∠4互余，∠1= ∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
余角性质：同角或等角的 相等.
（2）如图∠1 与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1= ∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
补角性质：同角或等角的 相等.
【教学说明】让学生通过计算得出结论，然后进行总结归纳.性质的学习是本节课的一个重点和难点内容，可适当补充例子讲解，使学生理解更深刻.
三、示例讲解，掌握新知
例1已知∠α=50°17′，求∠α的余角和补角.
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【教学说明】学生自主完成，要注意角度进制是60，教师予以强调.
四、练习反馈，巩固提高
1.已知∠1=20°,∠2=30°,∠3=60°,∠4=150°,则∠2是 的余角, 是∠4的补角.
2.如果∠α=39°31′,∠α的余角∠β = ,∠α的补角∠γ= ,∠γ-∠β= .
3.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3= , 依据是 .
4.一个角的补角比它少40°,求这个角的度数.
【教学说明】学生独立完成，对于第4题，可提示学生结合方程来进行解答.
【答案】
1.∠3 ∠2
2.50°29′140°29′90°
3.40°同角的余角相等 4.设这个角为x°，则x-(180-x)=40，x=110.
五、师生互动，课堂小结
1.两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余；
两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补；
2.余角性质：同角或等角的余角相等.
补角性质：同角或等角的补角相等.
【教学说明】教师引导学生对所学内容进行总结，重点强调互为余角、互为补角的理解和性质的应用，对相关的方法进行总结，加强学生对本节课知识的理解.
完成本课时对应的练习.
本节课主要学习了有关角的特殊关系：互为余角、互为补角，和它们相关的性质.对于它们之间的关系，一定要讲清“互为”的含义.对于余角和补角的性质必须在知识的应用中有一个初步掌握，并能理解应用.
第4章 图形的初步认识
【基本目标】
1.使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章的全部知识；
2.对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识；
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3.掌握本章的相关概念和图形的性质；
4.理解本章的数学思想方法；
5.了解本章的题目类型．
【教学重点】立体图形与平面图形的互相转化及一些重要的概念、性质等.
【教学难点】建立和发展空间观念；对图形的表示方法，对几何语言的认识与运用.
一、 知识框图，整体把握
【教学说明】教师引导学生回顾本章知识点，边回顾边画出本章知识框图.使学生对本章知识有一个总体把握，了解各知识点之间的联系，加深对知识点的理解，为后面的运用奠定基础.
二、释疑解惑，加深理解
1.通常画一个立体图形要分别从正面看、从左面看、从上面看.如从不同方向看图1就可得到图2中的三个图形.同样由图2的三个图形也可以画出图1.如果不能认真的观察分析立体图形的特征，就不能正确画出相应的平面图形.
图1 图2
172
2.在研究直线、线段、射线的有关概念时，容易出现延长直线或延长射线之类的错误.在用两个大写字母表示射线时，容易忽视第一个字母表示的是这条射线的顶点.
3.直线有这样一个重要性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线.线段有这样一条重要性质：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.这两个性质是研究几何图形的基础，应抓住性质中的关键性字眼，不能出现似是而非的错误.
4.注意线段的中点是指把线段分成相等的两条线段的点；而连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.这里应特别注意线段与距离的区别，即距离是线段的长度，是一个量；线段则是一种图形，它们之间是不能等同的.
5.角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后.
6.在研究互为余角和互为补角时，容易混淆这两个概念.常常误认为互为余角的两个角的和等于180°，互为补角的两个角的和等于90°.
【教学说明】教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾，使学生对本章知识进行进一步的理解，形成知识网络.
三、典例精析，温故知新
例1如图1所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的物体.
解：①与d类似，②与c类似，③与a类似，④与b类似.
例2如图2所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左边立体图形的哪个视图.
解：（1）左视图（2）俯视图（3）主视图
例3已知三点A，B，C，按照下列语句画出图形.
（1）画直线AB；
172
（2）画射线AC；
（3）画线段BC.
解：如图所示，直线AB、射线AC、线段BC即为所求.
图3
例4如图所示，回答下列问题.
（1）图中有几条直线？用字母表示出来；
（2）图中有几条射线？用字母表示出来；
（3）图中有几条线段？用字母表示出来.
解：（1）图中有1条直线，表示为直线AD（或直线AB，AC，BD，BC，CD）；
（2）共有8条射线，能用字母表示的有射线AB（或AC、AD），BA，BC（或BD），CB（或CA），CD，DC（或DB，DA），不能用字母表示的有2条；
（3）共有6条线段，表示为线段AB，AC，AD，BC，BD，CD.
例5已知线段AB=4厘米，延长AB到C，使B C=2AB，取AC的中点P，求PB的长．
分析：先画出图形，求出BC的长，再求出AC的长，因为P是AC的中点，所以可以求出PA的长，从而用PA减AB得到PB的长度.
【答案】PB为2厘米
例6
（1）用度、分、秒表示48.12°.
（2）用度表示50°7′30″.
解：（1）∵48.12°＝48°＋0.12°，
0.12°＝60′×0.12＝7.2′＝7′＋0.2′，
0.2′＝60″×0.2＝12″，∴48.12°＝48°7′12″.
（2）∵50°7′30″＝50°＋7′＋30″＝50°＋7′＋0.5′＝50°＋7.5′＝50°＋0.125°＝50.125°.
∴50°7′30″＝50.125°.
例7小明从A点出发，向北偏西33°方向走3.3 m到B点，小林从A点出发，向北偏东20°方向走了6.6 m到C点，试画图确定A，B，C三点的位置（1cm表示3m），并从图上求出点B，C的实际距离.
解：①如图所示，任取一点A，经过点A画一条东西方向的直线WE和一条南北方向的直线NS（两条直线相交成90°角）.
172
① ∠NAW内作∠NAB＝33°，量取AB＝1.1cm.
② ∠NAE内作∠NAC＝20°，
量取AC＝2.2cm.
④连接BC，量得BC＝1.8cm，
∴BC的实际距离是5.4m.
例8 个角的余角比它的补角的12少20°.则这个角为（ ）
A.30° B.40°
C.60° D.75°
分析：若设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x，于是构造出方程即可求解.
解:设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x.
则根据题意，得(180°－x)－(90°－x)＝20°.解得：x＝40°.故应选B.
归纳总结：说明处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下还要引进未知数，构造方程求解.
【教学说明】教师出示典型例题，让学生先尝试解答，教师予以讲解，在讲解的过程中，应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.
四、拓展训练，巩固提高
1.下列说法中，正确的是（ ）
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图
C.正方体的各条棱都相等
D.棱柱的各条棱都相等
2.下面是一个长方体的展开图，其中错误的是（ ）
3.下面说法错误的是( )
A.M是AB的中点，则AB=2AM
B.直线上的两点和它们之间的部分叫做线段
C.一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线
D.同角的补角相等
4.从点O出发有五条射线，可以组成的角的个数是( )
A.4个B.5个
172
C.7个D.10个
5.海面上，灯塔位于一艘船的北偏东50°，则这艘船位于这个灯塔的（ ）
A.南偏西50°B.南偏西40°
C.北偏东50°D.北偏东40°
6.平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（ ）
A.12B.16
C.20D.以上都不对
7.用一副三角板画角，下面的角不能画出的是（ ）
A.15°的角B.135°的角
C.145°的角D.150°的角
8.一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数.
9.线段AB=4cm，延长线段AB到C，使BC = 1cm，再反向延长AB到D，使AD=3 cm，E是AD中点，F是CD的中点，求EF的长度.
【教学说明】学生独立完成练习，进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.
【答案】
1.C
2.C
3.C
4.D
5.A
6.B
7.C
8.解：设这个角为x,则（180°-x）=4(90°-x)+15°，x=65°.
9.解：DC=AD+AB+BC=3+4+1=8cm,
∵E是AD的中点，∴DE=12AD=12×3=1.5cm,
∵F是CD的中点，∴DF=12CD=12×8=4cm,
∴EF=DF-DE=4-1.5=2.5cm.
完成本课时对应的练习.
172
本章是学生第一次系统学习几何知识的开始，是学生的思维由具体到抽象的过渡，同时也是学生使用比较规范的几何语言来解决问题的第一次尝试.所以在教学中应当强调几何语言的规范性和格式的规范性，同时渗透一定的数学思想.
第5章相交线与平行线
5.1相交线
1.对顶角
【基本目标】1.在现实情境中识别对顶角，理解对顶角的性质；能画出对顶角，并能利用对顶角相等的性质进行简单的计算以及解决一些相关的实际问题.
2.经历观察、猜想、说理、交流等过程，进一步发展空间观念和有条理的表达能力.
3.在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验，建立自信心；感受数学与生活的密切联系，增强运用数学的意识.
【教学重点】通过观察思考，了解对顶角的概念及其性质；进一步发展空间观念和有条理的表达能力.
【教学重点】从复杂图形中分解出基础图形，提高数学学习能力.
一、情境导入,激发兴趣
观察下列图片，你们觉得这些图片有什么共同点吗？
【教学说明】通过观察图片，找到相交线的形象，激发探究兴趣，渗透数学来源于生活的理念.
二、合作探究，探索新知
1.请同学们画两条相交的直线，观察它们有几个交点？形成几个小于平角的角？
2.学生画图，观察后回答，教师画图总结.
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图1
（1）两条直线相交，只有一个交点.
（2）形成4个小于平角的角：∠1、∠2、∠3、∠4.
【教学说明】学生画图解答，教师小结板书.
3.你知道∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠1与∠4在位置和数量上有什么关系？请填下表.
【教学说明】学生自主探究，通过填表找到这些角的位置和数量关系.
4.请你根据上面的探究，观察思考∠1与∠3、∠2与∠4位置和数量上有什么关系？请填下表，并说明理由.
5.教师归纳总结：
（1）对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角.如图1，∠1与∠3是对顶角.
（2）对顶角的性质: 对顶角相等.
【教学说明】这是本节课的重点和难点，对于这些角的位置，学生描述可能不准确，教师一定要结合图形，让学生仔细观察，掌握特征.对顶角相等需要通过推理得到，要求学生写出推理的过程，以训练学生推理的能力.
三、示例讲解，掌握新知
例1如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝30°，求∠2、∠3、∠4的度数.
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分析：∠1和∠2有什么关系？∠1和∠3有什么关系？∠2和∠4有什么关系？
解：∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝180°—∠1＝180°—30°＝150°.
∠3＝∠1＝30°，∠4＝∠2＝150°.
【教学说明】要充分应用对顶角相等来解决问题，注意推理格式的规范性.
例2如图，直线AB与CD相交于点O,射线OE是∠BOD的平分线，已知∠AOD=110°，求∠COB，∠AOC, ∠BOE，∠EOD的度数.
【教学说明】这个图形比较复杂，教师可做适当的引导，注意过程的规范性和合理性.
四、练习反馈，巩固提高
1.如图，直线AB，CD相交于点O，∠1的对顶角是 ，∠4的对顶角是 .
第1题图 第2题图
2.如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC+∠BOD=118°，则∠AOD= .
3.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OE是∠AOC的平分线，那么OF是∠BOD的平分线吗？为什么？
【教学说明】学生独立完成，对于第3题，图形比较复杂，教师可以做适当的引导.注意解题过程的规范性.
【答案】1.∠3，∠22.121°
3.解：OF是∠BOD的平分线.∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE.∵∠AOE=∠BOF，∠COE=∠DOF.∴∠BOF=∠DOF∴OF平分∠BOD
五、师生互动，课堂小结
1.两条直线相交，只有一个交点.
2.对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角.
3.对顶角的性质: 对顶角相等.
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【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.
完成本课时对应的练习
本节课的教学活动设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的执教理念上，融入了新课标的思想内涵，在重视对数学知识形成过程中发现和探究的同时，也十分重视对学生学习能力的培养，突出了学生的主体地位.使学生学会了将生活问题数学化.教师引导学生观察生活中的相交线，从中抽象出数学模型，然后让学生动手画图——观察——猜想——说理，从而认识了对顶角，发现了“对顶角相等”这一性质.发现数学理论的过程也是不断反思、不断提出问题的过程.这种反思应该始终伴随着活动的进行而开展，否则会丢掉很多很有价值的发现新知识的机会.学生在面对较难问题时，要学会合作交流，学会理性地思考，因为在现代社会中，学会表达与交流尤为重要.
2.垂线
【基本目标】1.使学生理解垂线的含义与垂线的画法；
2.能理解点到直线的距离，理解垂线段的意义；
3.能在学习中了解几何在不同情况下的分类，并能在一个三角形中作出三角形的高.
【教学重点】理解点到直线的距离以及垂线段最短.
【教学重点】垂线公理及垂线段最短的应用.
一、情境导入，激发兴趣
〔投影〕如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、 b所成的角
是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a与b相交所成的四个角分别是多少度？
总结归纳：有，当∠α＝90°时，所成的四个角都是90°.
【教学说明】在转动的过程中，必须注意到变与不变，什么变，什么不变，为什么，怎么变？当有一个角是直角时，另外三个角也是直角，这个在原理上必须让学生明白.
二、合作探究，探索新知
1.垂直定义
（1）显然，两条直线相交有一个角是90°是一种特殊的情况.
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（2）当两直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，称这两直线互相垂直.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图，直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD,垂足为O.
【教学说明】图形与语言的结合（转化）是几何中的一个难点，教师要进行示范.
（3）在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的,如：〔投影2〕
你能再举一些其它的例子吗？
【教学说明】举出实际生活中的实例，加深学生对垂直定义的理解.同时，也使学生了解数学知识来源于生活，又在生活中有着广泛的应用.
2.过一点画已知直线的垂线
（1）如图，已知直线AB和直线AB外一点P，过点P画出直线AB的垂线，你能画出多少条呢？
学生画图，观察后总结：只能画一条.
（2）如图，你能经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？
学生画图后总结：只能画一条.
【教学说明】作图的方法，可以作为一个补充知识进行讲解.在画垂线时，不一定局限于三角板或是量角器，也应懂得利用身边的东西.
（3）通过以上的操作，你有什么发现？
归纳总结：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【教学说明】这是一个难点，重点强调在同一平面内.
3.垂线段
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（1）演示：在黑板上固定木条l, l外一点P,木条a一端固定在点P，使之与l相交于点A.
左右摆动木条a, l与a的交点A随之变动,线段PA 的长度也随之变化，a与l的位置关系怎样时，PA最短?
小结：a与l垂直时，PA最短.这时的线段PA叫做点P到直线l的垂线段.
【教学说明】让学生观察思考后回答，教师强调垂线段和垂线的区别.
（2）〔投影3〕画出PA在摆动过程中的几个位置.如图，点A1、A2、A3….在l上,连接PA1、PA2、PA3…，PO⊥ l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3…的长短，可知垂线段PO最短.
小结：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.
【教学说明】学生通过比较得出结论，可以再多画一些线段进行比较.然后教师再举出一些实例加深理解.
（3）我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离.
【教学说明】教师强调点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离.
三、练习反馈，巩固提高
1.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm, BC=bcm,则BD的范围是( )
A.大于acm
B.小于bcm
C.大于acm或小于bcm
D.大于bcm且小于acm
2.到直线l的距离等于2cm的点有( )
A.0个B.1个
C.无数个D.无法确定
172
3.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )
A.4cm B.2cm
C.小于2cm D.不大于2cm
4. 如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6，
AC= 6,那么点C到AB的距离是 ,点A到BC的距离是 ,点B到CD 的距离是 ,A、B两点的距离是 .
5.已知:如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系.
【教学说明】对于第4题距离的理解是难点，要提醒学生注意观察，第5题要注意推理的合理性和格式的规范性.
【答案】
1.D 2.C 3.D 4.4.8 6 6.4 10
5.解：OD⊥OE，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC.
∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOC，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=×180°=90°.
∴OD⊥OE.
四、师生互动，课堂小结
1.当两直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，称这两直线互相垂直.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:
垂线段最短.
4.我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，重点是对于垂线段最短的理解和应用.对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.
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完成本课时对应的练习.
引入新课时，教师从学生的实际出发，关注学生的生活经验和知识基础，从两根木条的转动中让学生发现它们的特殊位置，为新知识的探究学习做了较好的准备.以此来激发学生的参与兴趣，感受由垂线组成图形的规矩之美，从而产生亲近数学的情感.
新知探究部分，充分发挥学生的主体性，体现以人为本.让学生画一条直线，经过直线外一点画一条垂线，可以让学生们画出了不同方位直线在不同侧的垂线.初步体会了用作图工具三角尺画出的垂线比较规范，然后教师演示过直线上一点画已知直线的垂线的方法并同步介绍作图步骤.然后放手让学生画过直线上一点画已知直线的垂线.大家通过动口交流、动手操作、合作学习，积极主动地投入到垂线画法的探究过程中去，利于学生操作技能的形成和实践能力的培养.既发挥了学生的学习主动性，又体现了教师的指导作用，提高了学生学习的有效性.让学生经历画图——观察——总结——归纳的过程，形成知识点.对于垂线段的内容，是本节课的难点，要让学生通过比较，得出定义和性质，教师结合具体的实例加深学生的理解.
3.同位角、内错角、同旁内角
【基本目标】1.理解同位角、内错角、同旁内角的意义；
2.会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角.
【教学重点】同位角、内错角、同旁内角的识别.
【教学重点】较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别.
一、情境导入，激发兴趣
1.如图，直线AB交直线CD于点O，则从前面的学习中，我们也知道在相交所形成的四个角中，有些角是相邻且互补，有些角是对顶角且相等的.
2.如图，直线AB分别与直线CD、直线EF都相交，交点分别为P、Q，则图中存在着八个角.这八个角中，有相同顶点的角是对顶角或是相邻且互补.那么其它没有相同顶点的角之间，又有什么位置关系？
172
【教学说明】从两条相交直线引导到一条直线截两条直线是一个比较正常、合理的方法，也比较能理顺学生的思路.
二、合作探究，探索新知
如图，直线AB、CD与EF相交（或两条直线AB、CD被第三条直线EF所截）构成 个角.现在，我们来研究其中没有公共顶点的两个角的关系.
（一）同位角
1.定义：如图，∠1和∠5，分别在直线AB、CD的 ，在直线EF的 .具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
2.请你找出图中还有哪几对角构成同位角？
3.两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有 对同位角.
【教学说明】主要是找两个角的位置关系，注意语言的规范性.教师总结要强调同位角的特征.通过找其他的同位角，加深学生印象.
（二）内错角
1.定义：如图，∠3和∠5，分别在直线AB、CD的 ，在直线EF的 .具有这种位置关系的一对角叫做内错角.
2.请你找出图中还有哪几对角构成内错角？
3.两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有 对内错角.
(三)同旁内角
1.定义：如图，∠3和∠6，分别在直线AB、CD的 ，在直线EF的 .具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.
2.请你找出图中还有哪几对角构成同旁内角？
3.两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有 对同旁内角.
【教学说明】注意总结方法和规律，与找同位角相比照，教师总结它们的特征.
三、练习反馈，巩固提高
172
1.找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.
2.如图所示：
（1）∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直线 、 被第三条直线 所截而成的.
（2）∠2的同位角是 ，∠1的同位角是 .
（3）∠3的内错角是 ，∠4的内错角是 .
（4）∠6的同旁内角是 ，∠5的同旁内角是 ，
（5）∠4与∠A是同旁内角吗？
3.如图所示：
（1）AD，BC被BD所截而成的内错角是 ；
（2）CD，AE被AC所截而成的内错角是 ；
（3）AD，BF被AE所截而成的同位角是 ；
（4）BD，AE被AD所截而成的同旁内角是 .
4.如图，四个图形中的∠1和∠2不是同位角的是（ ）
【教学说明】对于比较复杂的图形，教师提示学生可将图形进行分解，再与总结的特征项比较，得出结论，然后让学生总结相关的规律.
【答案】1.左图：同位角：∠2与∠5，∠1与∠8，∠3与∠6，∠4与∠7内错角：∠1与∠6，∠4与∠5同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6
右图：同位角：∠1与∠3，∠2与∠4内错角：无同旁内角：∠2与∠3
2.（1）AB，AC，EF（2）∠5，∠6（3）∠6，∠5（4）∠4，∠3
（5）是
3.(1)∠ADB与∠DBC（2）∠DCA与∠CAE（3）∠DAE与∠FBE（4）∠DAB与∠ADB
172
4.C
四、师生互动，课堂小结
1.同位角、内错角、同旁内角
2.注意：
（1）以上三对角都有一边公共，是第三条直线（截线）.
（2）识别“第三条直线（两个角一边所在的同一直线）”是关键.
【教学说明】教师结合练习，总结三对角的特征，以表格的形式呈现，便于学生理解和记忆.对于需要注意的问题予以强调，加深学生的理解.
完成本课时对应的练习.
172
这节课主要内容是两条直线被第三条直线所截成的不共顶点的角的位置关系.主要是同位角、内错角、同旁内角的概念，关键是如何找同位角、内错角、同旁内角.教学中，如果遇到复杂图形，首先根据角的边分解出基本图形.两个角的公共边所在直线为截线，一旦确定截线，可根据定义确定三类角，也可根据图形确定三类角，如F型的同位角，Z型的内错角,U型同旁内角.另外，对于同旁内角也可根据三角形内有三对同旁内角，四边形有四对同旁内角，确定三角形或四边形后再去找，很好用，也很快.
5.2 平行线
1.平行线
【基本目标】
1.了解平行线的概念，理解同一平面内两条直线间的位置关系；
2.掌握平行公理及平行线的画法.
【教学重点】平行线的概念、画法及平行公理是重点.
【教学重点】平行公理及其推论的应用.
一、情境导入,激发兴趣
我们知道两条直线相交只有一个交点，除相交外，两条直线还存在其它的位置关系吗？看下面的图片（投影）：
双杆上面的两根横杆、支撑横杆的直杆所在的直线相交吗？游泳池中分隔泳道的线所在的直线相交吗？屏风的折处和边所在的直线相交吗？
【教学说明】几何的美感是新课程中使学生能体会到的一个重要方面，所以在讲解平行线时，应有意识加以引导.
二、合作探究，探索新知
1.平行线的概念
（1）根据上面的探究，我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
如下图：
直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”，读作“直线a平行于直线b”.
【教学说明】仍然要注意几何图形的意义及其表现形式.对于平行线的表示方法要让学生自己写一遍加深印象.在此要注意：①“同一平面内”是前提，以后我们会知道，在空间即使不相交，可能也不平行；②平行线是“两条直线”的位置关系，两条线段或两条射线平行，就是指它们所在的直线平行；③“不相交”就是说两条直线没有公共点.
（2）请同学们观察思考：在同一平面内，两条不重合的直线位置关系有哪几种？
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小结归纳：在同一平面内，两条不重合的直线位置关系有两种：相交或平行.
【教学说明】在此要注意：这里所指的两条直线是指不重合的直线.
2.过直线外一点画已知直线的平行线
(1) 做一做已知直线a外一点P，那么经过点P可以画多少条直线与已知直线a平行？动手画一画.
(2)通过观察和画图，可以体验一个基本事实：
经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行.
【教学说明】要掌握过直线外一点作已知直线的平行线，这里必须提醒学生注意到，这个点必须是直线外的一点.
(3)如图,已知直线a和直线外两点B、C，请你按照上面的方法分别过B、C两点画直线a的平行线b和c，然后观察直线b和c有什么关系？
小结归纳：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果b∥a，c∥a，那么b∥c．
【教学说明】这里要使用反证法来进行说明，教师要做引导，讲清楚相关的推导过程，使学生理解结论的科学性.
三、练习反馈，巩固提高
1.如图1所示，与AB平行的棱有条，与AA′平行的棱有 条．
2.如图2所示，按要求画平行线．
（1）过P点画AB的平行线EF；（2）过P点画CD的平行线MN．
3.如图3所示，点A，B分别在直线l1，l2上，
（1）过点A画到l2的垂线段；（2）过点B画直线l3∥l1．
4.下列说法中，错误的有（ ）
①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交;
②若a∥b，b∥c，那么a∥c;
172
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行相交、垂线三种.
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5.根据下列要求画图.
(1)如图(1)所示,过点A画MN∥BC;
(2)如图(2)所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H;
(3)如图(3)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB的延长线交于点F.
（1） （2） （3）
【教学说明】第1题把平面中的平行线与简单的立体图形相结合对学生的学习是有所帮助的.第5题画图要注意看清题目的要求，教师可适当示范画法.
【答案】1.3,3
2.
3.
4.C
5.
四、师生互动，课堂小结
1.在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.在同一平面内，两条不重合的直线位置关系有两种：相交或平行.
172
2.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果b∥a，c∥a，那么b∥c．
【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，重点强调“过直线外一点”.对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.
完成本课时对应的练习.
本节课的重点是平行线的概念和平行公理及其推论.难点在于画平行线、平行公理及其推论的应用.但是，由于平行线是直线，而直线在我们的实际生活中并不存在，所以，我们需要借助同学们的想象力，将线段想象为直线.
先通过图片展示让学生感受平行线的形象，然后让学生通过观察思考得出平行线的定义.教师要强调“在同一平面内”这一条件.画平行线时要强调“过直线外一点”.用几何语言进行叙述过程是学生学习的难点，教师可以通过示范引导，逐步让学生养成相应的习惯.
2.平行线的判定
【基本目标】
1.使学生通过学习能掌握运用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来说明两条直线平行；
2.使学生通过对三种判定方法的学习，能灵活地利用平行线的三个识别方法解决问题.
【教学重点】对三种判定方法的灵活运用.
【教学重点】如何在不同情况下选择不同的方法.
一、情境导入，激发兴趣
1.经过直线外一点,有且只有 条直线与这条直线平行.
2.如图，直线a、b都与直线c相交，根据各个角的位置关系填空：
（1）∠1与∠2是 角；
（2）∠3与∠2是 角；
（3）∠2与∠4是 角.
172
【教学说明】这些知识点都是本节课需要用到的，通过复习，帮助学生进行回忆，为本节课知识的探究打下基础.
二、合作探究，探索新知
1.平行线的判定方法1
（1）按要求作图：用直尺和三角板过点P做已知直线AB的平行线.
画法：
（2）画图过程中，什么角始终保持相等？
（3）直线l1和l2位置关系如何？
（4）根据以上探究，请你总结判定两条直线平行的方法？
（5）小结归纳：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单地说:同位角相等,两条直线平行.
符号语言：∵∠1=∠2，∴a∥b.
【教学说明】学生边画图，边观察思考，总结发现的规律，主要从两个角的位置和大小关系上来进行探究，位置和大小的关系得出结果.教师要示范用符号语言表示这一判定方法，让学生了解几何说理的过程.
2.平行线的判定方法2、3
（1）如图，如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？
（2）如果∠2＋∠4＝180°，能得出a∥b吗？
【答案】
（1）∵∠2=∠3∠1=∠3（已知）
∴∠1=∠2.
∴a∥b.（同位角相等，两直线平行）
172
你能用文字语言概括上面的结论吗？
结论：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单地说：内错角相等,两直线平行.
符号语言：∵∠2=∠3, ∴a∥b.
（2）∵ ∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°（已知）
∴∠2=∠1 （同角的补角相等）
∴a∥b. （同位角相等,两条直线平行）
你能用文字语言概括上面的结论吗？
结论：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.
简单地说：同旁内角互补,两直线平行.
符号语言： ∵∠4+∠2=180°, ∴ a∥b.
【教学说明】教师引导学生进行简单的推理，得出结论，然后再仿照方法一进行归纳，得出其它两个判定方法，同时渗透转化的数学思想.
三、示例讲解，掌握新知
例1如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1=115°，∠2=115°，直线a、b平行吗？为什么？
【教学说明】学生可能会将它转化为同位角相等来进行说明，教师要引导学生发现直接利用内错角相等来说明更简单.
例2如图，在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°，AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？
【教学说明】让学生观察两个角的位置关系，再结合判定方法来进行说明.注意过程的规范性.
172
例3在同一平面内，直线CD、EF均与直线AB垂直，D、F为垂足.试判断CD与EF是否平行.
小结归纳：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
【教学说明】这个问题三种判定方法都可以使用，可以引导学生用不同的方法来进行证明.然后对得到的结论进行总结，形成新的判定方法.
四、练习反馈，巩固提高
1.如图，∠D=∠EFC，那么（ ）
A.AD∥BC B.AB∥CD
C.EF∥BC D.AD∥EF
第1题图 第2题图
2.如图，判定AB∥EC的理由是（ ）
A.∠B=∠ACE
B.∠A=∠ECD
C.∠B=∠ACB
D.∠A=∠ACE
3.如图，下列推理正确的是（ ）
A.∵∠1=∠3，∴a∥b
B.∵∠1=∠2，∴a∥b
C.∵∠1=∠2，∴c∥d
D.∵∠1=∠5，∴c∥d
第3题图 第4题图
4.已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空.
∵∠1＋∠2＝180°（ ）
又∵∠2＝∠3（ ）
172
∴∠1＋∠3＝180°
∴ （ ）
5.如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?为什么?
【教学说明】学生独立完成，第4题是帮助学生熟悉证明的一般过程，注意理由的填写规范性.第5题是一个证明题，学生在书写的时候可能不是很规范，教师要及时予以纠正和强调.
【答案】1.D 2.D 3.B
4.已知对顶角相等a∥b,同旁内角互补，两直线平行
5.解：a与c平行.∵∠1=∠2，∴a∥b.∵∠3+∠4=180°，∴b∥c，∴a∥c.
五、师生互动，课堂小结
【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象.重点是如何将文字语言转化为几何语言，对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.
完成本课时对应的练习.
172
这节课的主要内容是平行线的判定方法，这也是本章的重点内容.难点是利用同位角判定两直线平行的方法和平行线的画法.在画平行线时，三角尺移动要紧靠直尺，三角尺的大小不变，也就是同位角相等.利用内错角和同旁内角来判定两直线平行，教师采用教科书的探讨问题的方式，通过分析，引导学生去发现这些角之间的关系，要求学生自己完成.学生在推导方法二时，总认为此时已知同位角相等，而不是经过简单的推理证明得到.学生推导方法三时，大有好转，能用方法一或方法二得出方法三.
学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理．所以理解由判定公理推出判定定理的证明过程是重点，也是难点．
3.平行线的性质
【基本目标】
1.探索平行线的性质，并掌握它们的文字语言、符号语言和图形语言；
2.会用平行线的性质进行简单的计算和推理，结合平行线对图形进行简单的平移.
【教学重点】掌握平行线的性质.
【教学重点】平行线的性质的应用.
一、情境导入，激发兴趣
1.如何用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线是否平行？
2.把它们已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？
【教学说明】平行线的判定与平行线的性质有密切的联系，通过第2个问题，让学生对要探究的问题有一个初步的印象，为后面的总结归纳奠定基础.
二、合作探究，探索新知
1.实验观察，发现平行线第一个性质
（1）请同学们观察你的练习本，每一页上都有许多互相平行的横线条，任取其中两条平行的线条，如图l1∥l2，请同学们任意的画一条直线l3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小，你能发现什么关系？
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（2）请同学们再作出直线l4与它们相交，再度量一下∠3和∠4的大小，你还能发现它们有什么关系？
小结归纳：平行线性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说就是：两直线平行，同位角相等.
如上图：∵ l1∥l2（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
【教学说明】学生通过动手操作发现规律，再通过∠3和∠4的测量进行验证，教师再提示学生对照平行线的判定方法一进行总结，归纳出平行线的性质一.
2.演绎推理，发现平行线的其它性质
（1）已知：如图①，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．
求证：∠1= ∠2．
图①
（2）已知：如图②，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．
求证：∠1+∠2=180°．
图②
小结归纳：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成：两直线平行, 内错角相等.
如图①：∵ AB∥CD．（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
两条平行线被第三条线所截,同旁内角互补.简单说成：两直线平行, 同旁内角互补.
如图② ∵ AB∥CD．（已知）
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∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【教学说明】渗透逻辑推理的思想将是本节教学中的一个非常重要的知识.在几何学上，对数学语言的训练是初学者最难以理解的东西，所以在教学中必须时时重视.
3.平行线判定与性质的区别与联系
投影：将三条判定与性质全部打出．
（1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补．
（2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行．
联系：它们的条件和结论是互逆的.
区别：性质与判定要证明的问题是不同的．
【教学说明】平行线的判定与平行线的性质两者间的关系应该加以注意，毕竟两者的联系是非常紧密的，而且借助平行线的识别来学习可以达到事半功倍作用.
三、示例讲解，掌握新知
例1如图，已知直线a∥b，∠1=50°，求∠2的度数.
分析：由于a∥b，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠2.又∠1=50°，因此∠2=50°.
【教学说明】这个例题比较简单，可以让学生自主完成，但是要注意格式的规范性.
例2如图在四边形ABCD中，已知AB∥CD，∠B=60°，求∠C的度数.能否求得∠A的度数 ？
分析：由于AB∥CD ，
根据两直线平行，同旁内角互补 ，
可得 .
又∠B=60° ，因此∠C= .
根据题目的已知条件，无法求出 ∠A的度数.
【教学说明】对于第一问，可以让学生自主完成，第二问教师可适当引导学生进行观察思考后回答，对于出现的问题及时予以纠正和强调.
例3结合平行线对图形进行简单的平移，
将如图所示的方格纸中的图形向右平移4格，并向上平移3格，画出平行移动后的图形.
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【教学说明】先让学生观察思考，提出思路，再让学生比较各种方法，找到最佳方案，然后教师再引导学生总结规律.平移时，找到关键的点进行平移，再进行连接.有关图形的平移，应抓其点与形的关系，即如何做到以点代形，以点代面.
四、练习反馈，巩固提高
1.如图1，已知∠1=100°，AB∥CD，则∠2= ，∠3= ，∠4= ．
2.如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1=∠2，则∠AEF +∠CFE = ．
3.如图3所示
（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（ ）．
（2）若∠2 =∠ ，则AE∥BF．
（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF．
4.如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．
5.如图5，推理填空：
172
图5
（1）∵∠A =∠ （已知），
∴AC∥ED（ ）；
（2）∵∠2 =∠ （已知），
∴AC∥ED（ ）；
（3）∵∠A +∠ = 180°（已知），
∴AB∥FD（ ）；
（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知），
∴AC∥ED（ ）.
【教学说明】学生独立完成，对于第3题，图形比较复杂，可以提示学生将图形进行分解，得出结论，第5题是对学生的推理能力进行训练，要注意学生语言的规范性.
【答案】1.100°100°80°
2.180° 3.(1)∠AEF∠ABF两直线平行，同旁内角互补（2）∠4（3）∠1
4.120°
5.(1)∠BED同位角相等，两直线平行
（2）∠DFC内错角相等，两直线平行
（3）∠AFD同旁内角互补，两直线平行
（4）∠AFD同旁内角互补，两直线平行
五、师生互动，课堂小结
1.平行线性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 .简单说就是：两直线平行，同位角相等．
（2）两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成：两直线平行,内错角相等.
（3）两条平行线被第三条线所截,同旁内角互补.简单说成：两直线平行, 同旁内角互补.
2.平行线判定与性质的区别与联系
（1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补.
（2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行.
联系：它们的条件和结论是互逆的.区别：性质与判定要证明的问题是不同的．
【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，重点是总结平行线的判定与性质的区别与联系.对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.
完成本课时对应的练习.
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本节课首先提出问题：
1.请同学们回顾前面学过的平行线的判定方法，并说出它们的已知和结论分别是什么？
2.把这三句话的已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？
这样通过复习旧知,引出新知，通过提问,让学生思考,针对问题,敢于发表自己的见解.紧接着让学生动手操作，画出两条互相平行的直线的截线，找出其中的同位角.让学生通过测量验证同位角之间的关系，把验证的结论告诉大家，从而得出平行线的性质一.用这样的方法可以让学生都参与到教学中来，提高了他们动手、动脑的能力，而且增加了学习兴趣.再让学生用“∵”、“∴”的推理形式，也就是数学符号语言的形式把性质一.表示出来.这样可以增强学生的数学符号感.另外两个性质让学生想办法验证，再利用性质一来推导，加强了学生的逻辑推理能力.在教学过程中，进行推理论证是学生学习的难点，教师要做好引导.注意格式的规范性和严密性.
第5章 相交线与平行线
【基本目标】
1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化、系统化, 梳理本章的知识结构；
2.通过对知识的疏理,进一步加深对所学概念的理解,进一步熟悉和掌握几何语言,能用几何语言说明几何图形；
3.认识平面内两条直线的位置关系,在研究平行线时,能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质.理解平移的性质,能利用平移设计图案.
【教学重点】
复习平面内两条直线的相交和平行的位置关系,以及相交平行的综合应用.
【教学重点】垂直、平行的性质和判定的综合应用.
一、知识框图，整体把握
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【教学说明】教师引导学生回顾本章知识点，边回顾边画出本章知识框图，使学生对本章知识有一个总体把握.了解各知识点之间的联系，加深对知识点的理解，为后面的运用奠定基础.
二、释疑解惑，加深理解
1.对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) .
对顶角的性质：对顶角相等.
注意：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
2.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.
注意：（1）垂线与垂线段
区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度.
联系：具有垂直于已知直线的共同特征(垂直的性质).
（2）两点间距离与点到直线的距离
区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间.
联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离.
3.平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b.
注意：
（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：①相交；②平行.
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因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）.
（2）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）.
4.平行公理——平行线的存在性与唯一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
5.平行公理的推论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
注意：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性.
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c.
6.如何判别同位角、内错角、同旁内角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.
如图，判断下列各对角的位置关系：(1)∠1与∠2；(2)∠1与∠7；(3)∠1与∠BAD；(4)∠2与∠6；(5)∠5与∠8.
我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线）,不难看出:∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.
7.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行（在同一平面内）；
（2）内错角相等，两直线平行（在同一平面内）；
（3）同旁内角互补，两直线平行（在同一平面内）；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
补充：
（5）平行的定义（在同一平面内）.
（6）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
8.平行线的性质
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（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）；
（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）；
（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）.
【教学说明】教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾，使学生对本章知识进行进一步的理解，形成知识网络.特别要注意：几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定和性质就是将“位置关系”与“数量关系”结合起来.
三、典例精析，温故知新
例1已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED.
分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和.如图，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到.
证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.
∵AB∥CD（已知），
EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）.
又∵∠BED=∠1+∠2，
∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）.
例2如图，已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C.
证明：∵∠1＝∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠C（两直线平行，同位角相等）.
注意：DE∥BC不需要再写一次，因为DE∥BC已被证明了，
因此可以把它当作条件来用了.
例3如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°，求∠2、∠3的度数.
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解：∵DE∥BC（已知），
∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）.
∵AB∥DF（已知），
∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°.
例4一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）
A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
分析：解决本题的关键是准确地画出示意图，如图：
【答案】A
点评：本题单纯从文字方面去分析，很难判断出结果，若画出上述图形来分析，结果是显然的，本题属于操作画图型考题．
例5如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．
分析：从图中可以猜测∠A=∠F，但题目没有告诉DF∥AC，所以需要根据已知条件说明DF∥AC．
解：∠A=∠F．理由：
∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，
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∴∠DGF=∠EHF，∴BD∥CE，
∴∠C=∠ABD，又∠C=∠D，
∴∠D=∠ABD，∴DF∥AC，所以∠A=∠F．
【教学说明】教师出示典型例题，让学生先尝试解答，教师予以讲解，在讲解的过程中，应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.最后，要注意典型习题的规律总结，使学生掌握得更牢固，并能举一反三，学会解答变式问题.
四、拓展训练，巩固提高
1.如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB垂足为O，∠EOD=30°,则∠BOC=（ ）
A.150° B.140°
C.130° D.120°
第1题图 第2题图
2.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，∠2=52°,则∠3的度数等于（ ）
A.68° B.64°
C.58° D.52°
3.如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3等于( )
A.90°
B.180°
C.210°
D.270°
4.如图，OD⊥BC，垂足为D，BD=6cm，OD=8cm，OB=10cm，那么点B到OD的距离是 ，点O到BC的距离是 .O、B两点之间的距离是 .
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5.如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，说明∠3+∠4=180°，请完成说明过程，并在括号内填上相应依据：
解：∠3+∠4=180°，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠3（ ）.
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴ ∥ （ ），
∴∠3+∠4=180°（ ）.
6.已知∠AGE=∠DHF，∠1＝∠2，则图中的平行线有几对？分别是？为什么？
7.已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DEF的平分线相交于点P，求证∠P=90°.
【教学说明】学生独立完成练习，进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.教师一定要关注推理性问题的解答过程是否规范，推理是否正确，理由是否充分.
【答案】1.D 2.A 3.B
4.6cm, 8cm, 10cm
5.两直线平行，内错角相等BE∥DF，同位角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补
6.解：两对，AB∥CD，GM∥HN，∵∠AGE=∠BGF（对位角相等），
∠AGE=∠DHF，∴∠BGF=∠DHF，∴AB∥CD.
∵∠BGF=∠DHF，∠1=∠2，
∴∠BGF-∠1=∠DHF-∠2，
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∴∠MGF=∠NHF，∴GM∥HN.
7.证明：过点P作PQ∥AB
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠1=∠2.∵AB∥PQ，∴∠3=∠4.∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°.
∵PE、PF分别平分∠BEF、∠EFD,
∴∠2=∠DFE，∠4=∠BEF.
∴∠2+∠4=∠DFE+∠BEF=（∠DFE+∠BEF）=×180°=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∴∠EPF=90
完成练习册中本课时的练习部分.
全章复习的目的是使学生进一步系统掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力因此，在选择教学内容时注意以下两个方面：第一，既加强基础，又提高能力和发展智力；第二，既全面复习，又突出重点.
通过复习，学生主要存在以下问题：
1.对于“三线八角”中，有不少同学一直认为，只要是同位角和内错角，就应该相等，只要是同旁内角就是互补的，把“两直线平行”这个前提条件就给忘记了.这个知识点要给学生讲清楚，不能让学生有误解.
2.在平行线的性质和判定的应用中，学生不太明白是哪两条直线应该平行，或者说由哪两条直线应该得到哪些角相等，比如在平行四边形ABCD中，连接AC，不少学生搞不明白，假如是AB∥CD，应该得到∠DCA=∠CAB还是得到∠DAC=∠ACB.所以在学生练习时要结合图形，让学生明白在三条线中，到底是哪两条直线被哪一条直线所截，应该得到哪些角相等，要让学生完全弄明白.
3.对于有关平行的计算和证明，有的同学做的不是太好，有的同学根本不会做，也有一部分学生会做，但是不会写解题过程，没有严格的逻辑推理.
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综上所述，在以后的复习中要注意，加强基础知识点的掌握，对于一些概念和定理，要让学生准确无误的掌握，不能让学生因为基础知识掌握的不好，而出现这样那样的问题.对学生的解题过程要加强训练和指导，让学生尽快的掌握几何的书写过程和推理过程.
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