2020-2021学年人教版初一数学上册期中考点专题04 有理数的乘除法

2020-2021学年人教版初一数学上册期中考点专题04 有理数的乘除法

‎2020-2021学年人教版初一数学上册期中考点专题04 有理数的乘除法 重点突破 知识点一 有理数的乘法 有理数的乘法法则：‎ ‎（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。‎ ‎（2）任何数同0相乘，都得0.‎ 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。‎ ‎【注意】0没有倒数。（数的倒数是）‎ 确定乘积符号：‎ ‎(1)若a＜0,b＞0,则ab < 0 ;‎ ‎(2)若a＜0,b＜0,则ab > 0 ;‎ ‎(3)若ab＞0,则a、b同号 ‎(4)若ab＜0,则a、b异号 ‎(5)若ab = 0,则a、b中至少有一个数为0.‎ 多个有理数相乘的法则及规律：‎ ‎（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。‎ ‎（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.‎ ‎[注意]在乘法计算时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先化成分数，再进行计算。‎ 有理数的乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。‎ 即。‎ 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。‎ 即。‎ 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。‎ 即。‎ 知识点二 有理数的除法 有理数除法法则：‎ ‎（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。‎ ‎（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。‎ ‎【注意】0除以任何不为0的数，都得0。‎ 除法步骤：‎ ‎1.将除号变为乘号。‎ ‎2.将除数变为它的倒数。‎ ‎3.按照乘法法则进行计算。‎ 考查题型 考查题型一 有理数的乘法运算 典例1．（2018·重庆市期末）在﹣2，3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得积中最大的是（　 　）‎ A．20 B．﹣20 C．12 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查的是有理数的乘法 根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，而正数大于一切负数，可知同号两数相乘的积大于异号两数相乘的积，则只有两种情况，-2×（-5）与3×4，比较即可得出．‎ ‎，，所得积最大的是，故选C。‎ 变式1-1．（2018·保定市期中）已知：a＝－2＋(－10)，b＝－2－(－10)，c＝－2×(－)，下列判断正确的是( )‎ A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b ‎【答案】B ‎【提示】首先利用有理数的加法法则、减法法则、乘方法则计算出a、b、c的值，再比较大小即可．‎ ‎【详解】a=-2+（-10）=-12，b=-2-（-10）=-2+10=8，c=-2×（-）=，‎ ‎∵8＞＞-12，‎ ‎∴b＞c＞a，‎ 故选：B．‎ ‎【名师点拨】此题主要考查了有理数的乘法、加法和减法，关键是熟练掌握计算法则．‎ 变式1-2．（2018·漯河市期末）若|a|=4，|b|=5，且ab＜0，则a+b的值是（　　）‎ A．1 B．﹣9 C．9或﹣9 D．1或﹣1‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题提示：∵|a|＝4，|b|＝5，且ab＜0，‎ ‎∴a＝4，b＝﹣5；a＝﹣4，b＝5，‎ 则a＋b＝1或﹣1，‎ 故选D．‎ 变式1-3．（2020·银川市期中）已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　）‎ A．a＞0，b＞0‎ B．a＜0，b＞0‎ C．a、b同号 D．a、b异号，且正数的绝对值较大 ‎【答案】D ‎【提示】先由有理数的乘法法则，判断出a，b异号，再用有理数加法法则即可得出结论．‎ ‎【详解】∵ab＜0，‎ ‎∴a，b异号，‎ ‎∵a+b＞0，‎ ‎∴正数的绝对值较大，‎ 故选D．‎ ‎【名师点拨】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键.‎ 考查题型二 有理数乘法的运算律 典例2．（2020·承德市期末）用分配律计算，去括号后正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【提示】根据乘法分配律可以将括号去掉，本题得以解决，注意符号的变化．‎ ‎【详解】解：=，‎ 故选D．‎ ‎【名师点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．‎ 变式2-1．（2019·梁山县期中）在中，运用的是乘法的（ ）‎ A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律和结合律 ‎【答案】D ‎【提示】①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b=b×a．‎ ‎②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c=a×（b×c）．‎ ‎【详解】，运用了乘法的交换律与结合律．‎ 故选D.‎ ‎【名师点拨】此题考查有理数的乘法，运算定律与简便运算，解题关键在于掌握运算法则 变式2-2．（2018·福州市期末）若2019×24=m，则2019×25的值可表示为 ( )‎ A．m+1 B．m+24 C．m+2019 D．m+25‎ ‎【答案】C ‎【提示】因为2019×25 =2019×（24+1），利用乘法分配律得2019×25 =2019×24+2019×1，即可求解.‎ ‎【详解】∵2019×25 =2019×（24+1）=2019×24+2019×1 =2019×24+2019,‎ 又∵2019×24=m,‎ ‎∴2019×25 = m+2019.‎ 故选C.‎ ‎【名师点拨】本题考查有理数的乘法-乘法分配律.‎ 变式2-3．（2017·绍兴市期中）运用分配律计算时，下列变形最简便的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】解：因为，‎ ‎∴计算，‎ 最简便的方法是.‎ 故选：D 考查题型三 倒数 典例3．（2020·南昌市期末）的倒数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【提示】直接利用倒数的定义进而得出答案．‎ ‎【详解】∵×()=1，‎ ‎∴的倒数.‎ 故选B.‎ ‎【名师点拨】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．‎ 变式3-1．（2019·枣庄市期中）2019的倒数的相反数是（　　）‎ A．-2019 B． C． D．2019‎ ‎【答案】B ‎【提示】先求2019的倒数，再求倒数的相反数即可.‎ ‎【详解】2019的倒数是，‎ 的相反数为，‎ 所以2019的倒数的相反数是，‎ 故选B．‎ ‎【名师点拨】本题考查了倒数和相反数，熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键．‎ 变式3-2．（2019·石家庄市期中）若的倒数与互为相反数，则的值是（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【提示】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．‎ ‎【详解】的倒数与m+4互为相反数，得 m+4=2，‎ 解得m=−2，‎ 故选：D.‎ ‎【名师点拨】本题考查了倒数与相反数定义。‎ 变式3-3．（2017·长沙市期中）下列各对数是互为倒数的是（ ）‎ A．4和－4 B．－3和 C．－2和 D．0和0‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题解析：A、4×（-4）≠1，选项错误；‎ B、-3×≠1，选项错误；‎ C、-2×（-）=1，选项正确；‎ D、0×0≠1，选项错误．‎ 故选C．‎ 考查题型四 有理数的除法运算 典例4．（2019·长沙市期中）小华作业本中有四道计算题：①0﹣（﹣5）=﹣5；②（﹣3）+（﹣9）=﹣12；③×（﹣）=﹣；④（﹣36）÷（﹣9）=﹣4．其中他做对的题的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【提示】根据有理数的运算法则逐个计算提示.‎ ‎【详解】①0﹣（﹣5）=5；‎ ‎②（﹣3）+（﹣9）=﹣12；‎ ‎③×（﹣）=﹣；‎ ‎④（﹣36）÷（﹣9）=4．‎ 所以，只有②③正确.‎ 故选：B ‎【名师点拨】本题考核知识点：有理数运算.解题关键点:掌握有理数运算法则.‎ 变式4-1．（2020·泉州市期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是( )‎ A．>0 B．a＋b>0 C．|a|<|b| D．a－b<0‎ ‎【答案】D ‎【提示】根据数轴可得a、b的符号和绝对值的大小关系，分别利用有理数的除法、加法和减法法则对各个选项进行验证即可．‎ ‎【详解】解：由图可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，‎ ‎∴＜0，a+b＜0，a-b＜0．‎ 所以只有选项D成立．‎ 故选：D．‎ ‎【名师点拨】此题考查了数轴的有关知识，利用数形结合思想，可以解决此类问题．数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数．‎ 变式4-2（2018·邯郸市期中）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值是(　　)‎ A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0‎ ‎【答案】B ‎【提示】根据数轴可得:,,继而可得:,,再根据两数相除,同号得正,异号得负,进行判定即可.‎ ‎【详解】根据数轴可得:,,‎ 所以,,‎ 因为两数相除,同号得正,异号得负,‎ 所以,‎ 故选B.‎ ‎【名师点拨】本题主要考查数轴和有理数的除法,解决本题的关键是要熟练掌握数轴和有理数除法法则.‎ 变式4-3．（2018·长春市期末）若m、n≠0，则的取值不可能是( )‎ A．0 B．1 C．2 D．-2‎ ‎【答案】B ‎【详解】若m、n都是正数，则==1+1=2；‎ 若m、n都是负数，则==-1-1=-2；‎ 若m>0、n<0，则==1-1=0；‎ 若m<0、n>0，则==-1+1=0；‎ 综上可知的值为0或2或-2，不可能是1，‎ 故选B.‎ ‎【名师点拨】本题考查了绝对值的化简，分类讨论m、n的不同情况是解决本题的关键.‎ 考查题型五 有理数的除法应用 典例5．（2018·宜昌市期中）一道计算题不慎被墨水覆盖了一部分，则覆盖的数字为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【提示】设被墨水覆盖了一部分为x，在代入式中计算即可.‎ ‎【详解】设被墨水覆盖了一部分为x，‎ 则（-3）×x=-9，‎ x=3.‎ 故答案选：B.‎ ‎【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用.‎ 变式5-1．（2019·大庆市期中）一双鞋打八折后是60元，这双鞋原来(　　)元．‎ A．65 B．72 C．75 D．20‎ ‎【答案】C ‎【提示】打八折是指现价是原价的80%，用除法就可以求出原价．‎ ‎【详解】这双鞋原来价格为：60÷80%=75（元）． 故选：C．‎ ‎【名师点拨】此题考查有理数除法的应用，解题关键是理解打折的含义，打几折，现价就是原价的百分之几十．‎ 变式5-2．（2018·北京市期末）（原创）按100分制60分及格来算，满分是150分的及格分是（ ）‎ A．60分 B．72分 C．90分 D．105分 ‎【答案】B ‎【解析】试题提示：先根据“100分制60分及格”求得及格的百分数，即可求得结果.‎ 由题意得满分是120分的及格分分，故选B.‎ 考查题型六 有理数的乘除混合运算 典例6（2018·北京市期中）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ 变式6-1．（2018·北京市期中）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎．‎ 变式6-2．（2019·怀柔区期末）计算：（﹣）×（﹣）÷（﹣2）‎ ‎【答案】﹣‎ ‎【提示】先确定结果的符号，把除法统一成乘法，利用乘法法则计算出结果.‎ ‎【详解】原式＝﹣××＝﹣．‎ ‎【名师点拨】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键.‎ 考查题型七 有理数加减乘除混合运算 典例7．（2018·陕西洛南·初一期末）计算：‎ ‎【答案】‎ 根据有理数混合运算法则可以解答本题．‎ ‎【详解】原式=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎【名师点拨】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．‎ 变式7-1．（2019·石家庄市期中）计算：‎ ‎【答案】‎ ‎【提示】根据有理数混合运算法则及绝对值的意义可以解答本题．‎ ‎【详解】原式=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎【名师点拨】本题考查了有理数的混合运算及绝对值的意义，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法及绝对值的意义．‎ 变式7-2（2018·南阳市期中）计算：①8×（﹣）﹣（﹣4）×（﹣）+（﹣8）×；②×（8﹣﹣）+6×（﹣）‎ ‎【答案】①﹣8；②4．‎ ‎【解析】试题提示：‎ ‎（1）根据本题特点，逆用“乘法分配律”进行计算，可使运算简便一些；‎ ‎（2）根据“乘法分配律”结合有理数的乘法法则计算即可.‎ 试题解析：‎ ‎①原式=；‎ ‎②原式=.‎