辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第三次模拟考试 数学（文）

辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第三次模拟考试 数学（文）

·1· 辽宁省沈阳市东北育才学校 2020 届高三上学期第三次模拟 数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解指数不等式可得集合 B,跟交集运算即可求得 . 【详解】 集合 , 可得 则由集合交集运算可得 故选:C 【点睛】 本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题. 2．如图，在复平面中，复数 、 分别对应点 、 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据复平面内的点坐标,可得复数 、 .结合复数的模及共轭复数的定义,即可求得 . { }| 2 1A x x= − < ≤ { }| 2 1xB x= ≤ A B { }| 2 1x x− < ≤ − { }| 2 1x x− < ≤ { }| 2 0x x− < ≤ { }| 1 0x x− < ≤ A B { }| 2 1A x x= − < ≤ { }| 2 1xB x= ≤ { }| 0B x x= ≤ { } { } { }| 2 1 | 0 | 2 0A B x x x x x x= − < ≤ ≤ = − < ≤  1z 2z A B 1 2z z⋅ = 2 5 5i− 2 5+ 5i 3 i− 4 3i+ 1z 2z 1 2z z⋅ ·2· 【详解】 由图可知, 、 因为复数 、 分别对应点 、 则 , 由复数模的求法及共轭复数定义可知 , 则 故选:A 【点睛】 本题考查了复数的几何意义与坐标表示,复数模的求法及共轭复数的定义,属于基础题. 3．已知 ， 为单位向量，且满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得 【详解】 因为 则 由向量数量积的定义可得 , 为单位向量 则 即 由向量夹角的取值范围为 ( )1,2A − ( )2,1B 1z 2z A B 1 1 2z i= − + 2 2z i= + ( )2 2 1 1 2 5z = − + = 2 2z i= − ( )1 2 5 2 2 5 5z z i i⋅ = − = − 1e 2e ( )1 2 22 0e e e+ ⋅ =   1 2,e e =  30° 60° 120° 150° 1 2,e e  ( )1 2 22 0e e e+ ⋅ =   2 1 2 22 0e e e⋅ + =   2 1 2 1 2 22 cos , 0e e e e e⋅ + =     1e 2e 1 22cos , 1 0e e + =  1 2 1cos , 2e e = −  [ ]0 π， ·3· 可得 故选:C 【点睛】 本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题. 4．已知圆 的方程为 ，点 在直线 上，则圆心 到点 的 最小距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由圆的方程，得到圆心坐标，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，即可得 出结果. 【详解】 因为圆 的方程为 ，所以其圆心坐标为 ， 又 在直线 上， 所以求圆心 到点 的最小距离，即是求圆心 到直线 的距离 ， 由点到直线距离公式可得： . 故选 C 【点睛】 本题主要考查圆心到直线上一点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型. 5．等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】 1 2, 120e e =   C 2 2 6 2 9 0x y x y+ − + + = M 1 0x y+ − = C M 5 2 2 3 2 2 2 2 1 2 C 2 2 6 2 9 0x y x y+ − + + = (3, 1)C − M 1 0x y+ − = C M C 1 0x y+ − = d 2 2 3 1 1 2 21 1 d − −= = + { }na 1 0a > 1 3a a< 3 4a a< ·4· 因为 为等比数列, 若 ,即 ,可得 解得 或 . 则 当 时, ;当 时, ,所以“ ”是“ ”非充分条件 若 ,则 ,即 ,解得 故 ,所以“ ”是“ ”的必要条件 综上可知, “ ”是“ ”的必要不充分条件 故选:B 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题. 6．已知函数 的两个相邻的对称轴之间的距离为 ，为了得到函数 的图象，只需将 的图象（ ） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】先由函数 的两个相邻的对称轴之间的距离为 ，得到周期，求出 ，再由平移原则， 即可得出结果. 【详解】 因为函数 的两个相邻的对称轴之间的距离为 ， 所以 的最小正周期为 ，因此 ， { }na 1 0a > 1 3a a< 2 1 1a a q< 21 q< 1 q< 1q < − 2 3 3 1 4 1,a a q a a q= = 1 q< 3 4a a< 1q < − 3 4a a> 1 3a a< 3 4a a< 3 4a a< 2 3 3 1 4 1,a a q a a q= = 2 3 1 1a q a q< 1 q< 2 1 3 1a a a q< = 1 3a a< 3 4a a< 1 3a a< 3 4a a< ( ) sin ( 0)6f x x πω ω = + >   2 π ( ) sing x xω= ( )y f x= 6 π 6 π 12 π 12 π ( )f x 2 π ω ( ) sin ( 0)6f x x πω ω = + >   2 π ( )f x T π= 2 2T πω = = ·5· 所以 ， 因此，为了得到函数 的图象，只需将 的图象向右平移 个单 位长度. 故选 D 【点睛】 本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常 考题型. 7．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小. 【详解】 因为 .由指数与对数的转化可知, 根据对数函数的图像与性质可得 因为 ,由指数函数的图像可知 因为 ,由对数函数的图像与性质可知 综上可知, 故选:C 【点睛】 本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题. 8．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A．若 ， ， ， ，则 ( ) sin 2 sin 26 12f x x x π π   = + = +       ( ) sin 2g x x= ( ) sin 2 12f x x π = +   12 π 2 3a = 1 12 b  >   1 2 log 1c > a b c> > c a b> > a c b> > c b a> > 2 3a = 2log 3a = 2 2 1log 3 log 2 2a = > = 1 12 b  >   0b < 1 2 log 1c > 10 2c< < a c b> > ,m n ,α β m α m β n α∥ n β∥ α β ·6· B．若 ， ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 【答案】B 【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】 A 选项，若 ， ， ， ，则 或 与 相交；故 A 错； B 选项，若 ， ，则 ，又 ， 是两个不重合的平面，则 ，故 B 正 确； C 选项，若 ， ，则 或 或 与 相交，又 ， 是两个不重合的平 面，则 或 与 相交；故 C 错； D 选项，若 ， ，则 或 或 与 相交，又 ， 是两个不重合的平 面，则 或 与 相交；故 D 错； 故选 B 【点睛】 本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型. 9．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小 组学生每周用于数学的学习时间 与数学成绩 进行数据收集如下： 由样本中样本数据求得回归直线方程为 ，则点 与直线 的位置关系是 （ ） A． B． C． D． 与 的大小无法确定 m n∥ m α⊥ n β⊥ α β m n⊥ m α⊂ n β⊂ α β⊥ m n⊥ m α n β⊥ α β⊥ m α m β n α∥ n β∥ α β α β m n∥ m α⊥ n α⊥ n β⊥ ,α β α β m n⊥ m α⊂ n α⊂ n α∥ n α n β⊂ ,α β α β α β m n⊥ m α n α⊂ n α∥ n α n β⊥ ,α β α β α β x y y bx a= + ( ),a b 18 100x y+ = 18 100a b+ < 18 100a b+ > 18 100a b+ = 18a b+ 100 ·7· 【答案】B 【解析】分析：由样本数据可得 ，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入 x+18y，求出值与 100 比较即可得到选项． 详解：由题意， （15+16+18+19+22）=18， （102+98+115+115+120）=110， ，5 =9900， =1650，n =5•324=1620， ∴b= =3.1， ∴a=110﹣3.1×18=54.2， ∵点（a，b）代入 x+18y， ∴54.2+18×3.1=110＞100． 即 a+18b＞100.故答案为：B 点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力. 10．设 ，则函数 A．有极值 B．有零点 C．是奇函数 D．是增函数 【答案】D 【解析】分析：由 x＜0，求得导数判断符号，可得单调性；再由三次函数的单调性，可得 x≥0 的单 调性，即可判断正确结论． 详解：由 x＜0，f（x）=x﹣sinx，导数为 f′（x）=1﹣cosx， 且 f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）＞0； 又 x≥0，f（x）=x3+1 递增， 且 f（0）=1＞0﹣sin0， 故 f（x）在 R 上递增； f（x）无极值和无零点，且不为奇函数. 故答案为：D 点睛：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查函数的零点判断和奇偶性的判断. ,x y 1 5x = 1 5y = 5 1 9993,i i i x y = =∑ x y⋅ 5 2 1 i i x = ∑ 2( )x 9993 9900 1650 1620 − − 3 sin , 0( ) 1, 0 x x xf x x x − <=  + ≥ ( )f x ·8· 11．已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，直线 与双曲线 的一 个交点 在以线段 为直径的圆上，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由题意得到 ，不妨令 在第一象限内，再得到 为等边三角形，求出 ， ，结合双曲线的定义，即可求出结果. 【详解】 因为直线 与双曲线 的一个交点 在以线段 为直径的圆上， 所以 ，不妨令 在第一象限内， 又 为 中点， ，所以 ， 因为直线 的倾斜角为 ， 所以 为等边三角形，所以 ， 因此，在 中， ， 由双曲线的定义可得： ， 所以双曲线 的离心率为 . 故选 C 【点睛】 本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型. 12．已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，则实 数 的取值范围是（ ） A． B． 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 3y x= C P 1 2F F C 4 2 3+ 5 2 5+ 3 1+ 3 2+ 1 2PF PF⊥ P 2POF∆ 2PF c= 1 3PF c= 3y x= C P 1 2F F 1 2PF PF⊥ P O 1 2F F 1 2( c,0), ( ,0)F F c− 1 2 1 2OP F F c= = 3y x= 2 60POF∠ =  2POF∆ 2PF c= 1 2Rt PF F∆ 2 2 1 1 2 2 3PF F PF F c= − = 21 3 2PF PF c c a− = − = C 2 3 1 3 1 ce a = = = + − 1( ) 2 x af x e axx x  = − + −   (0, )x∈ +∞ ( ) ( )f x xf x′≥ − a 3, 2 e −∞ −   ( , 2 eù- ¥ - úû ·9· C． D． 【答案】D 【解析】先令 ，根据题中条件得到 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立；令 ， ，用导数的方法求出 最小值，即可得出结果. 【详解】 令 ， 则 ， 因为对任意 ，都有 成立， 所以 在 上恒成立； 即 在 上恒成立； 即 在 上恒成立； 令 ， ， 则 ， 由 得 ，解得 （舍）或 ， 所以，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 3 ,2 eé ö÷- +¥ê ÷êë ø )2 ,eé- +¥êë 2( ) ( ) (2 1) xg x xf x x e ax a= = − + − ( ) ( ) ( ) 0g x f x xf x′ ′= + ≥ (0, )x∈ +∞ (2 1) 12 2 x xx ea ex x +  − ≤ = +   (0, )x∈ +∞ 1( ) 2 xh x ex  = +   (0, )x∈ +∞ 1( ) 2 xh x ex  = +   2( ) ( ) (2 1) xg x xf x x e ax a= = − + − ( ) ( ) ( )g x f x xf x′ ′= + (0, )x∈ +∞ ( ) ( )f x xf x′≥ − ( ) ( ) ( ) 0g x f x xf x′ ′= + ≥ (0, )x∈ +∞ ( ) (2 1) 2 0xg x x e ax′ = + + ≥ (0, )x∈ +∞ (2 1) 12 2 x xx ea ex x +  − ≤ = +   (0, )x∈ +∞ 1( ) 2 xh x ex  = +   (0, )x∈ +∞ 2 2 2 1 1 (2 1)( ) 2x x xx xh x e e ex x x + − ′ = − + + =   ( ) 0h x′ = 22 1 0x x+ − = 1x = − 1 2x = 10 2x< < 2 2 (2 1)( ) 0xx xh x ex + −′ = < 1( ) 2 xh x ex  = +   1 2x > 2 2 (2 1)( ) 0xx xh x ex + −′ = < 1( ) 2 xh x ex  = +   ·10· 所以 ， 因为 在 上恒成立， 所以只需 ，解得 . 故选 D 【点睛】 本题主要考查导数的应用，根据导数的单调性求参数的问题，通常需要用导数的方法研究函数的单 调性、最值等，属于常考题型. 二、填空题 13．已知 是定义域为 的奇函数，且周期为 2，若当 时， ，则 ______． 【答案】 【解析】根据函数的奇偶性和周期性，求出 ，求出函数值即可． 【详解】 已知 是定义域为 的奇函数，且周期为 ， . 当 时， ， ， . 故答案为： 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性和周期性的应用，考查函数求值，属于基础题． 14．曲线 在点 处的切线方程为___________. 【答案】 min 1( ) 42h x h e = =   (2 1) 12 2 x xx ea ex x +  − ≤ = +   (0, )x∈ +∞ 2 4a e− ≤ 2a e≥ − ( )y f x= R [ ]0,1x∈ ( ) ( )1f x x x= − ( )2.5f − = 0.25− ( ) ( )2.5 0.5f f− = − ( )y f x= R 2 ∴ ( ) ( ) ( ) ( )2.5 2.5 2 0.5 0.5f f f f− = − + = − = − [ ]0,1x∈ ( ) ( )1f x x x= − ∴ ( ) ( )0.5 0.5 1 0.5 0.25f = × − = ∴ ( )2.5 0.25f − = − 0.25− siny x x= ( ),0π 2y xπ π= − + ·11· 【解析】根据导数的几何意义,先求得在点 处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程. 【详解】 曲线 则 所以在点 处的切线的斜率为 由点斜式可得 故答案为: 【点睛】 本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题. 15．已知 、 、 分别是 三个内角 、 、 的对边， ，则角 的大小 为___________. 【答案】 【解析】根据正弦定理,将表达式转化为角的表达式,由三角形内角的定理,化简即可求得角 . 【详解】 因为 、 、 分别是 三个内角 、 、 的对边, 由正弦定理可得 因为 展开化简可得 即 因为三角形中 则 ( ),0π siny x x= ( ) ( )' 'sin sin ' sin cosy x x x x x x x= + = + ( ),0π sin cosk π π π π= + = − ( ) 2y x xπ π π π= − − = − + 2y xπ π= − + a b c ABC∆ A B C 1cos 2a B b c+ = A 3 π A a b c ABC∆ A B C 1cos 2a B b c+ = 1sin cos sin sin2A B B C+ = sin sin( )C A B= + 1sin cos sin sin cos sin cos2A B B A B B A+ = + 1 sin sin cos2 B B A= sin 0B ≠ 1cos 2A = ·12· 解得 故答案为: 【点睛】 本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题. 16．已知边长为 的空间四边形 的顶点都在同一个球面上，若 ，平面 平面 ，则该球的球面面积为___________. 【答案】 【解析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进 而得球的面积. 【详解】 根据题意, G 为底面等边三角形 的重心,作 底面 .作 交 于 ,过 作 交 于 .连接 画出空间几何图形如下图所示: 因为等边三角形 与等边三角形 的边长为 ,且 所以 G 为底面等边三角形 的重心,则 , 面 平面 3A π= 3 π 2 3 ABCD 3BAD π∠ = ABD ⊥ CBD 20π CBD OG ⊥ CBD AE BD⊥ BD E O OF AE⊥ AE F ,AO OC CBD ABD 2 3 3BAD π∠ = 2 3 sin 33AE CE π= = × = CBD 1 1 3 13 3EG CE= = × = 2GC = ABD ⊥ CBD ·13· 因而四边形 为矩形,设 ,则 ,球的半径为 在 和 中 解得 所以球的表面积为 故答案为: 【点睛】 本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题. 三、解答题 17．等腰直角三角形 中， ， 为 的中点，正方形 与三角形 所 在的平面互相垂直． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 ，求点 到平面 的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）连 , 交 于 ,连 ,由中位线定理即可证明 平面 . （Ⅱ）根据 ,由等体积法即可求得点 到平面 的距离. 【详解】 （Ⅰ）连 ,设 交 于 ,连 ,如下图所示: OGEF OG h= EF h= r Rt AFO∆ Rt OGC∆ ( )2 2 2 2 2 2 3 1 2 h r h r  − + = + = 1 5 h r = = ( )224 4 5 20S rπ π π= = × = 20π ABC 90BAC∠ = ° D AC 1 1BCC B ABC 1AB / / 1DBC 2AB = D 1ABC 6 3 1B C 1B C 1BC O OD 1AB∥ 1DBC 1 1D ABC C ABDV V− −= D 1ABC 1B C 1B C 1BC O OD ·14· 因为 为 的中点, 为 的中点, 则 面 , 面 所以 平面 （Ⅱ）因为等腰直角三角形 中, 则 ,又因为 所以 平面 则 设点 到平面 的距离为 . 由 ,代入可得 解得 . 【点睛】 本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于基础题. 18．国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取 100 名男生参加实 心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在 5 至 15 米之内）的频数分布表如下（单位：米）： O 1B C D AC 1/ /OD AB OD ⊂ 1BDC 1AB ⊂/ 1BDC 1AB∥ 1DBC ABC 90BAC∠ = ° BA AC⊥ 1BA CC⊥ BA ⊥ 1ACC 1BA AC⊥ D 1ABC h 1 1D ABC C ABDV V− −= 1 1 12 3 2 1 2 23 3 2h× × = × × × × 6 3h = ·15· 分组 频数 9 23 40 22 6 规定：实心球投掷距离在 之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的 平均值 ，将频率视为概率. （1）求 ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比. （2）现在从实心球投掷距离在 ， 之内的男生中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人参加提高体能的训练，求：在被抽取的 3 人中恰有两人的实心球投掷距离在 内的概率. 【答案】（1）平均值 ，百分比 ％；（2） 【解析】（1）根据平均值的定义和古典概型的概率分别求解即可； （2）先按分层抽样的方法抽取 5 人，再利用组合知识计算从这 5 名学生中选出 2 人的方法种数，代 入古典概型概率公式计算即可. 【详解】 （1）根据平均值的定义得 ， 因为实心球投掷距离在 之内时，测试成绩为“良好”，所以 ％. （2）实心球投掷距离在 ， 之内的男生分别有 9，6 人，用分层抽样的方法抽取 5 人， 则分别抽取 3，2 人. 从这 5 人中随机抽取 3 人参加提高体能的训练的总数为 ，在被抽取的 3 人中恰有两人的实心 球投掷距离在 的总数为 ， 所以在被抽取的 3 人中恰有两人的实心球投掷距离在 内的概率为 . 【点睛】 本题考查了平均值的计算，古典概型概率的求法，组合数计算公式，分层抽样方法的利用，属于基 [ )5,7 [ )7,9 [ )9,11 [ )11,13 [ )13,15 [ )9,13 ξ ξ [ )5,7 [ )13,15 [ )5,7 9.77ξ = 62 0.6 9 23 40 22 66 8 10 12 14 9.77100 100 100 100 100 ξ = × + × + × + × + × = [ )9,13 40 22 0.62 62100 + = = [ )5,7 [ )13,15 3 5 10C = [ )5,7 2 1 3 2 6C C = [ )5,7 6 0.610p = = ·16· 础题. 19．已知等差数列 的前 项和为 ，满足 ，且 成等比数列. （1）求 及 ； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 . 【答案】(1) ； ；（2） 【解析】（1）先设等差数列 的公差为 ，根据题中条件列出方程组，求出首项和公差，结合公 式即可求出结果； （2）先由（1）得到 ，再由错位相减法，即可求出结果. 【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ， 因为 ，且 成等比数列， 所以有 ，即 ，解得 ， 所以 ； ； （2）由（1）可得 ， 因为数列 的前 项和为 ， 所以 ， 因此， ， 两式作差得 ， 整理得 . 【点睛】 { }na n nS 3 12S = 1 2 4, ,a a a na nS 2 na n n Sb n ⋅= { }nb n nT nT 2na n= 2 nS n n= + 1(3 2) 4 8 9 n n nT ++ ⋅ −= { }na d ( 1) 4n nb n= + ⋅ { }na d 3 12S = 1 2 4, ,a a a 3 2 2 2 1 4 3 12S a a a a = =  = 1 2 1 1 1 4 ( ) ( 3 ) a d a d a a d + =  + = + 1 2a d= = 1 ( 1) 2na a n d n= + − = 21( ) 2 n n n a aS n n += = + 22 ( 1) 2 ( 1) 4 na n nn n S n nb nn n ⋅ + ⋅= = = + ⋅ { }nb n nT 2 3 1 2 3 ... 2 4 3 4 4 4 ... ( 1) 4 n n nT b b b b n= + + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ 2 3 4 14 2 4 3 4 4 4 ... ( 1) 4 n nT n += ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ 2 3 4 13 2 4 4 4 4 ... 4 ( 1) 4n n nT n +− = ⋅ + + + + + − + ⋅ 1(3 2) 4 8 9 n n nT ++ ⋅ −= ·17· 本题主要考查等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法 求数列的和即可，属于常考题型. 20．已知函数 （ 为自然对数的底数）. （1）讨论函数 的单调性； （2）求证：当 时，对 ， . 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【解析】(1)求出函数 的导数，根据其正负讨论单调性，需按 与 的大小分类讨论. (2)要证 ，即证 ，结合(1)中的单调性对 的最小值进行分析即可. 【详解】 （1） ，由 得 或 . 当 时， ，函数 在 内单调递增. 当 时，函数 在 ， 内单调递增，在 内单调递减. 当 时，函数 在 ， 内单调递增，在 内单调递减. （2）证明：要证 ， ，即证 ， . ①由（1）可知，当 ， 时， . ， . 设 ， ，则 ， 在 单调递增，故 ，即 . . ②当 时，函数 在 单调递增， . ③当 时，由（1）可知， 时， . ( ) ( ) 21 1 ex a x xf x − − −= e ( )f x 3 ea ≥ − [ )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 1f x ≥ − ( )f x a 1 ( ) 1f x ≥ − ( )min 1f x ≥ − ( )f x ( ) ( )2 1 ex x a x af x − + +′ = ( )( )1 ex x x a− −= ( ) 0f x′ = 1x = x a= 1a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( ),−∞ +∞ 1a < ( )f x ( ),a−∞ ( )1,+∞ ( ),1a 1a > ( )f x ( ),1−∞ ( ),a +∞ ( )1,a [ )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 1f x ≥ − [ )0,x∈ +∞ ( )min 1f x ≥ − 1a > [ )0,x∈ +∞ ( ) ( ) ( ){ }min min 0 ,f x f f a= (0) 1f = − ( ) 1 ea af a − −= ( ) 1 ea ag a − −= 1a > ( ) 0ea ag a′ = > ( )g a∴ ( )1,+∞ ( ) ( ) 21 1eg a g> = − > − ( ) 1f a > − ∴ ( )min = 1f x − 1a = ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( )min 0 1f x f= = − 3 e 1a− ≤ < [ )0x∈ + ∞， ( ) ( ) ( ){ }min min 0 , 1f x f f= ·18· 又 ， ， . 综上，当 时，对 ， . 【点睛】 本题考查函数与导数的综合问题，考查分类讨论的数学思想方法.根据含参函数的导数符号求单调性 时，往往需要按根的存在性、根的大小进行分类讨论.不等式的恒成立问题，往往通过转化为最值问 题来求解. 21．已知椭圆 ，与 轴负半轴交于 ，离心率 （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，连接 ， 并延长交直 线 于 ， 两点，若 ，求证：直线 恒过定点，并求出 定点坐标。 【答案】（1） （2）见证明 【解析】（1）由椭圆与 轴交于 可得 得值，结合 与 即可求解；（2）由 ， 和两点斜率公式即可分别用 表示 ， 表示 ，再联立直线与椭 圆方程，用韦达定理与直线方程代入化简即可求解. 【详解】 （1）由题有 ， . ∴ ，∴ . ∴椭圆方程为 . ( )0 1f = − ( ) ( )3 e 331 1e e af − −−= ≥ = − ( )min 1f x∴ = − 3 ea ≥ − [ )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 1f x ≥ − ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > x ( )2,0A − 1 2e = C :l y kx m= + C ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y AM AN 4x = ( )3 3,E x y ( )4 4,F x y 1 2 3 4 1 1 1 1 y y y y + = + MN 2 2 14 3 x y+ = x ( )2,0A − a 1 2 ce a = = , ,a b c AM AEk k= AN AFk k= 1 1,x y 3y 2 2,x y 4y 2a = 1 2 ce a = = 1c = 2 2 2 3b a c= − = 2 2 14 3 x y+ = ·19· （2）法 1： ， . 又 ∴ ，同理 又 ∴ ∴ ，此时满足 ∴ ∴直线 恒过定点 法 2：设直线 的方程为： 则 ∴ 或 ( )2 2 22 2 , 3 4 8 4 12 0 1.4 3 y kx m k x kmx mx y = + ⇒ + + + − = + = ( )( )2 2 2 2 2 264 4 3 4 4 12 0 12 9k m k m m k∆ = − + − > ⇒ < + 1 2 2 8 3 4 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k −= + AM AEk k= 31 1 3 1 1 00 6 2 4 2 2 yy yyx x −− = ⇒ =+ + + 2 4 2 6 2 yy x = + 1 2 3 4 1 1 1 1 y y y y + = + ( )1 2 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 6 6 6 x y x y y yy y x x y y y y y y + + ++ + += + = ( )1 2 1 2 2 14 y y x y x y⇒ + = + ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 14 kx m kx m x kx m x kx m⇒ + + + = + + + ( )( )1 2 1 24 2 8 0k m x x kx x m⇒ − + − + = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 12 2484 2 8 0 03 4 3 4 3 4 m k mkmk m k mk k k − +−⇒ − − + = ⇒ =+ + + m k= − 2 212 9m k< + ( )1y kx m k x= + = − MN ( )1,0 AM 1 2x t y= − ( )1 22 2 1 1 2 3 4 12 0 14 3 x t y t y t yx y = − ⇒ + − = + = 0y = 1 2 1 12 3 4 ty t = + ·20· ∴ ，同理 ， 当 时，由 有 . ∴ ，同理 又 ∴ ， 当 时， ∴直线 的方程为 ∴直线 恒过定点 ，当 时，此时也过定点 综上直线 恒过定点 【点睛】 本题考查直线与椭圆的应用.直线恒过定点问题要结合已知条件求出直线的点斜式方程，联立直线方 程与椭圆方程消元，再利用韦达定理代入是常用方法. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 12 6 82 23 4 3 4 t tx t y t t t −= − = − =+ + 2 2 2 2 2 6 8 3 4 tx t −= + 2 2 2 2 12 3 4 ty t = + 3 4x = 3 1 3 2x t y= − 3 1 6y t = 1 64,E t       2 64,F t       1 2 3 4 1 1 1 1 y y y y + = + 2 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 12 12 6 6 t t t t t t + ++ = + ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 12 6 t t t t t t t t + + +⇒ = 1 2 0t t+ ≠ 1 2 4t t = − MN ( )1 2 1 1 1 2 y yy y x xx x −− = −− 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 22 2 1 21 1 2 2 1 2 12 12 12 3 4 3 4 6 8 6 8 6 83 4 3 4 3 4 3 4 t t t t t ty xt tt t t t −  + + −⇒ − = − − −+ + −+ + 2 1 1 2 2 1 1 2 1 12 6 84 3 4 3 4 t ty xt t t t  −⇒ − = − + + +  2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 6 8 124 4 3 4 3 4 t ty xt t t t t t −⇒ = − ⋅ ++ + + + ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 21 1 2 4 3 44 4 1 3 4 t x xt t t tt t t + = − = −+ ++ + MN ( )1,0 1 2 0t t+ = ( )1,0 MN ( )1,0 ·21· 在直角坐标系 中，直线 的方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 是参数， ）.以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）分别写出直线 与曲线 的极坐标方程； （2）若直线 ，直线 与曲线 的交点为 ，直线 与 的交点为 ， 求 . 【答案】（1） , ; （2） . 【解析】试题分析：（1）可利用公式 化直角坐标方程为极坐标方程，可把曲线 的参 数方程通过消参法化为普通方程后，再转化为极坐标方程； （2）利用极坐标的意义解题，把直线 的极坐标方程 代入直线 的极坐标方程得 ，代入曲 线 的极坐标方程可解得 ，显然 解 析 ： （ 1 ） 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 , 曲 线 的 普 通 方 程 为 ， 又 ，所以曲线 的极坐标方程为 . （ 2 ） 设 ， 则 有 ， 解 得 , 设 ， 则 有 ，解得 ,所以 . 23．已知函数 . （Ⅰ）求 的解集； （Ⅱ）若 ， ，且 的值等于函数 的最小值，求 的最小值. xOy 1l 3y x= C 1 3{ 3 x cos y sin ϕ ϕ = + = ϕ 0 ϕ π≤ ≤ O x 1l C 2 : 2 sin 3 3 03l πρ θ + + =   1l C A 1l 2l B AB 1 : 3l πρ = 2C: 2 2 0,0cosρ ρ θ θ π− − = ≤ ≤ 5 {x cos y sin ρ θ ρ θ = = C 1l 3 πθ = 2l 1 ρ C 2 ρ 1 2AB ρ ρ= − 3 πθ = ( ) 1 1f x x x= − + + ( ) 3f x ≥ 0a > 0b > 2+a b ( )f x 1 2 a b + ·22· 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）分类讨论解不等式,即可求得不等式的解集. （Ⅱ）根据绝对值三角不等式可求得 的最小值为 2.即可得 .由基本不等式即可求得 的最小值. 【详解】 （Ⅰ）由 ,即 得 , 或 , 即 , 或 解得 或 . ∴解集为 （Ⅱ）∵ , ∴ 的最小值为 2, ∴ ,∵ , , ∴ . 当且仅当 即 时等号成立, ∴ 的最小值为 . 【点睛】 本题考查了分类讨论解绝对值不等式,绝对值三角不等式的用法,基本不等式求最值,属于基础题. 3 3, ,2 2    −∞ − +∞      9 2 ( )f x 2 2a b+ = 1 2 a b + ( ) 3f x ≥ 1 1 3x x− + + ≥ ( ) ( ) 1 1 1 3 x x x ≤ − − − − + ≥ ( ) ( ) 1 1 1 1 3 x x x − < ≤  − − + ≥ ( ) ( ) 1 1 1 3 x x x >  − + + ≥ 1 3 2 x x ≤ − ≤ − 1 1 2 3 x− < ≤ − ≥ 1 3 2 x x > ≥ 3 2x ≤ − 3 2x ≥ 3 3, ,2 2    −∞ − +∞      ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2f x x x x x= − + + ≥ − − + = ( )f x 2 2a b+ = 0a > 0b > 1 2 1 2 2 1 2 252 2 a b b a a b a b a b +   + = + ⋅ = + +       1 2 2 95 22 2 b a a b  ≥ + ⋅ =    2 2b a a b = 2 3a b= = 1 2 a b + 9 2