2011年数学理（江西）高考试题

2011年数学理（江西）高考试题

‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 考生注意：‎ ‎ 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上所粘贴的条形码中准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名、考试科目是否一致。‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。‎ 参考公式：‎ 样本数据的线性相关系数 ‎ 锥体体积公式 ‎ 其中 其中为底面积，为高 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若，则复数 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若集合，则 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎3．若，则的定义域为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若，则的解集为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=‎ ‎ A．1 B．‎9 ‎ C．10 D．55‎ ‎6．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为 ‎ A．3125 B．‎5625 ‎ C．0625 D．8125‎ ‎8．已知，，是三个相互平行的平面．平面，之间的距离为，平面，之间的距离为．直线与，，分别相交于，，，那么“=”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ‎ A．（，） B．（，0）∪（0，）‎ ‎ C．[，] D．（，）∪（，+）‎ ‎10．如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小 圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大 致是 第Ⅱ卷 注意事项：‎ 第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎11．已知,·=-2，则与的夹角为 ‎ ‎12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 ‎ ‎13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ‎ ‎14．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ‎ 三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分。本题共5分。‎ ‎15．（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ‎ ‎15．（2）（不等式选做题）对于实数,若的最大值为 ‎ 四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．‎ ‎ （1）求X的分布列；‎ ‎ （2）求此员工月工资的期望。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别是，已知．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）若，求边的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知两个等比数列，满足．‎ ‎ （1）若，求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若数列唯一，求的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设 ‎ （1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；‎ ‎ （2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为．‎ ‎ （1）求双曲线的离心率；‎ ‎ （2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ （1）如图，对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；‎ ‎ （2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。‎ ‎1—5 DBACA 6—10 CDCBA 二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎11．‎ ‎12．‎ ‎13．10‎ ‎14．‎ 三、选做题：本大题5分。‎ ‎15．（1）‎ ‎ （2）5‎ 四、解答题：本大题共6小题，共75分。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 解：（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4‎ 即 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ （2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500‎ 所以新录用员工月工资的期望为2280元.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由已知得 即 由 同边平方得：‎ ‎ （2）由，‎ 即 由 由余弦定理得 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ （1）设的公比为q，则 由成等比数列得 即 所以的通项公式为 ‎ （2）设的公比为q，则由 得 由，故方程（*）有两个不同的实根 由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由 当 令 所以，当上存在单调递增区间 ‎ （2）令 所以上单调递减，在上单调递增 当在[1，4]上的最大值为 又 所以在[1，4]上的最小值为 得，从而在[1，4]上的最大值为 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（1）点在双曲线上，‎ 有 由题意又有 可得 ‎ （2）联立设 则 ………………（1）‎ 设 又C为双曲线上一点，即 有 化简得： …………（2）‎ 又在双曲线上，所以 由（1）式又有 得：‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ （1）如图所示，取A‎1A4的三等分点P2，P3，A‎1A3的中点M，‎ A‎2A4的中点N，过三点A2，P2，M作平面，过三点A3，‎ P3，N作平面，因为A2P2//NP3，A3P3//MP2，所以平面 ‎//平面，再过点A1，A4分别作平面与平面 平行，那么四个平面依次相互平行，由线段 A‎1A4被平行平面截得的线段相等知，其中 每相邻两个平面间的距离相等，故为所求平面。‎ ‎ （2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A‎1A2A3A4就是满足题意的正四面体，设正四面体的棱长为a，以△A‎2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为z轴建立如图的右手直角坐标系，‎ 令P2，P3为A‎1A4的三等分点，N为A‎2A4的中点，有 设平面A3P3N的法向量 有 所以，‎ 因为相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N的距离 解得，由此可得，边长为的正四面体A‎1A2A3A4满足条件。‎ 所以所求正四面体的体积 ‎ ‎ ‎ 解法二：如图，现将此正四面体A‎1A2A3A4置于一个正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体），E1，F1分别是A1B1，C1D1的中点，EE1D1D和BB‎1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A‎1A2A3A4即为满足条件的正四面体。右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a，若A‎1M=MN=1，则有 ‎ ‎ ‎ 据A1D1×A1E1=A‎1M×D1E1，得，‎ ‎ 于是正四面体的棱长 ‎ 其体积 ‎ （即等于一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）‎