2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分

2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分

‎2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分 一、选择题 ‎1、（全国大纲理4、文6）设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎2、(安徽文科第7题）若数列的通项公式是,则 ‎（A） 15 (B) 12 (C ) (D) ‎ ‎3、（四川文科9）数列的前项和为，若，（），则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎．‎ ‎4、（江西文科5）.设为等差数列，公差，为其前项和.若，则=（ ）‎ ‎ A.18 B.20 C.22 D.24‎ ‎5、（江西理科5）已知数列的前项和满足:,且,那么 ( )‎ ‎ A. 1 B. 9 C. 10 D. 55‎ ‎6、（上海理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的面积（），则为等比数列的充要条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）‎ ‎（A）是等比数列． ‎ ‎（B）或是等比数列．‎ ‎（C）和均是等比数列．‎ ‎（D）和均是等比数列，且公比相同．‎ ‎7、（陕西文10）‎ 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）‎ ‎ （A）⑴和⒇ （B）⑼和⑽ (C) ⑼和 ⑾ (D) ⑽和⑾‎ ‎8、（辽宁文5）若等比数列满足，则公比为 ‎（A）2 （B）4 （C）8 （D）16‎ ‎9、（四川理科8）数列的首项为，为等差数列且 .若则，，则 ‎ （A）0 （B）3 （C）8 （D）11‎ 二、填空题 ‎10、（重庆文1）在等差数列中，，＝‎ ‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎ ‎ ‎11、（湖南理科12）设是等差数列的前项和，且，则 ‎。‎ ‎12、（辽宁文15）Sn为等差数列的前项和，，，则____________。‎ ‎13、（湖北理科13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节 的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积 为 升.‎ ‎14、（广东文科11）已知是递增等比数列，,,则此数列的公比 ‎ ‎15、（广东11）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，则 ．‎ ‎16、（重庆理11）在等差数列中，，则__________‎ ‎17、（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．‎ ‎18、（北京理科第11题）在等比数列中，，，则公比______________；_________________。 ‎ ‎19、（浙江文科17）若数列中的最大项是第项，则=_______________。‎ ‎20、（江苏13）设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是 ．‎ ‎21、（天津文11）已知为等差数列，为其前项和，，‎ ‎ 若则的值为_______‎ 三、解答题 ‎22、1、D ‎ ‎2、‎ ‎3、‎ ‎4、‎ ‎5、‎ ‎6、‎ ‎7、‎ ‎8、‎ ‎9、‎ ‎10、‎ ‎11、‎ ‎12、‎ ‎13、‎ ‎14、‎ ‎15、‎ ‎16、‎ ‎17、‎ ‎18、‎ ‎19、‎ ‎20、‎ ‎21、‎ ‎23、（江西理科18）已知两个等比数列，，满足 ‎.‎ 若=1，求数列的通项公式；‎ 若数列唯一，求的值.‎ ‎24、（湖南文科20）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．‎ ‎（I）求第n年初M的价值的表达式；‎ ‎（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．‎ ‎．‎ ‎25、（北京文科20）若数列满足 ，则称为数列。记。‎ ‎（1）写出一个数列满足；‎ ‎（2）若，证明：数列是递增数列的充要条件是；‎ ‎（3）在的数列中，求使得成立的的最小值。 ‎ ‎.‎ ‎26、（湖北文科9）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 ‎ A.1升 B.升 C.升 D.升 ‎27、（福建文科17）已知等差数列中，‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）若数列的前k项和，求k的值.‎ ‎。‎ ‎28、（湖北理科19）已知数列的前项和为，且满足：， N*，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.‎ ‎。‎ ‎29、（重庆文16）设是公比为正数的等比数列，，。‎ ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。‎ ‎30、（天津文20）已知数列满足 ‎ ‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）设，证明是等比数列；‎ ‎ （Ⅲ）设为的前项和，证明 ‎31、（重庆理21）设实数数列的前项和，满足 ‎ （I）若成等比数列，求和；‎ ‎ （II）求证：对 ‎32、（上海文23）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 ‎．‎ ‎（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；‎ ‎（2）中有多少项不是数列中的项？说明理由；‎ ‎（3）求数列的前项和（）．‎ ‎33、（上海理23）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列．‎ ‎⑴ 求；‎ ‎⑵ 求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；‎ ‎⑶ 求数列的通项公式．‎ ‎34、（全国课标文17）等比数列的各项均为正数，且 ‎(I)求数列的通项公式.‎ ‎(II)设 求数列的通项公式.‎ ‎35、（陕西理、文19）‎ 曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点．再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；；…；，记点的坐标为（）．‎ ‎（1）试求与的关系（）；‎ ‎（2）求．‎ ‎36、（全国课标理17）等比数列的各项均为正数，且 ‎(I)求数列的通项公式.‎ ‎(II)设 求数列的前项和.‎ ‎37、（江西文科21）(本小题满分14分）‎ ‎ （1）已知两个等比数列，满足，‎ ‎ 若数列唯一，求的值；‎ ‎ （2）是否存在两个等比数列，使得成公差为 ‎ 的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由．‎ ‎38、（全国大纲20）设数列满足且.‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ (2)设.‎ ‎39、（四川理科20）设为非零实数，‎ ‎(1)写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；‎ ‎(2)设，求数列的前项和．‎ ‎。‎ ‎40、（天津理20）（本小题满分14分）‎ 已知数列与满足：， ，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（III）设证明：．‎ ‎41、（辽宁理17）已知等差数列满足，‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）求数列的前项和。‎ ‎42、（山东文20）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足： ，求数列的前项和.‎ ‎43、（浙江文科19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项且成等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对，试比较与的大小。‎ ‎44、（浙江理科19）已知公差不为0的等差数列的首项为(),设数列的前项和为，且，，成等比数列。‎ ‎（1）求数列的通项公式及 ‎（2）记，，当时，试比较与的大小.‎ ‎。‎ ‎45、(安徽理科第18题，文科第21题）是递增数列，所以，故是首项为12，公差为1的等差数列在数1和100之间插入个实数，使得这个数构 成递增的等比数列，将这 个数的乘积记作，再令.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ ‎46、（四川文科20）已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．‎ ‎（1）当、、成等差数列时，求q的值；‎ ‎（2）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、、也成等差数列．‎ 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．‎ ‎47、（全国大纲文17）设等比数列的前项和为.已知求和.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D ‎【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一，解得.‎ 解法二: ，解得.‎ ‎2、A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题.‎ ‎【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；‎ 法二：，故.故选A ‎3、 A 解析：由，得（），相减得=3= 3，‎ 则（n ≥ 2），而，，则，选A ‎4、 B 解析： ,则，‎ ‎5、 A 解析： 令，则，是等差数列，则有 ‎，‎ ‎6、22、（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得利润是元.‎ ‎(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;‎ ‎(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.‎ ‎【答案】(1)根据题意, ‎ 又,可解得 ‎ ‎(2)设利润为元,则 ‎ 故时,元.‎ ‎7、 【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．‎ ‎【解】选D （方法一）‎ 选项 具体分析 结论 A ‎⑴和(20) ：‎ 比较各个路程和可知D符合题意 B ‎(9)：‎ ‎(10)：=2000‎ C ‎(11)：=2000‎ D ‎(10)和(11)：路程和都是2000‎ ‎（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是 ‎，所以路程总和最小为2000米.‎ ‎8、 B ‎9、 B 解析：为等差数列，设公差为，则，‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎10、 D ‎ 解析：由等差数列的通项公式容易知，‎ ‎11、 25‎ 解析：由可得，所以 ‎12、 ‎ ‎13、‎ 解析：设该数列的首项为，公差为，依题意 ‎，即，解得，‎ 则，所以应该填.‎ ‎14、解：，即，又数列为递增数列，‎ ‎（舍）‎ ‎15、方法1：由得，求得，则，解得 方法2：由得，即，，即，即 ‎16、 74‎ 解析：有等差数列的性质得：‎ ‎17、【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题．‎ ‎【解】（方法一）设树苗放在第个树坑旁边（如图），‎ ‎ 1 2 … … 19 20‎ 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是 ‎，所以当或时，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.‎ ‎（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是 ‎，所以路程总和最小为2000米.‎ ‎【答案】2000如图，从点P1（0，0）作轴的垂线交 ‎ ，‎ ‎ ;‎ ‎ ‎ ‎18、解：可求得，，‎ ‎19、 4‎ ‎20、‎ 解析：由得：，又 所以且且，故。‎ ‎21、 110‎ 三、解答题 ‎22、 解：（1）设成等差数列的三个数分别是，依题意得 ‎，解得，则数列的分别是，，它们成等比数列，则，化简得：，解得：或，‎ 数列为正数数列，，的分别是，公比为 数列是以为首项，为公比的等比数列，其前项和为 ‎，，所以数列是等比数列 ‎23、解：（1）当时，，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知： ，同时又有所以：‎ 要唯一，当公比时，由 ‎ 且，(*) ‎ ‎，恒成立，‎ 此时(*)式有两个不同的实数解，若要使（*）式符合条件的解只有一个，则方程必有一个根为零，当公比时，。等比数列首项为，此时。‎ 综上：。‎ ‎24、 解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．‎ ‎ ‎ 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 ‎ ‎ 因此，第年初，M的价值的表达式为。‎ ‎(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时，‎ 当时，‎ 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第9年初对M更新 ‎25、解：（1）0,1,0,1,0；0，-1,0,1,0等，答案不唯一。‎ 必要性：因为E数列 充分性：由已知条件得：‎ 以上各式相加得：，又=2011，故以上各等号同时成立。‎ 故，从而数列为递增数列。‎ ‎，‎ 其中，因此对的数列中使得的 而数列符合题意，故的最小值为9‎ ‎26、B ‎27、解：（1）；（2）‎ ‎28、解：（1）由已知可得：，两式相减可得：‎ 即，又，所以当时，数列为，当 时，由已知，，，成等比数列 时，，数列的通项公式为 对于任意的，且，，，成等差数列，证明如下：‎ ‎ 由(1)知，当时，数列为，结论显然成立，当时，‎ ‎ ，由，，成等差数列知，‎ ‎ ，化简得：，即 ‎ 而，，此时时，‎ ‎ ，‎ ‎ 即成等差数列 ‎29、解：（I）设q为等比数列的公比，则由，‎ 即，解得（舍去），因此 所以的通项为 ‎ （II）‎ ‎ ‎ ‎30、（Ⅰ）解：由，可得 ‎ 又，‎ ‎ 当 ‎ 当 ‎ （Ⅱ）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ②-①，得 ‎ 所以是等比数列。‎ ‎ （Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故对任意 ‎ 由①得 ‎ 因此，‎ ‎ 于是，‎ ‎ 故 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意 ‎ ‎ ‎31、（I）解：由题意，‎ 由S2是等比中项知 由解得 ‎ （II）证法一：由题设条件有 故 从而对有 ‎ ①‎ 因，由①得 要证，由①只要证 即证 此式明显成立.‎ 因此 最后证若不然 又因矛盾.因此 证法二：由题设知，‎ 故方程（可能相同）.‎ 因此判别式 又由 因此，‎ 解得 因此 由，得 因此 ‎32、【解析】⑴ 三项分别为．………………………………4分 ‎⑵ 分别为 ‎．…………７分 连续四项中恰有一个是数列的项，但不是数列的项．‎ 中有１０项不是数列中的项．………………………………１０分 ‎⑶ ，，，且 ‎ ‎∴ ．…………………………………………１４分 ‎．…………………………………………１６分 ‎．‎ ‎33、【解析】⑴ ；‎ ‎⑵证明:数列由、的项构成，只需讨论数列的项是否为数列的项．‎ 对于任意 是的项.………7分 下面用反证法证明：不是的项．‎ 假设是的项，设，则，‎ ‎，与矛盾．‎ 结论得证．………１０分 ‎⑶ ‎ ‎………１４分 所以，‎ 综上， ．………１8 分 ‎34、【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，由得,,所以.‎ 由条件可知,故.‎ 由得，所以.故数列的通项式为.‎ ‎（Ⅱ ）‎ ‎35、【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标；（2）尝试求出通项的表达式，然后再求和．‎ ‎【解】（1）设点的坐标是，∵，∴，‎ ‎∴，在点处的切线方程是，‎ 令，则（）．‎ ‎（2）∵，，∴，‎ ‎∴，于是有 ‎，‎ 即．‎ ‎36、【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，由得所以.‎ 由条件可知,故.‎ 由得，所以.故数列的通项式为.‎ ‎（Ⅱ ）‎ 故 所以数列的前n项和为.‎ ‎37、解：（1）是等比数列，设公比为，时，由 ‎ ‎ 且， ‎ ‎，，又，‎ 若数列唯一，则方程必有一根为，此时可推得。‎ 假设存在这样的等比数列的公比分别为，则 ‎ ‎ 第一式乘以减去第二式：整理得，又或 当时，由以上一式得：或，此时是常数列，公差为；‎ 当时，代入一式得：或，此时 ‎ 不符合题意，所以不存在两个等比数列，使得成公差不为的等差数列。‎ ‎38、【解析】(1)由题设,‎ 即是公差为1的等差数列. 又,故.‎ 所以 ‎ ‎ (2) 由(Ⅰ)得 ,‎ ‎…………………………12分 ‎39、解析：（1）‎ ‎ ‎ 当时，‎ 其中，将上式代入中得：‎ ‎，当时，上式对也成立，且，‎ 此时，数列是以为首项，为公比的等比数列；‎ 当时，，时，，不是等比数列。‎ ‎ （2）当时，，当时，，此时数列的前项和。‎ 当时，，‎ ①‎ ‎ ①式乘以得:‎ ‎ ②‎ ①②式得：‎ ‎ ‎ ‎ ，综合以上两种情况可得：‎ ‎ ‎ ‎40、 （I）解：由可得 又 ‎（II）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎②—③，得 ④‎ 将④代入①，可得，即 又 因此是等比数列.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎41、 解：（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得：，解得 故数列的通项公式为；‎ 设数列的前项和为，即，故，所以当时，，两式相减有：‎ ‎ ，又 所以 ‎ 所以 ‎42、1、D ‎ ‎2、A ‎3、D ‎4、C ‎5、D ‎6、D ‎7、A ‎8、B ‎9、A ‎10、2‎ ‎11、 ‎ ‎12、‎ ‎13、=.‎ ‎14、4‎ ‎15、2‎ ‎16、 ‎ ‎17、2‎ ‎18、 ‎ ‎19、‎ ‎43、（浙江文科19） 解：（1）设数列的公差为，则由已知，成等比数列，‎ ‎，所以，化简得：‎ 而，所以，‎ 由，则 ‎ ‎ ‎44、解：（1）设数列的公差为，则由已知，成等比数列，‎ ‎，所以，化简得：‎ 而，所以，，。‎ 由（1）知，则 ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 所以，故当时，，当时，‎ ‎45、解：（1）设这个实数组成的数列为，‎ 则，由等比数列的性质有 ‎，‎ ‎，而这个数构成递增的等比数列，‎ 由可得：‎ ‎，‎ 所以 所以 ‎46、解：（1）由已知，，因此，，．‎ ‎ 当、、成等差数列时，，可得．‎ ‎ ．解得．‎ ‎（2）若，则的每项，此时、、显然成等差数列．‎ 若，由、、成等差数列可得，即．‎ 整理得．因此，．‎ 所以，、、也成等差数列．‎ ‎47、【解析】设的公比为,由题设得 ‎ …………………………………3分 解得或， …………………………………6分 当时，；‎ 当时， ……………………………10分