数学文卷·2018届陕西省宝鸡中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学文卷·2018届陕西省宝鸡中学高二下学期期中考试（2017-04）

宝鸡中学 2015 级高二第二学期期中试题 数学（文）（A 卷） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.将点 M 的直角坐标 ( 3, 1) 化成极坐标为（ ） A． 5(2, )6  B． 2(2, )3  C． 5(2, )3  D． 11(2, )6  2.圆的极坐标方程为 2(cos sin )    ，则该圆的圆心极坐标是（ ） A． (1, )4  B． ( 2, )4  C． 1( , )2 4  D． (2, )4  3.曲线C 的参数方程为 sin cos 2sin cos x y         （ 为参数），则它的普通方程为（ ） A． 2 1y x  B． 2 1y x   C． 2 1y x   ， [ 2, 2]x  D． 2 1y x  ， [ 2, 2]x  4.在极坐标系中， O 为极点， 5(5, )6A  ， (2, )3B  ，则 AOBS  （ ） A．2 B．3 C.4 D．5 5.已知 0ab  ，点 ( , )M a b 是圆 2 2 2x y r  内一点，直线 m 是以点 M 为中点的弦所在的 直线，直线l 的方程是 2ax by r  ，则下列结论正确的是（ ） A． m l ，且l 与圆相交 B．l m ，且l 与圆相切 C. m l ，且l 与圆相离 D．l m ，且l 与圆相离 6.两圆相交于两点 ( ,1)k 和 (1,3) ，两圆的圆心都在直线 02 cx y   上，则 k c （ ） A．-1 B．2 C.3 D．0 7.若函数 1( ) lnf x x mx x    在[1, ) 上是单调函数，则 m 的取值范围是（ ） A． 1( ,0) [ , )4   B． 1( , ] [0, )4    C. 1[ ,0]4  D． ( ,1] 8.已知下表所示数据的回归直线方程为  4 4y x  ，则实数 m 的值为（ ） x 2 3 4 5 6 y 3 7 11 m 21 A．16 B．18 C.20 D．22 9.函数 ln( ) xf x x  ，则（ ） A． x e 为函数 ( )f x 的极大值点 B． x e 为函数 ( )f x 的极小值点 C. 1x e  为函数 ( )f x 的极大值点 D． 1x e  为函数 ( )f x 的极小值点 10.直线 1l ：( 3) (4 ) 1 0k x k y     ，与 2l ：2( 3) 2 3 0k x y    ，平行，则 k 的值是 （ ） A．1 或 3 B．1 或 5 C.3 或 5 D．1 或 2 11.点 (2,1)A 到抛物线 2y ax 准线的距离为 1，则 a 的值为（ ） A． 1 4  或 1 12  B． 1 4 或 1 12 C.-4 或-12 D．4 或 12 12.如下图，一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为 （ 0 90    ）的平面所截， 截面是一个椭圆.当 为 30°时，这个椭圆的离心率为（ ） A． 1 2 B． 3 2 C. 3 3 D． 2 3 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设点 M 的柱坐标为 5( 2, , 2)4  ，则其直角坐标是 ． 14.设曲线C 的参数方程为 2 3cos 1 3sin x y        （ 为参数），直线l 的方程为 3 2 0x y   ， 则曲线C 上到直线l 的距离为 7 10 10 的点的个数为 个． 15.在同一平面直角坐标系中，直线 2 2x y  经过伸缩变换 ' ' 2 x x y y    变成直线l ，则直线l 的方程是 ． 16.已知函数 ( ) ln 3f x x x  ，则曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程是 ． 17.直线l 交椭圆 2 2 12 x y  于 A ， B 两点，若线段 AB 的中点坐标为 1(1, )2 .则直线l 的方 程为 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 18. 一个盒子中装有 2 个红球，4 个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同 （1）采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到 1 个红球，七个白球 的概率； （2）采用放回抽样，每次随机抽取一球，连续取 3 次，求至少有 1 次取到红球的概率. 19. 在极坐标系中，已知点 (4, )4A  ，直线为 sin( ) 14     . （1）求点 (4, )4A  的直角坐标与直线的普通方程； （2）求点 (4, )4A  到直线 sin( ) 14     的距离. 20. 已知曲线 C 的参数方程为 3 cos sin x y      （ 为参数），直线l 的极坐标方程为 sin( ) 2 24     . （1）写出曲线C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 P 为曲线C 上的动点，求点 P 到直线l 距离的最大值. 21. 椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，焦点到短轴端点的距离为 2，离心率为 3 2 . （Ⅰ）求该椭圆的方程； （Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点且OA OB ，是否存在以原点O 为圆心的定圆与 直线l 相切？若存在求出定圆的方程；若不存在，请说明理由 22.已知函数 ( ) ( ln )f x a x x  （ 0a  ）， 2( )g x x . （1）若 ( )f x 的图象在 1x  处的切线恰好也是 ( )g x 图象的切线. ①求实数 a 的值； ②若方程 ( )f x mx 在区间 1[ , )e  内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围. （2）当 0 1a  时，求证：对于区间[1,2] 上的任意两个不相等的实数 1x ， 2x ，都有 1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x g x g x   成立. 试卷答案 一、选择题 1-5:DBCDC 6-10:CBBAC 11、12：CA 二、填空题 13. ( 1, 1, 2)  14.4 15. 2 0x y   16. 2 1 0x y   17. 2 2 3 0x y   三、解答题 18.解：（1）恰好取到 1 个红球，1 个白球的概率为 8 15 （2）采用放回抽样，每次取到红球的概率 2 1 6 3P   ，∴至少有 1 次取到红球的概率为 22 191 ( )3 27P    . 19.解：（1）点 (4, )4  化成直角坐标为 (2 2,2 2) . 直线 sin( ) 14     ，化成直角坐标方程为 2 2 12 2x y  ，即 2 0x y   . （2）由题意可知，点 (4, )4  到直线 sin( ) 14     的距离，就是点 (2 2,2 2) 到直线 2 0x y   的距离，由距离公式可得 | 2 2 2 2 2 | 3 2 d    . 20.解：（1）曲线 C 的参数方程为 3 cos sin x y      （ 为参数），消去 可得曲线C 的普通方 程为 2 2 13 x y  . 直线l 的极坐标方程为 sin( ) 2 24     .即 2 ( cos sin ) 2 22      直线l 的直角坐标方程为 4 0x y   . （2）设点 P 坐标为 ( 3 cos ,sin )  ， 点 P 到直线l 的距离 | 3 cos sin 4 | 2 2 2 sin( ) 3 232 d         . 所以点 P 到直线l 的距离的最大值为3 2 . 21.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ， ∵椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，焦点到短轴端点的距离为 2，离心率为 3 2 ， ∴由题意 3 2 c a  ，且 2a  ，解得 3c  ， 1b  . ∴所求椭圆方程为 2 2 14 x y  . （Ⅱ）设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，若 k 存在，则设直线 AB ：y kx m  ，由 2 24 4 y kx m x y      ， 得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m     ∴ 2 2 2 264 4(1 4 )(4 4) 0k m k m      ，且 1 2 2 2 1 2 2 8 1 4 4 4 1 4 kmx x k mx x k         ，由OA OB ，知 1 2 1 2 1 2 1 2( )( )x x y y x x kx m kx m     2 2 1 2 1 2(1 ) ( ) 0k x x km x x m      ，代入得 2 25 4 4m k  ，原点到直线 AB 的距离 2 | | 2 5 51 md k    ， 当 AB 的斜率不存在时， 1 1| | | |x y ，得 2 21 1+ 14 x x  ， 1 2 5| | 5x d  ，依然成立 ∴点 O 到直线 AB 的距离为定值 2 5 5 . ∴定圆方程为 2 2 4 5x y  . 22.（1）解：① 1'( ) (1 )f x a x   ，∴ 1x  ， '( ) 2f x a ，切点为 (1, )a ， ∴切线方程为 2 ( 1)y a a x   ，即 2y ax a  ， 联立 2 2y ax a y x     ，消去 y ，可得 2 2 0x ax a   ， 24 4 0a a    ， ∴ 1a  ； ②由 lnx x mx  ，得 ln1 xm x   ， 设 ln( ) 1 xt x x   ， 1[ , )x e   ，则问题等价于 y m 与 ( )t x 的图象在 1[ , )e  上有唯一交 点， ∵ 2 1 ln'( ) xt x x  ，∴ 1( , )ee ， '( ) 0t x  ，函数单调递增， ( , )e  ， '( ) 0t x  ，函数单调 递减， ∵ 1( ) 1t ee   ， 1( ) 1t e e   ，且 ( , )x e  时， ( ) 1t x  ， ∴ 1[1 ,1] {1 }m e e    ； 证明：（2）不妨设 1 21 2x x   ，则 1 2( ) ( )f x f x ， 1 2( ) ( )g x g x ， ∴ 1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x g x g x   可化为 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x   ∴ 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x   设 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ，即 2( ) ( ln )F x a x x x   ，∴ ( )F x 在[1,2] 上单调递减， ∴ 22'( ) 02 ax a xF x    恒成立，即 22 1 xa x   在[1,2] 上恒成立， ∵ 2 2 2 2 11 1 11 ( )2 4 x x x      ，∴ 1a  ， 从而，当 0 1a  时，命题成立.