高考数学知识点大串讲(1)

高考数学知识点大串讲(1)

2013 年高考数学知识点大串讲（1） 必考点一、 函数 知识点导航 重难点一 函数的单调性问题 函数的单调性是函数的一个极其重要的性质，在高三的复习中经常会碰到有关函数单调 性求解的问题。下面通过例子来说明此类问题的求解思路。 一. 掌握几种常见函数的单调性，会求复合函数的单调区间 复习过程中要熟练掌握几种常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、指、对数 函数及三角函数）的单调性，并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问题。 例 1.已知 f x x x() 8 2 2，如果 gx f x() ( ) 2 2 ，那么 g x( ) （ ） A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数 C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数 解：函数 是由 f u u u() 8 2 2和 u x 2 2复合而成的。 又 在  u 1， 上递减，在  u，1上递增；  u xx 2 02在，上为减函数，在  x，0上为增函数。 当 u1时，得 1 1x 当 u1时，得 x1或 x1 主编：章晓峰（高考教学研究组教研员） 副主编：林晓玲（中学优秀数学教师） 董洋洋（一线数学教师） 编委会成员：（排名不分先后） 刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 姜 芝 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 夏小玉 范晓峰 由此可得，函数 g x( ) 在 1 0x 或 x1时为减函数 函数 在 x1或 0 1x 时，为增函数 故选（A） 解题回顾：本题是有关二次函数的复合函数确定单调区间问题，要求会利用复合函数的 单调性来研究简单复合函数的单调性的问题。复合函数单调性的判定法则是，若 f x( ) 与 同是增（减）函数，则  f gx( ) 在其定义域上是增函数；若 f x g x( ) ( )与 是一增一减 函数，则  f gx( ) 在其定义域上是减函数。上述法则可简述为：同增异减。 二. 利用函数的图象求解 例 2. 指出函数 f x x x() | |  2 4 3的单调区间。 解：作出函数 的图象。 根据图象可得，函数在 1 2， 以及 3， 上为增函数； 在 ，1 以及 2 3， 上为减函数 图 1 三. 利用函数单调性的定义 例 3. 求函数 f x x a xa( ) ( )  0在 ( )0， 上的单调区间。 解：任取 0 1 2 x x，则 fx fx() ( )1 2                       x a x x a x x x a x a x x x x x a x x 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) (*) 因为 所以 x x xx1 2 120 0 ， 若函数 f x( ) 为增函数，则 fx fx() ()1 2 0  所以 xxa axx12 120 ，即 因为 所以 a x 1 2 ，故 x a1  同理，若 为减函数，则 x a2  因此，当 x a 时，函数 为增函数 当 0 x a时，函数 为减函数 解题回顾：从定义出发，利用定义解题是数学解题的一个基本出发点。本题从函数单调 性的定义出发，把求字母 a 的取值范围的问题，转化为恒成立的问题来加以求解，同时得出 了很重要的分式函数的单调区间。利用此结论，我们可以研究此类分式函数在某个区间上的 最值问题。 四. 利用导数求解 例 4. 已知函数 f x x a x()  4 在 ，1 上为单调增函数，求 a 的取值范围。 解：因为 在 上为单调增函数 所以 f x a x '()   1 1 2 4 1 0在 上恒成立 即 2 1 a x  恒成立 即 ax4恒成立 因为 x x  1 4 5， ，所以 a5 说明：导数是高中数学和高等数学的连接点，是高中教材新增加的内容，许多高次函数、 分式函数以及无理函数的单调区间和最值问题的研究都离不开导数，因此不可忽视导数在函 数中的作用。例 1 若用导数解则更简便，由 g x'( )0得函数的增区间为   ， 1 及 ( )0 1， ；由 g x'( )0得减区间为 ( )1 0， 及 ( )1， 。很快就能确定答案为（A）。由此 可以看出，导数在单调区间的求解方面有着很大的优势。 例 5. 已知函数 f x x a x a() ( )   1 0在区间 0 2， 上是减函数，求实数 a 的取值范 围。 解法 1：利用例 3 中的结论。 函数 f x x a x( )  1在 0 1，a 上为减函数，在 a 1， 上为增函数。 由题知，该函数在 上是减函数 所以 a 1 2，得 a3 解法 2：利用函数的单调性的定义。 任取 0 21 2  x x ，则   f x f x x a x x a x x x x x a x x ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1                  因为 所以 x x1 2 0  且 xx1 2 0 因为 f x( ) 在 0 2， 上为增函数 所以 xx a12 10( ) 恒成立 所以 a xx1 12恒成立 因为 xx1 2 4 ，所以 a14，得 a3 解法 3：利用导数 因为 f x x a x( )  1 所以 f x a x'( )  1 1 2 因为 在 上为减函数，所以 f x'( )0对  x0 2， 恒成立 即 a x 2 1对 恒成立 因为当  x0 2， 时，  1 132x 所以 说明：本题从三个不同角度对问题作出了解答，不同的方法各有巧妙，突出了不同知识 在解题中的作用。通过此问题的求解可加强各知识间的联系，提高对所学知识的全面认识。 例 6. （2003 年新课程高考理）设 a0，求函数 fx x xax() ln( )( ( ))  0， 的单调区间。 解：求导数得： f x x x ax'() ( )  1 2 1 0 当 a x 0 0， 时 f x x a x a f x x a x a '() ( ) '() ( )         0 2 4 0 0 2 4 0 2 2 2 2 （1）当 a1时，对所有 x0，有 x a xa2 22 4 0   ( ) 即 f x'( )0 此时 f x( ) 在 ( )0， 内单调递增 （2）当 a1，对 x1，有 即 f x'( )0 此时 f x( ) 在（0，1）内单调递增，在 ( )1， 内单调递增 又知函数 在 x1处连续，因此，函数 在 内单调递增 （3）当 0 1a 时，令 即 解得 x a a 2 21 或 x a a 2 21 因此，函数 f x( ) 在区间 ( )0 2 2 1，   a a 内单调递增 在区间 ( )2 21  a a， 内也单调递增 令 f x'( )0，即 x a xa2 22 4 0   ( ) 解得 221 221a ax a a 因此，函数 在区间 ( )2 21 2 21 a a a a， 内单调递减 解题回顾：本题主要考查导数在求函数单调区间方面的应用，对求导公式及复合函数的 求导有一定的要求，对考生分类讨论思想和等价转换思想有较高要求。