2020高考数学（理）二轮复习题型增分练：2020高考预测卷（二）
2020 高考预测卷(二)
181
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间
120 分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每个小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m
0，故充分性不成立．若 m·n＝|m·n|，
则 m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝|m|·|n||cos〈m，n〉|，则 cos〈m，n〉＝|cos〈m，
n〉|，故 cos〈m，n〉≥0，即 0°≤〈m，n〉≤90°，此时 m 与 n 不一定共线，
即必要性不成立．故“m 与 n 共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，
故选 D.
答案 D
4．甲、乙、丙 3 人参加某项测试，每人通过该测试的概率都为1
3
，测试结束
后，已知甲、乙、丙 3 人中至少有 1 人通过该测试，则甲未通过该测试的概率是
( )
A.1
2 B． 9
20
C.10
19 D． 9
19
解析 设事件 A 为“甲、乙、丙 3 人中至少有 1 人通过该测试”，事件 B
为“甲未通过该测试”．则 P(A)＝1－ 1－1
3 3＝19
27
，P(AB)＝ 1－1
3 × 1－ 1－1
3 2
＝10
27
，所以 P(B|A)＝PAB
PA
＝10
19.
答案 C
5．在△ABC 中，角 A，B 的对边分别为 a，b，若 a＝8，b＝7，B＝60°，则
sinC＝( )
A.3 3
14 B．5 3
14
C.3 3
14
或5 3
14 D．11
14
解析 通解 8
sinA
＝ 7
sin60°
⇒sinA＝4 3
7
⇒cosA＝±1
7.因为 sinB＝ 3
2
，cosB＝1
2
，
sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以当 cosA＝1
7
时，sinC＝5 3
14
；当 cosA
＝－1
7
时，sinC＝3 3
14 .故 sinC 的值为3 3
14
或5 3
14 .
优解 设角 C 的对边为 c，由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB⇒49＝64＋
c2－8c⇒c＝3 或 c＝5.当 c＝3 时，sinC＝c
b·sinB＝3 3
14
；当 c＝5 时，sinC＝c
b·sinB
＝5 3
14 .故 sinC 的值为3 3
14
或5 3
14 .
答案 C
6．函数 f(x)＝ ex＋1
xex－1(其中 e 为自然对数的底数)的图像大致为( )
解析 由题意，f(－x)＝ e－x＋1
－xe－x－1
＝ ex＋1
－x1－ex
＝ ex＋1
xex－1
＝f(x)，所以函数
f(x)为偶函数，
故 f(x)的图像关于 y 轴对称，排除 B，C；
又 x→0＋时，ex＋1→2，x(ex－1)→0＋，
所以 ex＋1
xex－1
→＋∞，排除 D，
故选 A.
答案 A
7．执行如图所示的程序框图，若输入的 a，b 分别是 2 020，1，则输出的 i
＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 i＝1，a＝2 020＋1，b＝1＝1！；
i＝2，a＝2 020＋3，b＝2×1＝2！；
…
i＝n，a＝2 020＋nn＋1
2
，b＝n！.
当 i＝6 时，a＝2 020＋21＝2 041，b＝6！＝720a.
故输出的 i 的值为 7.
答案 C
8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，
每等一人，官赐金依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出．下三人后入，
得金三斤，持出．中间四人未到者，亦依等次更给．问各得金几何？”在该问题
中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )
A．多 1 斤 B．少 1 斤
C．多1
3
斤 D．少1
3
斤
解析 等级由高到低的十等人所得黄金由多到少依次记为 a1，a2，…，a10，
则 a1，a2，…，a10 成等差数列．由题意得 a1＋a2＋a3＝3a2＝4，a2＝4
3
，a8＋a9＋
a10＝3a9＝3，a9＝1.则 a2－a9＝4
3
－1＝1
3
，即等级较高的二等人所得黄金比等级较
低的九等人所得黄金多1
3
斤．
答案 C
9．把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点棱锥
体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析 如图，当 DO⊥平面 ABC 时，三棱锥 DABC 的体积最大．
∴∠DBO 为直线 BD 和平面 ABC 所成的角，
∵在 Rt△DOB 中，OD＝OB，
∴直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为 45°.
答案 C
10．在区间[0,1]上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“x＋y≥1
2
”的概率，p2
为事件“|x－y|≤1
2
”的概率，p3 为事件“xy≤1
2
”的概率，则( )
A．p10，|φ|<π
2 ，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α
－β|的最小值为3π
4
，且 f(x)的图像关于点
π
4
，1 对称，则函数 f(x)的单调递增区间
是( )
A.
－π
2
＋2kπ，π＋2kπ ，k∈Z
B.
－π
2
＋3kπ，π＋3kπ ，k∈Z
C. π＋2kπ，5π
2
＋2kπ ，k∈Z
D. π＋3kπ，5π
2
＋3kπ ，k∈Z
解析 由题设条件可知 f(x)的周期 T＝4|α－β|min＝3π，所以ω＝2π
T
＝2
3
，又 f(x)
的图像关于点
π
4
，1 对称，从而 f
π
4 ＝1，即 sin
2
3
×π
4
＋φ ＝0.
因为|φ|<π
2
，所以φ＝－π
6
，故 f(x)＝2sin
2
3x－π
6 ＋1，再由－π
2
＋2kπ≤2
3x－π
6
≤π
2
＋2kπ，k∈Z，得－π
2
＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z.
答案 B
12．已知函数 f(x)是奇函数，且 f(x)＋f′(x)＝ln(x＋1)－ln(1－x)＋ 2
1－x2
，则
|f(2x－1)|<|f x＋1
2 |的解集是( )
A.
1
6
，1
3 B．
1
6
，1
4
C.
1
3
，1
2 D．
1
6
，1
2
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，两边同时求导数得，－f′(－x)＝
－f′(x)，则 f′(－x)＝f′(x)，即 f′(x)为偶函数．
∴f(－x)＋f′(－x)＝ln(－x＋1)－ln(1＋x)＋ 2
1－x2
，
则－f(x)＋f′(x)＝ln(－x＋1)－ln(1＋x)＋ 2
1－x2
，
与 f(x)＋f′(x)＝ln(x＋1)－ln(1－x)＋ 2
1－x2
联立可得
fx＝ln1＋x－ln1－x，
f′x＝ 2
1－x2.
又 f(x)的定义域为(－1,1)，∴f′(x)＝ 2
1－x2>0，
∴f(x)在(－1,1)上为单调递增函数．
∴在(0,1)上，f(x)>f(0)＝0，∴|f(x)|为偶函数，且在(0,1)上单调递增．
∴由|f(2x－1)|<|f x＋1
2 |，
可得
－1<2x－1<1，
－10，b>0)上一点 C，过双曲线中心的直线交双曲
线于 A，B 两点，记直线 AC，BC 的斜率分别为 k1，k2，当 2
k1k2
＋ln|k1|＋ln|k2|最小
时，双曲线的离心率为________．
解析 设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知，点 A，B 为过原点的直线与双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1 的交点，∴由双曲
线的对称性，得 A，B 关于原点对称，∴B(－x1，－y1)，
∴k1k2＝y2－y1
x2－x1
·y2＋y1
x2＋x1
＝y22－y21
x22－x21
，
∵点 A，C 都在双曲线上，∴x21
a2
－y21
b2
＝1，x22
a2
－y22
b2
＝1，
两式相减，可得 k1k2＝b2
a2>0，
对于 2
k1k2
＋ln|k1|＋ln|k2|＝ 2
k1k2
＋ln|k1k2|，
设函数 y＝2
x
＋ln x，x>0，
由 y′＝－2
x2
＋1
x
＝0，得 x＝2，
当 x>2 时，y′>0，当 00 取得最小值，
∴当 2
k1k2
＋ln(k1k2)最小时，k1k2＝b2
a2
＝2，
∴e＝ 1＋b2
a2
＝ 3.
答案 3
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～
21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要
求作答．
(一)必考题：共 60 分
17．(12 分)平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2.
(1)求 sin∠ABD；
(2)若 cos∠BDC＝1
7
，求△BCD 的面积．
解析 (1)在△ABD 中，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2，
由余弦定理，得 BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝9＋4－6＝7，所以 BD＝
7，(2 分)
由正弦定理，得 BD
sinA
＝ AD
sin∠ABD
，(4 分)
所以 sin∠ABD＝AD·sinA
BD
＝
2× 3
2
7
＝ 3
7
＝ 21
7 .(6 分)
(2)因为 AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，
所以 cos∠DBC＝sin∠ABD＝ 3
7
，
所以 sin∠DBC＝ 2
7 .
因为 cos∠BDC＝1
7
，所以 sin∠BDC＝4 3
7 .(8 分)
所以 sinC＝sin(π－∠BDC－∠DBC)
＝sin(∠BDC＋∠DBC)
＝sin∠BDCcos∠DBC＋cos∠BDCsin∠DBC
＝4 3
7
× 3
7
＋1
7
× 2
7
＝ 2
7.(10 分)
所以 sin∠DBC＝sinC，所以∠DBC＝∠C，
所以 DC＝BD＝ 7，所以 S△BCD＝1
2DC·BD·sin∠BDC＝1
2
× 7× 7×4 3
7
＝
2 3.(12 分)
18．(12 分)某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”
和“区分度”两个指标．其中，难度系数＝年级总平均分
总分
，
区分度＝实验班的平均分－普通班的平均分
总分 .
(1)在某次数学考试(满分 150 分)中，从实验班和普通班各随机抽取三人，实
验班三人的成绩分别为 147 分，142 分，137 分，普通班三人的成绩分别为 97
分，102 分，113 分，通过样本估算本次考试的区分度(精确到 0.01)．
(2)以下表格是高三年级 6 次考试的统计数据：
难度系数 x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82
区分度 y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15
①计算相关系数 r，|r|<0.75 时，认为相关性弱；|r|≥0.75 时，认为相关性强．通
过计算说明，能否利用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；
②已知 t＝|x－0.74|，求出 y 关于 t 的线性回归方程，并预报 x＝0.75 时 y 的
值(精确到 0.01)．
参考数据：错误!iyi＝0.9309，错误!≈0.0112，错误!iyi＝0.0483，错误!(ti－
t→)2≈0.0073.
参考公式：相关系数 r＝错误!＝错误!，线性回归方程中斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为b^＝错误!＝错误!，a^＝ y→－b^ x→.
解析 (1)易求得实验班三人成绩的平均分为147＋142＋137
3
＝142(分)，
普通班三人成绩的平均分为97＋102＋113
3
＝104(分)，
所以区分度为142－104
150
≈0.25.(3 分)
(2)①由表格数据知，
x→＝0.64＋0.71＋0.74＋0.76＋0.77＋0.82
6
＝0.74，
y→＝0.18＋0.23＋0.24＋0.24＋0.22＋0.15
6
＝0.21，
r＝错误!≈
0.9309－6×0.74×0.21
0.0112
≈－0.13，
故|r|<0.75，相关性较弱．(6 分)
综上可知，不能利用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．(7 分)
②y 与 t 的值如下表：
t 0.10 0.03 0 0.02 0.03 0.08
区分度 y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15
则b^＝错误!≈
0.0483－6×0.26
6 ×0.21
0.0073
≈－0.86，
a^＝y^－b^ t→＝0.21＋0.86×0.26
6 ≈0.25.
故所求回归方程为 y＝－0.86t＋0.25，(11 分)
当 x＝0.75 时，t＝0.01，所以 y≈0.24.(12 分)
19．(12 分)在四棱锥 PABCD 中，AB∥CD，CD＝2AB.
(1)设 AC 与 BD 相交于点 M，AN→＝mAP→(m>0)，且 MN∥平面 PCD，求实数
m 的值；
(2)若 AB＝AD＝DP，∠BAD＝60°，PB＝ 2AD，且 PD⊥AD，求二面角 BPCD
的正弦值．
解析 因为 AB∥CD，
所以AM
MC
＝AB
CD
＝1
2
，即AM
AC
＝1
3.(1 分)
因为 MN∥平面 PCD，MN⊂平面 PAC，平面 PAC∩平面 PCD＝PC，
所以 MN∥PC.(2 分)
所以AN
AP
＝AM
AC
＝1
3
，即 m＝1
3.(3 分)
(2)因为 AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD 为等边三角形，
所以 BD＝AD＝PD，又 BP＝ 2AD，
故 BP2＝PD2＋DB2，所以 PD⊥DB.
由已知 PD⊥AD，AD∩BD＝D，
所以 PD⊥平面 ABCD.(5 分)
如图，以 D 为坐标原点，DA→ ，DP→ 的方向为 x，y 轴的正方向建立空间直角坐
标系，
设 AB＝1，则 AB＝AD＝DP＝1，CD＝2，
所以 B
1
2
，0， 3
2 ，P(0,1,0)，C(－1,0， 3)
则PB→＝
1
2
，－1， 3
2 ，PC→＝(－1，－1， 3)，(6 分)
设平面 PBC 的一个法向量 m＝(x1，y1，z1)，则有
m·PB→＝0，
m·PC→＝0，
即 x1－2y1＋ 3z1＝0，
x1＋y1－ 3z1＝0.
设 x1＝1，则 y1＝2，z1＝ 3，
所以 m＝(1,2， 3)，(8 分)
设平面 PCD 的一个法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
由已知可得
n·DC→ ＝0，
n·DP→ ＝0，
即 x2－ 3z2＝0，
y2＝0.
令 z2＝1，则 x2＝ 3，所以 n＝( 3，0,1)．(10 分)
所以 cos〈m，n〉＝ m·n
|m|·|n|
＝ 6
4 .
设二面角 BPCD 的平面角为θ，则 sinθ＝ 10
4 .(12 分)
20．(12 分)已知抛物线 C：y＝－x2，点 A，B 在抛物线上，且横坐标分别为
－1
2
，3
2
，抛物线 C 上的点 P 在 A，B 之间(不包括点 A，点 B)，过点 B 作直线 AP
的垂线，垂足为 Q.
(1)求直线 AP 的斜率 k 的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
解析 (1)由题意可知 A
－1
2
，－1
4 ，B
3
2
，－9
4 ，
设 P(xP，－x2P)，－1
20，
当－1
20 时，证明：不等式 f(x)≤m
x
在 0，1＋1
m 上恒成立．
解析 (1)由题意得 f′(x)＝－[mx－(m＋1)](x－1)·e－x，(1 分)
①当 m＝0 时，则 f′(x)＝(x－1)e－x，
令 f′(x)>0 时，则 x>1；令 f′(x)<0，则 x<1.
∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2 分)
②当 m<0 时，令 f′(x)<0，则 1＋1
m0，则 x<1＋1
m
或 x>1.
∴f(x)在 －∞，1＋1
m 和(1，＋∞)上单调递增，在 1＋1
m
，1 上单调递减．(3
分)
③当 m>0 时，令 f′(x)<0，则 x<1 或 x>1＋1
m
；
令 f′(x)>0，则 10 时，f(x)在(0,1]上单调递减，在 1，1＋1
m 上单调递增，
当 x∈(0,1]时，f(x)＝mx2－x＋m
ex 1，
则 g′(x)＝ex－(2x＋1)，
令 h(x)＝ex－(2x＋1)，x>1，则 h′(x)＝ex－2>0，
∴h(x)＝g′(x)在(1，＋∞)上单调递增，且 g′(1)＝e－3<0，
g′
3
2 ＝e3
2
－4>0，
∴存在 x0∈ 1，3
2 ，使得 g′(x0)＝0，即 ex0－(2x0＋1)＝0，
∴当 x∈(1，x0)时，g′(x)<0，当 x∈ x0，3
2 时，g′(x)>0，
∴g(x)在(1，x0)上单调递减，在 x0，3
2 上单调递增，
∴g(x)min＝g(x0)＝ex0－x20－x0＝－x20＋x0＋1＝－ x0－1
2 2＋5
4>0，
当 x>1 时，g(x)＝ex－x(x＋1)>0，
即 ex>x(x＋1)，
∴e1＋1
m
≥ 1＋1
m 2＋1
m ，
∴不等式 f(x)≤m
x
在 0，1＋1
m 上恒成立．(12 分)
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，
则按所做的第一题计分．
22．(10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝π
6
，圆C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ－π
4 .
(1)写出直线 l 的参数方程的标准形式，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程；
(2)若直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的中点 M 到点 P 的距离．
解析 (1)直线 l 的参数方程为
x＝1＋tcosπ
6
，
y＝2＋tsinπ
6
，
即
x＝1＋ 3
2 t，
y＝2＋t
2
(t 为参数，t∈R)．
由ρ＝2 2cos θ－π
4 ，
得ρ＝2cosθ＋2sinθ，
∴ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，
∴x2＋y2＝2x＋2y，
∴圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(5 分)
(2)把
x＝1＋ 3
2 t，
y＝2＋t
2
代入(x－1)2＋(y－1)2＝2 得，
1＋ 3
2 t－1 2＋ 2＋t
2
－1 2＝2，
整理得 t2＋t－1＝0，
Δ＝5>0，t1＋t2＝－1，
∴|MP|＝|t1＋t2
2 |＝1
2.(10 分)
23．(10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝x2－|x|＋3.
(1)求不等式 f(x)≥3x 的解集；
(2)若关于 x 的不等式 f(x)－x2≤|x
2
＋a|恒成立，求实数 a 的取值范围．
解析 (1)当 x≥0 时，f(x)＝x2－x＋3≥3x，
即 x2－4x＋3≥0，
解得 x≥3 或 x≤1，所以 x≥3 或 0≤x≤1；
当 x<0 时，f(x)＝x2＋x＋3≥3x，
此不等式 x2－2x＋3≥0 恒成立，所以 x<0.
综上所述，原不等式的解集为{x|x≥3 或 x≤1}．(5 分)
(2)f(x)－x2≤|x
2
＋a|恒成立，
即－|x|＋3≤|x
2
＋a|恒成立，
即|x
2
＋a|＋|x|≥3 恒成立，
∵|x
2
＋a|＋|x|＝|x
2
＋a|＋|x
2|＋|x
2|
≥|x
2
＋a－x
2|＋|x
2|＝|a|＋|x
2|≥|a|，
当且仅当 x＝0 时，等号成立，
∴|a|≥3，解得 a≥3 或 a≤－3.
故实数 a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(10 分)
