2017-2018学年河南省灵宝市实验高级中学高二下学期第二次月清数学（理）试题-解析版

2017-2018学年河南省灵宝市实验高级中学高二下学期第二次月清数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 河南省灵宝市实验高级中学2017-2018学年度高二下学期第二次月清数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知是自然数集，设集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合A，再根据交集定义求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为=，所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2．命题：∀x∈R，ln(ex－1)＜0的否定是(　　)‎ A． ∀x∈R，ln(ex－1)>0 B． ∀x∈R，ln(ex－1)≥0‎ C． ∃x0∈R，ln(－1)＜0 D． ∃x0∈R，ln(－1)≥0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的否定为得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的否定为，所以命题：∀x∈R，ln(ex－1)＜0的否定是∃x0∈R，ln(－1)≥0，选D.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 的否定为，的否定为.‎ ‎3．函数的定义域为(　　)‎ A． (－2，1) B． [－2，1] C． (0，1) D． (0，1]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列式，解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，选C.‎ ‎【点睛】‎ 求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.‎ ‎4．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则(　　)‎ A． a＝1或a≤－2 B． a≤－2或1≤a≤2‎ C． a≥1 D． －2≤a≤1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由已知可知p和q均为真命题.‎ 若x∈[1,2],则x2∈[1,4],‎ 由x2－a≥0a≤x2∴命题p为真得a≤1，‎ 又命题q为真得,所以△=4a2-4(2-a)≥0,即a≤－2或a≥1，‎ 综合得a≤－2或a＝1.‎ ‎5．已知函数f(x)＝x2+2kx-m在区间(2，6)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是(　　)‎ A． (-6，2) B． (－∞，2)‎ C． (－∞，-6]∪[-2，＋∞) D． (－∞，-6)∪(-2，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数图像可得满足题意的条件，解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得二次函数对称轴不在区间(2，6)内，即，选C.‎ ‎【点睛】‎ 研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.‎ ‎6．函数y=log (2x2-3x+1)的递减区间为（ ）‎ A． （1，+） B． （-， ］ C． （，+） D． （-， ］‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ，所以当时， ‎ 当时，，即递减区间为（1，+），选A.‎ 点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.‎ ‎7．已知条件，条件，则是的 （ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解分式不等式得q，再根据,q包含关系确定充要关系，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，因为，因此是的既不充分也不必要条件，选D.‎ ‎【点睛】‎ 充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎8．若函数y＝f(2x)的定义域是[－1,2]，则函数g(x)＝sinx＋f(1－x)的定义域是(　　)‎ A． [－2,4] B． [－3,2) C． [－3,3] D． [－4,3]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抽象函数定义域求法得f(1－x)，即为g(x) 定义域.‎ ‎【详解】‎ 因为函数y＝f(2x)的定义域是[－1,2]，所以，选C.‎ ‎【点睛】‎ 对于抽象函数定义域的求解 ‎(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；‎ ‎(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．‎ ‎9．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ 单调递增 即 故选 ‎10．设函数，若f(a＋1)≥f(2a－2)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． (－∞，4] B． (－∞，3] C． [2，6] D． [2，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在R上单独递增，所以由f(a＋1)≥f(2a－2)得a＋1≥2a－2，即，选B.‎ ‎【点睛】‎ 解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ ‎11．函数在上是减函数，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数单调性得对数底大于1，再根据真数在上大于零恒成立得a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为在上是减函数，所以,‎ 因为在上恒成立，所以，‎ 综上，选C.‎ ‎【点睛】‎ 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎12．定义在R上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，为偶函数 当时，可得单调递减 当时，可得单调递增 若 故 化简得：‎ 将代入可得：‎ 解得：‎ 则实数的最大值是 故选 点睛：本题考查的知识点主要是分段函数的应用以及函数奇偶性的性质。分析当时，当时，可得函数的单调性，由偶函数的性质可得，结合二次函数的图象和不等式恒成立思想，解不等式即可得到所求最大值。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数 则_____‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑一般式:的值，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数运算法则，考查基本求解能力.‎ ‎14．在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A，B，C做了一项预测：‎ A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.‎ B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.‎ C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”.‎ 比赛结果出来后，发现A，B，C三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________.‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】‎ 分析：利用反证法对甲、乙、丙三人的说法分别分析，即可得到结论．‎ 详解：假设A的判断都正确，则冠军为乙，那么B的判断也都正确，与题意矛盾，故假设不成立．‎ 假设B的判断都正确，则冠军为丙，那么甲的判断也都正确，与题意矛盾，故假设不成立．‎ 假设C的判断都正确，则冠军为甲，那么A的判断一对一错，B 的判断都错，满足题意，假设成立．‎ 所以冠军是甲．‎ 点睛：本题是有关推理的问题，主要考查学生推理论证的能力和分析能力，解题的关键是采用反证法的思想，对每个人的说法分别分析、排除，从而得到结果．‎ ‎15．若函数为偶函数，且时，单调递增；则不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得对称轴，结合对称轴化简不等式，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数为偶函数，所以关于对称，‎ 因为时，单调递增，‎ 所以由得 因此解集为 ‎【点睛】‎ 解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ ‎16．对任意两个实数，定义，若，，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象可得的最小值取法，代入即得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得或，‎ 作函数，图象得的最小值为 ‎【点睛】‎ 利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．记函数的定义域为， （）的定义域为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）A：x＜-1或x≥1；（2）a＞1或a≤-2或≤a＜1；‎ ‎【解析】试题分析： （1）首先利用分式不等式得到集合A。‎ ‎（2）同时利用对数真数大于零得到集合B，然后根据集合A,B的包含关系，借助于数轴法得到参数a的范围。‎ ‎（1）A：x＜-1或x≥1； --------------------------------3分 ‎（2）B：（x-a-1）（x-2a）＜0‎ ‎∵φ≠BA，∴①∴a＞1 ------------------------6分 或②∴a≤-2或≤a＜1； ---------------------------8分 ‎∴a＞1或a≤-2或≤a＜1； -------------10分 考点：本题主要考查了集合的求解以及子集的概念的运用。‎ 点评：解决该试题的关键是理解分式不等式的求解，以及对数函数定义域的求解，利用结合的包含关系，结合数轴法得到结论。‎ ‎18．在上定义运算：已知命题:不等式对任意实数恒成立；命题：若不等式对任意的恒成立．若为假命题,为真命题,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据不等式恒成立解得P,Q为真时实数的取值范围，再根据题意求中一真一假时实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意知,‎ 若命题为真,对任意实数恒成立,‎ ‎①当即时,恒成立,； ‎ ‎②当时,,, ‎ 综合①②得,‎ 若为真,,,则有对任意恒成立 , ‎ 即对任意的恒成立,令,只需, ‎ ‎,当且仅当即时取“=”,‎ ‎ 为假命题,为真命题,中必有一个真命题,一个假命题,‎ ‎（1）若为真为假,则,, ‎ ‎（2）若为假为真,则,, ‎ 综上：．‎ ‎【点睛】‎ 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.‎ ‎19．已知函数，x∈（b﹣3，2b）是奇函数，‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）若f（x）是区间（b﹣3，2b）上的减函数且f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇函数性质可得定义域关于原点对称解得b,再根据f（0）=0解得a，（2）根据奇函数性质以及单调性化简不等式，解不等式得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵函数f（x）=1﹣，x∈（b﹣3，2b）是奇函数，‎ ‎∴f（0）=1﹣=0，且b﹣3+2b=0，即a=2，b=1．‎ ‎（2）∵f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，‎ ‎∴f（m﹣1）＞﹣f（2m+1）．‎ ‎∵f（x）是奇函数，∴f（m﹣1）＞f（﹣2m﹣1），‎ ‎∵f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数，‎ ‎∴，即有，‎ ‎∴﹣1＜m＜0，则实数m的取值范围是（﹣1，0）．‎ ‎【点睛】‎ 解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）当时，确定函数在上的单调性；‎ ‎（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）递减；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，计算，所以函数为减函数；（2）当时，的值域是.当时，设函数的值域为，据题意，.对分成三类，利用单调性求得的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，.设,‎ 则.‎ 因为,则, 得, 即.又, 则, 即,所以在上是减函数. ‎ ‎（2）当时，, 则, 所以的值域是.当时，设函数的值域为.据题意，.①当时，, 不合题意.②当时，在上是增函数，则, 即 ‎ ,解得.‎ ‎③当时，在上是减函数，则，即, 解得. ‎ 综上，的取值范围是.‎ 考点：函数的单调性与恒成立问题.‎ ‎【方法点晴】增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.证明过程中，要熟练的因式分解.恒成立问题，存在性问题转化为子集来求解.‎ ‎21．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|．‎ ‎（1）当a=1 时，求不等式f（x）≤5的解集；‎ ‎（2）∃x0∈R，f（x0）≤|2a+1|，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式得f（x）最小值，再解不等式得a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x+2|；‎ ‎①当x≤﹣2时，f（x）=﹣2x﹣1；‎ 令f（x）≤5，即﹣2x﹣1≤5，解得﹣3≤x≤﹣2；‎ ‎②当﹣2＜x＜1时，f（x）=3；‎ 显然f（x）≤5成立，∴﹣2＜x＜1；‎ ‎③当x≥1时，f（x）=2x+1；‎ 令f（x）≤5，即2x+1≤5，解得1≤x≤2；‎ 综上所述，不等式的解集为{x|﹣3≤x≤2}；‎ ‎（2）因为f（x）=|x﹣a|+|x+2|≥|（x﹣a）﹣（x+2）|=|a+2|；‎ 又∃x0∈R，有f（x）≤|2a+1|成立；‎ 所以只需|a+2|≤|2a+1|；‎ ‎∴（a+2）2≤（2a+1）2；‎ 化简可得a2﹣1≥0，解得a≤﹣1，或a≥1；‎ ‎∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 含绝对值不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据平方关系消参数得曲线C1的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ得曲线C2的极坐标方程；（2）先求曲线C1极坐标方程，再令θ=，解得A，B两点对应的极径，最后根据|AB|=|ρ1﹣ρ2|求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），‎ ‎∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．‎ ‎∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，‎ ‎∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，‎ 得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，‎ 化简，得ρ=2cosθ．‎ ‎（2）依题意设A（），B（），‎ ‎∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，‎ 将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，‎ 解得ρ1=3，‎ 同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，‎ ‎∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎