高考数学复习 17-18版 第6章 热点探究课3 三角函数与平面向量

高考数学复习 17-18版 第6章 热点探究课3 三角函数与平面向量

热点探究课(三)　三角函数与平面向量 ‎[命题解读]　从近五年江苏卷高考试题来看，解答题第1题主要考查三角函数与平面向量的问题．其命题方式主要体现在以下三个层面：‎ 一是平面向量与恒等变换的交汇问题；二是恒等变换与解三角形；三是平面向量与解三角形的综合问题．中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．‎ 热点1　平面向量与恒等变换的交汇问题(答题模板)‎ 以平面向量为载体，使平面向量与恒等变换交汇命题，是高考的一个热点，主要考查平面向量的坐标运算、平面向量数量积及三角恒等变换的有关知识，求解的关键是恰当运用平面向量的运算法则建立三角函数的等量关系．‎ ‎　(本小题满分14分)(2013·江苏高考)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.‎ ‎(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；‎ ‎(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．‎ ‎[规范解答]　(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，2分 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.‎ 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，‎ 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.6分 ‎(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，‎ 所以8分 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.10分 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，12分 而α＞β，所以α＝，β＝.14分 ‎[答题模板]　求平面向量与恒等变换交汇问题的一般步骤：‎ 第一步：(转化)将向量间的关系式化成三角函数式；‎ 第二步：(化简)借助三角恒等变换公式化简三角函数式；‎ 第三步：(求值)求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质．‎ 第四步：(结论)明确表述结论．‎ ‎[温馨提示]　1.在第(2)问的解法中，应用了方程的消元思想，其中诱导公式的灵活应用，起到了解题的关键作用．‎ ‎2．要关注题设条件中角的范围，其在解题中起到限定作用，即α＝π－β.‎ ‎[对点训练1]　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.‎ ‎(1)求cos (α－β)的值；‎ ‎(2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α的值. 【导学号：62172176】‎ ‎[解]　(1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，‎ ‎∴a2＝1，b2＝1，a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．‎ 又|a－b|＝，‎ ‎∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝.‎ 即2－2a·b＝，∴a·b＝.‎ ‎∴cos(α－β)＝.6分 ‎(2)∵0<α<，－<β<0，‎ ‎∴0<－β<，0<α－β<π.‎ ‎∴sin(α－β)＝＝＝.‎ ‎∴cos β＝＝＝.10分 ‎∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ‎＝×＋×＝.14分 热点2　三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．‎ ‎　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题意及正弦定理得sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin Bcos C，3分 ‎∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin Acos C)．‎ ‎∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)．‎ ‎∵A＋B＋C＝π，‎ ‎∴sin A＝2sin B，∴＝2.6分 ‎(2)由余弦定理得cos A＝＝＝<0，‎ ‎∴b>.　①10分 ‎∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，　②‎ 由①②得b的范围是(，3).14分 ‎[规律方法]　1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．‎ ‎2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．‎ ‎[对点训练2]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan ＝2.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．‎ ‎[解]　(1)由tan＝2，得tan A＝，‎ 所以＝＝.6分 ‎(2)由tan A＝，A∈(0，π)，得 sin A＝，cos A＝.8分 由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.10分 由sin C＝sin(A＋B)＝sin，得sin C＝.‎ 设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.14分 热点3　平面向量、恒等变换与解三角形的综合应用 以平面向量的运算为切入点，融恒等变换与解三角形于一体，综合考查三者间知识的内在联系，求解的关键是借助知识间的内联，实现问题的求解．‎ ‎　(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C＝.‎ ‎(1)若·＝，求c的最小值；‎ ‎(2)设向量x＝(2sin B，－)，y＝，且x∥y，求sin(B－A)的值. 【导学号：62172177】‎ ‎[解]　(1)∵·＝，∴abcos C＝，∴ab＝15.‎ ‎∴c2＝a2＋b2－2abcos C≥2ab－2ab·＝21(当且仅当a＝b时取等号)．‎ ‎∵c>0，∴c≥，∴c的最小值为.6分 ‎(2)∵x∥y，∴2sin B＋cos 2B＝0，‎ ‎2sin Bcos B＋cos 2B＝0，即sin 2B＋cos 2B＝0，‎ ‎∴tan 2B＝－，∴2B＝或，∴B＝或.‎ ‎∵cos C＝<，∴C>，‎ ‎∴B＝(舍去)，∴B＝.‎ ‎∴sin(B－A)＝sin[B－(π－B－C)]‎ ‎＝sin＝sin Ccos －cos Csin ‎＝×－×＝.14分 ‎[规律方法]　从本题可以看出，向量在此类问题中起穿针引线的作用，目的是建立三角恒等变换或三角形中的边与角的关系，最终的问题还是化简、求值或证明问题．‎ ‎[对点训练3]　在△ABC中，已知·＝3·.‎ ‎(1)求证：tan B＝3tan A；‎ ‎(2)若cos C＝，求A的值．‎ ‎[解]　(1)证明：因为·＝3·，所以AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，‎ 即AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知＝，‎ 从而sin Bcos A＝3sin Acos B.‎ 又因为00，cos B>0，‎ 所以tan B＝3tan A．6分 ‎(2)因为cos C＝，00，所以tan A＝1，所以A＝.14分 热点探究训练(三)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·南通二调)在斜三角形ABC中，tan A＋tan B＋tan Atan B＝1.‎ ‎(1)求C的值；‎ ‎(2)若A＝15°，AB＝，求△ABC的周长．‎ ‎[解]　(1)因为tan A＋tan B＋tan Atan B＝1，即tan A＋tan B＝1－tan Atan B，‎ 因为在斜三角形ABC中，1－tan Atan B≠0，‎ 所以tan(A＋B)＝＝1，‎ 即tan(180°－C)＝1，亦即tan C＝－1，‎ 因为0°0)的周期为π.‎ ‎(1)求ω的值，并求函数在的值域；‎ ‎(2)在已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f＝，且a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积. 【导学号：62172178】‎ ‎[解]　(1)f(x)＝(1＋cos 2ωx)＋sin 2ωx＝sin＋，‎ ‎∵f(x)的周期为π，且ω>0，∴＝π，解得ω＝1，∴f(x)＝sin＋，‎ 又0≤x≤，得≤2x＋≤π，－≤sin≤1，‎ ‎0≤sin＋≤＋1，即函数y＝f(x)在x∈上的值域为.8分 ‎(2)∵f＝，∴sin＝，‎ 由A∈(0，π)，知

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