河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三月考（二）数学试卷

河南省三门峡市外国语高级中学2020届高三月考（二）数学试卷

数学试卷二 一、单选题（共20题；共40分）‎ ‎1.已知双曲线M的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线M的标准方程可能是（   ） ‎ A. x2﹣4y2=1                      B.  =1                      C.  ﹣x2=1                      D. y2﹣4x2=1‎ ‎2.已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（   ） ‎ A. （2，+∞）                          B. （4，+∞）                          C. [2，4]                          D. （2，4]‎ ‎3.已知复数z满足z= （i为虚数单位，a∈R），若复数z对应的点位于直角坐标平面内的直线y=﹣x上，则a的值为（   ） ‎ A. 0                                           B. l                                           C. ﹣l                                           D. 2‎ ‎4.等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是(     )‎ A.                                         B.                                         C.                                         D. ‎ ‎5.已知直线l1:y=4x，l2:y=-4x，过的直线l与l1,l2分别交于A,B，若M是线段AB的中点，则|AB|等于（  ）‎ A. 12                                   B.                                    C.                                    D. ‎ ‎6.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到 ，则 的函数解析式为（    ） ‎ A.           B.           C.           D. ‎ ‎7.已知在长为 的线段 上任取一点 ，并以线段 为半径作圆，则这个圆的面积介于 与 之间的概率为(    ) ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎8.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含正半轴上的整点），其运动规律为或。若该动点从原点出发，经过6步运动到点，则有（    ）种不同的运动轨迹。‎ A. 15                                         B. 14                                         C. 9                                         D. 10‎ ‎9.已知集合,从集合A中任取一个元素,则这个元素也是集合B中元素的概率是 A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎10.如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（　　）‎ A. {2}∪（4，+∞）                      B. （2，+∞）                      C. {2，4}                      D. （4，+∞）‎ ‎11.设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3，若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　） ‎ A. （1，+∞）              B. （2+ ，+∞）              C. （2﹣ ，+∞）              D. （3，+∞）‎ ‎12.设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域为 （ 且 ），则称 为“ 倍函数”，若函数 为“3倍函数”，则实数 的取值范围是（    ） ‎ A.                                  B.                                  C.                                  D. ‎ ‎13.椭圆与双曲线共焦点 、 ，它们的交点 对两公共焦点 、 的张角为 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 、 ，则（   ） ‎ A.                                        B.  C.                                        D. ‎ ‎14.设函数  ， 则函数的各极小值之和为 （　　）‎ A.                  B.                  C.                  D. ‎ ‎15.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的图象过点 ，且在（ ， ）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当 ，且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（　　） ‎ A. ﹣                                        B. ﹣1                                       C. 1                                       D. ‎ ‎16.对 ， 运算“”、“”定义为： ， ， 则下列各式其中不恒成立的是（    ） ⑴    ⑵ ⑶   ⑷‎ A. ⑴、⑶                         B. ⑵、⑷                         C. ⑴、⑵、⑶                         D. ⑴、⑵、⑶、⑷‎ ‎17.已知函数 ，则（   ） ‎ A.  在（0，2）单调递增                                  B.  在（0，2）单调递减 C.  的图像关于直线x=1对称                      D.  的图像关于点（1，0）对称 ‎18.已知 是函数 的一个极大值点，则 的一个单调递增区间是（    ）. ‎ A.                             B.                             C.                             D. ‎ ‎19.已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ， ，数列  满足 ，且 ，（其中 为 的前n项和）.则 =（   ） ‎ A.                                          B.                                          C.                                          D. ‎ ‎20.已知函数 ，集合M={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，现从M中任取两个不同元素m，n，则f（m）f（n）=0的概率为（   ） ‎ A.                                         B.                                         C.                                         D. ‎ 二、填空题（共10题；共10分）‎ ‎21.函数f（x）= 的反函数f﹣1（x）=________． ‎ ‎22.设向量 =（3，3）， =（1，﹣1），若（ +λ ）⊥（ ﹣λ ），则实数λ=________． ‎ ‎23.若变量x，y满足约束条件= ， 则z=2x+3y的最大值为________  ‎ ‎24.p：x≠2或y≠4是q：x+y≠6的________条件．（四个选一个填空：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要） ‎ ‎25.甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为________．（选填“甲”或“乙”） ‎ ‎26.若 ，则 ________， ________. ‎ ‎27.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设 （α，β∈R），则α+β的取值范围是________． ‎ ‎28.设 是边长为 的正六边形 的边上的任意一点，长度为 的线段 是该正六边形外接圆的一条动弦，则 的取值范围为________. ‎ ‎29.定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），且f（0）＝0，当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx已知方程 在区间[﹣e，3e]上所有的实数根之和为3ea，将函数 的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x）的图象，，则h（7）＝________. ‎ ‎30.各项均为正数的等比数列{an}满足a3、a5、a6成等差数列，则 =________． ‎ 三、解答题（共5题；共50分）‎ ‎31.企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资（单位：元）的8%缴纳，某企业员工甲在2010年至2016年各年中每月所缴纳的养老保险数额y（单位：元）与年份序号t的统计如表： ‎ ‎ 年份 ‎ 2010‎ ‎2011 ‎ ‎2012 ‎ ‎2013 ‎ ‎2014 ‎ ‎2015 ‎ ‎2016 ‎ ‎ t ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ y ‎ 270‎ ‎ 330‎ ‎ 390‎ ‎ 450‎ ‎ 490‎ ‎ 540‎ ‎ 610‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程 = t+ ； ‎ ‎（2）按照这种变化趋势，利用（1）中回归方程，预测2017年该员工每月的平均工资（精确到0.1）． ‎ 参考公式和数据： = ， = ﹣b ， tiyi=13860， ti2=140．‎ ‎32.已知数列 满足 ，且 时， ， ， 成等差数列． ‎ ‎（1）求证：数列 为等比数列； ‎ ‎（2）求数列 的前 项和 ． ‎ ‎33.已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为﹣1． ‎ ‎（1）求a的值及函数y=f（x）的单调区间； ‎ ‎（2）若x1＜ln2，x2＞ln2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＜2ln2． ‎ ‎34.从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y为所组成的三位数各位数字之和． ‎ ‎（1）求Y是奇数的概率； ‎ ‎（2）求Y的概率分布和数学期望． ‎ ‎35.已知椭圆 过点（0，﹣2），F1 ， F2分别是其左、右焦点，O为坐标原点，点P是椭圆上一点，PF1⊥x轴，且△OPF1的面积为 ，‎ ‎（1）求椭圆E的离心率和方程；‎ ‎（2）设A，B是椭圆上两动点，若直线AB的斜率为 ，求△OAB面积的最大值．‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】D ‎ ‎2.【答案】D ‎ ‎3.【答案】A ‎ ‎4.【答案】 D ‎ ‎5.【答案】 B ‎ ‎6.【答案】 C ‎ ‎7.【答案】 D ‎ ‎8.【答案】 C ‎ ‎9.【答案】 C ‎ ‎10.【答案】 A ‎ ‎11.【答案】B ‎ ‎12.【答案】 A ‎ ‎13.【答案】 B ‎ ‎14.【答案】 D ‎ ‎15.【答案】A ‎ ‎16.【答案】 B ‎ ‎17.【答案】 C ‎ ‎18.【答案】 C ‎ ‎19.【答案】 A ‎ ‎20.【答案】A ‎ 二、填空题 ‎21.【答案】x3+1 ‎ ‎22.【答案】 ±3 ‎ ‎23.【答案】5 ‎ ‎24.【答案】必要不充分 ‎ ‎25.【答案】 甲 ‎ ‎26.【答案】 –2；–154 ‎ ‎27.【答案】（1， ） ‎ ‎28.【答案】 ‎ ‎29.【答案】 ‎ ‎30.【答案】 1或 ‎ 三、解答题 ‎31.【答案】 （1）解：∵ =4， =440， tiyi=13860， ti2=140， ‎ ‎∴ = =55， =220，所求回归方程为 =55t+220‎ ‎ （2）解：将t=8代入（1）中的回归方程，得 =55×8+220=660， ‎ 故预测2017年该员工每月的平均工资为 =8250‎ ‎32.【答案】 （1）证明：由题意，当 时， ， ， 成等差数列， ‎ 则 ，即 ，‎ ‎ ，‎ 又 ，‎ ‎ 数列 是以1为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎ （2）解：由（1），知 ， ‎ 即 ， ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎33.【答案】 （1）解：由f（x）=ex﹣ax﹣1，得f′（x）=ex﹣a． ‎ 又f′（0）=1﹣a=﹣1，‎ ‎∴a=2．‎ ‎∴f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2．‎ 由f'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2．‎ ‎∴函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，‎ ‎ （2）解：证明：设x＞ln2， ‎ ‎∴2ln2﹣x＜ln2，‎ ‎∴f（2ln2﹣x）=e2ln2﹣x﹣2（2ln2﹣x）﹣1= +2x﹣2ln2﹣1，‎ 令g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）= ﹣4x+4ln2，（x＞ln2），‎ ‎∴g′（x）=ex+4e﹣x﹣4≥0，当且仅当x=ln2时，等号成立，‎ ‎∴g（x）在（ln2，+∞）上单调递增，‎ 又g（ln2）=0，‎ ‎∴当x＞ln2时，g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）＞g（ln2）=0，‎ 即f（x）＞f（2ln2﹣x），‎ ‎∴f（x2）＞f（2ln2﹣x2），‎ 又f（x1）=f（x2），‎ ‎∴f（x1）＞f（2ln2﹣x2），‎ 由于x2＞ln2，‎ ‎∴2ln2﹣x2＜ln2，‎ ‎∵x1＜ln2，‎ 由（Ⅰ）函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，‎ ‎∴x1＜2ln2﹣x2 ， ‎ 即x1+x2＜2ln2‎ ‎34.【答案】 （1）解：记“Y是奇数”为事件A．能组成的三位数的个数为48，Y是奇数的个数为28．‎ 所以 ．‎ 答：Y是奇数的概率为 ．‎ ‎ （2）Y的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．‎ ‎∴当Y=3时，组成的三位数只能是0，1，2三个数字组成，P（Y=3）= = = ；‎ 同理可得：P（Y=4）= = ；P（Y=5）= ×2= ；P（Y=6）= + = = ；‎ P（Y=7）= + = ；P（Y=8）= = ；P（Y=9） = ．‎ 可得分布列：‎ ‎ Y ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ P（Y）‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎∴EY= +4× +5× +6× +7× +8× +9× = ．‎ ‎35.【答案】 （1）解：由题意可得：b=2．由PF1⊥x轴，把x=c代入题意可得： + =1，解得y= ．‎ ‎∵△OPF1的面积为 ，∴ = ，可得： = =e，又a2=b2+c2 ， ‎ 联立解得a2=8，c=2．‎ ‎∴椭圆E的方程为： =1‎ ‎ （2）解：设直线AB的方程为：y=﹣ x+t，与椭圆方程联立可得：9x2﹣8tx+16t2﹣64=0．‎ ‎△=64t2﹣36（16t2﹣64）＞0，解得 ＜t＜ ．‎ ‎∴x1+x2= ，x1•x2= ，‎ ‎∴|AB|= = • = ．‎ 点O到直线AB的距离d= ．‎ ‎∴S△OAB= |AB|•d= ≤ × =2 ．当且仅当t= 时取等号，满足△＞0．‎ ‎∴△OAB面积的最大值为2 ‎