广西贺州市中学2019-2020学年高二上学期10月双周考数学试卷

广西贺州市中学2019-2020学年高二上学期10月双周考数学试卷

高二年级数学试题 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 复数是虚数单位的共轭复数表示的点在(    )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形,则原三角形的面积是　　‎ A. B. C. D. 都不对 3. 如图,正方体的棱长为2,E是棱AB的中点,F是侧面内一点,若平面,则EF长度的范围为      ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 如图,正方体中,O为底面ABCD的中心,M为棱的中点,则下列结论中错误的是(    )‎ A. 平面 B. 平面MAC ‎ C. 异面直线与AC所成的角为 D. MO与底面所成角为 ‎ 1. 已知等差数列的前n项和为,若,且A,B,C三点共线为该直线外一点,则等于(    )‎ A. 2016 B. 1008 C. D. ‎ 2. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则下列判断错误的是    ‎ A. 曲线关于直线对称 B. 曲线关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 3. 中,a,b,c分别为,,的对边,如果a,b,c成等差数列,,的面积为,那么b等于     ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 在平行六面体中,底面ABCD是边长为2的正方形,若,且,则的长为 A. B. C. D. ‎ 1. 设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,点P与点A,B不重合,则的面积最大值是(    )‎ A. B. 5 C. D. ‎ 2. 已知倾斜角为的直线l与直线垂直,则的值为 (    )‎ A. B. C. 2 D. ‎ 3. 下列命题中,正确的是 A. , B. 已知直线,则的充要条件是 C. 命题：“”的否定是“,” D. 若统计数据的方差为1,则的方差为4‎ 4. 已知点P在直线上,点Q在直线上,PQ的中点为,且,则的取值范围是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 等比数列中,,,则______．‎ 6. 如图是正方体平面展开图,在这个正方体中： 与AF平行； 与BE是异面直线； 与BM成角； 与ED垂直． 以上四种说法中,正确说法的序号是______ ． ‎ 7. 如果函数满足对任意的,都有成立,那么实数a的取值范围是________．‎ 1. 已知,,若的平分线所在直线的方程为,则直线AC的方程为____．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 2. 已知数列的前n项和为,且,． ,求证数列是等比数列； 设,求证数列是等差数列； 求数列的通项公式及前n项和． ‎ 3. 设直线l的方程为．‎ 若直线l在两坐标轴上截距相等,求直线l的方程；‎ 若直线l不经过第三象限,求实数a的取值范围． ‎ 4. 已知等腰梯形ABCE中,,,,D是EC中点,将沿AD折起,构成四棱锥,分别是的中点．‎ 求证：平面DMN；‎ 当平面平面ABCD时,求点C到平面PAB的距离． ‎ 1. ‎“孝敬父母感恩社会”是中华民族的传统美德从出生开始,父母就对们关心无微不至,其中对我们物质帮助是最重要的一个指标,下表是一个统计员在统计父母为我花了多少当中使用处理得到下列的数据： 参考数据公式：,, 线性回归方程：,‎ 岁数x ‎1‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎17‎ 花费累积万元 ‎1‎ ‎9‎ ‎17‎ ‎22‎ ‎24‎ 假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系,求 花费累积y与岁数x的线性回归直线方程系数保留3位小数； 岁大学毕业之后,我们不再花父母的钱,假设你在30岁成家立业之后,在你50岁之前偿还父母为你的花费不计利息那么你每月要偿还父母约多少元钱？‎ ‎ ‎ 1. 已知函数 Ⅰ求的值域； Ⅱ若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围． ‎ 2. 已知函数．‎ 若,且函数有零点,求实数a的取值范围；‎ 当时,解关于x的不等式；‎ 若正数a,b满足,且对于任意的,恒成立,求实数a,b的值． ‎ 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. B 2. A 3. C 4. D 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. D ‎ ‎13. 10  ‎ ‎14.   ‎ ‎15.   ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 证明：由题意,,, 两式相减,得, , ,, 又由题设,得,即, , 是首项为3,公比为2的等比数列； 证明：由得, , ,即． 数列是首项为,公差为的等差数列； 解：由得,, 即,． 则．  ‎ ‎18. 解：若, 解得, 化为． 若, ‎ 解得, 化为,舍去． 若,2, 化为：, 令, 化为, 解得, 可得直线l的方程为：, 综上所述直线l的方程为：或； 过定点, 又 ,解得： 实数a的取值范围是．  ‎ ‎19. 证明：取AO的中点O,连结OB,BD,OP,‎ 等边,等边,O是AD的中点,   ‎ ‎,,‎ 又,‎ 平面POB,平面OPB,‎ ‎,‎ ‎,N分别是BC,PC的中点,  ,‎ ‎,‎ 又是等边三角形,M是BC的中点,,又,‎ ‎,又,平面MND．‎ 解：平面平面ABCD,平面平面,,‎ 平面ABCD,‎ ‎,是边长为4的等边三角形,‎ ‎,,,‎ ‎,．‎ ‎,‎ 又,,‎ 设C到平面PAB的距离为h,‎ 则,解得．‎ ‎  ‎ ‎20. 解：由题中表格数据得：,, ,, , , 故花费累积y与岁数x的线性回归直线方程为 ； ‎ 当时,万元 元 所以每月要偿还1404元  ‎ ‎21. 解：Ⅰ , 又, ,即, ； Ⅱ由恒成立,可得恒成立, 又, 且,结合知, ,即m的取值范围是．  ‎ ‎22. 解：当时 ,,‎ 函数有零点,即方程有解,‎ ‎,解得或,‎ 即．‎ 当时 ,不等式即为,‎ 当时,不等式的解集为；‎ 当时,不等式的解集为；‎ 当时,不等式的解集为．‎ 问题转化为对于任意恒成立,可得,‎ 从而,‎ 又, ,解得,．‎ ‎  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 【分析】 本题考查复数的运算,属于基础题． 由复数的四则运算及几何意义可得答案． 【解答】 解： ​, 表示的点在第二象限． 故选B．‎ ‎2. 解：三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形, 直观图的面积是 由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系, 原三角形的面积为, 故选A 求出直观图三角形的面积,利用平面图形的面积是直观图面积的倍 ,求出直观图的面积即可． 本题考查平面图形的三视图,由三视图还原实物图,是一个简单的计算题目,解题的关键是对于这两个对应的图形的面积之比要掌握两个面积可以互相推出 ‎3. 【分析】 本题主要考查了面面平行的性质,线面平行的判定,考查空间想象能力,属于中档题． 分别取棱的中点P,M,N,则平面MNEP与平面平行,所以F点在MN上运动,‎ 可知当F与N重合时,EF取最小值,当F与M重合时,EF取得最大值,从而可解． 【解答】 解：如图所示,分别取棱的中点P,M,N, 则平面MNEP与平面平行, 因为平面,F是侧面内一点, 所以F点在MN上运动, 可知当F与N重合时,EF取最小值, 因为该正方体的棱长为2,； 当F与M重合时,EF取得最大值,此时, 所以EF长度的范围为． 故选C． ‎ ‎4. 解：如图, 连接,交于N,则可证明, 由面,面,可得面,A正确； 由三垂线定理的逆定理可得, 设正方体棱长为2,可求得,,, 则,有,由线面垂直的判定可得平面AMC, B 正确； 由正方体的面对角线相等得到为正三角形,即, 异面直线与AC所成的角等于,C正确； 因为,,为二面角的平面角, 显然MO与底面所成的角不是,故D不正确； 故选：D． 由线面平行的判定证明A正确；由线面垂直的判定说明B正确；由异面直线所成角的概念结合正方体的面对角线相等说明C正确；求出为二面角的平面角,从而得到D错误． 本题考查了空间直线和平面的位置关系,考查了异面直线所成角的求法,训练了利用等积法求点到面的距离,是中档题．‎ ‎5. 解：,且A,B,C三点共线为该直线外一点, ． 由等差数列的性质可得：． 则, 故选：B． ,且A,B,C三点共线为该直线外一点,利用向量共线定理可得：由等差数列的性质可得：再利用等差数列的前n项和公式即可得出． 本题考查了向量共线定理、等差数列的性质、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．‎ ‎6. 【分析】 本题考查三角函数的图像变换及三角函数的性质,属于中档题． 【解答】 解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图像, 当时,是余弦函数的一条对称轴,故A对； 当时,,故B ‎ 对； 当时,,故C对； 当时,,故D错． 故选D．‎ ‎7. ‎ ‎【分析】 本题考查等差数列的定义和三角形的面积公式,涉及余弦定理的应用,难度为一般． 由题意可得,平方后整理得利用三角形面积可求得ac的值,代入余弦定理可求得b的值． 【解答】 解：,b,c成等差数列,． 平方得 又的面积为,且, 由,解得, 代入式可得, 由余弦定理． 解得, ． 故选B．‎ ‎8. 【分析】 本题考查几何法求解空间两点的距离,也可以利用空间向量的模求解距离,考查计算能力与逻辑推理能力点在底面的投影O在底面正方形对角线AC上,过作于E,求出AE,连结OE,则,,在,求出OC,然后求解,即可求解C. 【解答】 解：由已知可得点在底面的投影O在底面正方形对角线AC上, 过作于E, 在,, ,连结OE,则,, ‎ 在中,, ． 在, , 在． 故选A．‎ ‎9. 【分析】 本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题． 【解答】 解：动直线,令,解得,因此此直线过定点． 动直线,即,令,,解得,,因此此直线过定点． 时,两条直线分别为,,交点,． 时,两条直线的斜率分别为：,m,则,因此两条直线相互垂直． 此时． 当时,的面积取得最大值． 由解得． ． 综上可得：的面积最大值是． 故选C．‎ ‎10. 【分析】 题考查三角函数的化简与求值,考查了直线的垂直与斜率间的关系,是基础的计算题．  由直线的垂直与斜率间的关系求得然后利用诱导公式及万能公式把转化为含 的代数式得答案． 【解答】 解：直线的斜率为,倾斜角为的直线l与直线垂直,   则   故选B．‎ ‎11. 【分析】‎ 此题考查特称命题的真假,及全称命题的否定,考查充分必要条件的判断,考查方差公式,关键是对相关知识方法的熟练掌握．‎ ‎【解答】‎ 解：因为,所以,错误；‎ B.已知直线,则的充要条件是,所以错误；‎ C.命题：“”的否定是“,”,所以错误；‎ D.若统计数据的方差为1,则的方差为,所以正确．‎ 故选D．‎ ‎12. 【分析】 此题为一道中档题,要求学生会利用解析法求出中点坐标,会根据条件列出不等式求解集学生做题时注意灵活变换不等式． 设出P点坐标及,由M为PQ中点根据中点坐标公式表示出Q的坐标,然后把P和Q分别代入到相应的直线方程中联立可得M的横坐标,因为,把解出的M横坐标代入即可得到关于k的不等式,求出解集即可． 【解答】 解：设,,则,中点为, ,Q分别在直线和上, ,, ‎ 即, , 即, 又,代入得即即即 故选D．‎ ‎13. ​‎ 解：根据等比数列的性质,, , 故答案为：10． 根据等比数列的性质,得出,再根据对数的运算性质化简计算即可． 本题考查了对数的运算性质,等比数列的性质属于基础题．‎ ‎14. 【分析】 由正方体的平面展开图可得原正方体,然后利用空间中的线线、线面关系逐一核对四个命题得答案． 本题考查命题的真假判断与应用,考查空间想象能力和思维能力,是中档题． 【解答】 解：由正方体的平面展开图可得原正方体如图： 由图可知,BM与AF异面,故错误； CN与BE平行,故错误； 为CN与BM所成角,为,故错误； ‎ ‎,且,与ED垂直,故正确． 故答案为：．‎ ‎15. 【分析】‎ 本题考查分段函数单调性的应用,属于中档题目．‎ ‎【解答】‎ 解：由可得函数为增函数,‎ 则,‎ 解得．‎ 故答案为．‎ ‎16. 【分析】 ‎ 本题主要考查了直线中的对称问题设点A关于直线对称的点,则由题条件可求出所以直线的方程为由此知从而得到直线AC的方程．‎ ‎【解答】‎ 解：设点A关于直线对称的点, 则,解得,即． 直线的方程为． 由得, 解得． 直线AC的方程为． 故答案．‎ ‎17. 本题考查数列递推式,考查了等差关系与等比关系的确定,是中档题． 由已知数列递推式可得,与原递推式联立可得,即可证明数列是等比数列； 由得,可得,两边同时除以即可证得数列是等差数列； 由求出数列的通项公式,可得数列的通项公式,结合已知递推式可得数列的前n项和．‎ ‎18. 本题考查了直线的方程、不等式的性质、考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题． 对a分类讨论,利用截距式即可得出； 由于l不经过第三象限,可得,解出即可得出．‎ ‎19. 本题考查空间几何体的线面的位置关系以及面面垂直的性质．‎ 取AO的中点O,连结OB,BD,OP,根据等边三角形的性质可得,故平面AOB,于是,从而有平面MND；‎ 根据,列方程求出C到平面PAB的距离．‎ ‎20. 利用公式计算,及系数a,b,可得回归方程； 把代入回归方程可得y值,即为预测父母为我们总的花费,然后除以240可得答案． 本题主要考查了线性回归分析的方法,包括散点图,用最小二乘法求参数,以及用回归方程进行预测等知识,考查了考生数据处理和运算能力．‎ ‎21. 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,不等式的解法及其应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得,由已知可求范围,利用正弦函数的性质即可得解其值域； Ⅱ由恒成立可得,且,结合即可得解．‎ ‎22. 本题考查零点和不等式的解法以及恒成立问题,解决问题的关键是熟练掌握相关的定理和结论．‎ 由题意可得,解不等式可得a的范围 不等式可化为,分别就, ,讨论可得不等式的解集 问题转化为对于任意恒成立,可得,进而由解不等式可得答案．‎