高二数学人教a必修5练习：2-1-2数列的通项公式与递推公式word版含解析

高二数学人教a必修5练习：2-1-2数列的通项公式与递推公式word版含解析

课时训练 6 数列的通项公式与递推公式 一、数列的单调性 1.已知数列 an<0,且 2an+1=an,则数列{an}是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法判断 答案:A 解析:∵an<0,∴an+1-an= 1 2 an-an=- 1 2 an>0. ∴数列{an}是递增数列. 2.在数列{an}中,若 an=-n2+12n-7,则此数列的最大项的值为 . 答案:29 解析:an=-(n-6)2+29,所以当 n=6 时,an 最大,解得 a6=29. 二、由递推公式求数列中的项 3.若 a1=1,an+1= 3+1 ,则给出的数列{an}的第 7 项是( ) A. 1 16 B. 1 17 C. 1 19 D. 1 25答案:C 解析:由数列的首项和递推公式可以求出 a2= 1 4 ,a3= 1 7 ,…,观察得到通项公式 an= 1 3 - 2 ,所以 a7= 1 19 . 4.在数列{an}中,a1=-2,an+1= 1+ 1 - ,则 a2 012=( ) A.-2 B.- 1 3 C.- 1 2 D.3 答案:D 解析:∵a1=-2,an+1= 1+ 1 - , ∴a2=- 1 3 ,a3= 1 2 ,a4=3,a5=-2. ∴该数列是周期数列,周期 T=4. 又 2 012=503×4,∴a2 012=a4=3. 5.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则 a5= . 答案:8 解析:由题知 a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5, ∴a5=a4+a3=8. 6.已知数列{an}满足 a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2 013= ;a2 014= . 答案:1 0 解析:a2 013=a504×4-3=1,a2 014=2a1 007=2a4×252-1=0. 7.数列{an}满足 an+1= 1 1 - ,a8=2,则 a1= . 答案: 1 2 解析:a8= 1 1 - 7 =2,∴a7= 1 2 . 又 a7= 1 1 - 6 ,∴a6=-1. 又 a6= 1 1 - 5 ,∴a5=2. 以此下去,可推出 a1= 1 2 . 三、由递推关系求通项公式 8.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+1(n≥2),则通项公式为( ) A.an=1 B.an=2n-1 C.an=n D.an=n+1 答案:C 解析:由 an=an-1+1 知 an-an-1=1, ∴数列的相邻两项中后项比前项大 1.∴通项公式为 an=n. 9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为( ) A.an=2n-1 B.an=2n-1 C.an= 1 2 - 1 D.an=1+ 1 2 答案:A 解析:方法一:由已知 a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…, 由此归纳得 an=2n-1. 方法二:∵an+1+1=2(an+1), ∴ +1+1 +1 =2,用累乘法可得 an+1=2n. ∴an=2n-1. 10.(2015 温州高二检测)已知数列{an},a1=1,以后各项由 an=an-1+ 1 ( - 1 )(n≥2)给出. (1)写出数列{an}的前 5 项; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)a1=1;a2=a1+ 1 2×1 3 2 ; a3=a2+ 1 3×2 5 3 ;a4=a3+ 1 4×3 7 4 ; a5=a4+ 1 5×4 9 5 . (2)由已知得 an-an-1= 1 ( - 1 ) 1 - 1 1 , ∴a2-a1=1- 1 2 ,a3-a2= 1 2 1 3 ,a4-a3= 1 3 1 4 ,……,an-an-1= 1 - 1 1 . 左右分别累加得 an-a1=1- 1 , 所以 an=a1+1- 1 =2- 1 . (建议用时:30 分钟) 1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2).则 a6 等于( ) A.7 B.11 C.16 D.17 答案:C 解析:由题可知 a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16. 2.已知数列{an}中,a1=2,an=- 1 - 1 (n≥2),则 a2 015 等于( ) A.- 1 2 B. 1 2 C.2 D.-2 答案:C 解析:∵an+2=- 1 +1 =an,∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a2 015=a1=2. 3.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1a2a3…an=n2,则 a3+a5 等于( ) A. 25 9 B. 25 16 C. 61 16 D. 31 15答案:C 解析:由已知得 123 3 2 12 2 2 ⇒ a3= 9 4 , 12345 25 1234 16 ⇒ a5= 25 16 ,∴a3+a5= 61 16 . 4.已知数列{an}的通项公式为 an= 4 9 - 1 2 3 - 1 ,则数列{an}( ) A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 答案:C 解析:数列{an}的通项公式为 an= 4 9 - 1 2 3 - 1 ,令 t= 2 3 - 1 (0an 对 n∈N*恒成立. ∵an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ, ∴2n+1+λ>0 对 n∈N*恒成立, 即λ>-2n-1 对 n∈N*恒成立, 又当 n∈N*时-2n-1≤-3,∴λ>-3. 10.设数列{an},a1=0,an+1= 1+ 3 - ,写出数列的前 4 项,并归纳出该数列的一个通项公式. 解:a1=0,a2= 1+1 3 - 1 1 3 ,a3= 1+2 3 - 2 1+1 3 3 - 1 3 1 2 ,a4= 1+3 3 - 3 1+1 2 3 - 1 2 3 5 . 直接观察可以发现 a3= 1 2 可写成 a3= 2 4 , 这样可知 an= - 1 +1 (n∈N*,n≥2). 当 n=1 时, 1 - 1 1+1 =0=a1,所以 an= - 1 +1 .