2019届二轮复习双曲线提分秘籍学案（全国通用）

2019届二轮复习双曲线提分秘籍学案（全国通用）

题型一　双曲线的定义及标准方程 ‎1　利用定义求轨迹方程 例1已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 ．‎ ‎【解析】　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. ‎ 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，‎ ‎【答案】　x2－＝1(x≤－1)‎ 点评：定义法是求解这类轨迹问题的常用方法，但要注意轨迹方程的定义域，与题目条件是否一致.‎ 巩固1求与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切的动圆圆心M的轨迹．‎ ‎2　利用待定系数法求双曲线方程 例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：‎ ‎(1)虚轴长为12，离心率为；‎ ‎(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；‎ ‎(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．‎ ‎【解析】　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．‎ 由题意知，2b＝12，e＝＝，‎ ‎∴b＝6，c＝10，a＝8.‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.学 ‎ 巩固2已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎3　利用定义解决焦点三角形问题 例3已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝ .‎ ‎【解析】　∵由双曲线的定义有 ‎|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，‎ ‎∴|PF1|＝2|PF2|＝4，| ]‎ 则cos∠F1PF2＝ ‎＝＝.‎ ‎【答案】　 引申探究 ‎1．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？‎ ‎【解析】　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，‎ 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝，‎ ‎∴|PF1|·|PF2|＝8，‎ ‎∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.‎ ‎2．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？‎ 点评 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．‎ ‎(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．‎ ‎(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．‎ 巩固3设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是 ．‎ 题型二　双曲线的几何性质 例4：(1)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)‎ A.x±y＝0 B．x±y＝0‎ C．x±2y＝0 D．2x±y＝0‎ ‎【解析】由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，‎ 又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.‎ 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，‎ 所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得c＝a，‎ 所以b＝＝a.‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0. 学 ‎ ‎【答案】A ‎ (2)(2016·山东)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是 ．‎ ‎【答案】　2‎ 点评 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.‎ 巩固4（2018天津文、理）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为（ ） 学 ] ] 学 ]‎ ‎（A） （B）（C） （D）‎ 题型三　直线与双曲线的综合问题 例5　 (2018·福州模拟)已知直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1的右支交于不同两点，则k的取值范围是 ．‎ ‎【解析】　由直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1联立方程组，消y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，‎ 因为该方程有两个不等且都大于1的根，‎ 所以 解得10) 学 ‎ ‎【答案】　＝1.(y>0)‎ ‎【答案】　D 巩固3【解析】如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，‎ 设|PF2|＝m，‎ 则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，‎ 由于△PF1F2为锐角三角形，‎ 结合实际意义需满足 解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，‎ ‎∴2＜2m＋2＜8.‎ ‎【答案】　(2，8)‎ ‎【答案】A 巩固5【解析】：渐近线方程为：，即，‎ ‎∵为直角三角形，假设，如图，‎ ‎∴，直线方程为.联立 ‎∴，即，‎ ‎∴，∴，‎ 故选B.‎ ‎【答案】B