数学经典易错题会诊与高考试题预测2
高考数学经典易错题会诊(二)
考点-2 函数 (1)
函数的定义域和值域
函数单调性的应用
函数的奇偶性和周期性的应用
反函数的概念和性质的应用
借助函数单调性求函数最值或证明不等式
综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题
反函数与函数性质的综合
经典易错题会诊
命题角度1 函数的定义域和值域
1．(典型例题)对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=
(1)若函数f(x)=,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式;
(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．
[考场错解] (1)∵f(x)的定义域Df为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域Dg为R.∴h(x)=
(2)当x≠1时，h(x)==x-1++2≥4．或h(x)= ∈(-∞，0)∪(0，+∞)． ∴h(x)的值域为(4，+∞)，当x=1时，h(x)=1．综合，得h(x)的值域为{1}∪[4，+∞]．
[专家把脉] 以上解答有两处错误：一是当x∈Df但xDg时，应是空集而不是x≠1．二是求h(x)的值域时，由x≠1求h(x)=x-1++2的值域应分x>1和x<1两种情况的讨论．
[对症下药] (1)∵f(x)的定义域Df=(-∞，1)∪(1，+∞)·g(x)的定义域是Dg=(-∞，+∞)．所以，h(x)=
(2)当x≠1时，h(x)= ==x-1++2．
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若x>1，则x-1>0，∴h(x)≥2+2=4．
当且仅当x=2时等号成立．
若x＜1，则x-1<0．∴h(x)=-[-(x-1)- ]+2≤-2+2=0．当且仅当x=0时等号成立．
当x=1时，h(x)=1．
综上，得h(x)的值域为(-∞，0)∪{1}∪[4，+∞]．
2．(典型例题)记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.
(1)求A；
(2)若BA，求实数a的取值范围．
[考场错解] (1)由2-≥0，得≥0，∴x<-1或x≥1，即A=(-∞，-1)∪[1，+∞]．
(2)由(x-a-1)(2a-x)＞0得(x-a-1)(x-2a)<0当a=1时，B=Ø ．∴BA．
当a<1时，a+1>2a，∴B=(2a，a+1),
∵BA，∴2a≥1或a+1≤-1．即a≥或a≤-2而a≤1，∴≤a≤1或a≤-2．
故当BA时，实数a的取值范围是(-∞，-2)∪[，1].
[专家把脉] 由函数的概念知函数的定义域为非空集合，所以错解中a=1时B= Ø，说明函数不存在，因此 a=1不适合．
[对症下药] (1)由2-≥0，得≥0，
∴x<-1或x≥1．即A=(-∞，-1)∪[1，+∞]．
(2)由(x-a-1)(2a-x)＞0，得(x-a-1)(x-2a)<0，
当a=1时，B= Ø，∵定义域为非空集合，∴a≠1．当 a<1时，a+1>2a，∴B=(2a，a+1)，∵BA，∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥或a
≤-2．而a<1，∴≤a≤1或a≤-2，
故当BA时，实数a的取值范围是(-∞，-2)∪[，1]．
3．(典型例题)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)=的定义域为集合N．求
(1) 集合M，N；
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(1) 集合M∩N．M∪N.
[考场错解] (1)由2x-3＞0解得x＞．∴M={x|x＞}．由1-≥0 得x-1≤x-3∴-1≤-3．∴N= Ø．
(2)∴M∩N=Ø．M∪N={x|x>}．
[专家把脉] 求集合N时解不等式1-≥0两边同乘以(x-1)不等号不改变方向，不符合不等式性质，应先移项化为≥0的形式再转化为有理不等式，求解，另外定义域不可能为非空集合．∴N=Ø显然是错误的．
[对症下药] (1)由2x-3＞0，得x＞．∴M={x|x＞}．由1-≥0得
∴x≥3或x<1．∴N={x|x≥3或x<1}．
(2)∴M∩N={x|x>}∩{x|x≥3或x>1}={x|x≥3}．M∪N={x|x>}∪{x|x≥3或x>1}={x|x>或x<1}．
4．(典型例题)若集合M={y|y=2-x}，P={y|y=}，则M∩P等于 ( )
A．{y|y＞1} B．{y|y≥1}
C.{y|y>0} D．{y|y≥0}
[考场错解] 选A或B
[专家把脉] 错误地认为是求函数y=2-x和y=的定义域的交集．实际上是求两函数的值域的交集．
[对症下药] ∵集合中的代表元素为y，∴两集合表示两函数的值域，又∴M={y|y=2-x}={y|y>0}，P={y|y=}={y|y≥0}．∴M∩P={y|y＞0}，故选C．
专家会诊
1. 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能
为空集。2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．
考场思维训练
1 若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R，则实数a的取值范围是 ( )
A．(0，+∞) B．(0，2)
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C．(-∞，2) D．(-∞，0)
答案：D 解析：∵4-a
2 已知函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数f(x-2)的值域为 ( )
A．[-4，1] B．[0,5]
C．[-4，1]∪[0，5] D．[-2，3]
答案：D 解析：f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变.
3 已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)
(1)若该函数的定义域为R，试求实数m的取值范围．
答案：解析：(1)由题设，得不等式x2-2mx+m+2>0对一切实数x恒成立，
∴△=（-2m）2-4(m+2)<0,解得-1
0，g(x)=x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立．
即或△=4(1-a)2+8a＜0或
解得：a∈Ø．
故f(x)在[-1，1]上不可能为单调函数．
[专家把脉] 上面解答认为f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实f(x)还有可能为单调减函数，因此应令f′(x)≥0或f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．
[对症下药] f′(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex[x2+2(1-a)x-2a]
∵f(x)在[-1，1]上是单调函数．
(1)若f(x)在[-1，1]上是单调递增函数．
则f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立，即ex[x2+2(1-a)x-2a]≥0在[-1，1]上恒成立．∵
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ex>0．∴g(x)=x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立，则有或△=4(1-a)2+8a＜0或
解得，a∈Ø．
(2)若f(x)在[-1，1]上是单调递减函数，
则f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．
∴ex[x2+2(1-a)x-2a]≤0在[-1，1]上恒成立．
∵ex>0．∴h(x)=x2+2(1-a)x-2a≤0在[-1，1]上恒成立．
则有
∴当a∈[，+∞]时，f(x)在[-1，1]上是单调函数．
2．(典型例题)已知函数f(x)=ax+(a＞1)
(1)证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根．
[考场错解] (1)设-1＜x1＜x2，f(x2)-f(x1)=ax2+ax2-ax1+＞0．
∴f(x)在(-1，+∞)上是增函数．
(2)设x0为方程f(x)=0的负数根，则有ax0+=0．即ax0==-1+， ①
∵x0≠-1，∴当-13，-1+>2，而＜ax0<1 与①矛盾．
∴原方程没有负数根．
[专家把脉] 第(1)问错在用定义证明函数单调性时，没有真正地证明f(x2)>f(x1)．而只是象征性地令f(x2)-f(x1)＞0这是许多学生解这类题的一个通病．第(2)问错在把第(1)问的条件当成第(2)问的条件，因而除了上述证明外，还需证明x0<-1时，方程也没有负根．
[对症下药]
(1) 设-10，又a>1，
∴ax2-x1>1．而-10，x2+1>0．
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∴f(x2)-f(x1)＞0
∴f(x)在(-1，+∞)上为增函数．
(2)设x0为方程f(x)=0的负数根，则有ax0+=0．即ax0=-1+
显然x0≠-1，
当0＞x0＞-1时，1＞x0+1＞0，＞3，-1+>2．而-1的解．
当x0<-1时．x0+1＜0<0，-1+＜-1，而ax0>0矛盾．即不存在x0<-1的解．
3．(典型例题)若函数f(x)=l0ga(x3-ax)(a＞0且a≠1)在区间(-，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( )
A.[，1] B.[，1]
C.[，+∞] D.(1，-)
[考场错解] A 当a∈(0，1)时，要使f(x)=loga(x3-ax)在区间(-，0)上单调递增．∴x3-ax＞0在(-，0)上恒成立，∴(-)3+a≥0 a≥.综合得a∈[，1].当a>1时，x3-ax>0在(-,0)上不可能成立．
[专家把脉] 上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断，而只是考虑函数的定义域，这样的答案肯定是错误的．
[对症下药] 设(x)=x3-ax
当0＜a＜1时，依题意,(x)在(-，0)上单调递减且(x)在(-，0)上大于0．
∵′(x)=3x2-a.即′(x)≤0在(-，0)上恒成立a≥3x2在(-，0)上恒成立．
∵x∈(-，0)∴3x2∈(0，).
∴a≥．此时(x)>0．∴≤a<1．
当a>1时，(x)在(-，0)上单调递增，
23
∴′(x)=3x2-a≥0在(-，0)上恒成立．
∴a≤3x2在(-，0)上恒成立．
又3x2∈(0，)·∴a≤0与a＞1矛盾．
∴a的取值范围是[，1].
故选B.
专家会诊
1.讨论函数单调性必须在定义域内进行，因此讨论函数的单调性必须求函数定义域．
2．函数的单调性是对区间而言的，如果f(x)在区间(a，b)与(c，d)上都是增(减)函数，不能说 f(x)在(a，b)∪(c，d)上一定是增(减)函数．
3．设函数y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=f[g(x)]在其定义域上也是单调函数．若y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]是增函数；若y=f(u)，u=g(x)的单调性相反，则复合函数y=f[g(x)]是减函数．列出下表以助记忆．
y=f(u)
u=g(x)
y=f[g(x)]
↗
↗
↗
↗
↘
↘
↘
↘
↗
↘
↗
↘
上述规律可概括为“同性则增，异性则减”．
考场思维训练
1 函数f(x)对任意实数x都有f(x)1,又∵f(x2)>0.
∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2) ∙f(x2)>f(x2).
∴f(x)为R上的减函数，解不等式f(x+5)>
∵f(x)>0, ∴不等式等价于f(x+5) ∙f(x)>1.即f(2x+5)>f(0),又∵f(x)为减函数，∴2x+5<0.
解得不等式的解集为
4 是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2，4]上是减函数?
１． 答案：解析：设(x)=ax2-x=a当a>1时，要使f(x)在区间[2，4]上是减函数，则有：
ɸ
当0f(cos)
B：sin＞cosf(sin)＞f(cos)．
C：sin1>cos1f(sin1)1
∴loga(x+)>1x+>a＞a-x＜x＜+∞.
解法2：利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系．原题等价于x>1时，f(x)=(ax-a-x)的值域，∴f(x)=(ax-a-x)在R上单调递增．∴f(x)＞(a-)=．选A.
4.(典型例题)设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=________．
[考场错解] 填0 ∵y=f(x)的图像关于点(1，2)对称，又∵f(4)=0，∴f(0)=4，∴f-1(4)=0
[专家把脉] 上面解答错在由图像过点(4，0)得到图像过点(4，0)上，因为f(x)图像关于点(1，2)对称不是关于y=x对称，因此应找出图像过点(-2，4)是关键．
[对症下药] 填-2．
解法1 ∵f(4)=0，∴f(x)的图像过点(4，0)．又∵f(x)的图像关于点(1，2)对称，∴f(x)的图像过点 (2-4，4-0)即(-2，4)．∴f(-2)=4．∴f-1(4)=-2．
解法2 设y=f(x)上任一点P(x、y)关于点(1，2)对称的点为P′(2-x，4-y)．依题意4-y=f(2-x)，∴4-f(x)=f(2-x) f(x)+f(2-x)=4．令x=4．∴f(4) +f(-2)=4.又f(4)=0，∴f(-2)=4．∴f-1(4)=-2．
专家会诊
1.求反函数时必须注意：(1)由原解析式解出x=f-1(y)，如求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个；(2)要求反函数的定义域，即原函数的值域．
2．分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成．
3．若点(a，b)在原函数y=f(x)的图像上，则(b，a)在反函数y=f-1(x)的图像上．
考场思维训练
1 函数y=3x2-1(-1≤x＜0)的反函数是 ( )
A．y=(x≥)
B．y=- (x≥)
C．y= (x1时，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，证明：＜＜．
[解题思路] (1)用反证法证明；(2)用反证法先证f(x)＞x，再运用函数单调性进行放缩．
[解答] (1)假设f(x)＞x
∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(f(x)]=x.
∴f(x)＞f[f(x)]．
∴x＞f(x)这与假设矛盾．∴f(x)＞x不可能成立
同理可证f(x)＜x也是不可能成立的．
综合，得f(x)=x.
(2)先证f(x)＞x，假设存在x0∈(0，+∞)，使得f(x0)≤x0，若f(x0)=x0，则f[f(x0)]=f(x0)．即2x0= f(x0)=x0，∴x0矛盾；若f(x0)＜x0，由条件可知f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(x0)＞0．
∴f[f(x0)]x
因此,f{f[f(x)]}-f[f(x)]＞f[f(x)]-f(x)＞f(x)-x．
即2f(x)-2x>2x-f(x)>f(x)-x
解得＜＜．
预测角度2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题
1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3，
(1)求f(x)的表达式；
(2)是否存在正实数a(a＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解题思路] (1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a．
[解答] (1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]
f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax
得f(x)=4x3-2ax(x∈[-1，0])
∵y=f(x)在[-1，1]上是偶函数
∴当x∈[0，1]时，f(x)=f(-x)=-4x3+2ax
∴f(x)=
(2)命题条件等价于[f(x)]max=12，因为f(x)为偶函数，所以只需考虑0≤x≤1的情况．
求导f′(x)=-12x2+2a(0≤x≤1，a>6)，
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由f′(x)=0得x=或x=-(舍)．
∵＞1，当0≤x≤1时 f′(x)>0，f(x)在[0，1]上单调递增，
∴[f(x)]max=f(1)=12，∴a=8．
综上，存在a=8使得f(x)的图像的最高点在直线y=12上．
2．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a＞2)，求△ABC面积的最大值．
[解题思路] 先利用函数的周期性和奇偶性分别求出f(x)在[0，1]和[1，2]时的解析式，再利用图象设出 A、b的坐标，然后以A、B的纵坐标作为自变量建立面积函数关系，借助函数关系式即可求得S△ABC的最大值．
[解答] ∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．
∴当x∈[0，1]时，f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1．
又∵f(x)是偶函数，∴当x∈[-1，0]时，f(x)=f(-x)=(-x)+1=-x+1；当x∈[1，2]时．f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3．
设A、B的纵坐标为t(1≤t≤2)，并设A在B的左边，则A、B的横坐标分别为3-t、t+1，则|AB|=(t+1)-(3 -t)=2t-2，∴△ABC的面积S=(2t-2)(a-t)=-t2+(a+1)t-a=-(t-)2+-a．
∴当<≤2即22，即a>3时，函数S在[1，2]上单调递增，∴S有最大值S(2)=a-2．
预测角度3 反函数与函数性质的综合
1．在R上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈MR+函数值f(x)的集合为[0，2]且f()=1；又对M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)．
(1)求证：∈M，而M；
(2)证明:f(x)在M上的反函数f-1(x)满足f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2)．
(3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤(x∈[0，2])．
[解题思路] 由给定的函数性质，证明自变量x是属于还是不属于集合"，最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式．
[解答] (1)证明：∵∈M，又=×,f()=1．∴f()=f(×)=f()+f()=1+1=2∈[0，2]，
∴∈M，
23
又∵f()=f(×)=f()+f()=1+2=3[0，2]．∴M.
(2)证明：∵f(x)在M上递减，∴f(x)在M上有反函数f-1(x)，x∈[0，2]．
任取x1、x2∈[0，2]，设y1=f-1(x1)，y2=f-1(x2)．
∴x1=f(y1)，x2=f(y2)(y1，y2∈M)
∵x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1·y2)，∴y1·y2=f-1(x1+x2)
又y1·y2=f-1(x1)·f-1(x2)，∴f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2)．
(3)∵f(x)在M上递减，∴f-1(x)在[0，2]上也递减，
∴f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤等价于f-1(x2+x+x+2)≤f-1(2)．
∴.
故不等式的解集为{x|x=0}.
2．已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax(a＞0且a≠1).
(1) 求证:f(2x)=2f(x)·g(x)
(2) 设f(x)的反函数为f-1(x)，当a=-1时，试比较f-1[g(x)]与-1的大小，并证明你的结论．
(3) 若a>1，n∈N*且n≥2，比较f(n)与nf(1)的大小，并证明你的结论.
[解题思路] 先根据函数f(x)·g(x)的奇偶性和f(x)+g(x)=ax可解出f(x)·g(x)．再借助基本不等式和叠加法证明后两小题.
[解答] (1)f(x)+g(x)=ax，
又f(-x)+g(-x)=a-x，而f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴-f(x)+g(x)=ax,
∴f(x)=,g(x)=．
∴f(x)·g(x)= ·==f(2x)
(2)∵01时，a-a-1>0
an-1+a-(n-1)＞2
an-3+a-n(n-3)＞2
……
∴an-1+an-3+…+a-(n-1)+a-(n-3)＞0
∴f(n)-nf(1)＞0,即f(n) ＞nf(1)
考点高分解题综合训练
1 函数f(x)=x+,则其反函数的定义域是 ( )
A．(-∞，-1)∪[1，+∞)
B．[1，+∞)
C．[-1，0]
D．[-1，0]∪(1，+∞)
答案：D 解析：反函数的定义域即为原函数的值域，x2-1≥0⇒x≥1或x≤-1,当x≥1时，函数f(x)是单调递增函数，此时值域为（1，+∞）当x≤-1时，f(x)=x+为单调递减函数，此时值域为[-1，0]，故值域为[-1，0]∪(1,+ ∞), 从而选D.
2 已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4)．当x＞2时，f(x)单调递增，如果x1+x2<4且(x1-2)(x2-2)<0，则f(x1)+f(x2)的值为 ( )
A.可能为0 B．恒大于0
C.恒小于0 D．可正可负
答案：C 解析：不妨设x1或m<-1
答案：D 解析：因为函数y=f(x)为偶函数，所以y=f(1-x)=f(x-1),它的图可由y=f(x)的图向右平移1个单位得到，故对称轴为x=1,且在（4，6）内是增函数，故选D。
6 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个单调递增区间是(3，5)，则函数y=f(1-x) ( )
A.图像的对称轴为x=-1，且在(2，4)内是增函数
B．图像的对称轴为x=1，且在(2，4)内是减函数
C.图像的对称轴为x=0，且在(4，6)内是增函数
D．图像的对称轴为x=1，且在(4，6)内是增函数
答案：解析：[-1，3]由x2-2x-8≥0⇔x≤-2或x≥4.由1-|x-a|>0⇔|x-a|<1⇔a-10⇔|x-a|<1⇔a-1f(1-a2)．求a的取值范围；
答案：解析：由牺件可得
10 若f(x)满足：在(0，+∞)上f(xy)=f(x)+f(y)，且对x＞1，f(x)>0恒成立，求证：f(x)存在反函数f-1(x)并比较f-1与 [f-1(a)+f-1(b)]的大小．
答案：解析：∵f(x,y)=f(x)+f(x) ∴f(x)=f
设00,f1(49)=5>4,不满足条件f2(x)=4-6在集合A中。
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的x≥D总成立？证明你的结论？
答案：∵
f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=4-6对于任意x≥0总成立.
13 已知函数f(x)=(x＞0)．
(1)写出函数f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间内，函数是递增的还是递减的．(不必证明)
答案：f(x)=x
(2)若不等式f(x)＞0对于x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围；
答案：f(x)>0即a>-恒成立，∴a>
由（1）的结论知当
(3)若f(x)(x≥1)的反函数f-1(x)，试求f-1(a+).
答案：根据反函数的意义，令
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14 已知函数f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f(0)=f(1)，又P(x1，y1)，q(x2，y2)是其图像上任意两点(x1≠x2)．
(1)求证：f(x)的图像关于点(0，b)成中心对称图形；
答案：∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b,得a=-1. ∴f(x)=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上（或向下）平移b（或-b ）个单位得到.又y=x3-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，∴f(x) 的图象关于点（0，b）成中心对称图形。
(2)设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2．
答案：∵点P（x1,y1）,Q(x2y2)在f(x)=x3-x+b的图象上，
∴k=
又
(3)若0≤x1
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