北京市2020届高三数学高考预测卷试题（Word版附解析）

北京市2020届高三数学高考预测卷试题（Word版附解析）

北京高考压轴卷数学 一、选择题（本大题共 10 小题．每小题 45 分，共 40 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1.设复数 z 满足1 3iz z  ，则| |z  （ ） A. 10 10 B. 5 5 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知得 1 1 3z i   ，根据复数的除法法则，求出 z 的实部和虚部，即可求解. 【详解】1 3iz z  ， 1 1 3 1 3 1 3 10 10 10 iz ii     ， 10| | 10z  . 故选:A. 【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数模长，属于基础题. 2.设集合  1,0,1,2,3A   ， 2{ | 2 0},B x x x   则 ( )RA B  ð （ ） A.  1,3 B.  0,1,2 C.  1,2,3 D.  0,1,2,3 【答案】B 【解析】 【分析】 先解不等式得集合 B ，再求出 B 的补集，最后根据交集的定义求结果. 【详解】由 2 2 0x x  ，得 0x  或 2x  ，即 { | 0B x x  或 2}x  ， ={ | 0 2}R B x x  ð ， 又  1,0,1,2,3A   ( )={0,1,2}RA B  ð . 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的交集、补集的运算，是基础题. 3.已知定义域为 R 的奇函数 ( )f x 满足 ( 2) ( )f x f x  ，且当 0 1x  时， 3( )f x x ，则 5 2f      （ ） A. 27 8  B. 1 8  C. 1 8 D. 27 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知函数是以 2 为周期的函数，从而可得 5 1 2 2f f            ，再根据函数为奇函数 可得 1 1 2 2f f            ，将 1 2x  代入表达式即可求解. 【详解】由 ( )f x 满足 ( 2) ( )f x f x  ， 所以函数的周期 2T  ， 又因为函数 ( )f x 为奇函数，且当 0 1x  时， 3( )f x x ， 所以 5 1 1 1 2 2 2 8f f f                      . 故选：B 【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题. 4.函数   2 1 cos1 xf x xe      图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用奇偶性可排除 A、C；再由 (1)f 的正负可排除 D. 【详解】   2 1 e1 cos cos1 e 1 e x x xf x x x       ，   1 e cos( )1 e x xf x x       e 1cose 1 x x x  ( )f x  ，故 ( )f x 为奇函数，排除选项 A、C；又 1 e(1) cos1 01 ef   ，排除 D，选 B. 故选：B. 【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单 调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题. 5.已知坐标原点到直线l 的距离为 2 ，且直线l 与圆   2 23 4 49x y    相切，则满足条件 的直线l 有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 设出直线 l ： y kx b  ，再根据点到直线的距离为 2 和直线与圆相切列方程组成，解得 3 4k   ， 5 2b   即可求解. 【详解】显然直线l 有斜率，设l ： y kx b  ， 则 2 2 1 b k   ，即  2 24 1b k  ，① 又直线l 与圆相切， 2 3 4 7 1 k b k     ，② 联立①②， 3 4k   ， 5 2b   ， 所以直线l 的方程为 3 5 4 2y x   . 故选：A 【点睛】本题考查了直线与圆相切的切线问题、点到直线的距离公式，属于基础题. 6.函数 ( ) sin(2 )6f x x   的单调递增区间是（ ） A.  2, ,6 3k k k Z        B.  , ,2k k k Z      C.  , ,3 6k k k Z        D.  , ,2k k k Z      【答案】C 【解析】 【分析】 令 2 2 22 6 2k x k         ，求解即得 【详解】令 2 2 22 6 2k x k         因此 3 6k x k      故函数 ( ) sin(2 )6f x x   的单调递增区间是  , ,3 6k k k Z        故选：C 【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基 础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A. 20 B. 10 C. 30 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示： 可知三棱锥高： 4h  ；底面面积： 1 155 32 2S     三棱锥体积： 1 1 15 4 103 3 2V Sh     本题正确选项： B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三 棱锥的高和底面面积. 8.已知点 ( 2,3)A  在抛物线 C： 2 2y px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为（ ） A. 4 3  B. 1 C. 3 4  D. 1 2  【答案】C 【解析】 试题分析：由已知得，抛物线 2 2y px 的准线方程为 2 px   ，且过点 ( 2,3)A  ，故 22 p   ， 则 4p  ， (2,0)F ，则直线 AF 的斜率 3 0 3 2 2 4k     ，选 C． 考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率． 9.已知 1a  ，则“ ( )a a b    ”是“ 1a b    ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的垂直关系，可得 ( ) 0a a b    ，简单计算，可得结果. 【详解】由 ( )a a b    ，则 2( ) 0 0          a a b a a b 又 1a  ，所以 1a b    若 1a b    ，且 1a  ，所以 2 0   a a b ，则 ( )a a b    所以“ ( )a a b    ”是“ 1a b    ”的充要条件 故选：C 【点睛】本题考查向量的垂直的数量积表示以及计算，同时考查了充分、必要条件，识记概 念与计算公式，属基础题. 10.已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( ) A. 存在 x，y∈(0，1)，E(ξ)> 1 2 B. 对任意 x，y∈(0，1)，E(ξ)≤ 1 4 C. 对任意 x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D. 存在 x，y∈(0，1)，D(ξ)> 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。 【详解】解：依题意可得   2E xy  ，              2 2 2 2 2 22 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2D x xy y y xy x y x y x y x y x x y yx               因为 1x y  所以  2 12 2 2 x yxy   即   1 2E   故 A ， B 错误；            2 2 2 22 1 1 2 1 2 1 2D x x x y yx x x y yx x yx             0 1x Q 1 2 1 1x     20 2 1 1x     D yx  即    1 2D E  ，故 C 成立；      2 2 11 2 4 4 x yD x yx xy      故 D 错误 故选：C 【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。 二．填空题（本大题共 5 小题．每小题 5 分，共 25 分） 11.已知曲线   21 2f x x x  的一条切线的斜率是 3，则该切点的横坐标为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数   1 3f x x    ，解得 x 的值， 即为得出结果． 【详解】解：由于   21 2f x x x  ，则   1f x x   ， 由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值， 曲线 21( ) 2f x x x  的一条切线斜率是 3， 令导数   1 3f x x    ，可得 2x  ， 所以切点的横坐标为 2. 故答案为：2． 【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线上某点处的切线斜率的意义，属于基础题． 12.函数 2cos2 siny x x  的最小正周期等于_____. 【答案】 π 【解析】 【分析】 利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期 2T   求得答案. 【详解】因为函数 2 1 cos2 3 1cos2 sin cos2 cos22 2 2 xy x x x x      故最小正周期等于 π. 故答案为： π 【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题. 13.在△ ABC 中，若 30B   ， 2 3AB  , 2AC  ,求△ ABC 的面积 【答案】 2 3 或 3 【解析】 【分析】 由题意首先由余弦定理求得 BC 的值，然后利用面积公式求解 △ ABC 的面积即可. 【详解】在 ABC 中，设 BC x ，由余弦定理可得 24 12 4 3 30x xcos    ， 2 6 8 0x x   ， 2x  ，或 4x  ． 当 2x  时， ABC 的面积为 1 1 12 3 32 2 2AB BC sinB x       ， 当 4x  时， ABC 的面积为 1 1 12 3 2 32 2 2AB BC sinB x       ， 故答案为 3 或 2 3 ． 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 14.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a3＝100，则{an}的通项公式 an＝_____；设 数列{lgan}的前 n 项和为 Tn，则 Tn＝_____. 【答案】 (1). 10n﹣1 (2).  1 2 n n  【解析】 【分析】 先由 a1＝1，a3＝100 求出公比 q，再求 an 与 lgan，最后求 Tn. 【详解】设等比数列{an}的公比为 q，由题知 q＞0. ∵a1＝1，a3＝100， ∴q 3 1 a a   10， ∴an＝10n﹣1； ∵lgan＝lg10n﹣1＝n﹣1， ∴Tn  1 2 n n  . 故答案为：(1). 10n﹣1 (2).  1 2 n n  【点睛】本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前 n 项和的求法，属于基础题. 15.已知函数 ( ) e ex xf x   ，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号） ① ( )f x 是奇函数； ② ( )f x 在 R 上是单调递增函数； ③方程 2( ) 2f x x x  有且仅有 1 个实数根； ④如果对任意 (0 )x  ， ，都有 ( )f x kx ，那么 k 的最大值为 2. 【答案】①②④ 【解析】 根据题意，依次分析四个命题： 对于①中，   x xf x e e  ，定义域是 R ，且      ,x xf x e e f x f x     是奇函数， 所以是正确的； 对于②中，若   x xf x e e  ，则   0x xf x e e   ，所以  f x 的 R 递增，所以是正确 的； 对于③中，   2 2f x x x  ，令   2 2x xg x e e x x    ， 令 0x  可得，  0 0g  ，即方程   2 2f x x x  有一根 0x  ，    3 4 3 4 1 13 13 0, 4 20 0g e g ee e       ，则方程   2 2f x x x  有一根 (3,4) 之间， 所以是错误的； 对于④中，如果对于任意 (0, )x  ，都有  f x kx ，即 0x xe e kx   恒成立， 令 ( ) x xh x e e kx   ，且  0 0h  ， 若 ( ) 0h x  恒成立，则必有   0x xh x e e k     恒成立， 若 0x xe e k   ，即 1x x x xk e e e e     恒成立， 而 1 2x xe e   ，若有 2k  ，所以是正确的，综上可得①②④正确. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 16.已知函数 ( ) logkf x x （k 为常数， 0k  且 1k  ）． （1）在下列条件中选择一个________使数列 na 是等比数列，说明理由； ①数列   nf a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列； ②数列   nf a 是首项为 4，公差为 2 的等差数列； ③数列   nf a 是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列． （2）在（1）的条件下，当 2k  时，设 1 2 2 4 1    n n na b n ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 【答案】（1）②，理由见解析；（2） 2 1n nT n   【解析】 【分析】 （1）选②，由  f x 和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； （2）运用等比数列的通项公式可得 na ，进而得到 2 1 4 1nb n   ，由数列的裂项相消求和可得 所求和. 【详解】（1）①③不能使 na 成等比数列.②可以：由题意   4 ( 1) 2 2 2nf a n n      ， 即 log 2 2k na n  ，得 2 2n na k  ，且 4 1 0a k  ， 2( 1) 2 21 2 2 n n n n a k ka k       . 常数 0k  且 1k  ， 2k 为非零常数， 数列 na 是以 4k 为首项， 2k 为公比的等比数列． （2）由（1）知   14 2 2 2n k na k k k     ，所以当 2k  时， 12n na  . 因为 1 2 2 4 1    n n na b n ， 所以 2 1 4 1nb n   ，所以 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n          ， 1 2 1 1 1 1 1 1L 1 L2 3 3 5 2 1 2 1n nT b b b n n                1 112 2 1 2 1 n n n        . 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力， 属于中档题. 17.在四棱锥 P ABCD 中，PA  平面 ABCD ，底面四边形 ABCD 为直角梯形， / /AD BC ， AD AB ， 2PA AD  ， 1AB BC  ，Q 为 PD 中点． （1）求证： PD BQ ； （2）求异面直线 PC 与 BQ 所成角的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2） 2 3 ． 【解析】 【分析】 （1）以 A 为原点，分别以 AB ， AD ， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，计 算得 0PD BQ   ，即可证明结论； （2）先求出 PC  ，再利用向量夹角公式即可得出. 【详解】（1）由题意在四棱锥 P ABCD 中，PA  平面 ABCD ，底面四边形 ABCD 为直角 梯形， AD AB ， 以 A 为原点，分别以 AB ， AD ， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则  0,0,0A ，  1,0,0B ，  1,1,0C ，  0,2,0D ，  0 0 2P , , ．因为Q 为 PD 中点，所以  0,1,1Q ， 所以  0,2, 2PD   ，  1,1,1BQ   ，所以    0,2, 2 1,1,1 0PD BQ       ，所以 PD BQ ． （2）由（1）得  1,1, 2PC   ，    1,1, 2 1,1,1 2PC BQ        ， 6PC  ， 3BQ  ， 2, 3 PC BQ COS PC BQ PC BQ        ，所以 PC 与 BQ 所成角的余弦值为 2 3 ． 【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题． 18.已知函数    2 2ln Rf x a x x ax a    （Ⅰ）求函数  f x 的单调区间； （Ⅱ）当 0a  时，若  f x 在  1,e 上有零点，求实数 a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）  5 1 e 1, 2        【解析】 试题分析：（Ⅰ）     2 2 22 a x a xa ax xf x x x     ，结合定义域讨论导数的正负求 单调区间即可； （Ⅱ）当 0a  时，  f x 的单调递增区间是  0,a ，单调递减区间是  ,a  .所以  f x 在  1,e 上有零点的必要条件是   0f a  ，得 1a  ，讨论 1a  和 1a  时函数单调性求解参数 范围即可. 试题解析： 解：（Ⅰ）函数  f x 的定义域为  0, ，     2 2 22 a x a xa ax xf x x x     . 由   0f x  得 x a 或 2 ax   . 当 0a  时，   0f x  在 0, 上恒成立， 所以  f x 的单调递减区间是  0, ，没有单调递增区间. 当 0a  时，    , ,x f x f x 的变化情况如下表： 所以  f x 的单调递增区间是  0,a ，单调递减区间是 ,a  . 当 0a  时，    , ,x f x f x 的变化情况如下表： 所以  f x 的单调递增区间是 0, 2 a    ，单调递减区间是 ,2 a     . （Ⅱ）当 0a  时，  f x 的单调递增区间是  0,a ，单调递减区间是  ,a  . 所以  f x 在 1,e 上有零点的必要条件是   0f a  ， 即 2ln 0a a  ，所以 1a  . 而  1 1f a  ，所以  1 0f  . 若 1a  ，  f x 在  1,e 上是减函数，  1 0f  ，  f x 在 1,e 上没有零点. 若 1a  ，  1 0f  ，  f x 在 1,a 上是增函数，在 ,a  上是减函数， 所以  f x 在 1,e 上有零点等价于  e 0 1 e f a      ， 即 2 2e e 0 1 e a a a        ，解得  5 1 e 1 2a    . 综上所述，实数 a 的取值范围是  5 1 e 1, 2        . 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函 数的图象与参数的交点个数； （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况， 随机抽取了 100 人，统计结果整理如下： 20 以下  20,30  30,40  40,50  50,60  60,70 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 30,50 且未使用自由购的概率； （Ⅱ）从被抽取的年龄在 50,70 使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步了解情况，用 X 表示这 3 人中年龄在 50,60 的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋.若某日该 超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】 17 100 ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 【解析】 【分析】 （Ⅰ）随机抽取的 100 名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有 3+14＝17 人，由概率 公式即可得到所求值； （Ⅱ） X 所有的可能取值为 1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （Ⅲ）随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的有 44 人，计算可得所求值． 【详解】（Ⅰ）在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有 3+14=17 人， 所以，随机抽取 1 名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为 17 100P  ． （Ⅱ） X 所有的可能取值为 1,2,3，   1 2 4 2 3 6 C C 11 5C P X    ,   2 1 4 2 3 6 C C 32 5C P X    ,   3 0 4 2 3 6 C C 13 5C P X    . 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 所以 X 的数学期望为 1 3 11 2 3 25 5 5EX        . （Ⅲ）在随机抽取的 100 名顾客中， 使用自由购的共有 3 12 17 6 4 2 44      人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 44 5000 2200100   . 【点睛】本题考查统计表，随机变量 X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 20.已知椭圆 2 2: 2 4C x y  （1）求椭圆C 的标准方程和离心率； （2）是否存在过点  0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，且满足 2PB PA  ．若存 在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 2 2 14 2 x y  ， 2 2e  ；（2）存在，7x﹣ 14y +3 14 ＝0 或 7x+ 14y ﹣3 14 ＝0 【解析】 【分析】 （1）将椭圆方程化为标准方程，可得 a，b，c，由离心率公式可得所求值； （2）假设存在过点 P（0，3）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且满足 2PB PA  ，可设 直线 l 的方程为 x＝m（y﹣3），联立椭圆方程，消去 x 可得 y 的二次方程，运用韦达定理和判 别式大于 0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线． 【详解】（1）由 2 2 14 2 x y  ，得 2, 2a b  ，进而 4 2 2c    ， 2 2 ce a   ； （2）假设存在过点 P（0，3）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且满足 2PB PA  ， 可设直线 l 的方程为 x＝m（y﹣3），联立椭圆方程 x2+2y2＝4， 可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即 m2＜ 4 7 ， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 y1+y2＝ 2 2 6 2 m m ，y1y2＝ 2 2 9 4 2 m m   ， ① 由 2PB PA  ，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即 y2﹣3＝2（y1﹣3），即 y2＝2y1﹣3， ② 将 ② 代入 ① 可得 3y1﹣3＝ 2 2 6 2 m m ，y1（2y1﹣3）＝ 2 2 9 4 2 m m   ， 消去 y1，可得 2 2 2 3 2 m m   • 2 2 3 2 2 m m   ＝ 2 2 9 4 2 m m   ，解得 m2＝ 2 7 4 7  ，所以 14 7m   ， 故存在这样的直线 l，且方程为 7x﹣ 14 y+3 14 ＝0 或 7x+ 14 y﹣3 14 ＝0． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时 考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 21.．对于 n ∈ N*（n≥2），定义一个如下数阵： 11 12 1 21 22 2 1 2 n n nn n n nn a a a a a aA a a a                    ，其中对任意的 1≤i≤n，1≤j≤n，当 i 能整除 j 时，aij＝1；当 i 不能整除 j 时，aij＝0．设   1 2 1   n ij j j nj i t j a a a a        ． （Ⅰ）当 n＝6 时，试写出数阵 A66 并计算   6 1   j t j   ； （Ⅱ）若[x]表示不超过 x 的最大整数，求证：   1 1     n n j i nt j i        ； （Ⅲ）若     1 1   n j f n t jn    ，   1 1  n g n dxx   ，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1． 【答案】（Ⅰ） 66 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 A                    ，   6 1   14 j t j   ．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）依题意可得， 66 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 A                    ，   6 1   1 2 2 3 2 4 14 j t j         ．（Ⅱ） 由题意可知，t（j）是数阵 Ann 的第 j 列的和，可得   1   n j t j   是数阵 Ann 所有数的和．而数阵 Ann 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的 1≤i≤n，不超过 n 的倍数有 1i，2i，…， n ii      ．得 数阵 Ann 的第 i 行中有 n i      个 1，其余是 0，即第 i 行的和为 n i      ．从而得到结果．（Ⅲ）由[x] 的定义可知， 1n n n i i i      ＜ ，得 1 1 1       n n n i i i n n nni i i         ＜ ．进而   1 1 1 1  1   n n i i f ni i    ＜ ．再 考查定积分 1 1  n dxx ，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论． 【 详 解 】 （ Ⅰ ） 依 题 意 可 得 ， 66 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 A                    ．   6 1   1 2 2 3 2 4 14 j t j         ． （Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵 Ann 的第 j 列的和，因此   1   n j t j   是数阵 Ann 所有数的和． 而数阵 Ann 所有数的和也可以考虑按行相加． 对任意的 1≤i≤n，不超过 n 的倍数有 1i，2i，…， n ii      ． 因此数阵 Ann 的第 i 行中有 n i      个 1，其余是 0，即第 i 行的和为 n i      ． 所以   1 1     n n j i nt j i        ． （Ⅲ）证明：由[x]的定义可知， 1n n n i i i      ＜ ， 所以 1 1 1       n n n i i i n n nni i i         ＜ ．所以   1 1 1 1  1   n n i i f ni i    ＜ ． 考查定积分 1 1  n dxx ，将区间[1，n]分成 n﹣1 等分，则 1 1  n dxx 的不足近似值为 2 1  n i i  ， 1 1  n dxx 的 过剩近似值为 1 1 1  n i i    ． 所以 1 2 11 1 1 1      nn n i i dxi x i     ＜ ＜ ． 所以 1 1  1 n i i  ＜g（n） 1 1  n i i ＜ ． 所以 g（n）﹣1   1 1 1 1  1   n n i i f ni i    ＜ ＜ ＜g（n）+1． 所以 g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1． 【点睛】本题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属 于基础题．