数学卷·2018届山东省临沂市莒南三中高二下学期第一次月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届山东省临沂市莒南三中高二下学期第一次月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年山东省临沂市莒南三中高二（下）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3﹣i，则的值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎2．若函数f（x）=2x2+1，图象上P（1，3）及邻近上点Q（1+△x，3+△y），则=（　　）‎ A．4 B．4△x C．4+2△x D．2△x ‎3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎4．设f（x）=，则f（x）dx=（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎5．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（　　）‎ A．ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．1+ln2‎ ‎6．已知函数f（x）=x2+‎ cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（　　）‎ A．由an=2n﹣1，求出S1=12，S2=22，S3=32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn=n2‎ B．由f（x）=xcosx满足f（﹣x）=﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数 C．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，推断：椭圆=1的面积S=πab D．由（1+1）2＞21，（2+1）2＞22，（3+1）2＞23，…，推断：对一切n∈N*，（n+1）2＞2n ‎8．已知，则导函数f′（x）是（　　）‎ A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值，又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值，又有最小值的奇函数 ‎9．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）‎ ‎10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．曲线y=x3﹣2在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．135° D．150°‎ ‎12．设f（x）=，则f′（2）=（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．若复数（i是虚数单位），则z的模|z|=　　．‎ ‎14．已知物体的运动方程为s=t2+（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为　　．‎ ‎15．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=　　．‎ ‎16．有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中 ‎（1）大前提错误 ‎（2）小前提错误 ‎（3）推理形式正确 ‎（4）结论正确 你认为正确的序号为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知i为虚数单位，若复数z满足|z﹣3﹣4i|=1，求|z|的最大值．‎ ‎18．已知抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x2+bx+c的最值．‎ ‎19．对于任意正整数n，猜想2n﹣1与（n+1）2的大小关系，并给出证明．‎ ‎20．某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元、其中f（x）=a（x﹣1）+2（a＞0）；g（x）=6ln（x+b），（b＞0）已知投资额为零时，收益为零．‎ ‎（1）试求出a、b的值；‎ ‎（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值．（精确到0.1，参考数据：ln3≈1.10）．‎ ‎21．已知函数f（x）=3ax﹣2x2+lnx，a为常数．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．‎ ‎（1）当a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省临沂市莒南三中高二（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3﹣i，则的值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】先求出复数z然后可求的值．‎ ‎【解答】解：（2+i）z=3﹣i，可得z=‎ ‎∴=1+i∴=（1+i）（1﹣i）=2‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．若函数f（x）=2x2+1，图象上P（1，3）及邻近上点Q（1+△x，3+△y），则=（　　）‎ A．4 B．4△x C．4+2△x D．2△x ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】计算△y=f（1+△x）﹣f（1），进而可求．‎ ‎【解答】解：由题意，△y=f（1+△x）﹣f（1）=2（1+△x）2+1﹣3=4△x+2△2 x ‎ ‎∴==4+2△x 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；‎ ‎“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；‎ ‎“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．‎ ‎【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．‎ 故选B ‎　‎ ‎4．设f（x）=，则f（x）dx=（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成∫01f（x）dx+∫12f（x）dx，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．‎ ‎【解答】解：∫02f（x）dx ‎=∫01f（x）dx+∫12f（x）dx ‎=∫01（x2）dx+∫12（2﹣x）dx ‎=x3|01+（ 2x﹣x2）|12‎ ‎=+4﹣2﹣2+=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（　　）‎ A．ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．1+ln2‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】阴影部分E由两部分组成，矩形部分用长乘以宽计算，曲边梯形的面积，利用定积分计算．‎ ‎【解答】解：由题意，阴影部分E由两部分组成 因为函数，当y=2时，x=，所以阴影部分E的面积为+=1+=1+ln2‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．‎ ‎【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，‎ ‎∴f′（x）=x﹣sinx，‎ ‎∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，‎ 又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（　　）‎ A．由an=2n﹣1，求出S1=12，S2=22，S3=32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn=n2‎ B．由f（x）=xcosx满足f（﹣x）=﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数 C．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，推断：椭圆=1的面积S=πab D．由（1+1）2＞21，（2+1）2＞22，（3+1）2＞23，…，推断：对一切n∈N*，（n+1）2＞2n ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据归纳推理是由特殊到一般，类比推理是根据对象的相似性，推导结论，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：对于A，由an=2n﹣1，求出S1=12，S2=22，S3=32，…，推断：数列{an}的前n项和，是由特殊推导出一般性的结论，且，故正确；‎ 对于B，属于演绎推理中的三段论，故不正确；‎ 对于C，是由圆类比椭圆，由圆的面积类比椭圆的面积，故属于类比推理，故不正确；‎ 对于D，属于归纳推理，n=6时，结论不正确，故不正确 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．已知，则导函数f′（x）是（　　）‎ A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值，又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值，又有最小值的奇函数 ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】求出f′（x），利用导数可判断其单调性，通过单调性即可求出其最大最小值；再用定义可判断其奇偶性，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=x+sinx，令g（x）=x+sinx，则g′（x）=1+cosx．‎ 当x∈[﹣1，1]时，g′（x）＞0，所以f′（x）=g（x）在[﹣1，1]上单调递增，‎ 所以f′（﹣1）≤f′（x）≤f′（1），即﹣1﹣sin1≤f′（x）≤1+sin1．‎ 又f′（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f′（x），所以f′（x）是奇函数．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断．‎ ‎【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．‎ f′（x）=．‎ ‎∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，‎ ‎∴m＞1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．‎ ‎【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．‎ ‎【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．‎ ‎　‎ ‎11．曲线y=x3﹣2在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．135° D．150°‎ ‎【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】首先对函数求导，做出导函数在所给的点的导数，即过这一点的切线的斜率的值，根据倾斜角的取值范围得到结果．‎ ‎【解答】解：∵曲线y=x3﹣2，‎ ‎∴y′=x2‎ 当x=1时，切线的斜率是1，‎ 根据直线的倾斜角的取值范围，‎ ‎∴倾斜角是45°．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．设f（x）=，则f′（2）=（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的运算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ ‎∴f′（x）=（x2+1）（x2+1）′=，‎ ‎∴f′（2）==，‎ 故选：C ‎　‎ 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．若复数（i是虚数单位），则z的模|z|=　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模．‎ ‎【分析】分子分母同乘以1+2i对复数化简，整理成代数形式，再代入复数模的公式求解．‎ ‎【解答】解：由题意得， =‎ ‎==﹣1+i，‎ 则|z|==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知物体的运动方程为s=t2+（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为　　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据位移的导数是速度，求出s的导函数即速度与时间的函数，将2代入求出物体在时刻t=2时的速度．‎ ‎【解答】解：物体的运动速度为v（t）=s′=2t﹣‎ 所以物体在时刻t=2时的速度为v（2）=2×2﹣=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=　﹣4　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．‎ ‎【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），‎ 得：f′（x）=2x+2f′（1），‎ 取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），‎ 所以，f′（1）=﹣2．‎ 故f′（0）=2f′（1）=﹣4，‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎16．有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中 ‎（1）大前提错误 ‎（2）小前提错误 ‎（3）推理形式正确 ‎（4）结论正确 你认为正确的序号为　（1）（3）　．‎ ‎【考点】演绎推理的意义．‎ ‎【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．‎ ‎【解答】解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，‎ 因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，‎ 所以大前提错误，但是推理形式正确．‎ 故答案为：（1）（3）．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知i为虚数单位，若复数z满足|z﹣3﹣4i|=1，求|z|的最大值．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】由题意画出图形，然后由复数模的几何意义求得|z|的最大值．‎ ‎【解答】解：由复数模的几何意义可知 满足|z﹣3﹣4i|=1的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以（3，4）为圆心，以1为半径的圆，‎ 如图，‎ ‎∵圆心（3，4）到原点O的距离为=5，‎ ‎∴|z|的最大值为5+1=6．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎18．已知抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x2+bx+c的最值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，求出b，c的值，利用二次函数的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵y=x2+bx+c，‎ ‎∴函数的导数为f′（x）=2x+b，‎ ‎∴抛物线在点（1，2）处的切线斜率k=2+b，‎ ‎∵切线与直线x+y+2=0垂直，‎ ‎∴2+b=1，即b=﹣1，‎ ‎∵点（1，2）也在抛物线上，‎ ‎∴1+b+c=2，得c=2．‎ 即函数y=x2+bx+c=x2﹣x+2=（x﹣）2+，‎ ‎∴当x=时，函数取得最小值，函数无最大值．‎ ‎　‎ ‎19．对于任意正整数n，猜想2n﹣1与（n+1）2的大小关系，并给出证明．‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】令n=1，2，3，分别计算2n﹣1与（n+1）2的值，根据规律进行猜想，使用作差法进行证明．‎ ‎【解答】解：当n=1时，2n﹣1=1，（n+1）2=4，‎ 当n=2时，2n﹣1=3，（n+1）2=9，‎ n=3时，2n﹣1=5，（n+1）2=16，‎ 猜想：2n﹣1＜（n+1）2．‎ 证明：∵（n+1）2﹣（2n﹣1）=n2+2n+1﹣2n+1=n2+2＞0．‎ ‎∴（n+1）2＞2n﹣1，‎ 即2n﹣1＜（n+1）2．‎ ‎　‎ ‎20．某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元、其中f（x）=a（x﹣1）+2（a＞0）；g（x）=6ln（x+b），（b＞0）已知投资额为零时，收益为零．‎ ‎（1）试求出a、b的值；‎ ‎（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值．（精确到0.1，参考数据：ln3≈1.10）．‎ ‎【考点】函数的表示方法；函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）由f（0）=0，g（0）=0求出a，b；（2）分配资金构造新的函数s（x）=2（5﹣x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）﹣2x+10（0≤x≤5），再用导数法研究其单调性，从而得出最值．‎ ‎【解答】解：（1）根据问题的实际意义，可知f（0）=0，g（0）=0‎ 即：，‎ ‎（2）由（1）的结果可得：f（x）=2x，g（x）=6ln（x+1）依题意，可设投入B商品的资金为x万元（0≤x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，若所获得的收入为s（x）万元，则有s（x）=2（5﹣x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）﹣2x+10（0≤x≤5）∵s（x）=‎ 当x＜2时，s′（x）＞0；当x＞2时，s′（x）＜0；‎ ‎∴x=2是s（x）在区间[0，5]上的唯一极大值点，此时s（x）取得最大值：‎ S（x）=s（2）=6ln3+6≈12.6（万元），此5﹣x=3（万元）‎ 答该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得12.6万元的最大收益．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=3ax﹣2x2+lnx，a为常数．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间 ‎（2）先求函数的导函数f′（x），将函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数问题转化为则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立问题，进而将不等式参变分离，转化为求函数最值问题即可 ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=3x﹣2x2+lnx，则f（x）的定义域是（0，+∞）‎ ‎∵．‎ ‎∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；‎ ‎∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．‎ ‎（2）∵．‎ 若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，‎ 则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立．‎ ‎∴，或在区间[1，2]上恒成立．‎ 即，或在区间[1，2]上恒成立．‎ 设h（x）=，‎ ‎∵h′（x）=4+＞0‎ ‎∴h（x）=在区间[1，2]上是增函数．‎ h（x）max=h（2）=，h（x）min=h（1）=3‎ ‎∴只需3a≥，或3a≤3．‎ ‎∴a≥，或a≤1．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．‎ ‎（1）当a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）当时，直接对f（x）求导，解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）根据函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数可确定a≤，又最小值为，从而可确定a的取值范围；‎ ‎（3）不等式f（x）﹣x≤0可化简为ax2+ln（x+1）﹣x≤0，分情况讨论，a=0，a＜0和a＞0时ax2+ln（x+1）﹣x≤0是否恒成立即可．‎ ‎【解答】解：（1）当时，，‎ ‎∴‎ 解f′（x）＞0得﹣1＜x＜1；‎ 解f′（x）＜0得x＞1．‎ ‎∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞）．‎ ‎（2）因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，‎ ‎∴对∀x∈[1，+∞）恒成立 即a≤对∀x∈[1，+∞）恒成立 ‎∴a≤﹣．‎ ‎（3）∵当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，‎ 即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，‎ 设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0），‎ 只需g（x）max≤0即可 由 ‎①当a=0时，，‎ 当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ ‎∴g（x）≤g（0）=0成立 ‎②当a＞0时，令g′（x）=0，‎ ‎∵x≥0，‎ ‎∴解得 ‎1）当，即时，在区间（0，+∞）上g′（x）＞0，‎ 则函数g（x）在（0．+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（x）在[0，+∞）上无最大值，不合题设．‎ ‎2）当时，即时，在区间上g′（x）＜0；‎ 在区间上g′（x）＞0．‎ ‎∴函数g（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 同样g（x）在[0，+∞）无最大值，不满足条件．‎ ‎③当a＜0时，由x≥0，故2ax+（2a﹣1）＜0，‎ ‎∴＜0，‎ ‎∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，‎ ‎∴g（x）≤g（0）=0成立，‎ 综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．‎