福建省南平市建瓯市芝华中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

福建省南平市建瓯市芝华中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

建瓯芝华中学2019-2020学年高二上期数学期中试卷 一、选择题，每题只有一个答案符合要求.‎ ‎1. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B．‎ 考点：几何概型．‎ ‎2.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 选取两支彩笔方法有种，含有红色彩笔的选法为种，‎ 由古典概型公式，满足题意的概率值为.‎ 本题选择C选项.‎ 考点：古典概型 名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.‎ ‎3.某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（　　）‎ A. 20，2 B. 24，4 C. 25，2 D. 25，4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由频率分布直方图可知，组距为的频率为，由茎叶图可知的人数为，设参加本次考试的总人数为，则所以，根据频率分布直方图可知内的人数与的人数一样，都是，故选C.‎ ‎4.已知双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出椭圆的焦点和，所以双曲线方程可设为，所以其渐近线方程为，由题意得双曲线的，再根据其离心率，求出，根据，得到，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案.‎ ‎【详解】因为椭圆，其焦点为和，‎ 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，‎ 所以设双曲线的方程为，则其渐近线方程为，‎ 且双曲线中 因为双曲线的离心率，所以，‎ 又因双曲线中 所以，即，‎ 所以双曲线的渐近线方程为 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求，双曲线的渐近线，属于简单题.‎ ‎5.设命题 (其中为常数)，则“”是“命题为真命题”（ ）‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题p：x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数），由△＝16﹣8m≤0，解得m范围即可判断出结论．‎ ‎【详解】若命题为真，则对任意，恒成立，所以，即.因为，则“”是“命题为真”的必要不充分条件，‎ 选.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ‎．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知,‎ ‎， 故选C.‎ ‎7.若命题p：函数的单调递增区间是，命题q：函数的单调递增区间是，则（ ）‎ A. 是真命题 B. 是假命题 C. 是真命题 D. 是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数的单调性可判断命题p为真，利用增+增为增结合函数的定义域可得增区间进而知命题q为假命题，从而可得解.‎ ‎【详解】命题p：函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递增，命题p为真；‎ 命题q：函数的定义域为，且和为增函数，所以函数的增区间为和，所以命题q为假命题.‎ 所以是真命题.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性及复合命题的真假判断，注意区别在区间上单调递增和增区间的区间，属于基础题.‎ ‎8.如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量的线性表示，用，，表示出即可．‎ ‎【详解】解：是的中点，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题目．‎ ‎9.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，‎ ‎∠=，则C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，‎ ‎ 故离心率e＝选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎10.正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立合适的空间直角坐标系，求出和平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即为与的夹角的余弦值的绝对值，利用夹角公式求出即可.‎ ‎【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 有图知，‎ 由题得、、、.‎ ‎，，.‎ 设平面的一个法向量，‎ 则，，‎ 令，得，，‎ ‎.‎ 设直线与平面所成的角为，则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查线面角的求解，利用向量法可简化分析过程，直接用计算的方式解决问题，是基础题.‎ ‎11.已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）‎ A. 5 B. 8 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义可知到准线的距离等于点到焦点的距离，进而问题转化为求点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当，，三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小,进一步求的最小值，为圆心到焦点的距离减去圆的半径．‎ ‎【详解】设圆心为，则，半径，设抛物线的焦点，据抛物线的定义知，‎ 点到点的距离与点到抛物线准线距离之和为 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．‎ ‎12.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积．‎ ‎【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，‎ 的周长为，‎ 由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，‎ ‎，，直线的方程为，‎ 即代入整理得，‎ 解得或（舍），所以点的纵坐标为，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定点的坐标是关键．‎ 二、填空题 ‎13.命题：的否定为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定解答.‎ ‎【详解】由题全称命题的否定为特称命题，所以的否定为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14.在直三棱柱中,若 ，则异面直线与所成的角等于_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系分别求得，，再利用 即可得到所求角大小。‎ ‎【详解】三棱柱为直三棱柱,且 ‎ 以点 为坐标原点，分别以，，为 轴建立空间直角坐标系 设，则 ‎ , ,,‎ ‎，‎ 又 异面直线所成的角在 ‎ ‎ 异面直线与所成的角等于 。‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题。‎ ‎15.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线方程______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合 为弦的中点，求出弦所在直线的斜率，即可得到直线的方程．‎ ‎【详解】解：设直线与椭圆的交点为，，为的中点，‎ 所以，，‎ 又、两点在椭圆上，则，，‎ 两式相减得，‎ 所以，即，‎ 故所求直线方程为，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎16.已知是椭圆的左、右顶点，是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意可得坐标分别为，设，则，则，所以，即，从而，则 三、解答题.‎ ‎17.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线平行于直线，且过点，若直线与椭圆有公共点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的方程为，根据已知列方程组，由此能求出椭圆的方程； （2）平行于的直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根的判别式能求出的取值范围．‎ ‎【详解】解（1）依题设椭圆为，且右焦点 ‎，‎ 解得，又，‎ ‎，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设为，由 消去得.‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线在轴上的截距的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．‎ ‎18.如图，四边形为正方形，平面，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：平面 ‎【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立合适的空间直角坐标系，求出，，的坐标，利用数量积为零证明线线垂直，进而证明线面垂直；‎ ‎（2）求出平面的一个法向量，证明平面的一个法向量与垂直，即可证明平面.‎ ‎【详解】解：如图，以为坐标原点，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.‎ ‎（1）依题意有，，，‎ 则，，，‎ 所以，，‎ 即，且.‎ 故平面；‎ ‎（2）根据题意，，，，‎ 故有，，‎ 所以为平面的一个法向量.‎ 又因，且，‎ 即，且平面，‎ 故有平面.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量法证明线面垂直，线面平行，考查学生的计算能力，是中档题.‎ ‎19.已知抛物线的焦点为，若过点且斜率为1的直线与抛物线相交于，两点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线，且在轴上的截距为2，与抛物线交于，两点，求面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的定义以及韦达定理和弦长列方程可解得． （2）由条件可得直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式求出弦的长，再求出点到直线的距离，利用三角形面积公式可得结果．‎ ‎【详解】解：（1）由题可知，则该直线方程为，代入，‎ 得.‎ 设，，‎ 则有.‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 解得，‎ 抛物线的方程为.‎ ‎（2）直线 所以直线的斜率为-1，‎ 又直线在轴上的截距为2，‎ 直线方程为，‎ ‎，‎ ‎,，‎ ‎，‎ 点到直线的距离为，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了求过焦点的弦的长度和不过焦点的弦的长度，属中档题．‎ ‎20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎（1）证明：PA⊥BD；‎ ‎（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题解析：‎ ‎（1）∵∠DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而BD2+AD2=AB2‎ 故BD⊥AD，即BD⊥平面PAD，故PA ⊥BD ‎（2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正半轴建立空间坐标系 则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）‎ 设平面PAB的法向量，则 ‎，解得 平面PBC的法向量，则 ‎，解得 考点：本题考查线线垂直 二面角 点评：解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性 ‎21.设A，B分别为双曲线 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）t＝4，点D的坐标为(4，3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由双曲线的实轴长得a的值，再由焦点到渐近线的距离可得＝，解方程可得双曲线的方程；‎ ‎（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，由向量坐标化可得：x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，再由直线与双曲线联立得x2－16x＋84＝0，结合坐标关系利用韦达定理即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意知a＝2.‎ ‎∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0.‎ ‎∴＝.‎ 又c2＝a2＋b2＝12＋b2，∴解得b2＝3.‎ ‎∴双曲线的方程为.‎ ‎(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0.‎ 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.‎ ‎∴∴‎ 由，得(16，12)＝(4t,3t)．‎ ‎∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的方程的求解及直线与双曲线的位置关系，向量坐标化，主要是通过直线与双曲线联立利用韦达定理求解.‎ ‎22.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即，，又因为，利用线面垂直的判定定理可以得出平面，又平面，利用面面垂直的判定定理证得平面平面；‎ ‎（2）结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面的法向量，设与平面所成角为，利用线面角的定义，可以求得，得到结果.‎ ‎【详解】（1）由已知可得，，，又，所以平面.‎ 又平面，所以平面平面；‎ ‎（2）作，垂足为.由（1）得，平面.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）可得，.又，，所以.又，，故.‎ 可得.‎ 则 为平面的法向量.‎ 设与平面所成角为，则.‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.‎ ‎ ‎