广东省梅州市2020届高三6月总复习质检（二）理科数学试题

广东省梅州市2020届高三6月总复习质检（二）理科数学试题

梅州市高三总复习质检试卷 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的。‎ ‎1．复数，则其共轭复数 A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i ‎2．已知集合则=‎ A．¥ B． C． D．‎ ‎3．在中的中点，则 ‎ B．‎ ‎ D.‎ ‎4．以下四个命题：‎ ‎①若为假命题，则p,q均为假命题；‎ ‎②对于命题则Øp为：；‎ ‎③是”函数在区间上为增函数”的充分不必要条件;‎ ‎④为偶函数的充要条件是 其中真命题的个数是 A．1 B．2C．3D．4‎ ‎5．2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的 估计值为 A．300 B．450 C．600 D．750‎ ‎6.展开式的常数项为 A．120 B．160 C．200 D．240‎ ‎7．已知在各项均不为零的等差数列数列是等比数列，‎ 且则等于 A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎8．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 A．2π B．4π C．16π D．不存在 ‎9．若有下列四个不等式：；③；‎ ‎④则下列组合中全部正确的为 A．①② B．①③ C．①④ D．②③‎ ‎10．已知直线：2x-y+3=0和直线：x=-1，抛物线上的点P到直线和直线的距离之和的最小值是 A． B．2 C．‎ ‎11．祖暅是南北朝时代的伟大数学家，五世纪末提出几何体体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现在有四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为 A．①② B．①③ D．①④‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，如果相异两点都在函数的图象上，那么称A，B为函数的一对关于原点成中心对称的点对(A，B与B，A为同一对).函数图象上关于原点成中心对称的点对有 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分 ‎13．已知数列的前n项和为则 ‎14．曲线在点处的切线方程为 ‎15．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0C的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，则该食品在33C的保鲜时间是 ‎16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO、PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M、N．若且则双曲线C的离心率为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个考生都必须作答；第22-23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题：60分 ‎17．(12分)‎ 已知a，b，c分别为说角△ABC三个内角A，B，C的对边，满足 ‎(1)求A；‎ ‎(2)若b=2，，求面积的取值范围。‎ ‎18．(12分)‎ 如图中、C分别是PA、PD的中点，将//BC折起连结PA、PD，得到多面体PABCD。‎ ‎(1)证明：在多面体PABCD中；‎ ‎(2)在多面体PABCD中，当时，求二面角B-PA-D的余弦值。‎ ‎19．(12分)‎ 某市《城市总体规划（‎ 年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈“指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为、良好小区(指数为0.4-0.63、中等小区(指数为0.2~0.4)以及待改进小区(指数为0-0.2)4个等级．下面是三个小区4个方面指标值的调查数据：‎ 注：每个小区”15分钟社区生活圈”指数其中、、、为该小区四个方面的权重，为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为之间的一个数值)‎ 现有100个小区的“15分钟社区生活圈“指数数据，整理得到如下频数分布表：‎ ‎(1)分别判断A、B、C三个小区是否是优质小区，并说明理由；‎ ‎(2)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ζ，求ζ的分布列及数学期望。‎ ‎20．(12分)‎ 已知两动圆：：，把它们的公共点P的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上相异的两点A，B满足：×=0．‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标;‎ ‎(3)求面积S的最大值.‎ ‎21．(12分)‎ 已知函数 ‎(1)当时，求证：;‎ ‎(2)当f(x)有三个零点时，求a的取值范围.‎ ‎(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)‎ 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为 ‎(1)求直线和圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若点在圆C上，求的取值范围．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲](10分)‎ 已知函数 ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围。‎ 梅州市高三总复习质检试题（2020、6）‎ 理科数学参考答案与评分意见 一、题选择：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A C D A D B D D B A D C 二、填空题:每题5分，满分20分.‎ ‎13.. 14. . 15. 6. 16.. ‎ ‎17.(12分) ‎ 解:(1)由已知及正弦定理得, ……………………2分 由余弦定理可得 ……………………4分 又 ……………………6分 ‎(2) 由已知及正弦定理得, ……………………7分 由得 ……………………8分 ‎ ……………………9分 ‎△是锐角三角形,得得 ……………………10分 ‎ ……………………11分 ‎ ‎ 所以△面积的取值范围是 ……………………12分 ‎18.(12分) ‎ ‎(1)证明: △中,因为分别是的中点,‎ ‎ 所以 ……………………1分 所以多面体中, ……………………2分 平面. ……………………3分 平面, ……………………4分 ‎(2)依题意可得, 直角△中,得又 所以, ……………………5分 由(1)知, 平面 ……………………6分 以为坐标原点,分别以为轴,‎ 建立如图的坐标系. ……………………7分 ‎ 则, ……………………8分 得……………………9分 设平面的一个法向量分别是,‎ 则可取. ……………………10分 可取. ……………………11分 ‎. ……………………12分 所以二面角的余弦值为0.‎ ‎19.(12分) ‎ 解：（1）小区的指数，‎ ‎，所以小区不是优质小区； ……………………1分 小区的指数，‎ ‎，所以小区是优质小区； ……………………2分 小区的指数，‎ ‎，所以小区不是优质小区； ……………………4分 （2） 依题意，抽取个小区中，共有优质小区个，‎ 其它小区个. ……………………6分 依题意的所有可能取值为、、. ……………………7分 ‎，，‎ ‎. ……………………10分 则的分布列为：‎ ‎ ……………………11分 ‎ . ……………………12分 ‎20. (12分)‎ 解：（1）两动圆的公共点为，则有：．‎ 由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，， ……………………2分 所以曲线的方程是：. ……………………4分 ‎（2）由题意可知：，设，，‎ 当的斜率存在时，设直线，联立方程组：‎ ‎，把②代入①得：，‎ ‎③，④， ……………………5分 因为，所以有， ……………………6分 ‎，把③④代入整理：‎ ‎，化简得：‎ ‎，或（舍）.‎ 当时 , 成立. ‎ 此时直线过点. ……………………7分 当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：,过定点.‎ 综上，直线恒过定点. ……………………8分 ‎（3）面积， ……………9分 由第（2）小题的③④代入，整理得：， ……………………10分 方法一:‎ ‎. ……………………11分 时,在上递减,时,在上递增,‎ 时,有最大值 所以面积的最大值为． ……………………12分 方法二:‎ ‎,‎ 令 ……………………11分 时,有最大值.此时时,‎ 所以面积的最大值为． ……………………12分 方法三:‎ 因在椭圆内部，所以，可设，‎ ‎， ……………………11分 得 此时,． ……………………12分 所以面积的最大值为． ‎ ‎21.(12分)‎ ‎（1）证明：. ……………………1分 令，，. ……………………‎ ‎2分 ‎， ……………………3分 在上单调递减，.…………………4分 所以原命题成立.‎ ‎（2）由有三个零点可得,‎ 有三个零点. ‎ ‎. ……………………5分 ①时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意； ……………………6分 ‎②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意； …………………7分 ‎③当时，记的两个零点为，，‎ 不妨设，且. ……………………8分 时，；时，；时,，‎ 观察可得，且，当时，,单调递增，‎ 所以有，即， ……………………9分 时，，单调递减，时,，‎ 单调递减，‎ 由（1）知，，且，所以在上有一个零点，……………10分 设 则 所以也是的零点 . ……………………11分 综上可知有三个零点.‎ 即当有三个零点时，的范围是.‎ ‎……………………12分 ‎22.(10分)‎ 解：（1）由题意，直线的参数方程为（为参数），‎ 消去参数，得直线的直角坐标方程为， ……………………2分 又由圆的极坐标方程为，即，………………4分 又因为，，，‎ 可得圆的直角坐标方程为. ……………………5分 ‎（2）因为点在圆上，可设(是参数)， ………………7分 所以. ……………………9分 因为，所以的取值范围是. ……………………10分 ‎23.(10分)‎ 解：（1）,‎ 或或. ……………………3分 或或.‎ ‎. ……………………5分 即不等式的解集为. ……………………6分 ‎（2） 即 得 ……………………7分 ‎ ‎ ‎……………………9分 所以实数的取值范围是 ……………………10分