2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示
www.ks5u.com
第1节 函数及其表示
考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
知 识 梳 理
1.函数与映射的概念
函数
映射
两个集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
[常用结论与微点提醒]
1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.
2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.
3.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.
4.注意以下几个特殊函数的定义域
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)f(x)＝＋是一个函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.
(3)错误.f(x)＝＋中x不存在.
(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(老教材必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].
答案 B
3.(新教材必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A.y＝()2 B.y＝＋1
C.y＝＋1 D.y＝＋1
解析 对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系分别相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域x∈R不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数.
答案 B
4.(2020·厦门质检)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝( )
A.0 B. C.1 D.2
解析 由题意，知f(1)＝12－2×1＝－1，所以f(f(1))＝f(－1)＝2－1＝.
答案 B
5.(2020·九江联考)函数f(x)＝的定义域是________.
解析 依题意，得解得0
0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，
所以函数g(x)的定义域为(0，1).
(2)要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z).
∴－1≤x≤1且＋kπ1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1，
所以即∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，
得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
答案 (1)lg(x>1) (2)x2－x＋2 (3)＋
规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
【训练2】 (1)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
(2)若f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝______.
解析 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋c＝0，且有两个相等实根.
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
答案 (1)x2＋2x＋1 (2)3x
考点三 分段函数 多维探究
角度1 分段函数求值
【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f[f(15)]的值为________.
解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝
所以f(15)＝f(－1)＝，
因此f[f(15)]＝f＝cos ＝.
答案
角度2 分段函数与方程、不等式问题
【例3－2】 (1)(2020·郑州联考)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为( )
A.(－∞，2] B.(－∞，0]∪(1，2]
C.[0，2] D.(－∞，0]∪[1，2]
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为________.
解析 (1)当x≥1时，不等式f(x)≤1为log2x≤1，1≤x≤2；当x<1时，由≤1，得x≤0.
综上，f(x)≤1的解集为{x|x≤0或1≤x≤2}.
(2)∵f(1)＝2，且f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2.
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3；
当a>0时，f(a)＝2a>0，此时，f(a)≠－2.
综上可知a＝－3.
答案 (1)D (2)－3
规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
【训练3】 (1)(角度1)(2020·佛山检测)已知函数f(x)＝的图象经过点(3，0)，则f(f(2))＝( )
A.2 020 B. C.2 D.1
(2)(角度2)(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝
则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是______.
(3)(角度2)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)因为函数f(x)的图象过点(3，0)，所以log3(3＋m)－1＝0，解得m＝0.
所以f(2)＝log32－1<0，故f(f(2))＝.
(2)当x≤0时，f(x)＋f＝(x＋1)＋，
原不等式化为2x＋>1，解得－1，该不等式恒成立，
当x>时，f(x)＋f＝2x＋2x－，
又x>时，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立，
综上可知，不等式的解集为.
(3)当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则解得0≤a<.
答案 (1)B (2) (3)
A级 基础巩固
一、选择题
1.下列所给图象是函数图象的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 图象①关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象.
答案 B
2.(2020·太原一中月考)设函数f(x)＝
若f(m)＝3，则实数m的值为( )
A.－2 B.8 C.1 D.2
解析 当m≥2时，m2－1＝3，解得m＝2或m＝－2(舍)；当00.
当00，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 当a＝0时，显然不成立.
当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2.
当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于－a2－2a<0，解得a<－2.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
答案 D
二、填空题
9.函数f(x)＝ln＋的定义域为________.
解析 要使函数f(x)有意义，
则⇒⇒02时，sin x∈[－1，1]，∴f(x)＝3sin x∈[－3，3].
故f(x)的值域是(－5，3].
答案 (－5，3]
11.已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________.
解析 令x＝2，可得f＋f(－2)＝4，①
令x＝－，可得f(－2)－2f＝－1②
联立①②解得f(－2)＝.
答案
12.设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________.
解析 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.
故x的集合为.
答案
B级 能力提升
13.(2019·郑州检测)高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y
＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A.{0，1，2，3} B.{0，1，2}
C.{1，2，3} D.{1，2}
解析 f(x)＝＝＝1＋，
∵2x>0，∴1＋2x>1，0<<1，
则0<<2，1<1＋<3，即1m成立，则m的取值范围为________.
解析 f(x)＋3f＝x＋－2log2x，①
以代替x得f＋3f(x)＝＋3x＋2log2x，②
联立①②消去f，得f(x)＝x＋log2x，
则x∈[2，4]时，f(x)＝x＋log2x是增函数，
∴f(x)max＝f(4)＝6，因此m<6.
答案 (－∞，6)
16.(多填题)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
解析 由题意知f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
所以f[f(－3)]＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；
当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.
∴f(x)的最小值为2－3.
答案 0 2－3
C级 创新猜想
17.(组合选择题)具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：
①y＝x－；②y＝ln ；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①
解析 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln ，则f＝ln ≠－f(x)，不满足；
对于③，f＝
即f＝
则f＝－f(x).
所以满足“倒负”变换的函数是①③.
答案 B
