2018届二轮复习（文科数学）考前冲刺巧用12个解题技法学案（全国通用）
巧用12个解题技法
技法一 特例法
在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等) 确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐演算的过程,提高了解题的速度.
例1 (1)数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=( )
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n D.1+n+ln n
(2)已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数,如果f(x)与g(x)仅当x=0时的函数值为0,且f(x)≥g(x),那么下列情形不可能出现的是( )
A.0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值
B.0是f(x)的极小值,也是g(x)的极小值
C.0是f(x)的极大值,不是g(x)的极值
D.0是f(x)的极小值,不是g(x)的极值
(3)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a、b、c成等差数列,则= .
答案 (1)A (2)C (3)
解析 (1)不妨取n=1,则有a2=a1+ln 2=2+ln 2.选项A,a2=2+ln 2,合题意,但不能就此下结论,认定这个是答案;选项B,a2=2+ln 2,也合题意;选项C,a2=2+2ln 2,不合题意,排除;选项D,a2=3+ln 2,不合题意,排除.再取n=2,则有a3=a2+ln=2+ln 3,选项B,a3=2+2ln 3,不合题意,排除B,故选A.
(2)取f(x)=-x2与g(x)=-2x2,适合条件,且0是f(x)与g(x)的极大值,故A可能出现,排除A;取f(x)=2x2与g(x)=x2,适合条件,则0是f(x)与g(x)的极小值,故B可能出现,排除B;取f(x)=2|x|与g(x)=x满足题意,且0是f(x)的极小值,但不是g(x)的极值,故D可以出现,排除D,所以选C.
(3)令a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形,cos A=,cos C=0,从而所求值为.
▲方法点睛 (1)应用特例法的关键在于确定选项的差异性,利用差异性选取一些特例 检验选项是否与题干对应,从而排除干扰选项.
(2)填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件.
跟踪集训
1.(1)函数f(x)=cos x·log2|x|的图象大致为( )
(2)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )
A.[-x]=-[x] B.=[x]
C.[2x]=2[x] D.[x]+=[2x]
(3)如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=( )
A.1 B.2 C. D.
(4)AD,BE分别是△ABC的中线,若||=||=1,且与的夹角为120°,则·= .
技法二 估算法
估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.
例2 (1)若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
(2)已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的二面角都是60°,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面积为( )
A.12 B.24 C.6 D.18
(3)若M为不等式组
表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过M中的那部分区域的面积为( )
A. B.1 C. D.2
答案 (1)A (2)B (3)C
解析 (1)由指数函数的性质可知y=2x在R上单调递增,而0<0.5<1,所以a=20.5∈(1,2).
由对数函数的性质可知y=logπx,y=log2x均在(0,+∞)上单调递增,而1<3<π,所以b=logπ3∈(0,1);因为sin∈(0,1),所以c=log2sin<0,故a>b>c.
(2)若底面三角形的边长都是8,则底面积为×82=16,这个面积当然比原 大了一点点,再用射影面积公式求出侧面积为32,四个选项只有B选项的24与之最接近,选B.
(3)动直线x+y=a扫过M中的那部分区域如图中阴影部分所示.
阴影部分的面积比1大,比S△OAB=×2×2=2小,故选C.
▲方法点睛 估算法可以省去很多推导过程和比较复杂的计算,节省时间,是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.但要注意估算也要有依据,如本例(1)是根据指数函数与对数函数的单调性估计,从而比较三者的大小,其实质就是找一个中间值进行比较.本例(2)可以先求三角形ABC的面积为12,再利用射影面积公式求出侧面面积为24;你也可以先求出三角形的面积为12,之后求出P在底面的射影到各侧面的距离,都是三棱锥P-ABC的高的一半,再利用等体积法求得结果.
跟踪集训
2.(1)已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的表面积是( )
A.π B.π C.4π D.π
(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈恒成立,则φ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
技法三 图解法(数形结合法)
数形结合法是一个将数学问题中数与形两个方面相互联系的一种思想方法.在解答选择题的过程中,可以先根据题意作出草图,然后参照图形的形状、位置、性质,综合所有的特征得出结论.
例3 (1)已知定义在R上的函数f(x),当x∈[0,2]时, f(x)=8(1-|x-1|),且对于任意的实数x∈[2n-2,2n+1-2](n∈N ,且n≥2),都有f(x)=f,若函数g(x)=f(x)-logax有且只有三个零点,则a的取值范围为( )
A.[2,10] B.[,]
C.(2,10) D.(,)
(2)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值等于( )
A. B.
C. D.1
(3)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为 .
答案 (1)D (2)A (3)
解析 (1)f(x)的图象如图所示,易得a>1,依题意得∴
(a-1)x的解集为A,且A⊆{x|0f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在x>0时, f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2 015型增函数”,则实数a的取值范围是 .
技法四 换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起 ,隐含的条件显露出 ,或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.
例4 (1)函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
(2)已知实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则+的值为 .
答案 (1)A (2)
解析 (1)采用换元法.f(x)=cos2x-2cos2=cos2x-cos x-1,令t=cos x,t∈[-1,1],原函数可以看作g(t)=t2-t-1,t∈[-1,1].其图象的对称轴为t=,对于g(t)=t2-t-1,当t∈时,g(t)为减函数,当t∈时,g(t)为增函数,当x∈时,t=cos x为减函数,且t∈,∴原函数在上单调递增,故选A.
(2)由S=x2+y2联想到cos2α+sin2α=1,于是进行三角换元,设将其代入4x2-5xy+4y2=5中得4S-5Ssin αcos α=5,解得S=.
∵-1≤sin 2α≤1,
∴3≤8-5sin 2α≤13,
∴≤≤,
∴+=+==.
▲方法点睛 换元法的实质就是利用变量的替换将其转化为基本初等函数在给定区间上的最值、范围等问题.换元要注意“元”取值范围的限制,保持换元之后函数取值的等价性;若已知条件中有定义域的限制,要利用三角函数的性质确定“元”的取值范围,不要一见sin x就有-1≤sin x≤1,要根据x的范围确定.
跟踪集训
4.(1)函数f(x)=(0≤x≤2π)的值域是( )
A. B.
C. D.
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其中b>a,且对任意x∈R都有f(x)≥0,则M=的最小值为( )
A. B.
C. D.
(3)在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是椭圆+y2=1上的一个动点,则S=x+y的最大值为 .
技法五 构造法
构造法是指利用数学的基本思想,经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法的内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质 研究另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等.
例5 (1)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f '(x),满足f '(x)n B.m2+ D.m,n的大小关系不确定
答案 (1)B (2)A
解析 (1)因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.所以f(0)=f(4)=1.
设g(x)=(x∈R),
则g'(x)==.
又f '(x)0.故选B.
(2)由不等式可得-0,
故函数f(x)在(2,e)上单调递增.
因为f(n)b>0).
由于e==,所以=,即a=2b.
故椭圆的方程为+=1.
又A在椭圆上,所以+=1,
解得b2=1.
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由题图可知A=2,P(x1,-2),Q(x2,2),所以|PQ|===2.
整理得|x1-x2|=2,所以其最小正周期T=2|x1-x2|=4,即=4,解得ω=.
又函数图象过点(0,-),
所以2sin φ=-,即sin φ=-.
又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.
▲方法点睛 待定系数法主要用 解决已经定性的问题,关键是依据已知条件正确列出等式或方程(组).
跟踪集训
6.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=21,S5=65,则Sn= .
(2)已知函数y=的最大值为7,最小值为-1,则此函数的解析式为 .
技法七 分离参数法
分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程.该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题.但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或范围的情况.
例7 已知函数f(x)=(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若∀x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,求实数a的取值范围.
解析 (1)由已知,得f '(x)=,
当a≤-时,x2-2x-2a≥0,故f '(x)≥0,
∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
∴当a≤-时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.
当a>-时,令x2-2x-2a=0⇒x1=1-,x2=1+,
列表:
x
(-∞,1-)
(1-,1+)
(1+,+∞)
f '(x)
+
-
+
f(x)
↗
↘
↗
由表可知,当a>-时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).
(2)∵f(x)>-1⇔>-1⇔2a>x2-ex,
∴由条件知,2a>x2-ex∀x≥1恒成立.
令g(x)=x2-ex,h(x)=g'(x)=2x-ex,
则h'(x)=2-ex,
当x∈[1,+∞)时,h'(x)=2-ex≤2-e<0,
∴h(x)=g'(x)=2x-ex在[1,+∞)上单调递减,
∴h(x)=2x-ex≤2-e<0,即g'(x)<0,
∴g(x)=x2-ex在[1,+∞)上单调递减,
∴g(x)=x2-ex≤g(1)=1-e,
故f(x)>-1在[1,+∞)上恒成立,只需2a>g(x)max=1-e,
∴a>,即实数a的取值范围是.
▲方法点睛 应用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题,关键在于准确分离参数,然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化,如果参数的系数符号为负号,则分离参数时应注意不等号的变化,否则就会导致错解.
跟踪集训
7.已知函数f(x)=ln x+x2-(a+1)x.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2,求f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,<恒成立,求实数a的取值范围.
技法八 整体代入法
整体代入法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将两数或多个数之和的表达式当成一个整体 处理,从而建立已知和所求的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值时,可以避免烦琐的求解过程,减少计算量.该种方法适用于等差、等比数列中求连续几项和的有关计算.
例8 等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案 C
解析 解法一:设等比数列{an}的公比为q,
则a5=a1q4,a7=a3q4,所以q4===.
又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8×=2,
a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8×=1,
所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.
解法二:因为{an}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),
故a9+a11===2.
同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,
所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),
故a13+a15===1.
所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.
▲方法点睛 整体代入法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系.
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8.(1)若等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=30,则a5=( )
A.54 B.27 C.81 D.48
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )
A.5 B.7 C.6 D.4
技法九 割补法
割补法主要是针对平面图形或空间图形所采用的一种几何方法,其主要思想是把不规则图形(几何体)转化为规则图形(几何体),这种方法常常用 求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.
例9 (1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
(2)已知0x2的区域内,则->,
整理得(2k+1)(6k2-2k+1)<0,解得k<-.
因此当k<-时,抛物线y=x2上存在两点关于直线y=k(x-3)对称,于是当k≥-时,抛物线y=x2上不存在两点关于直线y=k(x-3)对称.
所以实数k的取值范围为.故选D.
(2)f '(x)=2ax-1+.
①若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,则f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+≥0,得a≥.( )
令t=,因为x∈(1,2),所以t=∈.
设h(t)=(t-t2)=-+,t∈,显然函数y=h(t)在区间上单调递减,
所以h(1)4πr2=π.
(2)A 因为函数f(x)的最小值为-2+1=-1,由函数f(x)的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π可得,该函数的最小正周期为T=π,所以=π,解得ω=2.
故f(x)=2sin(2x+φ)+1.
由f(x)>1,可得sin(2x+φ)>0.
又x∈,
所以2x∈.
对于选项B,D,若取φ=,
则2x+∈,
在上,sin(2x+φ)<0,不合题意;
对于选项C,若取φ=,则2x+∈,
在上,sin(2x+φ)<0,不合题意.选A.
技法三 图解法(数形结合法)
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3.(1)D 作出函数y=|lox|的图象,如图所示,由y=0,解得x=1,由y=2,解得x=4或x=.所以区间[a,b]的长度b-a的最小值为1-=.
(2)答案 [2,+∞)
解析 根据题意作函数y=和函数y=(a-1)x的图象(如图所示),从图上容易得出实数a的取值范围是a∈[2,+∞).
(3)答案
解析 由题意得,当x>0时, f(x)=
①当a≥0时,函数f(x)的图象如图(1)所示,考虑极大值f(-a)=2a,令x-3a=2a,得x=5a.
所以只需满足5a-(-a)=6a<2 015,即0≤a<.
②当a<0时,函数f(x)的图象如图(2)所示,且f(x)为增函数,因为x+2 015>x,所以满足f(x+2 015)>f(x).
综上可知,实数a的取值范围是.
技法四 换元法
跟踪集训
4.(1)C 令=t(1≤t≤3),
则sin2x=.
当0≤x≤π时,sin x==,
=
=≤=,
当且仅当t=时取等号,即当0≤x≤π时, f(x)≤;
同理可得当π0,b2-4ac≤0,即c≥,
因为b>a,所以M=≥=.
令=t,则t>1,于是M≥==(t-1)+·+≥+,
当且仅当t-1=,即b=(1+)a,c==a时等号成立.
所以M=的最小值为.故选D.
(3)答案 2
解析 +y2=1⇔+y2=1,
利用三角换元解决.令=cos θ,y=sin θ,则x=cos θ,
故可设动点P的坐标为(cos θ,sin θ),其中0≤θ≤2π.
因此S=x+y=cos θ+sin θ
=2=2sin,所以当θ=时,S取得最大值,为2.
技法五 构造法
跟踪集训
5.(1)答案 a>b>c
解析 令f(x)=ln x-x,则f '(x)=-1=.
当00,即函数f(x)在(0,1)上是增函数.
∵1>>>>0,∴a>b>c.
(2)答案 160
解析 如图所示,把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知三棱锥P-ABC的各棱分别是长方体的面对角线,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,由已知可得解得x=6,y=8,z=10.
从而V三棱锥P-ABC=V长方体AEBG-FPDC-V三棱锥P-AEB-V三棱锥C-ABG-V三棱锥B-PDC-V三棱锥A-FPC=V长方体AEBG-FPDC-4V三棱锥P-AEB=6×8×10-4××6×8×10=160.故所求三棱锥P-ABC的体积为160.
(3)答案
解析 将函数变形为y=+,则问题可以转化为在x轴上找一点,使它到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和最小的几何模型问题.
设点A(1,1)关于x轴的对称点为A',则A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的长就是所求的最小值,即为|A'B|==.
技法六 待定系数法
跟踪集训
6.(1)答案 3n2-2n
解析 设等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn.
由已知可得
化简得解得故Sn=3n2-2n.
(2)答案 y=或y=
解析 将函数y=变形为(y-m)x2-4x+y-n=0.
因为x∈R,则y-m≠0,Δ=(-4)2-4(y-m)(y-n)≥0,
即y2-(m+n)y+mn-12≤0.( )
又由函数y=的最大值为7,最小值为-1,可设(y+1)(y-7)≤0,
即y2-6y-7≤0.( )
比较两个一元二次不等式( )( )的系数,可得解得或
于是所求函数的解析式为
y=或y=.
技法七 分离参数法
跟踪集训
7.解析 (1)由已知得f '(x)=+ax-(a+1),则f '(1)=0.
而f(1)=ln 1+-(a+1)=--1,
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=--1.∴- -1=-2,解得a=2.
∴f(x)=ln x+x2-3x, f '(x)=+2x-3.
由f '(x)=+2x-3=>0,得01,
由f '(x)=+2x-3<0,得0,得0,因而h(x)在(,+∞)上单调递减,
∴h(x)的最大值为h()=,∴>,故a>2-1.
从而实数a的取值范围为{a|a>2-1}.
技法八 整体代入法
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8.(1)C 设等比数列的公比为q,则q==3,故a1+a3=a1(1+q2)=10a1=10,解得a1=1.所以a5=a1q4=1×34=81.故选C.
(2)A a1a2a3=5⇒=5,a7a8a9=10⇒=10,又=a2a8,所以==50,因为数列{an}的各项均为正数,所以a4a5a6==5.故选A.
技法九 割补法
跟踪集训
9.(1)D 由三视图可知,该几何体如图所示,它是一个长方体被切割后的几何体,其中长方体的底面为正方形,正方形的边长为2,HD=3,AE=2,BF=1.
将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,于是该几何体的体积V=
×2×2×4=8.故选D.
(2) 答案
解析 如图所示,连接DG,BD.
由平面ABCD⊥平面BCEG,平面ABCD∩平面BCEG=BC,∠BCD=∠BCE=,可知CD⊥平面BCEG,EC⊥平面ABCD,
又CE∥GB,所以GB⊥平面ABCD.
又BC=CD=CE=2,AD=BG=1,
所以V五面体EGBADC=VD-BCEG+VG-ABD=S梯形BCEG·DC+S△ABD·BG=××2×2+××1×2×1=.
(3)答案 π
解析 如图,以DA,AB,BC为棱构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,
所以CD==2R,
所以R=,故球O的体积V==π.
技法十 等体积转化法
10.解析 (1)证明:在矩形ADEF中,ED⊥AD,
因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,因为BC⊂平面ABCD,所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可求得BD=2,BC=2.
在△BCD中,BC=BD=2,CD=4,所以BD2+BC2=CD2,
所以BC⊥BD,又ED∩BD=D,所以BC⊥平面BDE.
(2)因为BC⊥平面BDE,所以BC⊥BE.
设DE=x,则BE==,
则V三棱锥D-BEC=S△BEC×=××2××=V三棱锥E-BDC,
又V三棱锥E-BDC=××2×2x,所以x=,
所以V三棱锥F-BDE=V三棱锥B-FDE=××2××2=.
技法十一 反证法
跟踪集训
11.A 假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=2x2-2x+=2+3≥3.显然两者矛盾,所以假设不成立.故a,b,c至少有一个不小于1.
技法十二 补集法
跟踪集训
12. (1)答案
解析 记从高一年级中抽取的班级为a1,高二年级中抽取的班级为b1,b2,高三年级中抽取的班级为c1,c2,c3.
从6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种.
设“抽取的两个班级不 自同一年级”为事件A,则事件为抽取的两个班级 自同一年级.
由题意知,两个班级 自同一年级的结果为(b1,b2),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共4种.
所以P()=,故P(A)=1-P()=1-=.
所以两个班级不 自同一年级的概率为.
(2)答案 -1
解析 所求的概率等于星形面积与圆面积的比.
因为圆的半径为2,所以圆的面积为4π.
过星形与圆的交点作圆的切线,得到一个正方形,如图所示:
根据对称性可知星形的面积就是正方形的面积与圆的面积之差,即16-4π,故所求概率为=-1.
