2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期第一次阶段性测试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期第一次阶段性测试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期第一次阶段性测试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．过点且垂直于直线的直线方程为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设所求直线方程为,代入得,故选D.‎ ‎2．圆的圆心和半径分别为 A． 圆心，半径为2 B． 圆心，半径为2‎ C． 圆心，半径为4 D． 圆心，半径为4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的一般式化成标准方程，即可得到圆心和半径。‎ ‎【详解】‎ 将配方得 ‎ ‎ 所以圆心为，半径为2‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，属于基础题。‎ ‎3．若两直线与平行，则它们之间的距离为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两条直线平行，可求得m的值，再根据平行线的距离公式求得距离。‎ ‎【详解】‎ 因为两条直线平行，所以 ，所以 ‎ 所以两条直线可以化为与 所以两条平行线间距离为 ‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了两条直线平行的条件，平行线间的距离公式的简单应用，属于基础题。‎ ‎4．下列说法的正确的是 A． 经过定点的直线的方程都可以表示为 B． 经过定点的直线的方程都可以表示为 C． 不经过原点的直线的方程都可以表示为 D． 经过任意两个不同的点、的直线的方程都可以表示为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点斜式、斜截式、截距式和两点式表示的意义及注意事项，即可判断。‎ ‎【详解】‎ 选项A、B，当斜率不存在时不可以表示；‎ 当点在坐标轴上时，不可以用截距式表示，因此C错误 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了表示直线方程时需要注意的几个特殊点，特殊形式特殊分析，属于基础题。‎ ‎5．设变量满足约束条件： 则的最小值为（　 　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出可行域如下图，‎ 由得，平移直线，由图像可知当直线经过点B时，直线 截距最大，此时 最小，由解得，B(-2,2)，‎ 故此时， 所以选D．‎ ‎6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据AB的直线方程，求得其垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标；利用圆心到点的距离等于半径求得半径，得到圆的方程。‎ ‎【详解】‎ 过AB的直线方程为 ，A、B的中点为 ‎ 所以AB的垂直平分线为 ‎ 所以圆心坐标为，解得，即圆心坐标为 半径为 ‎ 所以圆的方程为 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系及其简单应用，注意弦的垂直平分线经过圆心这个特殊性质，属于基础题。‎ ‎7．若点满足，点在圆 上，则的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性约束条件，画出可行域；求可行域内到点距离的最大值即可。‎ ‎【详解】‎ 根据所给不等式组，画出可行域如下图所示 因为在圆 上，所以即求可行域内到点距离加半径即可 由图可知，可行域内点（1，1）到点（-2，3）的距离最大，‎ 所以 ，所以PQ最大值为5+1=6‎ 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划与圆方程的简单应用，关键是分析出哪个点才是最优解，属于中档题。‎ ‎8．已知点，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据A、B的坐标，连接后得到线段AB；由图像可分析出斜率的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 斜率 ，‎ 由图像可知，直线 斜率的取值范围为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了直线斜率的简单应用，关键注意斜率取值的范围，属于基础题。‎ ‎9．过坐标原点作圆的两条切线，切点为，直线被圆截得弦的长度为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据切线长定理及勾股定理，即可表示出四边形的面积；两个三角形组成面积和等于四边形面积，即可求得弦长。‎ ‎【详解】‎ 设圆心为P，由切线长定理可知OA=OB，且OA⊥PA，OB⊥PB ‎ ,r = 1‎ 所以 ，AB⊥OP 所以 ‎ 所以 ‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了切线长定理的简单应用，属于基础题。‎ ‎10．若直线和轴，轴分别交于点，以线段为边在第一象限内做等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则的值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等边三角形的边长，求得C到AB的距离；因为两个三角形面积相等，根据等积法可知P到AB的距离等于C到AB的距离，进而可求出m的值。‎ ‎【详解】‎ 过C作直线，使 ，则点P在直线上 AB=2，所以点C到AB的距离为 ‎ AB直线方程可化为 由等积法可知P到AB的距离等于C到AB的距离，即 ‎ 解得 或，因为P在第一象限，所以 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形等面积法的应用，点到直线距离公式的用法，属于基础题。‎ 二、填空题 ‎11．若直线经过直线和的交点,且平行于直线，则直线方程为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两条直线相交，求得交点坐标；再由平行求得直线斜率，进而用点斜式求得直线方程。‎ ‎【详解】‎ 直线和的交点为 ‎ 直线的斜率 ‎ 由点斜式可知直线方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与直线相交、直线平行、点斜式法的简单应用，属于基础题。‎ ‎12．点关于直线的对称点的坐标为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出对称点坐标，利用中点在直线上及连线与直线垂直，建立方程组。解方程组即可得到对称点的坐标。‎ ‎【详解】‎ 设点关于直线的对称点的坐标为 ‎ 则AB中点坐标为 ，且中点在直线上 AB直线与直线垂直，斜率之积为-1‎ 所以 ，解方程组得 所以对称点的坐标为 ‎【点睛】‎ 本题考查了点关于直线对称点的求法，涉及中点坐标、斜率关系，属于基础题。‎ ‎13．已知直线截圆所得的弦的中点坐标为，则弦的垂直平分线方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据弦垂直平分线经过圆心的性质，求得直线方程。‎ ‎【详解】‎ AB的垂直平分线必经过圆心，圆心坐标为 ‎ 所以设垂直平分线方程为 ，则 ‎ ，解得 ‎ 所以直线方程为，即 ‎【点睛】‎ 本题考查了弦、垂直平分线的关系和求法，点斜式的应用，属于基础题。‎ ‎14．若变量满足约束条件，则目标函数的最大值为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简目标函数得到两点间的斜率公式，画出可行域即可求得斜率的最大值。‎ ‎【详解】‎ 线性目标函数可行域如图所示 目标函数可以化为 即求可行域内点到 斜率加2的最大值 由图可知，可行域内到点斜率最大值为 ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划的简单应用，非线性目标函数（斜率型）的应用，属于基础题。‎ 三、解答题 ‎15．已知一组动直线方程为:.‎ ‎(1) 求证:直线恒过定点，并求出定点的坐标;‎ ‎(2) 若直线与轴正半轴，轴正半轴半分别交于点两点，求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）定点；（2）最小值为4，时取等号 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将直线方程化为关于k的方程，即可求得过的定点坐标。‎ ‎(2)求得直线与x轴、y轴的交点，表示出三角形面积，根据基本不等式即可求得面积的最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为 ‎ 所以过定点 所以过定点坐标为 ‎(2) 直线交x轴于点 ，交y轴于点 ‎ ‎ ‎ ‎，当且仅当时取得等号，此时 ，因为，所以 所以面积的最小值为4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程过定点，三角形面积的表示方法及基本不等式的应用，属于中档题。‎ ‎16．哈三中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元、乙每份售价0.40元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物A、B、C，其中食品甲每份含A、B、C分别为10、3、4毫克，食品乙每份含A、B、C分别为2、3、9毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A、B、C分别为20、18、36毫克.问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？‎ ‎【答案】当时，最小值为2.55元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所需A、B、C三种营养所需量，建立两种食物的不等式组，得到线性约束条件；根据售价得到目标函数，进而求得最优解。‎ ‎【详解】‎ 设买甲食品x份，乙食品y份，由题意可知x、y满足的关系为 ‎ ‎ 花费为 ‎ 根据线性约束条件，画出可行域如下图所示 平移目标函数直线，当经过点P时花费最少，此时 ‎ 此时花费 ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于基础题。‎ ‎17．已知菱形的一边所在直线方程为，一条对角线的两个端点分别为和.‎ ‎(1) 求对角线和所在直线的方程;‎ ‎(2) 求菱形另三边所在直线的方程.‎ ‎【答案】(1)AC: ， BD: 三边为，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据两个点A和C求得AC的方程；因为AC⊥BD，且BD经过AC中点，所以可求得BD方程。‎ ‎(2) 设已知边的方程为AB的方程，通过对边平行且过C求出DC的直线方程；求出AB与BD的交点B的坐标，进而求得BC的直线方程；再通过对边平行并经过点A，求得AD的直线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为和 所以设AC的方程为 ，则 ‎ ，解得 ‎ 所以直线AC方程为，即 设AC中点坐标为 ，因为ABCD为菱形，所以直线BD与直线AC垂直，且平分线段AC AC垂直平分线的斜率 ‎ 所以BD的直线方程为 ，即 ‎(2) 因为在直线上，不妨设是AB的方程 则DC直线与AB直线平行且过点C，所以DC的直线方程为 AB与BD的交点B坐标为，解得 ‎ 所以BC直线方程为 因为BC∥AD，两条直线斜率相等，且AD直线经过A，所以设AD的直线方程为 ‎，代入A点坐标解得 ‎ 所以AD的方程为 综上，另外三条直线的方程分别为，，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两点法、点斜式在求直线方程中的应用，属于基础题。‎ ‎18．已知圆的圆心坐标为, 直线与圆交于点, 直线与圆交于点, 且在轴的上方. 当时, 有.·‎ ‎(1) 求圆的方程;‎ ‎(2) 当直线的方程为 (其中)时, 求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据k=1，求出圆心到直线，再由勾股求得半径长度，进而得到圆的方程。‎ ‎(2)联立直线与圆的方程，利用韦达定理求得弦的中点坐标；再由点到直线距离等于两点间的距离公式求得b的值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时,圆心C到直线的距离为 ‎ 所以半径 ‎ 所以圆C的方程为 ‎ ‎(2)联立直线方程与圆的方程， ‎ 化简得 ‎ 所以 ‎ 即PQ的中点坐标为 ，PQ中点与圆心距离为 ‎ 圆心到直线的距离为 ‎ 所以 解得 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆位置关系的综合应用，关键是分析出长度和距离不同表示形式，属于中档题。‎