2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（二十四）运用空间向量求角

2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（二十四）运用空间向量求角

课时达标训练(二十四) 运用空间向量求角 A组 ‎1．(2019·南通等七市二模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，AP＝AD＝2.‎ ‎(1)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎(2)若点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，试确定点M，N的位置．‎ 解：(1)由题意知，AB，AD，AP两两垂直，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．‎ 从而＝(1，0，－2)，＝(1，2，－2)，＝(0，2，－2)．‎ 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 不妨取y＝1，则x＝0，z＝1.‎ 所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，1)．‎ 设直线PB与平面PCD所成角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，‎ 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.‎ ‎(2)设M(a，0，0)，则＝(－a，0，0)，‎ 设＝λ，则＝(λ，2λ，－2λ)，而＝(0，0，2)，‎ 所以＝＋＋＝(λ－a，2λ，2－2λ)．‎ 由(1)知，平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，1)，‎ 因为MN⊥平面PCD，所以∥n.‎ 所以解得 所以M为AB的中点，N为PC的中点．‎ ‎2．(2018·苏北四市期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.‎ ‎(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角FBC1C的余弦值．‎ 解：(1)因为AB＝1，AA1＝2，则F(0，0，0)，A，C，B，E，A1，C1，‎ 所以＝(－1，0，0)，＝.‎ 记异面直线AC和BE所成角为α，‎ 则cos α＝|cos〈，〉|＝＝，‎ 所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面BFC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)．‎ 因为＝，＝，‎ 则即 取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为m＝(4，0，1)．‎ 设平面BCC1的法向量为n＝(x2，y2，z2)．‎ 因为＝，＝(0，0，2)，‎ 则即 取x2＝，得平面BCC1的一个法向量为n＝(，－1，0)，‎ 所以cos〈m，n〉＝＝.‎ 根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，‎ 所以二面角FBC1C的余弦值为.‎ ‎3．(2019·扬州期末)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD.‎ ‎(1)若AE＝，求直线DE与直线BC所成角；‎ ‎(2)若二面角ABED的大小为，求AE的长度．‎ 解：由题意知AB⊥AD，‎ 又AE⊥平面ABD，‎ ‎∴以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 过点C作CF⊥BD，垂足为F，‎ 又平面ABD⊥平面CBD，CF⊂平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，‎ ‎∴CF⊥平面ABD.‎ ‎∵CB＝CD＝2，∴F为BD的中点，CF＝.‎ ‎(1)易知E(0，0，)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(1，1，)，‎ ‎∴＝(0，－2，)，＝(－1，1，)，‎ ‎∴·＝0，‎ ‎∴⊥，∴直线DE与直线BC所成角为.‎ ‎(2)设AE的长度为a(a＞0)，则E(0，0，a)，‎ 易知AD⊥平面ABE，∴平面ABE的一个法向量为n1＝(0，1，0)．‎ 由(1)知＝(－2，0，a)，＝(－2，2，0)，‎ 设平面BDE的法向量为n2＝(x1，y1，z1)，‎ 则n2⊥，n2⊥，∴ 得取z1＝2，则x1＝y1＝a.‎ ‎∴平面BDE的一个法向量为n2＝(a，a，2)．‎ ‎∴cos 〈n1，n2〉＝＝＝.‎ ‎∵二面角ABED的大小为，∴＝，‎ 得a＝，∴AE的长度为.‎ ‎4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BA＝BC＝5，AC＝8，D为线段AC的中点．‎ ‎(1)求证：BD⊥A1D；‎ ‎(2)若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长．‎ 解：(1)证明：∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，‎ ‎∴AA1⊥平面ABC，‎ 又BD⊂平面ABC，∴BD⊥AA1，‎ ‎∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，‎ 又AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，‎ ‎∴BD⊥平面ACC1A1，‎ 又A1D⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1D.‎ ‎(2)由(1)知BD⊥AC，AA1⊥平面ABC，以D为坐标原点，DB，DC所在直线分别为x轴，y轴，过点D且平行于AA1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.‎ 设AA1＝λ(λ＞0)，则A1(0，－4，λ)，B(3，0，0)，C1(0，4，λ)，D(0，0，0)，‎ ‎∴1＝(0，－4，λ)，1＝(0，4，λ)，＝(3，0，0)，‎ 设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 则x＝0，令z＝4，可得y＝－λ，‎ 故n＝(0，－λ，4)为平面BC1D的一个法向量．‎ 设直线A1D与平面BC1D所成角为θ，‎ 则sin θ＝|cos 〈n，1〉|＝ ‎＝＝，解得λ＝2或λ＝8，‎ 即AA1＝2或AA1＝8.‎ B组 ‎1．(2019·盐城三模)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4.‎ ‎(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；‎ ‎(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．‎ 解：设BC的中点为E，连接AE，由AB＝AC，可知AE⊥BC，‎ 故以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，‎ 则P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(，－2，0)，C(，2，0)．‎ ‎(1)设θ为异面直线PB与CD所成的角，‎ 由＝(，－2，－4)，＝(－，1，0)，得cos θ＝，‎ 即异面直线PB与CD所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设n1＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，‎ 由(1)得＝(，－2，－4)，＝(，2，－4)，‎ 由·n1＝0，·n1＝0，‎ 得故取n1＝(4，0，)为平面PBC的一个法向量，‎ 易知平面PAD的一个法向量为n2＝(1，0，0)．‎ 设α为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，‎ 则cos α＝＝，‎ 所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎2．(2018·江苏高考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；‎ ‎(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．‎ 解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，―}为基底，建立空间直角坐标系O xyz.‎ 因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)．‎ ‎(1)因为P为A1B1的中点，所以P，‎ 从而＝，＝(0，2，2)，‎ 所以|cos〈，〉|＝＝.‎ 所以异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.‎ ‎(2)因为Q为BC的中点，所以Q，‎ 因此＝，＝(0，2，2)，＝(0，0，2)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，‎ 则即 不妨取n＝(，－1，1)．‎ 设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.‎ 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.‎ ‎3．(2019·南师附中、天一中学四月联考)如图，在三棱锥PABC中，底面ABC是直角三角形，侧棱PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，E为棱PB上的点，PA＝AB＝BC＝2.‎ ‎(1)当PE＝2EB时，求平面AEC与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎(2)在(1)的条件下，线段AC上是否存在一点F，使得EF与平面PAB所成的角θ的正弦值为.若存在，求线段AF的长；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)以A为坐标原点，AB，PA所在直线分别为y轴、z轴，过点A且平行于BC的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)．‎ 由题意得E为线段PB上靠近点B的三等分点，则E，所以＝，＝(2，2，0)．‎ 设平面AEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则则令y1＝1，则n1＝(－1，1，－2)为平面AEC的一个法向量．‎ 易知平面PAB的一个法向量为n2＝(1，0，0)，‎ 所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝，‎ 所以平面AEC与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎(2)假设存在满足题意的点F.‎ 设＝λ＝(2λ，2λ，0)(λ＞0)，‎ 所以＝－＝，‎ 所以sin θ＝|cos 〈，n2〉|＝＝，‎ 整理得λ2＋λ－＝0，解得λ＝或λ＝－.‎ 又λ＞0，所以λ＝，‎ 所以AF＝AC.‎ 易得AC＝2，所以AF＝.‎ ‎4.如图，在四棱锥SABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1.‎ ‎(1)求二面角SBCA的余弦值；‎ ‎(2)设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．‎ 解：(1)由题意，以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，‎ 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，‎ 所以＝(2，2，－2)，＝(0，1，－2)，＝(0，0，2)．‎ 设平面SBC的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则即 令z＝1，得x＝－1，y＝2，‎ 所以n1＝(－1，2，1)是平面SBC的一个法向量. ‎ 因为SD⊥平面ABC，取平面ABC的一个法向量n2＝(0，0，1)．‎ 设二面角SBCA的大小为θ，‎ 由图可知二面角SBCA为锐二面角，‎ 所以|cos θ|＝＝＝，‎ 所以二面角SBCA的余弦值为. ‎ ‎(2)由(1)知E(1，0，1)，‎ ＝(2，1，0)，＝(1，－1，1)．‎ 设＝λ (0≤λ≤1)，‎ 则＝λ(2，1，0)＝(2λ，λ，0)，‎ 所以＝－＝(1－2λ，－1－λ，1)．‎ 易知CD⊥平面SAD，‎ 所以＝(0，－1，0)是平面SAD的一个法向量．‎ 设PE与平面SAD所成的角为α，‎ 所以sin α＝|cos〈，〉|＝， ‎ 即＝，得λ＝或λ＝(舍去)．‎ 所以＝，||＝，‎ 所以线段CP的长为.‎