高中数学必修4同步练习：第二章平面向量(A)

高中数学必修4同步练习：第二章平面向量(A)

必修四 第二章平面向量(A)‎ 一、选择题 ‎1、如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(　　)‎ A.· B.·‎ C.· D.·‎ ‎2、设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a－b与b垂直 D．a∥b ‎3、已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于(　　)‎ A．(－1，－2) B．(1，－2)‎ C．(－1,2) D．(1,2)‎ ‎4、已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于(　　)‎ A．0 B．2＋ C. D．2 ‎5、若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　　)‎ A. B. C．1＋ D．2‎ ‎6、若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)‎ A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b ‎7、若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(‎8a－b)·c＝30，则x＝(　　)‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎8、向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等腰非直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎9、设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为(　　)‎ A．(1,2) B．(2,3)‎ C．(3,4) D．(4,7)‎ ‎10、与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是(　　)‎ A．(，)或(1，) B．(，)‎ C．(0,1) D．(0,1)或(，)‎ ‎11、在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．||cos A D．与菱形的边长有关 ‎12、若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎13、已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.‎ ‎14、已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.‎ ‎15、已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(‎2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．‎ ‎16、如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．‎ 三、解答题 ‎17、已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.‎ 求证：△P1P2P3是正三角形．‎ ‎18、已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．‎ ‎(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；‎ ‎(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(‎2a－b)，求a与b的夹角．‎ ‎19、已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝‎5a＋3b，d＝‎3a＋kb，当实数k为何值时，‎ ‎(1)c∥d；(2)c⊥d.‎ ‎20、已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：‎ ‎(1)a与b的夹角；‎ ‎(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．‎ ‎21、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ ‎22、已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：‎ ‎(1)BE⊥CF；‎ ‎(2)AP＝AB.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A　[根据正六边形的几何性质．‎ ‎〈，〉＝，〈，〉＝，‎ ‎〈，〉＝，〈，〉＝.‎ ‎∴·<0，·＝0，‎ ‎·＝||·||cos ＝||2，‎ ‎·＝||·2||·cos ＝||2.比较可知A正确．]‎ ‎2、C ‎3、D　[根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]‎ ‎4、D　[|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2.]‎ ‎5、B　[由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝，故选B.]‎ ‎6、B　[令c＝λa＋μb，则　∴∴c＝a－b.]‎ ‎7、C　[∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴‎8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(‎8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.]‎ ‎8、C　[∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，‎ ‎∴＝－＝(－2，－1)，‎ ‎∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，‎ ‎∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.‎ ‎∴△ABC是直角非等腰三角形．]‎ ‎9、B　[∵＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量后得，＝＝(2,3)．]‎ ‎10、D　‎ ‎11、B　[‎ 如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋. ·＝·(＋)＝－2＋0＝－2，故选B.]‎ ‎12、A　[a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>.当a与b共线时，＝，∴λ＝.此时，a与b同向，∴λ>.]‎ 二、填空题 ‎13、－1‎ 解析　∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．‎ ‎∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.‎ ‎14、3‎ 解析　a·b＝|a||b|cos 30°＝2··cos 30°＝3.‎ ‎15、6‎ 解析　由(‎2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.‎ ‎16、－ 解析　因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)．‎ 所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝2(x－)2－.‎ ‎∴当x＝时，(＋)·取到最小值－.‎ 三、解答题 ‎17、证明　∵＋＋＝0，∴＋＝－，‎ ‎∴(＋)2＝(－)2，‎ ‎∴||2＋||2＋2·＝||2，‎ ‎∴·＝－，‎ cos∠P1OP2＝＝－，‎ ‎∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，即、、中任意两个向量的夹角为120°，故△P1P2P3是正三角形．‎ ‎18、解　(1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．‎ 又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．‎ ‎(2)∵⊥(‎2a－b)，∴(a＋2b)·(‎2a－b)＝0.‎ ‎∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－.‎ ‎∴cos θ＝＝－1，∴θ＝180°.‎ ‎19、解　由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.‎ ‎(1)当c∥d，c＝λd，则‎5a＋3b＝λ(‎3a＋kb)．‎ ‎∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.‎ ‎(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(‎5a＋3b)·(‎3a＋kb)＝0.‎ ‎∴‎15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.‎ ‎20、解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝，∴|b|2＝，∴|b|＝，‎ 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.∴θ＝45°.‎ ‎(2)∵|a|＝1，|b|＝，‎ ‎∴|a－b|2＝a2－‎2a·b＋b2＝1－2×＋＝.∴|a－b|＝，‎ 又|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2＝1＋2×＋＝.∴|a＋b|＝，‎ 设a－b与a＋b的夹角为α，则cos α＝＝＝.即a－b与a＋b的夹角的余弦值为.‎ ‎21、解　(1)＝(3,5)，＝(－1,1)，‎ 求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．‎ 由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，‎ 由－＝(4,4)，得|－|＝4.‎ ‎(2)＝(－2，－1)，∵(－t)·＝·－t2，易求·＝－11，2＝5，‎ ‎∴由(－t)·＝0得t＝－.‎ ‎22、证明　‎ 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，‎ 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，‎ E(1,2)，F(0,1)．‎ ‎(1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，‎ ‎＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，‎ ‎∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，‎ ‎∴⊥，即BE⊥CF.‎ ‎(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，‎ ‎∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.‎ 同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.‎ 解得x＝，∴y＝，即P.‎ ‎∴2＝2＋2＝4＝2，‎ ‎∴||＝||，即AP＝AB.‎