数学卷·2018届广东省清远市清城区三中高二上学期第二次月考文数试题 （解析版）

数学卷·2018届广东省清远市清城区三中高二上学期第二次月考文数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！广东省清远市清城区三中2016-2017学年高二上学期第二次月考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.双曲线的渐近线方程是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由方程可知，渐近线方程为 考点：双曲线性质 ‎ ‎2.平面上定点、距离为4，动点满足，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵动点C满足|CA|-|CB|=3，且|AB|=4＞3‎ ‎∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的靠近B的一支 设A在B的左边，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，可得 A（-2，0），B（2，0），设双曲线方程为（a＞0，b＞0）‎ ‎∴a= ，c=2，得b=c2−a2= ，双曲线方程为 设C（m，n），得|CA|2=（m+2）2+n2=（m+2）2+ （m2-1）= m2+4m+ ‎ ‎∵C点横坐标m≥，‎ ‎∴当且仅当m= 时，|CA|2的最小值为，得|CA|的最小值是 考点：双曲线的简单性质 ‎3.直线与双曲线右支交于不同的两点, 则实数的取值范围是（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 由y=kx+2与双曲线，相切y可得（1-4k2）x2-16kx-25=0‎ ‎∵y=kx+2与双曲线右支交于不同的两点，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 考点：直线与双曲线相交问题 ‎4.椭圆的长轴端点坐标为（ ）‎ A．B．C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，所以顶点为 考点：椭圆性质 ‎5.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得，双曲线的方程可化为 虚轴长是实轴长的2倍即＝4‎ ‎∴m=‎ 考点：双曲线的简单性质 ‎6.若椭圆上一点到焦点的距离等于6，点到另一个焦点的距离是（　 　）‎ ‎20 14 4 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由方程可知，由椭圆定义可知点到另一个焦点的距离是20-6=14‎ 考点：椭圆方程及性质 ‎7.已知P是以为焦点的双曲线上的一点，若，，则此双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． 5 C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵，，‎ ‎∴|PF2|=2|PF1|，∴| PF2|-| PF1|=| PF1|=2a，| PF2|=4a，‎ ‎∴4a2+16a2=4c2，∴c＝a，∴e＝‎ 考点：双曲线的简单性质 ‎8.已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是（ ）‎ A．0 B． 1 C．2 D．‎ ‎【答案】C 考点：椭圆的简单性质 ‎9.以O为中心，点F1，F2为椭圆两个焦点，椭圆上存在一点M，满足| |＝2| |＝2| |，则该椭圆的离心率为(　　)．‎ A． B．C．D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：延长MO与椭圆交于N，‎ ‎∵MN与F1F2互相平分，‎ ‎∴四边形MF1NF2是平行四边形，‎ ‎∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，‎ ‎∴MN2+F1F22=MF12+MF22+NF12+NF22，‎ ‎∵MF1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a，‎ NF1=MF2= a，NF2=MF1= aa，F1F2=2c，‎ ‎∴（a）2+（2c）2=（a）2+（a）2+（a）2+（a）2，‎ ‎∴，∴‎ 考点：椭圆的简单性质 ‎ ‎10.点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵P是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=27‎ ‎∵|PF1|•|PF2|=12，‎ ‎∴（|PF1|+|PF2|）2=64，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=40，‎ 在中，cos∠=，‎ ‎∴‎ 考点：椭圆的简单性质 ‎11.点、分别为椭圆的左、右焦点, 为短轴一端点, 弦过左焦点, 则的面积为 ( )‎ A． B． C． 　 　D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：∵椭圆方程是，∴椭圆的左焦点F1（-，0），右焦点F2（，0）‎ 设A为上端点，得A（0，），求得AF1的斜率k=1，得直线AF1的方程为y=x+‎ 将直线AF1的方程与椭圆消去x，得 解之可得yA=，yB=-‎ ‎∵椭圆的焦距|F1F2|=‎ ‎∴的面积S=|F1F2|•|yA-yB|=4‎ 考点：椭圆的简单性质 ‎12.点是双曲线的右支上一点，是圆上一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由可知，圆的圆心为左焦点，由双曲线定义可知，则的最大值为7‎ 考点：双曲线定义及性质 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.如果实数x，y满足，恒成立，则的取值范围是 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可设 最大值为，则的取值范围是 考点：参数方程求最值 ‎14.一条渐近线方程为，焦点（4,0），则双曲线的标准方程为。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知可得，所以双曲线方程为 考点：双曲线方程及性质 ‎15.已知，是双曲线的虚轴顶点，其焦点，是双曲线上一点，圆是的内切圆，则的面积为 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线方程可知，设内切圆与切点分别为，的面积为 考点：双曲线性质 ‎16.若方程 所表示的曲线为C，给出下列四个命题：‎ ‎① 若C为椭圆，则； ② 若C为双曲线，则或；‎ ‎③ 曲线C不可能是圆；④ 若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；‎ ‎⑤ 若，曲线C为双曲线，且虚半轴长为.‎ 其中真命题的序号为．（把所有正确命题的序号都填在横线上）‎ ‎【答案】②④⑤‎ ‎【解析】‎ 试题分析：：①若C为椭圆，则，∴1＜t＜4且t≠，故①不正确；‎ ‎②若C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，∴t＞4或t＜1，故②正确；‎ ‎③t= 时，曲线C是圆，故③不正确； ‎ ‎④若1＜t＜，曲线C为椭圆，此时焦点在x轴上，且焦点坐标为(±，0)，故④正确；‎ ‎⑤若t＜1，曲线C为双曲线，此时焦点在x轴上，且虚半轴长为，故⑤正确．‎ 综上真命题的序号为②④⑤‎ 考点：圆锥曲线的共同特征；命题的真假判断与应用 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.(本小题满分12分）‎ 过椭圆的右焦点作斜率为2的直线交椭圆于两点， 求线段的长度。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式求解 试题解析：联立得，则 考点：直线与椭圆相交问题 ‎18.(本小题满分12分）‎ 过椭圆C：的右焦点作一条倾角为的直线交椭圆于A、B两点，若满足 ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若椭圆C的左焦点到直线AB的距离为2，求椭圆C的方程。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 考点：椭圆方程及性质 ‎19.(本小题满分12分 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与双曲线有两个不同的交点和,且（其中为原点）,求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设双曲线的方程为 (a＞0，b＞0)，由已知易求a，c，根据a，b，c的平方关系即可求得b值；（2）设A，B，则由，可得 ‎，联立方程组消掉y，根据韦达定理即可得到关于k的不等式，注意判别式大于0，解出即得k的范围 ‎ 试题解析：（1）解：设双曲线的方程为,‎ 故双曲线方程为．‎ ‎（2）解：将代入得 由得且 设,则由得 ‎=‎ ‎,得 又，,即 考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程 ‎20.(本小题满分10分）‎ 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且一条渐近线与直线平行，若点在双曲线上，求双曲线的标准方程。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可设出曲线方程为，将点（2，3）的坐标代入可求得λ的值 试题解析：由及得得双曲线方程为 考点：双曲线方程及性质 ‎21.(本小题满分12分）‎ 双曲线C的方程为离心率顶点到渐近线的距离为 ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）点P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得a，b和c的关系，进而根据离心率求得a和c的关系，最后根据c=综合得方程组求得a，b和c，则双曲线方程可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得渐近线方程，设A（m，2m），B（-n，2n），根据得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式，设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得 试题解析：（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线 ‎∴[由得∴双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知 由{‎ 得A点的坐标为由{得B点的坐标为 由得P点的坐标为 将P点坐标代入设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.‎ ‎=‎ 设在上是减函数，在上是减函数 当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值 ‎∴△AOB面积的取值范围是 考点：双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 ‎22.(本小题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在原点，一个长轴端点为，离心率，过P分别作斜率为 的直线PA，PB，交椭圆于点A，B。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，则直线AB是否经过某一定点？‎ ‎【答案】（1）（2）直线AB恒过点 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组解出a、b之值，即可得到椭圆的方程；（2）由题意得直线PA方程为y=k1x-2，与椭圆方程消去y得到关于x的方程，解出A点坐标含有k1的式子，同理得到B点坐标含有k2‎ 的式子，利用直线的两点式方程列式并结合k1k2=2化简整理，可证出AB方程当x=0时y=-6，由此可得直线AB必过定点Q（0，-6）．‎ 试题解析：（1）易得椭圆的方程 ‎（2）直线PA，PB的方程分别为由 得，解得或，于是，同理。‎ 直线PA，PB的方程分别为由 得，解得或，于是，同理。由得， 直线：，‎ 令得，则直线AB恒过点 考点：恒过定点的直线；椭圆的标准方程 ‎ ‎ ‎