【数学】2021届一轮复习人教A版单调性与最值学案

【数学】2021届一轮复习人教A版单调性与最值学案

‎ ‎ ‎1．函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2‎ 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的, ‎ 自左向右看图象是下降的 ‎(2)函数单调性的两种等价形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么 ‎①＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．‎ ‎②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．‎ ‎　　‎ 对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：‎ ‎(1)可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；‎ ‎(2)可导函数则可以利用导数解之．‎ ‎(3)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．‎ ‎　　‎ 求函数单调区间的2个注意点 ‎(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．‎ ‎(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．‎ ‎2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ‎(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M ‎(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 考点一　函数单调性的判断与单调区间的求法　自主探究　基础送分考点——自主练透 ‎[题组练通]‎ ‎1．(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，－2) 　　　　　　 B．(－∞，1)‎ C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)‎ 解析：(复合法)由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．‎ 答案：D ‎2．设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)＞f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2 014型增函数”，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：(图象法)由题意得，当x＞0时，f(x)＝ ‎①当a≥0时，函数f(x)的图象如图①所示，考虑极大值f(－a)＝2a，令x－3a＝2a，得x＝5a.‎ 所以只需满足5a－(－a)＝6a＜2 014，即0≤a＜.‎ ‎②当a＜0时，函数f(x)的图象如图②所示，且f(x)为增函数．‎ 因为x＋2 014＞x，所以满足f(x＋2 014)＞f(x)．‎ 综上可知，实数a的取值范围是a＜.‎ 答案： ‎3．已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间．‎ 解析：(导数法)依题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ 对f(x)求导，得f′(x)＝＋2mx＝.‎ 当m≥0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 当m＜0时，令f′(x)＝0，得x＝.‎ 当x∈时，f′(x)＞0，‎ 所以f(x)在上单调递增；‎ 当x∈时，f′(x)＜0，‎ 所以f(x)在上单调递减．‎ 函数单调性的判断方法 方法 解读 适合题型 定义 法 具体的方法步骤为：‎ 取值、作差、变形、定号、下结论 适用于所有函数，特别是抽象函数 复合 法 复合函数单调性的判断法则：“同增异减”，即对于y＝f(g(x))型的复合函数，令t＝g(x)‎ 形如y＝f(g(x))的复合函数 ‎，则可以把它看成由y＝f(t)和t＝g(x)复合而成的，若它们的单调性相同，则复合后的函数为增函数；若它们的单调性相反，则复合后的函数为减函数 导数 法 具体方法为：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)对函数f(x)求导得到导函数f′(x)，解不等式f′(x)>0，函数f(x)在此不等式对应的区间上为增函数；函数f(x)在不等式f′(x)<0对应的区间上为减函数 适用于可求导的函数 图象法 方法步骤为：先求出函数f(x)的定义域，然后在定义域内作出相应的图象，根据图形中的单调性写出相应的单调区间 适用于初等函数，易于作出图象的函数 考点二　函数单调性的应用　多维探究　题点多变考点——多角探明 ‎[锁定考向]　高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中．‎ 常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．‎ 角度一　求函数的值域或最值 ‎1．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　　)‎ A．4　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0‎ 解析：设t＝x－1，则f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sin t＋t＋2，t∈[－2,2]．记g(t)＝(t2－1)sin t＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sin t＋t是奇函数．由已知得y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.故选A.‎ 答案：A 角度二　比较函数值或自变量大小 ‎2．已知a＞b＞0，则下列命题成立的是(　　)‎ A．sin a＞sin b B．log2a＜log2b ‎ D.a＜b 解析：函数y＝sin x在(0，＋∞)上不是单调函数，所以不能判断出sin a与sin b 的大小；函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，结合a＞b＞0可得log2a＞log2b；函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，结合a＞b＞0可得；函数y＝x是单调递减函数，所以a＜b.故选D.‎ 答案：D 角度三　求解函数不等式 ‎3．已知函数f(x)＝函数g(x)＝|f(x)|－1.若g(2－a2)＞g(a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－2,1)‎ B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ C．(－2,2)‎ D．(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)‎ 解析：由题可知，f(x)为单调递增的奇函数，则g(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增．因为g(2－a2)＞g(a)，所以|2－a2|＞|a|，即(2－a2)2＞a2，解得a＜－2或－1＜a＜1或a＞2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．故选D.‎ 答案：D 角度四　利用单调性求参数的取值范围 ‎4．已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　 B．(1,2]‎ C．(1,3) D. 解析：由＜0，得f(x)在定义域上是减函数，所以解得0＜a≤，所以a∈.故选A.‎ 答案：A 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 ‎(1)比较大小 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．‎ ‎(2)解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域.‎ ‎(3)利用单调性求参数 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．‎ ‎(4)求函数最值(四种常用方法)‎ 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.‎ ‎[即时应用]‎ ‎1．(2018·福州模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c 解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．因为a＝f＝f，且2＜＜3，所以b＞a＞c.‎ 答案：D ‎2．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．‎ 由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．‎ 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ ‎ ‎ A组——基础对点练 ‎1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．f(x)＝3－x　　　　　 B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|‎ 解析：当x＞0时，f(x)＝3－x为减函数；‎ 当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，‎ 当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.‎ 答案：C ‎2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)‎ A．y＝e－x　　　　　　 B．y＝x3‎ C．y＝ln x D．y＝|x|‎ 解析：因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除选项C；因为指数函数y＝e－x，即y＝x，在定义域内单调递减，故排除选项A；对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.‎ 答案：B ‎3．(2018·长春市模拟)已知函数f(x)＝则函数f(x)的值域为(　　)‎ A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)‎ C．[－，＋∞) D．R 解析：当x＜－1时，f(x)＝x2－2∈(－1，＋∞)；当x≥－1时，f(x)＝2x－1∈[－，＋∞)，综上可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞)．故选B.‎ 答案：B ‎4．设f(x)＝x－sin x，则f(x)(　　)‎ A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 解析：∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－cos x≥0，‎ ‎∴f(x)单调递增，选B.‎ 答案：B ‎5．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)‎ 解析：因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x＞0时，f(x)＞1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.‎ 答案：D ‎6．设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有0＜a＜1；若函数g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数，则有2－a＞0，即a＜2，所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，选A.‎ 答案：A ‎7．函数f(x)＝，(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B． C. D． 解析：∵，∴≤a<1.‎ 答案：B ‎8．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝(x－1)2‎ C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)‎ 解析：A项，y＝为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B项，y＝(x－1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C项，y＝2－x＝x为R上的减函数；D项，y＝log0.5(x＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A.‎ 答案：A ‎9．已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设a＝－21.2，b＝－0.8，c＝2log5 2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)‎ A．f(c)f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)‎ 解析：依题意，注意到21.2>20.8＝－0.8>20＝1＝log55>log54＝2log52>0，又函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f(21.2)f(x2)‎ 解析：幂函数f(x)＝x的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立，选B.‎ 答案：B ‎11．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝x2‎ C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)‎ 解析：由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．‎ 答案：D ‎12．函数的值域为________．‎ 解析：当x≥1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．‎ 答案：(－∞，2)‎ ‎13．函数f(x)＝x＋的值域为________．‎ 解析：由2x－1≥0可得x≥，‎ ‎∴函数的定义域为，‎ 又函数f(x)＝x＋在上单调递增，‎ ‎∴当x＝时，函数取最小值f＝，‎ ‎∴函数f(x)的值域为.‎ 答案： ‎14．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.‎ 解析：由f(x)＝，可得函数f(x)的单调递增区间为，故3＝－，解得a＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎15．已知函数f(x)＝x＋(x≠0，a∈R)，若函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．‎ 解析：设x10，所以要使Δy＝<0恒成立，只需使x1x2－a>0恒成立，即a4，所以a≤4，故函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增时，实数a的取值范围是(－∞，4]．‎ 答案：(－∞，4]‎ B组——能力提升练 ‎1．(2018·西安一中模拟)已知函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ C．(－1,2)‎ D．(－2,1)‎ 解析：∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.故选D.‎ 答案：D ‎2．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝x＋xln x，若k∈Z，且k(x－1)＜f(x)对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：依题意得，当x＝2时，k(2－1)＜f(2)，即k＜2＋2ln 2＜2＋2＝4，因此满足题意的最大整数k的可能取值为3.当k＝3时，记g(x)＝f(x)－k(x－1)，即g(x)＝xln x－2x＋3(x＞1)，则g′(x)＝ln x－1，当1＜x＜e时，g′(x)＜0，g(x)在区间(1，e)上单调递减；当x＞e时，g′(x)＞0，g(x)在区间(e，＋∞)上单调递增．因此，g(x)的最小值是g(e)＝3－e＞0，于是有g(x)＞0恒成立．所以满足题意的最大整数k的值是3，选B.‎ 答案：B ‎3．若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B． C．[1,2) D． 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以k－1≥0，即k≥1.令f′(x)＝＝0，解得x＝.因为函数f(x)在区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，所以k－1＜＜k＋1，得－＜k＜.综上得1≤k＜.‎ 答案：B ‎4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f(log2a)＋≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1,2] B． C. D．(0,2]‎ 解析：由已知条件得f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋≤2f(1)⇒f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)，又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|log2a|≤1⇒－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，选C.‎ 答案：C ‎5．设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则(　　)‎ A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数 B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数 C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数 D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数 解析：因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f＝f，则(m－1)ln 3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，在(0,1)上，当x增大时，1－x2减小，ln(1－x2)减小，即f(x)在(0,1)上是减函数，故选B.‎ 答案：B ‎6．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)＋x中，常数a，b满足a＞1＞b＞0，且a＝b＋1，那么f(x)＞1的解集为(　　)‎ A．(0,1) B．(1，＋∞)　‎ C．(1,10)　 D．(10，＋∞)‎ 解析：由ax－bx＞0，即x＞1，解得x＞0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为a＞1＞b＞0，所以y＝ax单调递增，y＝－bx单调递增，所以t＝ax－bx单调递增．又y＝lg t单调递增，所以f(x)＝lg(ax－bx)＋x为增函数．而f(1)＝lg(a－b)＋1＝lg 1＋1＝1，所以x＞1时f(x)＞1，故f(x)＞1的解集为(1，＋∞)．故选B.‎ 答案：B ‎7．已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f(f(x)－3x)＝4，则f(x)＋f(－x)的最小值等于(　　)‎ A．2 B．4 ‎ C．8 D．12‎ 解析：由f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)＝4，即f(x)＝3x＋K，令x＝K得f(K)＝3K＋K＝4，所以K＝1，从而f(x)＝3x＋1，即f(x)＋f(－x)＝3x＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝0时取等号．故选B.‎ 答案：B ‎8．(2018·高考安徽卷)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：充分性：当a<0时，f(x)＝|(ax－1)·x|＝－ax2＋x为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x＝，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数；当a＝0时，f(x)＝x，为增函数．‎ 必要性：f(0)＝0，当a≠0时，f＝0，‎ 若f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则<0，即a<0.f(x)＝x时，f(x)为增函数，此时a＝0.综上，a≤0为f(x)在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．‎ 答案：C ‎9．已知函数f(x)＝.若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1,2] B．(－∞，2]‎ C．(0,2] D．[2，＋∞)‎ 解析：依题意，当x≥1时，f(x)＝1＋log2x单调递增，f(x)＝1＋log2x在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f(x)的值域是R，则需函数f(x)在(－∞，1)上的值域M⊇(－∞，1)．①当a－1<0，即a<1时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，显然此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a<1不满足题意；②当a－1＝0，即a＝1时，f(x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a＝1不满足题意；③当a－1>0，即a>1时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M⊇(－∞，1)得，解得10时，f(x)＝＝x＋－2，‎ 由基本不等式可得x＋≥2＝4(当且仅当x＝，即x＝2时等号成立)，‎ 所以f(x)＝x＋－2≥4－2＝2，即函数f(x)的取值范围为[2，＋∞)；‎ 当x≤0时，f(x)＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，因为当x＝－1时，f(x)取得最大值1，‎ 所以函数f(x)的取值范围为(－∞，1]．‎ 综上，函数f(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．‎ 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ ‎13．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝__________，f(x)的最小值是__________．‎ 解析：因为f(－2)＝4，f(4)＝－，所以f(f(－2))＝－；x≤1时，f(x)min＝0，x＞1时，f(x)min＝2－6，又2－6＜0，所以f(x)min＝2－6.‎ 答案：－　2－6‎ ‎14．(2018·长沙市模拟)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为__________．‎ 解析：由已知得f(x)＝x2(2x－x2)＝＝易知函数f(x)的最大值为4.‎ 答案：4‎ ‎15．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋3)＝2f(x)，当x∈[－1,2)时，f(x)＝若存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，则实数t的取值范围是__________．‎ 解析：由题意知f(x)＝f(x＋3)．当x∈[－1,0)时，f(x)＝x2＋x＝(x＋)2－∈[－，0]；当x∈[0,2)时，f(x)＝－()|x－1|∈[－1，－]；所以当x∈[－1,2)时，f(x)min＝－1.故当x∈[－4，－1)时，x＋3∈[－1,2)，所以f(x＋3)min＝－1，此时f(x)min＝×(－1)＝－.由存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，可得t2－3t≥4×(－)，解得t≤1或t≥2.‎ 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)‎