山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二12月第二次阶段测试数学试题 含答案

山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二12月第二次阶段测试数学试题 含答案

‎ ‎ 章丘四中2018级第二次阶段性测试数学试题（12月）‎ 第Ⅰ卷（选择题共52分）‎ 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. ‎ ‎1.命题“”的否定是( ) ‎ ‎ A． B．‎ C． 不存在 D．‎ ‎2.在等差数列中，，则( ) ‎ A. 5 B. ‎14 ‎C. 10 D. 8‎ ‎3.椭圆的一个焦点是，那么( ) ‎ A. B. ‎-1 ‎C. 1 D. ‎ ‎4.已知，则的最大值是( ) ‎ A. 5 B. ‎4 ‎C. 3 D. 2‎ ‎5.设数列满足且，则数列前10项和为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( ) ‎ A． B. C. D. ‎ ‎7.关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设斜率为的直线过抛物线的焦点，与交于两点，且，则( ) ‎ A. B. ‎1 C. 2 D. 4‎ ‎9.在等比数列中，，则的值为( ) ‎ A． 3 B． ‎6 C． 9 D． 27‎ ‎10.已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，( ) ‎ A． 4 B． ‎6 ‎C． D．8‎ 二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.‎ 全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.）‎ ‎11.下列叙述中不正确的是( ) ‎ A.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 B．若,则“”的充要条件是“”‎ C. “”是“”的充分不必要条件 D．若,则“”的充要条件是“‎ ‎12.已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量,则下列结论正确的是( ) ‎ A.双曲线的渐近线方程为 B.以为直径的圆的方程为 C. 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D. 的面积为1‎ ‎13.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是( ) ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共 98 分）‎ 三、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.)‎ ‎14.函数，若不等式的解集为，那么 ；‎ ‎15.已知数列的通项公式为，则数列前15项和的值为__________________．‎ ‎16.的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则=______．‎ ‎17.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数 1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第 1个五角形数记作，第 2个五角形数记作，第 3个五角形数记作，第 4 个五角形数记作，… ，若按此规律下去可得数列，则______（）；对________．‎ 四、解答题：（本大题共 6 小题，共 82 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎18.（10分）‎ 已知集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎19.（14分）设椭圆的短轴长为4，离心率为.‎ （1） 直线 y = x + m 与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；‎ （2） 设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程.‎ ‎20.（14分）设数列的前项和为，且满足.‎ （1） 证明：数列是等比数列，并求它的通项公式；‎ （2） 设，求数列的前项和.‎ ‎21.（14 分）某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元，满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.‎ ‎（1）将2020年该产品的利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；‎ ‎（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？‎ ‎22.(15分)设各项均为正数的数列的前项和为，满足，.且构成等比数列.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎(3)设，数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎23.(15分)已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为.‎ ‎①求四边形APBQ的面积的最大值；‎ ②求证：.‎ 章丘四中2018级第二次阶段性测试数学答案（12月）选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 答案 B B C D D A C C A D AB ACD AD 填空题：‎ 14. ‎ ； 15.    ； 16. ； 17. ‎ 解答题：‎ ‎18.【解析】由得, 得,即, ..........................2分 , ..........................4分 则； ..........................5分 , 若“”是“”的必要不充分条件, 则, ..........................7分 即,得 ..........................9分 即, 即实数的取值范围是．  ..........................10分 ‎19.【解析】（1）由题意所以,‎ 即椭圆方程为, ..........................3分 ‎ ..........................5分 ‎,即 ..........................7分 ‎（2）设 法一：①当斜率不存在时,，弦的中点（1,0）不符合题意，舍去.. ..........................8分 ②当斜率存在时，设直线方程为 . ..........................9分 ‎ ............11分 恒成立 ‎,所以直线的方程为 ............14分 法二：①当斜率不存在时,，弦的中点（1,0）不符合题意，舍去 ..........................8分 ②当斜率存在时，设 ‎,‎ 所以直线的方程为 ............14分 ‎20. 【解析】（1）当时, ‎ ‎ ...................3分 当时, , ...................4分 所以数列是以2为首项,以2为公比的等比数列. ...................5分 ‎ ....................6分 ‎（2）， ....................7分 ‎ ...................9分 两式做差得： ‎ 化简 .................13分 所以 ...................14分 ‎21. 【解析】（1）由题意知,当时,‎ 所以, ...........................2分 每件产品的销售价格为元.‎ 所以2020年的利润.........7分 ‎(2)由(1)知, ........................11分 当且仅当,即时取等号, ........................13分 该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元. .......................14分 ‎22. 【解析】（1）当时, ...........3分 ‎(2) 当时, ...................4分 又各项为正，所以 ...................6分 因为构成等比数列,所以 ‎ ‎,由,所以 ...................8分 ‎,‎ 所以数列是为首项，2为公差的等差数列.‎ ‎ ...................10分 ‎(3) ..................12分 ‎ ..................14分 ‎ .................15分 ‎ ‎23.解：（1）由题意设椭圆的方程为，‎ 因为抛物线的焦点坐标为，则 ……………………………2分 ‎ 由， ………………4分 ‎ ‎∴椭圆C的方程为． ……………5分 ‎ ‎（2）①当时，解得， ……………………………6分 ‎ 设，直线AB的方程为，‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………8分 ‎ 由，解得， ………………………9分 ‎ 由韦达定理得.‎ ‎，……………………11分 由此可得：四边形APBQ的面积，‎ ‎∴当时，． ……………………………12分 ‎② ‎ ‎ ……………………14分 ‎． ………………………15分