宁夏银川市第一中学2020届高三上学期第四次月考数学（理）试卷

宁夏银川市第一中学2020届高三上学期第四次月考数学（理）试卷

理 科 数 学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合,，若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则 A．10 B． C． D．-10 ‎ ‎3．已知向量，若，则 ‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎4．设等差数列的前项和为，若，，则的公差为 A． B． C． D．‎ ‎5．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ）‎ A．若，则　B．若，则 C. 若，则　　　　‎ D．若，，且，则 ‎6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A．《雷雨》只能在周二上演 B．《茶馆》可能在周二或周四上演 C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D．四部话剧都有可能在周二上演 ‎7．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则 A． B． C． D．‎ ‎9．已知满足约束条件，若目标函数的最大值为3，‎ 则实数m的值为 A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎10．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，‎ 侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接 球的表面积为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的范围是 A． B． C． D．‎ ‎12．若均为任意实数，且，则的最小值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．的内角的对边分别为，若，‎ 则__________．‎ ‎14．已知函数,若,则__________．‎ ‎15．已知函数，且，则_______．‎ ‎16．已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，M为AB的中点，将沿DM折起，得到四棱锥，设的中点为N，在翻折过程中，得到如下三个命题：‎ ‎①，且的长度为定值；‎ ‎②三棱锥的体积最大值为；‎ ‎③在翻折过程中，存在某个位置，使得 其中正确命题的序号为__________．‎ 三、 解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，‎ 第22、23题为选考题.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.（12分）‎ x y O P R Q 已知函数，，，．的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，‎ 点的坐标为．‎ ‎（1）求的最小正周期及的值；‎ ‎（2）若点的坐标为，，求的值．‎ ‎18.（12分）‎ 已知数列满足.‎ ‎（1）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求.‎ ‎19．（12分）‎ 如图，菱形的边长为，，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，‎ 点是棱的中点，．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）‎ 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，‎ ‎∥，，且，，是棱的中点．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（3）设点是线段上的动点，与平面所成的角为，‎ 求的最大值．‎ 21． ‎（12分）‎ 已知函数 ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，已知圆： (为参数)，点在直线：上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）射线交圆于，点在射线上，且满足，求点轨迹的极坐标方程．‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]‎ 已知函数，.‎ ‎（1）若关于x的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，若，使得成立，求实数k的取值范围.‎ ‎（理科）参考答案 一、选择题： ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A B B C A C C A B D 二、填空题：‎ ‎13． 14．0 15. -20 16. ‚ 三、解答题：‎ ‎17.（1）解：由题意得， ………2分 ‎ ‎ 因为在的图象上，‎ ‎ 所以 ………4分 ‎ 又因为，所以 ………6分 ‎ ‎ （2）解：设点Q的坐标为，由题意可知，得 ………8分 ‎ 连接PQ，在，由余弦定理得 ‎ ………10分 ‎ 解得 又 ………12分 18． 解：（1）由 得 ， ……3分 所以数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以，即， ………4分 当时，，由于也满足此式，‎ 所以的通项公式． ………6分 ‎（2）由得， 所以 ………8分 ‎ ‎…… ‎ ‎…． ……12分 ‎19.解：（1）证明：是菱形，‎ ‎, ………1分 中，, ‎ 又是中点，‎ ‎ ………3分 面面 ………5分 ‎ 又 平面 平面⊥平面 ………6分 ‎（2）由题意，, 又由（Ⅰ）知 建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知 ……7分 ‎ 故 设平面的法向量，则 ‎ 即 令，则 ‎ 所以， ………9分 ‎ 由条件易证平面，故取其法向量为 ………10分 ‎ 所以， ………11分 ‎ 由图知二面角为锐二面角，故其余弦值为 ………12分 ‎20．解：（1）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则 ‎， ………1分 设平面的一个法向量为 则，令，得，‎ ‎∴，即 ………3分 ‎∵平面∴∥平面． ………4分 ‎（2）取平面SAB的一个法向量， ………5分 ‎ 则 ………7分 ‎∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． …………8分 ‎（3）设，则，平面的一个法向量为∴‎ ‎ ……11分 当，即时，取得最大值，且． …………12分 ‎21.解（1） ………1分 ‎（ⅰ）时，当时，；当时，‎ 所以f(x)在单调递减，在单调递增； ……2分 ‎（ⅱ）时 若，则，所以f(x)在单调递增；……3分 ‚若，则，故当时，，‎ ‎，；所以f(x)在单调递增，在 单调递减； ………5分 ƒ若，则，故当，，‎ ‎，；所以f(x)在单调递增，在 单调递减； ………6分 ‎ ‎（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在单调递减，在单调递增，‎ 又，，取b满足，且，‎ 则，所以f(x)有两个零点；………8分 ‎ ‎（ⅱ）当a=0,则，所以f(x)只有一个零点 ………9分 ‎（ⅲ）当a<0,若,则由（1）知，f(x)在单调递增。又当时，‎ ‎ 故f(x)不存在两个零点， ………10分 ‎ ‚，则由（1）知，f(x)在单调递减，在单调递增 ‎ 又当，f(x)<0,故f(x)不存在两个零点。 ………11分 综上，a的取值范围为. ………12分 ‎22．解：（1）圆的极坐标方程， ………3分 直线的极坐标方程＝. ………5分 ‎ (2)设的极坐标分别为，‎ 因为 ………6分 ‎ 又因为，即 ………9分 ‎ ‎， …………10分 ‎23. 解：（1）由题意，不等式，即，所以， ‎ 又由，解得， ‎ 因为，所以， ………2分 当时，，‎ 不等式等价于，或，或，‎ 即，或，或，‎ 综上可得，故不等式的解集为[-4，4] . ………5分 ‎ ‎（2）因为，‎ 由，，可得， ………7分 又由，使得成立，则， ………9分 ‎ 解得或，故实数的取值范围为. ………10分 ‎