数学理卷·2018届广东省北京师范大学东莞石竹附属学校高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届广东省北京师范大学东莞石竹附属学校高二下学期期中考试（2017-04）

www.ks5u.com【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ 石竹学校2016—2017学年第二学期期中考试试题 高二理科数学 命题人：叶 森 本试卷共22题，满分150，考试用时120分钟。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数，则复数在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．如果复数，则（　　）‎ A．|z|=2 B．z的实部为1 ‎ C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为 ‎3．把正整数按如右下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．若，，，则，的大小关系是（　　）‎ A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．由a的取值确定 ‎5．用数学归纳法证明，时，第一步应验证不等式（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．函数在从到之间的平均变化率为（　　）‎ A． B．2‎ C． D．‎ ‎7．下列式子不正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．函数有极小值，则的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C．或 D．或 ‎9．（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某校开设A类课3门，B类课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　）‎ A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 ‎11．的展开式中的系数为（　　）‎ A．﹣100 B．﹣15 C．35 D．220‎ ‎12．如右下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（　　）种．‎ A．72 ‎ B．60 ‎ C．48 ‎ D．24 ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．如果是纯虚数，那么实数　 　．‎ ‎14．函数的图像在点处的切线方程是　 　．‎ ‎15．在的展开式中，系数为有理数的项的所有系数之和为　 　．‎ ‎16．A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两端，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有　 　种．（用数值作答）‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设复数．（为虚数单位）‎ ‎（1）当时，求|z|的值；‎ ‎（2）当时，复数，且为纯虚数，求的值．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 若，，且．‎ ‎（1）求，，，；‎ ‎（2）归纳猜想通项公式并用数学归纳法证明．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球．‎ ‎（1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？‎ ‎（2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数．求函数的图像与两坐标轴所围成图形的面积．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 从集合中任选2个整数，作为方程中的m和n的值，求：‎ ‎（1）可以组成多少个双曲线？‎ ‎（2）可以组成多少个焦点在x轴上的椭圆？‎ ‎（3）可以组成多少个在区域内的椭圆？‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调性．‎ 高二数学期中考试答案 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．（2017•吉林二模）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】将复数进行化简，根据复数的几何意义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：z===，‎ ‎∴对应的点的坐标为（），‎ 位于第四象限，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算将复数进行化简是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎2．（2017•吉林二模）如果复数z=，则（　　）‎ A．|z|=2 B．z的实部为1‎ C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i ‎【分析】直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由z==，‎ 所以，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1，‎ z的共轭复数为﹣1+i，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2016春•广东校级期中）把正整数按如图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据如图所示的排序可以知道每四个数一组循环，所以确定2005到2007的箭头方向可以把2005除以4余数为1，由此可以确定2005的位置和1的位置相同，然后就可以确定从2005到2007的箭头方向．‎ ‎【解答】解：∵1和5的位置相同，‎ ‎∴图中排序每四个一组循环，‎ 而2003除以4的余数为3，‎ ‎∴2003的位置和3的位置相同，‎ ‎∴20032005．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查了数字类的变化规律．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．‎ ‎　‎ ‎4．（2016春•赣州期末）若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（　　）‎ A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．由a的取值确定 ‎【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P=+，Q=+，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明．‎ ‎【解答】解：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，‎ 只要证：2a+7+2＜2a+7+2，‎ 只要证：a2+7a＜a2+7a+12，‎ 只要证：0＜12，‎ ‎∵0＜12成立，‎ ‎∴P＜Q成立．‎ 故选C ‎【点评】分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．‎ ‎　‎ ‎5．（2016春•台江区校级期中）用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（　　）‎ A．1+＜2 B．1++＜3 C．1+++＜3 D．1++＜2‎ ‎【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．‎ ‎【解答】解：用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式为：1++＜2；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．‎ ‎6．（2016•山西校级二模）函数y=x2+x在x=1到x=1+△x之间的平均变化率为（　　）‎ A．△x+2 B．2△x+（△x）2 C．△x+3 D．3△x+（△x）2‎ ‎【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解．‎ ‎【解答】解：△y=（1+△x）2+1+△x﹣1﹣1=△x2+3△x，‎ ‎∴=△x+3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了函数的平均变化率的概念及的求法，解答此题的关键是熟记概念，是基础题．‎ ‎7．（2014春•永寿县校级期中）下列式子不正确的是（　　）‎ A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2‎ C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=‎ ‎【分析】观察四个选项，是四个复合函数求导的问题，故依据复合函数求导的法则依次对四个选项的正误进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由复合函数的求导法则 对于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确 对于选项B，成立，故B正确 对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确 对于选项D，成立，故D正确 故选C ‎【点评】本题考查了复合函数的求导法则，求解中要特别注意复合函数的求导法则（2sin2x）′=2cos2x•（2x）'=4cos2x，对函数的求导法则要求熟练记忆，本题属于基础题．‎ ‎8．（2016春•眉山校级期中）函数f（x）=x3﹣3ax2+3x有极小值，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣1‎ ‎【分析】求出函数的导数，得到f′（x）=0有2个不相等的实数根，由△＞0，求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3（x2﹣2ax+1），‎ 若函数f（x）=x3﹣3ax2+3x有极小值，‎ 则f′（x）=0有2个不相等的实数根，‎ 故△=4a2﹣4＞0，‎ 解得：a＞1或a＜﹣1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了导数的应用以及二次函数的性质，是一道基础题．‎ ‎9．（2017•凉山州模拟）=（　　）‎ A．e2 B． C． D．‎ ‎【分析】根据定积分的计算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：（x+）dx=（x2+lnx）|=（e2+1）﹣（+0）=，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题．‎ ‎10．（2010•大纲版Ⅰ）某校开设A类课3门，B类课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　）‎ A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 ‎【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类课选1门，B类课选2门；A类课选2门，B类课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．‎ ‎【解答】解：可分以下2种情况：①A类课选1门，B类课选2门，有C31C42种不同的选法；‎ ‎②A类课选2门，B类课选1门，有C32C41种不同的选法．‎ ‎∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C73﹣C33﹣C43=30．‎ ‎11．（2015•洛阳二模）（x+1）（x﹣2）6的展开式中x4的系数为（　　）‎ A．﹣100 B．﹣15 C．35 D．220‎ ‎【分析】把（x﹣2）6按照二项式定理展开，可得（x+1）（x﹣2）6的展开式中x4的系数．‎ ‎【解答】解：（x+1）（x﹣2）6‎ ‎=（x+1）（﹣+﹣23••x3+24••x2﹣25••x+26•）‎ 故展开式中x4的系数为﹣23•+22•=﹣100，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎12．（2016春•陕西校级期末）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（　　）种．‎ A．72 B．60 C． 48 D．24‎ ‎【分析】根据题意，分2种情况讨论：若选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；若4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同；求出每种情况的着色方法数目，由加法原理求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意，分2种情况讨论：‎ ‎（1）、选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，‎ 涂色方法有C43•A33=24种 ‎（2）、4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，‎ 涂色方法有C21•A44=48种 所以不同的着色方法共有48+24=72种；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查计数原理的应用，涉及分类讨论，解题时注意结合题意中的图形，分析相邻区域的可能着色的情况．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．（2017•东城区一模）如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x=　﹣1　．‎ ‎【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．‎ ‎【解答】解：∵（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，‎ ‎∴，解得：x=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎14．（2017•漳州模拟）函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是　y=x﹣1　．‎ ‎【分析】先x=1代入解析式求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出f′（1），即为所求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可．‎ ‎【解答】解：把x=1代入f（x）=lnx得，f（1）=ln1=0，‎ ‎∴切点的坐标为：（1，0），‎ 由f′（x）=（lnx）′=，得在点x=1处的切线斜率k=f′（1）=1，‎ ‎∴在点x=1处的切线方程为：y=x﹣1，‎ 故答案为：y=x﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义和直线点斜式方程，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，还有切点的坐标，利用切点在曲线上和切线上．‎ ‎15．（2016•和平区四模）在（x+y）8的展开式中，系数为有理数的项的所有系数之和为　225　．‎ ‎【分析】根据二项式展开式的通项公式，求出展开式的系数为有理数的项，再求它们所有系数之和．‎ ‎【解答】解：（x+y）8的展开式中，通项公式为 Tr+1=•x8﹣r•=•x8﹣r•yr•；‎ 要使展开式的系数为有理数，则r必为3的倍数，‎ 所以r可为0，3，6共3种，‎ 所以系数为有理数的项的所有系数之和为 ‎+•2+•22=225．‎ 故答案为：225．‎ ‎【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，是基础题目．‎ ‎16．（2016秋•湖州期末）A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有　60　种．（用数学作答）‎ ‎【分析】先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42﹣A22种坐法，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：先排C，D，E学生，有A33种坐法，‎ A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42﹣A22种坐法，‎ 则共有A33（A42﹣A22）=60种坐法．‎ 故答案为60．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的运用，关键在于掌握常见的问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．（2016春•南通期末）设复数z=﹣3cosθ+isinθ．（i为虚数单位）‎ ‎（1）当θ=π时，求|z|的值；‎ ‎（2）当θ∈时，复数z1=cosθ﹣isinθ，且z1z为纯虚数，求θ的值．‎ ‎【分析】（1）化简复数然后求解复数的模．‎ ‎（2）化简复数，利用复数是纯虚数，实部为0，虚部不为0，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵，∴‎ ‎∴|z|==．‎ ‎（2）复数z=﹣3cosθ+isinθ．复数z1=cosθ﹣isinθ，‎ z1z=（﹣3cosθ+isinθ）（cosθ﹣isinθ）=﹣3cos2θ+sin2θ+4icosθsinθ，‎ z1z为纯虚数，可得：﹣3cos2θ+sin2θ=0，故tan2θ=3，此时4cosθsinθ≠0，满足题意．‎ 因为，故，所以．‎ ‎【点评】本题考查复数的基本概念，复数的模的求法，考查计算能力．‎ ‎18．（2016春•山西校级期中）若an+1=2an+1（n=1，2，3，…）．且a1=1．‎ ‎（1）求a2，a3，a4，a5；‎ ‎（2）归纳猜想通项公式an．‎ ‎【分析】（1）根据递推公式，分别代值计算即可，‎ ‎（2）由（1）可以猜想an=2n﹣1（n∈N*）．‎ ‎【解答】解：（1）由已知a1=1，an+1=2an+1，得 a2=3=22﹣1，a3=7=23﹣1，‎ a4=15=24﹣1，a5=31=25﹣1．‎ ‎（2）归纳猜想，得an=2n﹣1（n∈N*）．‎ ‎【点评】本题考查了数列通项公式的猜想，关键是寻找规律，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（2016春•西藏期末）袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球．‎ ‎（1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？‎ ‎（2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？‎ ‎【分析】（1）由题意知可以采用分类加法，分三类：3红1白，2红2白，1红3白，相加即可；‎ ‎（2）可分三类：4红，3红1白，2红2白，由分类加法计数原理，相加即可；‎ ‎【解答】解：（1）分三类：3红1白，2红2白，1红3白，‎ 由分类加法计数原理有：C43C61+C42C62+C41C63=194（种）．‎ ‎（2）分三类：4红，3红1白，2红2白，‎ 由分类加法计数原理共有：C44+C43C61+C42C62═115（种）．‎ ‎【点评】本题是排列和组合的应用题及运算，根据满足的条件写出算式，通过列举得到结果，这类问题有一大部分是考查排列和组合的运算的，本题是一个简单的运算．‎ ‎　‎ ‎20．设f（x）=x2+2x+1．求y=f（x）的图象与两坐标所围成图形的面积．‎ ‎【分析】求出f（x）与x轴的交点坐标，使用定积分求出面积；‎ ‎【解答】解：令f（x）=x2+2x+1=0得x=﹣1．‎ ‎∴y=f（x）的图象与两坐标所围成图形的面积为S==（）=．‎ ‎21．（2009春•南长区校级期中）从集合{x|﹣5≤x≤16，x∈Z}中任选2个数，作为方程中的m和n，‎ 求：（1）可以组成多少个双曲线？‎ ‎（2）可以组成多少个焦点在x轴上的椭圆？‎ ‎（3）可以组成多少个在区域B={（x，y）||x|≤2，且|y|≤3}内的椭圆？‎ ‎【分析】分析集合{x|﹣5≤x≤16，x∈Z}的元素知：集合中共有16个正数，5个负数 ‎（1）若能构成双曲线，则mn＜0，利用乘法原理得出组成多少个双曲线；‎ ‎（2）若能构成焦点在x轴上的椭圆，则m＞n＞0，利用乘法原理得出可以组成多少个焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎（3）因为|x|≤2，|y|≤3，得出m≤4，n≤9，因此，可以组成多少个在区域B={（x，y）||x|≤2，且|y|≤3}内的椭圆数．‎ ‎【解答】解：集合中共有16个正数，5个负数 ‎（1）若能构成双曲线，则mn＜0‎ 因此，共有5×16×2=160个…（5分）‎ ‎（2）若能构成焦点在x轴上的椭圆，则m＞n＞0‎ 因此，共有个…（5分）‎ ‎（3）因为|x|≤2，|y|≤3，∴m≤4，n≤9，‎ 因此，共有4×8=32个…（5分）‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，椭圆的标准方程，椭圆的定义，组合知识，考查学生分析问题解决问题的能力．‎ ‎22．（2017•南关区校级模拟）已知函数f（x）=ax2﹣bx+lnx，a，b∈R．‎ ‎（1）当a=b=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；‎ ‎（2）当b=2a+1时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎【分析】（1）先求切线的斜率，再确定切点的坐标，则可写出曲线f（x）在x=1处的切线的点斜式方程；‎ ‎（2）先确定函数的定义域，再求导，f'（x）=，然后由f'（x）＞0，得到单调增区间，由f'（x）＜0，得到单调减区间．在解不等式时，需对参数a进行分类讨论．‎ ‎【解答】解：（1）a=b=1时，f（x）=x2﹣x+lnx，f'（x）=2x﹣1+，‎ x=1时，f（1）=0，f'（1）=2，‎ 故f（x）在x=1处的切线为y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．‎ ‎（2）b=2a+1时，f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，定义域为（0，+∞），‎ f'（x）==‎ Ⅰ）、a=0时，f'（x）=，‎ 由f'（x）＞0，得0＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1，‎ 故y=f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．‎ Ⅱ）、a≠0时，f'（x）=，‎ ‎①a＜0时，由f'（x）＜0，得x＞1；由f'（x）＞0，得0＜x＜1，‎ 故y=f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；‎ ‎②0＜a＜时，，‎ 由f'（x）＞0，得0＜x＜1，或x＞；由f'（x）＜0，得1＜x＜，‎ 故y=f（x）的单调增区间为（0，1），（，+∞），单调减区间为（1，）；‎ ‎③a=时，f'（x）=≥0恒成立，‎ 故y=f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调递减区间；‎ ‎④时，，‎ 由f'（x）＞0，得0＜x＜，或x＞1；由f'（x）＜0，得，‎ 故y=f（x）的单调增区间为（0，），（1，+∞），单调减区间为（，1）．‎ ‎ ‎