2017-2018学年山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设 ， ，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵a>b，c>d;∴设a=1，b=-1，c=-2，d=-5,选项A，1-（-2）>-1-（-5），不成立;选项B，1（-2）>（-1）（-5），不成立;取选项C， ，不成立,故选D ‎【考点】不等式的性质 点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题 ‎2．在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B.‎ ‎3．在等差数列 中，有 ，则该数列的前 项之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以，所以，故选B.‎ ‎4．设 ，集合是奇数集，集合 是偶数集，若命题 ： ， ，则（ ）‎ A. ： ， B. ： ， ‎ C. ： ， D. ： ， ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以既要否定量词，又要否定结论，因此： ， ，故选C．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎5．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 的形状为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】 由题意得，因为，‎ ‎ 由正弦定理得，所以，‎ ‎ 可得，所以，所以三角形为直角三角形，故选B.‎ ‎6．在下列函数中，最小值时 的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A.，当时，，当时，，所以不正确，B.，当时，所以不正确，C.，当时，无解，不能取得等号，也不成立，D.，当时，即，，成立，故选D.‎ ‎【点睛】解决此类问题的关键条件是利用基本不等式求最值，要根据“一正，二定，三相等”的思路求解，一正是基本条件，不等式另一侧需是定值，定值是否能取得得看两个数能不能相等，尤其是第三条要引起重视，容易出错，当需要使用两次基本不等式时，还要验证两次基本不等式的定值能否同时取得.‎ ‎7．在中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，则“ ”是“ ”的（ ）‎ A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据正弦定理可知 “左推右”， ；“右推左”， 故选A.‎ ‎【考点】1、正余弦定理的应用 ‎8．若变量 ， 满足约束条件 ，且 的最大值和最小值分别为 和 ，则 等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得 ‎，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时有最大值，由，解得，所以，直线经过点时， 有最小值，由，解得，所以，所以，故选B.‎ ‎【考点】简单的线性规划问题.‎ ‎9．若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的渐近线方程为，点应在，即，即，，即 ，，故选D.‎ ‎10．已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点为 ， ，离心率为 ，过 的直线 交 于 ， 两点.若 的周长为 ，则 的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：若△AF1B的周长为4可知 ‎，所以方程为 ‎【考点】椭圆方程及性质 ‎11．数列 是等差数列，若 ，且它的前 项和 有最大值，那么当 取得最小正值时， （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，若数列的前项和有最大值，即，当时，可知，又，可知 ，所以，即 ，而 ，所以取得最小正值时，，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，综合性比较强，本题的关键判断数列是单调递减数列，根据条件转化为，这样转化为 ，这样就是正负的分界.‎ ‎12．已知 ， ， ， 的等比中项是 ，且 ，，则 的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，因为，当时等号成立，，当时等号成立，满足的条件，所以，所以最小值是4，故选C.‎ ‎【点睛】解决此类问题的关键条件是利用基本不等式求最值，要根据“一正，二定，三相等”的思路求解，一正是基本条件，不等式另一侧需是定值，定值是否能取得得看两个数能不能相等，尤其是第三条要引起重视，容易出错，当需要使用两次基本不等式时，还要验证两次基本不等式的定值能否同时取得，否则也容易出错.‎ 二、填空题 ‎13．已知双曲线 的一个焦点是 ，椭圆 的焦距等于 ，则 ________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】因为双曲线的焦点是，所以双曲线的标准方程是 ，即 ，，即 ，所以椭圆方程是 ，因为焦距，所以 ，即，解得，故填：5.‎ ‎14．若不等式 的解为 ，则不等式 的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据不等式的解集可知 ，解得 ，即不等式为 ，所以不等式的解集为.‎ ‎15．等比数列 的前 项和 ，则 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】数列的首项是1，公比2，所以数列的首项是1，公比是4，所以数列的前项和是 .‎ ‎16．下列说法正确的是__________．‎ ‎（1）对于命题 ： ，使得 ，则綈 ： ，均有 ‎ ‎（2）“ ”是“ ”的充分不必要条件 ‎（3）命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”‎ ‎（4）若 为假命题，则 ， 均为假命题 ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）正确，因为时，，所以存在，使其成立；（2）正确，因为方程的实根是或 ，所以成立；（3）正确，满足命题逆否命题的形式；（4）不正确，因为是假命题，那么中至少有一个是假命题.故填：（1）（2）（3）‎ 三、解答题 ‎17．已知 ： ， ： （）.若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：首先分别求解命题的集合，若是的充分不必要条件，那么是的真子集，列不等式组求解.‎ 试题解析：设 ， ，因为 是 的充分不必要条件，从而有 并 .故 ，解得 ‎ ‎18．已知 ， ， 分别是 内角 ， ， 的对边， .‎ ‎（1）若 ，求 ；‎ ‎（2）若 ，且 ，求 的面积.‎ ‎【答案】(1);(2) 的面积为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，可将条件化简为 ，再利用余弦定理 化简求解；（2）根据勾股定理可知，又根据，两式结合得到，再求三角形的面积.‎ 试题解析：（1）有题设及正弦定理可得 ‎ 又 ，可得 ， ，‎ 有余弦定理可得 ‎ ‎（2）由（1）知 ‎ 因为 ，由勾股定理得 ‎ 故 ，得 ‎ 所以 的面积为 ‎ ‎19．已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列.‎ ‎（1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) 通项公式为 或;(2) 当 时，不存在满足题意的正整数 ；当 时，存在满足题意的正整数 ，其最小值为.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意， 成等比数列，‎ 故有，‎ ‎∴，解得（舍去）.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴.‎ 令，即，‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴最小正整数.‎ ‎20．世界低碳经济大会在某地召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最小为 吨，最多为 吨，月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 元.‎ ‎（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎【答案】(1) 单位月处理量为 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 元;(2) 单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 元才能不亏损.‎ ‎【解析】试题分析：（1）平均处理成本是，根据基本不等式求最小值以及取得最小值时的值；（2）利润等于收益-成本，即利润等于，整理为关于的二次函数，当时，求函数的取值范围，并计算补贴数.‎ 试题解析：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 ‎ 当且仅当 ，即 时等号成立.‎ 故该单位月处理量为 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 元.‎ ‎（2）不获利.设该单位每月获利为 元，则 ，因为 ，所以 .‎ 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 元才能不亏损. ‎ ‎21．已知函数 .‎ ‎（1）当 时，求 的解集；‎ ‎（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 不等式的解集为;(2) 的范围为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，利用零点分段法分，和三段去掉绝对值，然后解不等式；（2）当时， ，不等式整理为 ，去绝对值后可转化为恒成立，即求的最大值和的最小值. ‎ 试题解析：（1）当 时，由 ，可得 ，‎ ‎∴① 或②或③ ‎ 解①得 ；解②得 ；解③求得.‎ 综上可得， ，即不等式的解集为 ‎ ‎（2）∵当 时， 恒成立，‎ 即 ‎ 故 ，即 ‎ 再根据 的最大值为 ,的最小值为 ，‎ ‎∴ ，∴ ‎ 即 的范围为 ‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的解法，以及基本的不等式恒成立的问题，不等式的解法有两个基本的方法，一是运用零点分段法去绝对值，讨论求不等式的解集，二是利用数形结合法画出函数的图像，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇，渗透，解题时强化函数，数形结合与转化与化归思想方法的灵活运用.‎ ‎22．已知点 ，椭圆 ： （ ）的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率为， 为坐标原点.‎ ‎（1）求 的方程；‎ ‎（2）设过点 的动直线 与 相交于 ， 两点，当 的面积最大时，求 的方程.‎ ‎【答案】(1) 的方程为;(2) 的方程为 或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先设，根据直线的斜率可列式，求。再根据离心率求，最后根据求 ，得到椭圆方程；（2）设直线的方程是与椭圆方程联立后得到根与系数的关系，求弦长，以及点到直线的距离，将面积表示为的函数，换元后求函数的最值，以及取得最值时的直线方程.‎ 试题解析：（1）设 ，由条件知， ，得 ‎ 又 ，所以 ， ‎ 故 的方程为 ‎ ‎（2）当 轴时不合题意，‎ 故可设： ， ， ‎ 将 代入 得 ，‎ 当 ，即 时，‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 又点 到直线 的距离 ‎ 所以 的面积 ‎ ‎ 设 ，则 ， ‎ 因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，满足 ‎ 所以，当 的最大面积时，， 的方程为 或 ‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的综合问题，利用的关系求椭圆方程是基础，通过联立直线与曲线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到面积的解析式，利用函数求最值的方法求最值，这类问题的易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致出错，逻辑思维能力不够，也会限制解决问题的能力.‎