数学卷·2018届浙江省台州市高三上学期期末质量评估（2018

数学卷·2018届浙江省台州市高三上学期期末质量评估（2018

台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题 数 学 2018.01‎ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。‎ 参考公式： ‎ 柱体的体积公式： 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 ‎ 锥体的体积公式： 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 台体的体积公式： 其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高 球的表面积公式： 球的体积公式：，其中表示球的半径 ‎ 选择题部分（共40分）‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．若复数（为虚数单位），则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知为锐角，且，则 A． B． C． D．‎ ‎4．已知，则“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知数列满足，，则 A． B． C． D． ‎ ‎6.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知实数满足不等式组则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数若函数在恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为 A． B． C．4 D．‎ ‎10．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题: 本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。‎ ‎11．双曲线的离心率为 ▲ ，渐近线方程为 ▲ . ‎ ‎12．已知随机变量的分布列为:‎ ‎(第13题)‎ 则 ▲ ， ▲ . ‎ ‎13．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体 积为 ▲ ；表面积为 ▲ .‎ ‎14．若的展开式中所有项的系数之和为，‎ ‎ 则 ▲ ，含项的系数是 ▲ （用数字作答）. ‎ ‎15．当时，的最小值为，则实数的值为 ▲ . ‎ ‎16．在△中，内角所对的边为，点是其外接圆上的任意一点，若 ‎，则的最大值为 ▲ . ‎ ‎(第17题)‎ Q P C A S B ‎17.如图，在棱长为的正四面体中，动点在侧面内，底面，垂足为， ‎ ‎ 若，则长度的最小值为 ▲ .‎ 三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数,为常数），‎ 且，．‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的最大值与最小值．‎ ‎19．（本小题满分15分）‎ 如图，正方形的边长为，点，分别为，的中点，将△，△，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接．‎ ‎（Ⅰ）求证:平面； ‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎(第19题)‎ D F C E B A B F E D A′‎ ‎20．（本小题满分15分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分15分）‎ 已知椭圆:的左右焦点分别为，，左顶点为，点在椭圆上，且△的面积为．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别与轴交于点．求证：以为直径的圆恒过焦点，，并求出△面积的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分15分）‎ 数列，中，为数列的前项和，且满足，，．‎ ‎（Ⅰ）求，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）令，，求证：．‎ 台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题 数学参考答案及评分标准2018.01‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B C D B C D D A B A 二、填空题: 本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。‎ ‎11.， 12. 13.， 14.‎ ‎15. 16. 17.‎ 三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题得：，‎ 由，，得故，……4分 ‎，‎ 当时,的单调递增,‎ 可得，‎ 的单调递增区间为；…………………………8分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ‎ 由得：.，‎ 故在上的最大值为，最小值为．…………………………14分 ‎19．（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ），平面，‎ 又平面,,‎ 由已知可得，平面；…………………………………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面平面，则为与平面所成角，‎ 设，交于点，连，则，， ‎ 又平面，平面，，………………12分 在△中，，‎ 与平面所成角的正弦值为．…………………………………15分 ‎20．（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，，…………2分 ‎，，解得或，为减函数，‎ ‎，解得，为增函数， ………………………………5分 的单调递减区间为，单调递增区间为；……7分 ‎（Ⅱ）在时恒成立，‎ ‎， ………………………9分 令，则，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，………………………12分 ‎，． …………………………15分 ‎21．（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ），， ………………………………2分 ‎ 又点在椭圆上，，，‎ 解得，或（舍去），又，，‎ 所以椭圆的方程为；………………………………………5分 ‎ ‎（Ⅱ），，，‎ ‎ 方法一：当直线的斜率不存在时，，为短轴的两个端点，则，， ，，则以为直径的圆恒过焦点，，……7分 ‎ 当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，‎ 设点（不妨设），则点，‎ 由，消去得，所以，， ‎ 所以直线的方程为， ‎ 因为直线与轴交于点，令得，‎ 即点，同理可得点， ‎ ‎，，‎ ‎，同理，‎ 则以为直径的圆恒过焦点，，………………………………………12分 当的斜率存在且不为零时，‎ ‎，‎ ‎△面积为，‎ 又当直线的斜率不存在时，，△面积为，‎ ‎△面积的取值范围是．………………………………………15分 方法二：当，不为短轴的两个端点时，设，‎ 则，由点在椭圆上， ，‎ 所以直线的方程为，令得，‎ 即点，同理可得点， ‎ 以为直径的圆可化为，‎ 代入，化简得，‎ 令解得 以为直径的圆恒过焦点，，………………………12分 ‎，又，,‎ ‎△面积为，‎ 当，为短轴的两个端点时，，△面积为，‎ ‎△面积的取值范围是．………………………………………15分 ‎22．（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ），当时，，‎ ‎ ，，‎ ‎，‎ ‎，……………………5分 ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎；…………………………………………10分 ‎（Ⅲ）（1）当时，左边右边，‎ ‎（2）当时，∵‎ ‎， ‎ ‎∴Û ‎ Û ，令x=，‎ 则ÛÛ，‎ 易知在上单调递增，‎ 所以，∴，‎ 由（1）（2）可知对于任意的，．………………15分